document

SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG MONCH ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN TRUNG TÍNH CĨ HIỆU ỨNG XUNG APPLY MONCH FIXED POINT THEORY TO STUDY THE SOLVABILITY FOR A CLASS OF IMPULSIVE NEUTRAL STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS Lâm Trần Phương Thủy TÓM TẮT Trong báo này, tác giả sử dụng độ đo khơng compact Hausdorff định lí điểm bất động Monch để chứng minh tồn nghiệm tích phân lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính có hiệu ứng xung chuyển động Brown bậc phân số (fBm) với nửa nhóm khơng compact khơng gian Hilbert Từ khóa: Sự tồn nghiệm, chuyển động Brown bậc phân số, định lí điểm bất động Monch ABSTRACT In this paper, author use the Hausdorff measure of noncompactness and the Monch fixed point theorem to prove the existence of mild solutions for a class of impulsive neutral stochastic differential equations driven by a fractional Brownian motion (fBm) with noncompact semigroup in Hilbert spaces Keywords: The existence, fractional Brownian motion, Monch fixed point theorem ĐẶT VẤN ĐỀ Gần đây, vấn đề nghiên cứu liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên với fBm nhiều tác giả nghiên cứu, xem [1, 3, 6] tài liệu tham khảo Tuy nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính với hiệu ứng xung điều khiển fBm với nửa nhóm khơng compact khơng gian Hilbert chưa nghiên cứu nhiều Vì vậy, báo nghiên cứu tồn nghiệm tích phân lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Hilbert X; BHQ fBm với tham số Hurst H  (1 / 2, 1) ; g, f : J    X hàm thích hợp xác định sau; Ở Ik : T  X(k  1, 2, , m) hàm bị chặn thời gian cố định tk thỏa mãn  t0  t1   tk   tm  T , x(tk ) x(tk ) giới hạn bên phải bên trái x(t) thời điểm tk x (tk )  x (tk )  x (tk ) bước nhảy hàm trạng thái x thời điểm tk, Ik xác định kích thước bước nhảy thứ k; hàm trễ x t :    định nghĩa x t ()  x (t  ) với t  thuộc không gian pha  định nghĩa sau; kiện đầu   {( t ) :   t  0} hàm 0 - đo  - trình ngẫu nhiên độc lập với fBm BHQ Trường Đại học Điện lực Email: thuyltp@epu.edu.vn Ngày nhận bài: 20/02/2021 Ngày nhận sửa sau phản biện: 26/3/2021 Ngày chấp nhận đăng: 25/4/2021  d[x(t)  g( t, x t )]  [Ax(t)  f(t , x t )]dt    (t)dB HQ (t), t  J  [0 , T ], t  t k ,     x(t k )  Ik (x t k ),k  1, , ,m ,   x (t )  (t )  L (  ,  ), a.e t  (  , 0],   đó, A tốn tử sinh nửa nhóm giải tích ( T (t)) t 0 tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Các phần báo trình bày sau: Phần 2, ta cung cấp số ký hiệu khái niệm cần thiết; Phần 3, ta thiết lập số điều kiện đủ đảm bảo tồn nghiệm tích phân hệ (1) với tham số Hurst H  (1 / 2, 1) ; cuối Phần kết luận kết đạt báo KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho X Y hai không gian Hilbert thực tách L(X, Y) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn từ Y đến X Để thuận tiện, ta sử dụng chung kí hiệu ‖‖  chuẩn không gian X, Y L(X, Y) Giả sử ( ,  ,  ) không gian xác suất đầy đủ Kí hiệu  () tốn tử kì vọng tốn tương ứng với xác suất  Tốn tử khơng âm, tự liên hợp kí hiệu Q  L ( Y , Y ) L0Q không gian hàm   L ( Y , X ) cho Q1/ toán tử Hilbert-Schmidt với (1) chuẩn định nghĩa |  |L20 ( Y ,X ) | Q 2 Q |HS  tr ( Q* ) Vol 57 - No (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 135 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Khi đó, γ gọi tốn tử Q-Hilbert-Schmidt từ Y vào X Chúng ta nhắc lại số kiến thức fBm tích phân Wiener fBm Xét khoảng thời gian [0, T] với T tùy ý cho {BH (t), t  J} chuyển động Brown phân số chiều với tham số Hurst H  ( 0, 1) Điều có nghĩa BH q trình trung tâm Gauss liên tục với hàm hiệp phương sai: RH(t,s)  [ (t) (s)]  (| t |2H  | s |2H  | t  s |2H ), t, s   Xét trình Wiener   { ( t ), t  [ , T ]} định nghĩa H H  ( t)  B H ((K *H )1I[0,t ] ) với toán tử hiệp phương sai Q Chẳng hạn, {n }n dãy số thực không âm bị chặn cho Qun  nun , giả sử  Q toán tử hạch Y (cụ thể phân Wiener sau: B (t)  K H ( t, s)d (s)   (n ) BHn (t)un , t  0, n1 định nghĩa Q - hình trụ fBm nhận giá trị Y Cho  :[0, T ]  L0Q (Y, X) cho  ‖K *H (Q un )‖L2 ([0,T ];X)    H s2 H  (  s)  (2  2H, H  ) H  d, t trị L0Q (Y, X) Khi đó, tích phân Wiener φ tương  s, ứng với BHQ định nghĩa  hàm Beta  t  (s)dBHQ (s)  K H (t, s)  cH t s  (K *H ((K *H (Q un ))(s)dW (s), t  Lưu ý  Xét toán tử tuyến tính K *H :   L2 ([0, b]) , cho s (s)Q undHn n1 H t H ( ) ( t  s)  ( s ) t  t  t  n1 Dễ thấy  ‖Q un‖L1/H ([0,b];X)  , (3) n1 K H (t, s) dt t (2) thỏa mãn, điều suy từ L1/H ([0, b])  L2 ([0, b]) Ta có Bổ đề 2.1 ([4]) Với  :[0, b]  L0Q (Y, X) cho (5) (K *H[0, t ] )(s)  K H (t, s)* [0,t ] (s) K *H đẳng cự Φ L2 ([0, b]) mở rộng đến không gian  thỏa mãn, với  ,   [ 0, b ] với    , |    Giả sử dãy hai mặt fBm chiều {BHn (t)}n độc lập ( ,  ,  ) xét chuỗi sau (s)dBHQ (s) |2X   cH(2H  1)(  )2H1  n1  H n ( t )un , t     Ở {un }n sở trực chuẩn đầy đủ Y Chuỗi không thiết hội tụ không gian Y Xét trình ngẫu nhiên nhận giá trị Y, BHQ ( t) xác định    n1 n1 |      n BHn (t)un , t  n1 (s)dBHQ (s) |2X  cH(2H  1)(  )2H1    |(s) |L0 (Y,X) ds Q Trong báo này, ta định nghĩa không gian pha  Giả sử  : (  , ]  ( 0,  ) hàm liên tục với Chuỗi hội tụ Y Q thuộc lớp tốn tử vết khơng âm tự liên hợp Rõ ràng, ta có BHQ  L2 (, Y ) Tại l thời điểm đó, BHQ ( t) Q - hình trụ fBm nhận giá trị Y   ) sau Banach ( ,‖‖ 136 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ● Tập 57 - Số (4/2021)  |(t)Q un |X hội tụ với t  [ , b ] ,  BHn (t)Q1/ 2un |(s)Q un |2X ds  c = c(H) Nếu, thêm nữa, n1 BHQ (t) (2) n1 Định nghĩa 2.1 Cho ( s), s  [0, T ] hàm số nhận giá t H(2H  1) (K *H)(s)   BHn (t)Q un  n1 Ở nhân s với cH   BHQ (t)  K H (t, s) cho K H ( t , s )  cH   ), q trình ngẫu nhiên Khi đó, B có biểu diễn tích t n n1 H H    (t)dt   Với   , ta định nghĩa không gian Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619   { : (, 0]  X : (‖()‖2 )1/ hàm bị chặn [, 0]   (s) sup (‖()‖2 )1/2 ds  } s0   (4) (B  D)  (B)  (D) , với B  D  {x  y; x  B, y  D} ; (s) sup ( ‖()‖2 )1/2 ds (5)  (B  D )  max{ (B),  (D )} ; s  Và ta xét không gian (6)  (  B) |  |  (B ) , với số thực λ; T  {x : (, T]  X : xk  C(Jk , X), k  0,1, , m, x(tk ), x(tk ) x (tk )  x (tk ), k  0,1, , m, x    L2 (,  ) với (  , ]}  T nửa chuẩn T định nghĩa Kí hiệu ‖‖ t   ( W ( t )) liên tục [0,T], sJ Bổ đề 2.2 ([5]) Giả sử x  T , với t  J, x t   Hơn l(‖x(s)‖2 )1/2 ‖x t‖ ‖x0‖ lsup( ‖x(s)‖2 )1/2 ,x  T sJ với l    (7) Nếu W  C ([ 0, T ]) tập bị chặn, (W(t))  (W) với t  [0, T ] , với W(t)  {u(t) : u  W  Y} Hơn nữa, W đồng liên tục $[0,T]$ t  W ( t ) liên tục [0,T],  ( W )  sup{W ( t ) : t  [ 0, T ]} ; (8) Nếu W  C ([ 0, T ]; X ) bị chặn đồng liên tục, ‖x‖T ‖x 0‖  sup( ‖x(s)‖2 )1/2 ,x  T (2) (B)  (B )  (convB) , với B convB tương ứng bao đóng bao lồi B; (3)  (B )   (D ) B  D ; với chuẩn ‖‖  (1) B compact yếu α(B) = 0;    với t Tiếp theo, cho A : D (A )  X (D(A): miền xác định toán tử A) tốn tử sinh nửa nhóm giải tích tốn tử tuyến tính bị chặn ( T (t)) t 0 X Giả sử tồn số M  số thực μ cho ‖T (t)‖ Met , với t  ta giả thiết ( T (t)) t 0 bị chặn nửa nhóm giải tích cho   ( A ) Ở δ(A) tập giải A Khi đó, ta định nghĩa (-A)α với    , tốn tử tuyến tính đóng với miền xác định D(-A)α tương ứng với chuẩn ‖‖   Kí hiệu Xα (    ) khơng   , ta có bổ đề sau gian D(-A) với chuẩn ‖‖ α Bổ đề 2.3 [8] Giả sử có giả thiết  t  W (s)ds   u(s)ds : u  W  ; 0    t  ˆ (t) hầu khắp t  J n  , ‖un (t)‖ m ˆ (t)  L ( J,   ) , hàm  (t)  ({un }n1 )  L( J,   ) m thỏa mãn  t     un (s)ds : n  1      t (2) Nếu     , phép nhúng X   X  liên tục M e t , t  0,   t Tiếp theo, giới thiệu độ đo không compact Hausdorff α(.) định nghĩa tập bị chặn B không gian Banach X xác định (B)  inf{  0;B có  lưới hữu hạn X Một số tính chất liệt kê Bổ đề sau Bổ đề 2.4 ([2]) Cho X không gian Banach thực B, D  X tập bị chặn; tính chất sau thỏa mãn:  (s)ds Bổ đề 2.5 Nếu W  C([0, t]; L02 ( V , X)),  q trình Winer, (1) Nếu    , Xα khơng gian Banach (3) Tồn số Mα > cho với    , ta có t Với độ đo số hạng tích phân ngẫu nhiên, ta có Bổ đề sau Đây Bổ đề quan trọng để chứng minh kết nghiên cứu    Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn (9) Cho {un }1 dãy hàm khả tích Bochner từ J tới Y với (s)ds ‖(A) T (t )‖ t   W(s)ds    (W(s))ds với t [0, T] ,   W(s)d(s)   t t 0 T (W (t)) ,  W(s)d(s)   u(s)d(s) : với u  W, t [0, T] Bổ đề 2.6 Giả sử D tập lồi đóng X,  D Nếu ánh xạ  : D  X liên tục thuộc kiểu Monch nghĩa là, Φ thỏa mãn M  D, M đếm được, M  co {0}  (M)   M compact, Φ có điểm bất động D SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Trong phần này, trình bày chứng minh tồn nghiệm tích phân (1) Trước tiên cần đưa khái niệm nghiệm tích phân tốn nêu Vol 57 - No (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 137 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Định nghĩa 3.1 X - trình ngẫu nhiên {x ( t ), t  (  , T ]} gọi nghiệm tích phân (1), (i) x(t) đo được, t - tương thích; (ii) Tồn hàm liên tục mf : J    hàm liên tục, ‖f (t, x )‖  mf (t) f ‖ ( x‖2  t s (  ,0] (H5) Hàm liên tục Ik : T  X , thỏa mãn tk H Q ‖T (t)‖ M (A)1‖T (t)‖  : J  L0Q ( V , X) M1 1 t thỏa mãn 1/ Định lí 3.1 Nếu giả thiết (H1)-(H6) thỏa mãn hệ (1) có nghiệm tích phân (  , T ] với un‖X ) hội tụ với t  J n1 ‖(A )‖Q*  (H3) Hàm g : J    X thỏa mãn (i) g hàm liên tục tồn số    1, L g  , cho hàm g nhận giá trị X thỏa mãn ‖(A ) g(t, x)  (A) g(t, y )‖2  L g‖x  y‖2 , ‖(A)  g(t, x )‖  L g (1‖x‖2 chặn Q3  T  un‖L2 ([0, T ];X )  ,  ‖Q (ii) Tồn lk  0, k  1, 2, , m cho với tập bị L n1 (iii) ‖Ik (x )  Ik (y )‖2  Lk ‖x  y‖2T ‖Ik (0)‖ m   M12 T2  2  l2 24 ‖(A) ‖ Lg  Lg  M m   k 2  k 1 (H6)   t  ( )  6TM2 mf (s)ds lim sup f     Q 1/  (  ,0] ‖(s)‖L20 ds  , t  J , ‖Q k (Ik (Q3 ))  lk sup (Q3 ( ))  (ii) L , t  J t m k 1 Trong phần tiếp theo, sử dụng giả thiết sau: (H1) A toán tử sinh nửa nhóm giải tích ( T (t)) t 0 tốn tử tuyến tính bị chặn X, thỏa mãn  ( A ) Từ Bổ đề 2.3, tồn số M, M1 cho  (i) Tồn Lk  0, k  1, 2, , m cho với x, y  T s t  tk  t (i) ) (f(t,x))  lf (t) sup (Q2 ( )) t  AT(t  s)g(s, x )ds   T(t  s)f (s, x )ds   T (t  t )I (x )   T (t  s)(s)dB (s) (H2) Hàm cho tập bị chặn Q2   : x (t)  T (t)[(0)  g(0, (0))]  g(t, x t ) k k (iii) Tồn hàm dương lf  L1( J,   ) cho, với (iii) Với  t  T , x ( t ) thỏa mãn đẳng thức tích phân sau:  f :    ( 0,  ) giảm (ii) Với t  (  , ], x ( t )  ( t ) ;  không ), với x, y   t  J (ii) Tồn hàm dương lg  L1( J,   ) , cho với tập bị chặn Q1   thỏa mãn (( A) g(t,Q1 ))  lg (t) sup (Q1()),Q*  suplg (t) (  ,0] tJ (H4) Hàm f : J    X thỏa mãn (i) Với x   , f (, x ) : J  X đo với t  J , f (t, ) :   X liên tục 138 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 57 - Số (4/2021) M1 T   ‖lg‖L1 ( J,  ) (4) m l MT‖lf ‖L1( J,   ) M k  n1 Chứng minh Xét toán tử  : T  T định nghĩa      x(t)        (t), t  (, 0] T(t)[(0)  g(0, (0))]  g(t, xt ) t t   T(t  s)f(s, x )ds   T(t  t )I (x )   T(t  s)(s)dB (s), t  J  AT(t  s)g(s, xs )ds  k k 0tk t tk t (5) s H Q Để chứng minh tồn nghiệm tích phân (1), ta cần chứng minh  có điểm bất động Xét T0  {y : y  T , y  0} , với y  T0 , định nghĩa chuẩn Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 ‖y‖ ‖y 0‖  sup( ‖y(s)‖2 )1/2  sup( ‖y(s)‖2 )1/2 T sJ (T0 ,‖‖  0 T Khi đó, sJ r > 0, xét bị chặn T0 (6)  T0 sử ngược lại  (Br )  Br , với số thực dương r r r, tồn hàm y  Br (y )   Br , điều suy tồn t  t(r )  J, ‖(y )(t)‖  r Thực tế, ta có r  ‖(yr )(t)‖2  6‖T (t)[g(0, (0))]‖2 t  6‖ T (t  s)f (s, y s  ˆ s )ds‖2 (8)  ˆ tk )‖2  tk  t t  6‖ T (t  s)(s)dBHQ (s)‖2 : i J1  6‖T(t)[g(0, (0))]‖  6M ‖(A)  ‖ Lg (1‖‖2 ) J2  ‖g( t, yrt  ˆ t )‖2  6‖( A ) ‖2 L g (1 r ) J3  ‖ ( A )  6  M1 T 2 2  t (14) (9) (10) (11) Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn m   M12 T 2 Ji  ‖( A)‖2 Lg  Lg  M2m Lk  2   i1 k 1   r    6M2‖(A)‖2 Lg (1‖‖2 )  6‖( A)‖2 Lg 6 M12 T 2 2   6TM2 Lg  6cM H(2H  1)T 2H (15) sup ‖(s)‖L20 Q 0s  T t  m (s) (r)ds f f Chia hai vế (15) cho r cho r   , biết 4l2 (r  M2 | (0)|2 )  4‖ˆ‖2  r  lim  4l2 r  r r  r Ta có lim m   M12 T 2  2   l2 24 ‖( A) ‖ L g  Lg  M m  2  k 1 k    t  (  ) 6TM2 mf (s)ds lim sup f     Điều mâu thuẫn với (H6) Do đó, tồn số thực dương r cho  (Br )  Br L Bước 2: Toán tử Φ liên tục Br Điều suy từ tính liên tục hàm g, f hàm Ik định lí hội tụ trội Lebesgue Với  t1  t2  T , t1, t2  J y  Br nhờ giả thiết trên, ta có ‖y (t2 )  y (t1)‖2  6(Q* )2 ‖T (t2 )  T (t1 )‖2 6 ‖g( t , y t2  ˆ t2  g( t1, y t1  ˆ t1 )‖ T ( t  s)( A ) g(s, y s  ˆ s )ds‖2  L g (1  r ) Q Dễ thấy hàm { y : y  Br }, t  đồng liên tục Sử dụng Bổ đề 2.1 giả thuyết (H1)-(H5) ta có 1 k k 1 Bước 3: Toán tử  (Br ) đồng liên tục J J i1 t L r (13)  t  ˆ t )‖2  6‖ AT(t  s)g(s, y s  ˆ s )ds‖2  Từ bất đẳng thức (9)-(14), suy Bước 1: Tồn số thực dương r cho  (Br )  Br Giả tk m T (t  tk )Ik (y tk  ˆtk )‖2  6M2m 0s T  : T0   k k f  6cM2H(2H  1)T 2H sup ‖(s)‖L20    f J6  ‖ T(t  s)(s)dBHQ (s)‖2 T (t)(0), t  J   6‖  T (t  t )I (y  m (s) (r)ds (t), t  (, 0] r (12) t  tk  t t  (, 0]  0,  ˆ  T(t)[g(0, (0))]  g(t, yt t )  t t   AT(t  s)g(s, ys ˆ s )ds  T(t  s)f (s, ys ˆ s )ds (7) y(t)   0 t  T(t  tk )Ik (ytk ˆ tk )  T(t  s)(s)dBHQ (s), t  J   0tk t   Rõ ràng, việc chứng minh tốn tử  có điểm bất động tương đương với việc chứng minh tốn tử Φ có điểm bất động Để dễ đọc hơn, tác giả chia chứng minh thành bước sau   6TM J5  6‖ Với y  Br , ta có Bây ta định nghĩa tốn tử  6‖g(t, yrt  r} , Br tập lồi đóng ‖y t  ˆ t‖2  4l2 (r  M2 | (0) |2 )  4‖ˆ‖2 : r   với ˆ (t)     ) không gian Banach Với Br  {y  T0 ‖ : y‖2 T t J4  ‖ T (t  s)f (s, y s  ˆ s )ds‖2 t 12‖ (A)1 [T(t2  s)  T(t1  s)](A) g(s, ys  ˆ s )ds‖2  12‖  t2 t1 AT (t2  s)g(s, y s  ˆ s )ds‖2 Vol 57 - No (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 139 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ t1 12‖  12‖  t2 t1 P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 [ T (t  s)  T (t1  s)] f (s, y s  ˆ s )ds‖2 T (t2  s)f (s, y s  ˆ s )ds‖2 m 6 ‖  [ T (t  tk )  T (t1  tk )] Ik ( y tk  ˆ tk )‖2 k 1 12‖  12‖ t1  t2 t1 [ T (t2  s)  T (t1  s) ] (s)dBHQ (s)‖2 T (t2  s)(s)dBHQ (s)‖2  t2  t1 Suy { y : y  Br } tập đồng liên tục J Bước 4: Ta kiểm tra điều kiên Monch thỏa mãn Xét tập khác rỗng, bị chặn W*  T0 y1, y  W* ˆ y (t),  ˆ y ( t)) Ta có: d(y1 (t), y (t))  d( ˆ y (t)), y  W* suy (y (t))  ( Cho D  Br tập đếm D  co({0}  (D)) Bây giờ, ta chứng minh  (D )  Không tính tổng quát, ta giả sử D  {yn }n1 Nhờ Bước ta TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Arthi, J H Park, H Jung, 2016 Existence and exponential stability for neutral stochastic integrodifferential equations with impulses driven by a fractional brownian motion Commun Nonlinear Sci Numer Simul 32, 145-157 [2] J Banas, K Goebel, 1980 Measure of Noncompactness in Banach spaces Marcel Dekker, New York [3] B Boufoussi, S Hajji, 2012 Neutral stochastic functional differential equations driven by a fractional brownian motion in a hilbert space Stat.Probab Lett 82, 1549-1558 [4] T Caraballo, M Garrido-Atienza, T Taniguchi, 2011 The existence and exponential behavior of solutions to stochastic delay evolution equations with a fractional brownian motion Nonlinear Anal 67, 3671-3684 [5] Y.K Chang, 2007 Controllability of impulsive functional differential systems with infinite delay in banach spaces Chaos Soliton Fract 33, 1601-1609 [6] J Cui, Z Wang, 2016 Nonlocal stochastic integro-differential equations driven by fractional brownian motion Adv Differ Equ 115 [7] Y Mishura, 2008 Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes In: Lecture Notes in Mathematics,1929; Springer-Verlag [8] A Pazy, 1992 Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations Spring Verlag, New York thấy AUTHOR INFORMATION D  co({0}  (D)) đồng liên tục J Theo Bổ đề 2.4 giả thiết trên, ta có ˆ {yn (t)} ) ({y n (t)}n1)  ( n1 Lam Tran Phuong Thuy Electric Power University   M T ‖(A) ‖Q*  1 ‖lg‖L1 ( J,  )     n    ({y (t)}n1 ) m  MT‖l ‖  lk f L1 ( J,   ) M   n1     M*({y n (t)}n1), với M* ‖(A) ‖Q*  M1 T  ‖lg‖L1( J, ) m l  MT‖lf ‖L1( J,  ) M k 1 n1 Do đó, suy (D)  (co({0}  (D)))  M*(D) Điều chứng tỏ α(D) = 0, D tập compact tương đối Nhờ Bổ đề 2.6, ta thấy Φ có điểm bất động D Định lí chứng minh KẾT LUẬN Kết báo sử dụng kiến thức liên quan đến giải tích ngẫu nhiên, độ đo khơng compact ngun lí điểm bất động Monch để chứng minh tồn nghiệm tích phân tốn (1) 140 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 57 - Số (4/2021) Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn