CÁC BÀI TOÁN KHÓ HỌC SINH YÊU CẦU... Cho tam giác ABC có hai đường phân giác BD, CE.[r]
(1)CÁC BÀI TOÁN KHÓ HỌC SINH YÊU CẦU Quy Nhơn, ngày 25 tháng 04 năm 2012 (2) Bài Cho a, b là hai nghiệm phương trình x2 – x – = (1) Tính A = (a2011 – a2012 + a2008 + a2009 + a6 – + b)(b2011 – b2012 + b2008 + b2009 + b6 – + a) Giải: Vì a, b là các nghiệm phương trình (1) nên: a2 – a – = 0, b2 – b – = Hay: a(a – 1) = 1, b(b – 1) = Khi đó ta có: a2011 – a2012 + a2008 + a2009 = = b2011 – b2012 + b2008 + b2009 Thật vậy, thực các phép biến đổi và sử dụng điều kiện giả thiết: a2011 – a2012 + a2008 + a2009 = -a(a – 1).a2010 + a2008 + a2009 = - a2010 + a2009 + a2008 = - a(a – 1).a2008 + a2008 = - a2008 + a2008 = Chứng minh tương tự ta có: b2011 – b2012 + b2008 + b2009 = Từ đó biểu thức đã cho thu gọn: A = (a6 – + b)(b6 – + a) = (a7 + b7) – 5(a6 + b6) – 5(a + b) + a6b6 + 25 Theo hệ thức Vi-ét ta có: S = a + b = 1; P = a.b = - Biến đổi: a6 + b6 = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4) = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 – 3a2b2] = [(a + b)2 – 2ab]{[(a + b)2 – 2ab]2 – 3a2b2} = (S2 – 2P)[(S2 – 2P)2 – 3P2] = (S2 – 2P)(S4 – 4PS2 + P2) Thay S = 1, P = - vào biểu thức trên ta có: a6 + b6 = (S2 – 2P)(S4 – 4PS2 + P2) = (1 + 2)(1 + + 1) = 18 Biến đổi: a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b4 – a4b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)[(a2 + b2)2 – 2a2b2]– a3b3(a + b) = (a + b)[(a + b)2 - 3ab]{[(a + b)2 – 2ab]2 – 2a2b2} – a3b3(a + b) = S(S2 – 3P)[(S2 – 2P)2 – 2P2] – SP3 = S(S2 – 3P)(S4 – 4PS2 + 2P2) - SP3 Thay S = 1, P = - vào biểu thức, ta được: a7 + b7 = S(S2 – 3P)(S4 – 4PS2 + 2P2) - SP3 = 1.(1 + 3)(1 + + 2) + = 29 Vậy: A = 29 – 5.18 – 5.1 + + 25 = - 40 Bài Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 5x2 + y2 – 2xy + 2x – 6y + < (1) Giải : Đặt f(y) = y2 – 2y(x + 3) + 5x2 + 2x + 1, ta có f(y) < (2) Xem (2) là tam thức bậc hai theo y có hệ số a = > Ta có : ’ = (x + 3)2 – 4(5x2 + 2x + 1) = x2 + 6x + – 20x2 – 8x – = - 19x2 – 2x + = - [(x + 1)2 + 18x2] + Nhận xét, x 0 (x Z), thì ’ < Khi đó f(y) > 0, y , mâu thuẫn với (2) Do đó x = Thay x = vào (1): y2 – 6y + < (y – 3)2 < 8, Vì y Z, suy y {0 ; ; 2} (y – 3) {0 ; 1 ; 2} y {1 ; ; ; ; 5} Vậy các giá trị nguyên x, y thỏa mãn (1) là: x = ; y {1 ; ; ; ; 5} Bài Cho a, b, c > thỏa ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ A = 2a + 2b + 2c (3) Giải: A Ta có: A = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) = a + b + c (A > 0) Biến đổi: A = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ab + bc + ca + 2(ab +bc + ca) A A A 2 3(ab + bc + ca) = (A > 0) Dấu “=” xảy và a = b = c = Vậy Amin = và a = b = c = Bài Cho tam giác ABC có hai đường phân giác BD, CE M là điểm tùy ý trên đoạn DE Gọi H, K, L là hình chiếu M trên BC, CA, AB Chứng minh MH = MK + ML Giải: Kẻ DD1 AB, DD2 BC, EE1 AC, EE2 BC Theo tính chất đường phân giác, ta có: DD1 = DD2, EE1 = EE2 Goi N là giao điểm MH với ED2 E Theo định lý Ta-lét, ta có: MN EM MN // DD2 DD2 ED (1), ML EM ML // DD DD1 ED (2) D A E L K D M N B E H D C MN ML DD DD1 Vì DD = DD nên MN = ML Từ (1), (2) suy ra: Chứng minh tương tự, ta có: NH D N NH // EE2 EE D E (3), MK DM EE DE (4), MK // EE D N DM NH MK D E DE EE EE1 2 MN // DD2 (5) Từ (3), (4), (5) suy ra: Vì EE2 = EE1 nên NH = MK Do đó: MN + NH = ML + MK Vậy MH = MK + ML Quy Nhơn, 25 – 04 - 2012 Bùi Văn Chi (4)