(Luận văn thạc sĩ) định lý pick, dãy farey, vòng tròn ford và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THẾ HANH ĐỊNH LÝ PICK, DÃY FAREY, VÒNG TRÒN FORD VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THẾ HANH ĐỊNH LÝ PICK, DÃY FAREY, VÒNG TRÒN FORD VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 i Mục lục Lời mở đầu Định lý Pick 1.1 Ví dụ định lý Pick 1.2 Định lý Pick cho hình chữ nhật 1.3 Tam giác vuông canh bên phải 1.4 Định lý Pick cho tam giác 1.5 Định lý Pick cho trường hợp tổng quát 1.5.1 Tổng quan chứng minh 1.5.2 Ghép nối hai đa giác lưới 1.5.3 Các đường chéo bên 1.5.4 Đa giác có lỗ thủng 3 10 10 12 13 14 Dãy Farey 2.1 Khái niệm tính chất 2.2 Tìm kiếm phân số gần dãy Farey Fn 2.2.1 Thuật tốn tìm kiếm cải tiến 2.2.2 Phân tích hiệu suất 2.3 Một số ứng dụng có liên quan đến hình ảnh 2.3.1 Đa giác mô gần 2.3.2 Phân tích hình ảnh 17 17 22 26 26 26 26 29 Vòng tròn Ford liên hệ với định lý Pick, dãy 3.1 Giới thiệu vòng tròn Ford 3.2 Mối liên hệ định lý Pick dãy Farey 3.3 Mối liên hệ dãy Farey vòng tròn Ford Farey 32 32 38 39 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 ii Danh sách kí hiệu Kí hiệu Tên Lời mở đầu Chúng ta biết đề tài chủ đề gồm định lý Pick, dãy Farey, vòng tròn Ford sử dụng để kết nối ý tưởng từ khía cạnh trực quan hình học đến chất trừu tượng đại số Việc sử dụng định lý Pick lấy ý tưởng từ kiến thức bậc trung học sở dần chuyển lên cấp độ sử dụng lập luận tốn học cao thơng qua việc sử dụng dãy Farey vòng tròn Ford Trong số chương trình giảng dạy tốn học kiến thức đưa cách riêng biệt Qua luận văn tơi muốn trình bày mối liên hệ kiến thức đó, mối liên hệ quan trọng giúp hiểu sâu toán học Với mong muốn tìm hiểu sâu số kiến thức hình học hình ảnh, vài dãy số có tính chất đặc biệt, đồng thời nâng cao thêm kiến thức học chương trình đại học cao học, tơi chọn đề tài Định lý Pick, dãy Farey, vịng tròn Ford ứng dụng làm luận văn cao học Cấu trúc luận văn chia thành 03 chương: Chương định lý Pick trình bày chứng minh phương pháp để tính diện tích đa giác đơn có đỉnh nằm lưới điểm có tọa độ nguyên mặt phẳng xOy Từ “đơn” “đa giác đơn” có nghĩa đa giác khơng có lỗ thủng cạnh khơng cắt Chương trình bày lại phát minh Farey quy trình để tạo phân số thích hợp nằm đoạn [0, 1], gọi dãy Farey Một cách xác, dãy Farey Fn (với số n) dãy phân số tối giản, thực sự, dương, có mẫu số nhỏ n, xếp theo thứ tự tăng dần theo giá trị chúng Chương trình bày định lý Ford biểu diễn hình học phân số c a b d vòng tròn (gọi vòng tròn Ford) nêu mối liên hệ định lý Pick với dãy Farey, dãy Farey với vòng tròn Ford Ford mong muốn minh họa phân số đặc biệt ví dụ Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hồng Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hoàng, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để tơi hồn thành luận văn Qua xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm nghiên cứu phát triển giáo dục Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp hồn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, giúp đỡ tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Lại Thế Hanh Chương Định lý Pick Trong chương chúng tơi trình bày chứng minh định lý Pick cơng thức tính diện tích đa giác đơn từ đơn giản đến tổng qt thơng qua lưới điểm có tọa độ ngun miền biên đa giác Các kết chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [5], [7] 1.1 Ví dụ định lý Pick Định lý Pick cung cấp cho phương pháp để tính diện tích đa giác đơn giản mà đỉnh nằm lưới điểm - điểm với tọa độ nguyên mặt phẳng x − y Từ "đơn giản" "đa giác đơn giản" có nghĩa đa giác khơng có lỗ thủng cạnh khơng cắt Các đa giác Hình 1.1 đa giác đơn giản, ta nên hiểu từ "đơn giản" áp dụng ý nghĩa định - đa giác đơn giản mặt kỹ thuật có triệu cạnh Rõ ràng cho đa giác với miền lớn, miền khoảng xấp xỉ số lượng điểm lưới Ta đốn chút xấp xỉ tốt nhận cách thêm khoảng nửa điểm lưới “biên” chúng loại nửa nửa ngồi đa giác Nhưng nhìn vào vài ví dụ Hình 1.1 Đối với ví dụ đây, ta cho I số điểm miền trong, B số điểm biên Ta sử dụng ký hiệu A(P ) để diện tích đa giác P Hình 1.1: Ví dụ định lý Pick’s B = 2 B • B : I = 0, B = 3, A(B) = , I + = 2 B • C : I = 28, B = 26, A(C) = 40, I + = 41 B • D : I = 7, B = 12, A(D) = 12, I + = 13 • A : I = 0, B = 4, A(A) = 1, I + E : Có chút phức tạp để ước tính diện tích đa giác E F E bị chia thành hình chữ nhật x vóc vng QR có độ dài | 2d12 − 2b12 | 35 Sử dụng định lý Pitago ta được: 2 P Q = P R + QR 1 c a P Q = ( − )2 + ( − )2 d b 2d 2b 1 (cb − ad)2 − P Q = ( + )2 + 2d 2b d b2 (cb − ad)2 − P Q = (P S + T Q)2 + d b2 Từ phương trình này, ta nói |bc−ad| > 1, P Q > P S+T Q, hai vòng tròn bên ngồi với Nếu |bc−ad| = 1, P Q = P S+T Q, lúc hai vịng tròn tiếp xúc Tuy nhiên, |bc − ad| < 1, |bc − ad| = (vì số nguyên) nên ab = dc điều không thể; xảy trường hợp |bc − ad| < 1| Khi |bc − ad| = P Q = P S + T Q, hai vịng trịn tiếp xúc nhau, ta nhìn vào mối quan hệ hai vịng tiếp xúc để tạo dựng vòng tròn nhỏ tiếp xúc với hai vòng tròn ban đầu tiếp xúc trục Ox Vòng tròn Ford đặc biệt Với hình ảnh sau hai vịng trịn tiếp xúc, tìm kiếm mối quan hệ vòng tròn lớn ( 11 , 21 ) vòng tròn nhỏ ( 21 , 81 ) sơ đồ sau: Bán kính vịng trịn lớn 21 lớn gấp bốn lần bán kính vịng trịn nhỏ 18 Biết bán kính nhỏ 41 lần bán kính lớn, nên ta tự hỏi liệu tỷ số bán kính vòng tiếp xúc khác 14 Để thấy điều này, ta tìm thấy vịng trịn nhỏ khác tiếp xúc với vịng trịn có Ta tìm thấy vịng trịn nhỏ hơn, tiếp xúc với hai vịng trịn ban đầu, nhìn vào trục Ox giá trị 12 11 Bằng cách tìm phân số trung gian, bán kính tại, ta có phân số (1+1) (2+1) = điểm thuộc trục Ox, cho ta vịng trịn Để tìm giá trị y vòng tròn sử dụng cơng thức (2b12 ) tìm bán kính vòng 36 tròn 2.(32 ) = 18 Với ba vòng tròn kết nối này, ta nhận quan sát để thấy xem liệu bán kính vịng trịn có 14 giá trị hai vịng trịn có? Vịng trịn ( 32 , 18 ) có bán kính 91 lần bán kính vịng trịn lớn nhất, 94 lần bán kính vịng trịn thứ hai Vì 41 khơng phải ... 26 26 26 26 29 Vòng tròn Ford liên hệ với định lý Pick, dãy 3.1 Giới thiệu vòng tròn Ford 3.2 Mối liên hệ định lý Pick dãy Farey 3.3 Mối liên hệ dãy Farey vòng tròn Ford Farey... phân số 2 c a b d vòng tròn (gọi vòng tròn Ford) nêu mối liên hệ định lý Pick với dãy Farey, dãy Farey với vòng tròn Ford Ford mong muốn minh họa phân số đặc biệt ví dụ Luận văn hoàn thành trường... LẠI THẾ HANH ĐỊNH LÝ PICK, DÃY FAREY, VÒNG TRÒN FORD VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Văn Hoàng THÁI