(Luận văn thạc sĩ) ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRỌNG NGHĨA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ TÍCH CĨ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRỌNG NGHĨA ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ TÍCH CĨ HƯỚNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Mở đầu Danh sách hình vẽ Tích vơ hướng không gian vector Euclid 1.1 Định nghĩa không gian vector Euclid 1.2 Các đẳng thức vector bất đẳng thức vector 1.2.1 Các đẳng thức vector 1.2.2 Các bất đẳng thức vector 1.3 Tích vơ hướng hình học phẳng 1.3.1 Chứng minh hệ thức hình học tính biểu thức 1.3.2 Chứng minh bất đẳng thức hình học 1.3.3 Chứng minh quan hệ vng góc 1.3.4 Sáng tạo bất đẳng thức nhờ tích vơ hướng 1.4 Tích vơ hướng Hình học khơng gian 1.4.1 Chứng minh tính vng góc khơng gian 1.4.2 Tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích 1.5 Ứng dụng tích vơ hướng giải toán đại số 1.5.1 Giải phương trình 1.5.2 Giải bất phương trình 1.5.3 Giải hệ phương trình 1.5.4 Chứng minh bất đẳng thức 1.5.5 Tìm cực trị hình học cực trị đại số 1.6 Bài tập 5 7 8 15 17 24 27 27 30 39 39 41 42 43 46 49 Kết luận Chương 52 53 53 53 54 Tích giả vơ hướng tích có hướng 2.1 Tích giả vơ hướng hai vector E2 2.1.1 Nhắc lại số thuật ngữ ký hiệu 2.1.2 Tích giả vơ hướng (tích ngồi) hai vector ii 2.2 2.3 2.1.3 Biểu diễn số kiện hình học theo tích giả vơ hướng 2.1.4 Ứng dụng vào diện tích đại số 2.1.5 Các ví dụ ứng dụng Tích có hướng hai vector 2.2.1 Định nghĩa tính chất 2.2.2 Tích hỗn tạp vector 2.2.3 Biểu diễn kiện hình học 2.2.4 Ứng dụng tích có hướng hình học 2.2.5 Ứng dụng tích có hướng Vật lý Bài tập 57 58 61 64 64 66 66 67 72 75 Kết luận Đề nghị 77 Tài liệu tham khảo 79 Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy xin gửi lời tri ân điều Thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo Sau đại học, quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K7B (khóa 2013-2015) Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức q báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Nguyễn Trọng Nghĩa Mở đầu Trong toán học đại, tất cấu trúc toán học dựa cấu trúc không gian vector Chỉ với hai phép toán cộng hai vector nhân số với vector, không gian mô tả nhiều kiện quan trọng tốn học nói riêng ngành khoa học tự nhiên nói chung Vector cơng cụ mạnh để giải tốn hình học phổ thông Phương pháp vector ngày trở nên quen thuộc để giải tốn hình học loại toán khác thay cho cách giải tốn truyền thống, góp phần làm nên vẻ đẹp lời giải toán Tiếp nối luận văn tác giả Nịnh Thị Thu với đề tài "Phương pháp vector", bảo vệ thành công năm 2015 (xem [7]), tơi tự đặt cho tốn nghiên cứu ứng dụng phép tốn tích vơ hướng tích có hướng vào giải tốn Hình học, Đại số số toán Vật lý Mục đích đề tài là: Nêu bật kỹ thuật thường gặp ứng dụng tích vơ hướng tích có hướng để giải tốn Các kỹ thuật minh họa qua hàng loạt ví dụ tường minh Hệ thống tốn giải cách ứng dụng phép toán trên, đặc biệt nêu rõ ứng dụng phép tốn vector vào tốn phi hình học như: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị hình học, cực trị đại số Trình bày thêm tích giả vơ hướng (tích ngồi) hai vector, diện tích đại số, ví dụ đại số Lie, kiến thức có ích mà chương trình đại học chưa đề cập đến Phạm vi đề tài ứng dụng phép tốn khơng gian vector vào tốn chương trình phổ thơng, đặc biệt ý đến toán thi học sinh giỏi cấp, thi Olympic nước Quốc tế, thi vào Trung học phổ thông chuyên đề thi Đại học Ngoài phần mở đầu danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia làm hai chương: • Chương Tích vơ hướng khơng gian vector Euclid dành để trình bày ứng dụng tích vơ hướng giải tốn Hình học phẳng, Hình học khơng gian tốn Đại số • Chương Tích giả vơ hướng tích có hướng, giới thiệu phép tốn " tích giả vơ hướng", ứng dụng phép tốn phạm vi kiến thức Hình học phổ thơng Mỗi chương có phần giới thiệu chung lý thuyết cần dùng đến chương Nội dung có nêu tài liệu trích dẫn, nội dung tác giả chứng minh chi tiết chặt chẽ Ý tưởng tác giả lưu ý suốt luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Trọng Nghĩa Danh sách hình vẽ Hình vẽ Trang 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 Ví dụ 1.3 Ví dụ 1.4 Ví dụ 1.5 Ví dụ 1.10 Ví dụ 1.11 Ví dụ 1.12 Ví dụ 1.13 Ví dụ 1.14 Ví dụ 1.15 Ví dụ 1.16 Ví dụ 1.25 Ví dụ 1.20 Ví dụ 1.29 (Trường hợp 1) Ví dụ 1.29 (Trường hợp 2) Ví dụ 1.22 Ví dụ 1.23 Ví dụ 1.23 (Chú ý) Ví dụ 1.40 10 12 16 17 18 19 21 23 24 28 31 31 32 33 35 35 36 37 38 47 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Mệnh đề 2.3 Ví dụ 2.7 Ví dụ 2.8 Ví dụ 2.9 Ví dụ 2.10 Ví dụ 2.11 Ví dụ 2.12 Ví dụ 2.14 55 68 69 70 71 72 73 74 Chương Tích vơ hướng khơng gian vector Euclid Trong khơng gian vector ta có khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, tập sinh, sở, tọa độ, khơng gian k-chiều (đường thẳng, mặt phẳng, ) Ngoài phép toán cộng, trừ vector, nhân số với vector ta cần đến phép toán để diễn tả khái niệm mang nội dung hình học nhiều như: Độ dài vector, góc hai vector, tính trực giao, thể tích khối đa diện Đó phép tốn nhân vơ hướng hai vector Phép tốn cho ta khái niệm khơng gian vector Euclid (có thể xem chi tiết [8]) 1.1 Định nghĩa không gian vector Euclid Định nghĩa 1.1 Một không gian vector E trường số thực R gọi khơng gian vector Euclid thực có dạng song tuyến tính đối xứng α, β : E → R thỏa mãn điều kiện α, α > với vector α = Dạng song tuyến tính đối xứng gọi tích vơ hướng E Nói cách khác, tích vơ hướng hai vector α, β ∈ E số thực α, β , ký hiệu đơn giản α.β, thỏa mãn bốn tiên đề sau (1) α.β = β.α (2) (α1 + α2 ).β = α1 β + α2 β (3) k.(α.β) = (k.α).β với k ∈ R (4) α.α = α2 ; α.α = α = θ Ta xét số ví dụ khơng gian vector Euclid Ví dụ 1.1 Các khơng gian sau tích vơ hướng xác định (1) Khơng gian vector tự hình học sơ cấp khơng gian vector Euclid → − → − → − − − − với tích vơ hướng → α β = |→ α |.| β | cos(→ α , β ) − − − (2) Giả sử E không gian vector thực n chiều → e 1, → e , , → e n sở n − − Có thể định nghĩa tích vơ hướng E sau: Nếu → α = x→ e i i → − β = n → − − − yi → ei ta đặt → α.β = i=1 n i=1 xi yi Nói riêng E = Rn tích vơ i=1 hướng tích vơ hướng tắc Rn − − Định nghĩa 1.2 Chuẩn hay độ dài vector → α ∈ E đại lượng |→ α| = √→ − → − → − → − α α Nếu | α | = α gọi vector định chuẩn Khái niệm chuẩn mở rộng khái niệm độ dài thông thường lên không gian nhiều chiều √ − − Ví dụ 1.2 Với vector → α = (a1 , , an ) ∈ Rn ta có |→ α | = a1 + + an Dễ thấy chuẩn vector có tính chất sau → − → − − − − − − (1) |→ α | ≥ ∀→ α ∈ E ; |→ α|→ α = → α = − − − (2) |c→ α | = |c| |→ α | ∀c ∈ R; ∀→ α ∈E → − → − α → − − vector định chuẩn vector → α = (3) β = → − |α| Chuẩn vector thỏa mãn bất đẳng thức quen thuộc hình học Hai bất đẳng thức sau sử dụng rộng rãi ví dụ ứng dụng tích vơ hướng → − → − − − |→ α ± β | ≤ |→ α | + | β | (bất đẳng thức tam giác) → − → − − − |→ α β | ≤ |→ α |.| β | (bất đẳng thức Schwarz) → − → − → − − − Định nghĩa 1.3 Với vector → α , β = E ta gọi góc → α , β góc ϕ với ≤ ϕ ≤ π cho → − → − α.β cos ϕ = → − − |→ α |.| β| Khái niệm phù hợp với khái niệm góc thơng thường hình học Kết → − → − − − sau gọi Định lý cosin: Nếu ϕ góc hai vector → α , β → α ± β = → − → − − − |→ α | + β ±2 |→ α | · β · cos ϕ Định nghĩa 1.4 Giả sử S1 S2 hai tập hợp vector E Ta gọi S1 trực → − → − − − giao với S2 → α β = với vector → α ∈ S1 , β ∈ S2 → − → − − Do tính đối xứng tích vô hướng nên → α β trực giao với β → − − − → α trực giao với Ta có định lý mở rộng Định lý Pitago: Nếu → α, β → − → − − − hai vector trực giao |→ α + β |2 = |→ α |2 + | β |2 ... để trình bày ứng dụng tích vơ hướng giải tốn Hình học phẳng, Hình học khơng gian tốn Đại số • Chương Tích giả vơ hướng tích có hướng, giới thiệu phép tốn " tích giả vơ hướng" , ứng dụng phép tốn... thức nhờ tích vơ hướng 1.4 Tích vơ hướng Hình học không gian 1.4.1 Chứng minh tính vng góc khơng gian 1.4.2 Tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích 1.5 Ứng dụng tích vơ hướng giải... 2.1.3 Biểu diễn số kiện hình học theo tích giả vơ hướng 2.1.4 Ứng dụng vào diện tích đại số 2.1.5 Các ví dụ ứng dụng Tích có hướng hai vector