Cùng lúc lấy bi ra khỏi hộp theo nguyên tắc: ngày thứ nhất 1 viên bi; ngày thứ hai 1 viên bi; từ ngày thứ ba trở đi a mỗi ngày lấy ra số bi bằng tổng hai ngày trước đó.. viên bi viên bi.[r]
(1)ĐỀ THI LẦN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn thi : GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Lớp : Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Họ và tên học sinh: …………………………………………………….Lớp: …………… Chú ý : − Đề thi gồm trang, thí sinh làm bài trực tiếp vào đề thi này và ghi đáp số vào ô kết − Các kết tính toán gần đúng; không có định cụ thể, thì ngầm hiểu là chính xác tới chữ số thập phân – Thí sinh sử dụng các loại máy CASIO Fx-500A, Fx-500.MS, Fx-570.MS, Fx-500.ES, Fx-570.ES Bài : (2,0 điểm) Kết quả: a) Cho biết: 2009 2009 2009 a a) Các ước nguyên tố a là: 0, 20092009 0, 020092009 0, 0020092009 Hãy tìm tất các ước nguyên tố số a (Chú ý: 0, 20092009 ; 0, 020092009 ; 0, 0020092009 là các số thập phân vô hạn tuần hoàn) b) Cho S1 49 ; S S1 169 ; S3 S1 S 529 ; b) S15 S S1 S S3 1369 ; S5 S1 S S3 S 3025 ; … S 25 Hãy tính S15 ; S25 Bài : (2,0 điểm) Tìm bốn chữ số tận cùng số S, biết rằng: 10 11 12 13 14 S 1 10 11 12 13 Kết quả: Bốn chữ số tận cùng S là: Bài 3: (2,0 điểm) Một người mua nhà trị giá 300.000.000 đồng (ba trăm Kết quả: triệu đồng) theo phương thức trả góp Mỗi tháng trả Thời gian trả hết số tiền là: 5.000.000 đồng (năm triệu đồng) Nếu phải chịu lãi tháng suất số tiền chưa trả là 0,5%/tháng và tháng tháng thứ hai trả 5.000.000 đồng thì sau bao lâu trả hết số tiền trên? Bài 4: (2,0 điểm) Kết quả: Cho dãy số thứ tự u1 , u2 , u3 , , un , un 1 , ; biết u u8 2346 , u9 4650 và un 1 3un 2un (với n 2 ) u20 Hãy tính u1 , u2 , u20 , u29 u29 Bài 5: (2,0 điểm) 2010 2009 Kết quả: Cho đa thức P ( x ) x x 11 Tìm phần dư Phần dư là: x 1 P ( x ) phép chia đa thức cho Bài : (2,0 điểm) ; u2 (2) Cho phương trình: 1 x 1 x x 2 x 3 x 3 x4 11 x 2009 x 2010 a) Tìm nghiệm gần đúng phương trình b) Tìm nghiệm đúng phương trình (kết ghi dạng hỗn số) Kết quả: a) x b) x Baøi : (2,0 ñieåm) Một người bỏ bi vào hộp theo quy tắc: ngày thứ Kết quả: viên bi; ngày thứ hai viên bi; ngày thứ ba viên bi; ngày thứ tư viên bi; … (ngày sau bỏ gấp đôi ngày trước đó) Cùng lúc lấy bi khỏi hộp theo nguyên tắc: ngày thứ viên bi; ngày thứ hai viên bi; từ ngày thứ ba trở a) ngày lấy số bi tổng hai ngày trước đó Tính số bi có hộp sau: b) a) 10 ngày b) 20 ngày viên bi viên bi Bài : (2,0 điểm) Biết ngày 01/01/2009 là ngày thứ tuần Kết quả: Ngày 01/01/2019 là ngày Cho biết ngày 01/01/2019 là ngày thứ tuần ? Bài : (2,0 điểm) Trong hình sau, ABCD là hình vuông có cạnh Kết quả: Diện tích phần tô đậm là: 11,2009 cm; M là trung điểm cạnh AB Tính diện tích phần tô đậm A M B E D C Bài 10 : (2,0 điểm) · Cho tam giác ABC có BAC 65 ; AB 3,987 cm; AC 6,321 cm a) Tính diện tích S tam giác ABC Kết quả: a) S b) Vẽ phân giác AD tam giác ABC (D BC) b) AD Tính AD Hết - (3) ĐÁP ÁN LẦN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP A) ĐÁP SỐ VÀ BIỂU ĐIỂM : Bài a) Các ước nguyên tố a là: 3; 11; 37; 101 b) S15 12131800 ; S25 12498724360 điểm điểm Bốn chữ số tận cùng S là: 8687 điểm 72 tháng điểm u1 60 u2 78 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài : Bài : Bài : u20 9437226 u29 4831838250 Bài : Phần dư là: x 12 điểm a) x 7363, 76033 92 x 7363 121 b) điểm a) 880 viên bi b) 1030865 viên bi điểm điểm Bài : điểm Bài : Bài : Ngày 01/01/2019 là ngày thứ ba 2,0 ñieåm Diện tích hình tô đậm là: 31,36504 (cm2) 2,0 ñieåm Bài : Bài 10 : a) S 11, 42031 (cm2) b) AD 4,12398 (cm) điểm điểm B) HƯỚNG DẪN CHẤM : Điểm số có thể chia nhỏ cho ý, tổ chấm thảo luận Tổng điểm toàn bài không làm tròn Hết (4) LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1: a) Ta có: 0, 20092009 2009 2009 2009 0, 020092009 0, 0020092009 9999 ; 99990 ; 999900 Ta tính a 1109889 3 11.37.101 b) Ta có: S1 2.12 S2 S1 2.22 S3 S1 S 2.32 S4 S1 S S3 2.42 5 S5 S1 S S3 S 2.52 …………………………… S n S1 S S3 S n 2.n Ghi vào màn hình biểu thức: X X 1: B B A : A B X Ấn CALC (nhập X 0 ) , ấn tiếp = (nhập B 0 ) ấn tiếp = (nhập A 0 ) Ấn = …; ta tính các giá trị S n (giá trị biến A ) = ĐS: S15 12131800 ; S25 12498724360 Bài 2: * Cách 1: (sử dụng máy tính VINACAL Vn-570MS, tính trực tiếp) Gán A 0 Gán X , gán tiếp X X Ghi vào màn hình dòng lệnh: X X : A A X ^ X 1 Ấn = = X 13 Ấn tiếp = , kết 4,047611647x1015 Ấn tiếp 047611 EXP 15 = , kết 646518687 Vậy S = A 4047611646518687 * Cách 2: Dùng đồng dư thức 10 11 Ta có: S10 1 10 103627063605 S10 3605 mod10 (1) 11 1561 mod10 11 12 5984 mod10 12 6 4 15612 mod10 1112 6721 mod10 8256 mod10 12 13 9072 mod10 (2) (3) (5) 137 8517 mod104 137 8517 mod10 1314 9289 mod10 Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: S10 1112 123 134 8687 mod104 (4) Vậy bốn chữ số tận cùng S là 8687 Bài 3: Gọi a là số tiền nợ ban đầu; b là số tiền trả tháng, r là lãi suất/tháng Đặt k 1 r Ta có: +) Sau tháng thứ nhất, số tiền còn nợ là: k1 A1 a(1 r ) b ak b ak b k1 +) Sau tháng thứ hai, số tiền còn nợ là: k2 A2 (ak b)(1 r ) b ak b k1 +) Sau tháng thứ ba, số tiền còn nợ là: k3 A3 (ak b)(1 r ) b (1 r ) ak b k1 ……………………………………………………… +) Sau tháng thứ n , số tiền còn nợ là: kn An ak n b k1 A Để trả hết nợ thì n Áp dụng với a 300000000 đồng; b 5000000 đồng; r 0,5% /tháng; k 1 r 1, 005 Ta tính n 72 tháng * Ghi chú: không cần chứng minh công thức, có thể dùng máy tính thực sau: x Ấn 300 x10 = x Ghi vào màn hình biểu thức: Ans ( + 100 ) x10 Ấn = = … , đến kết nhỏ thì dừng (ấn 72 lần dấu = ) 3u u un 1 3un 2un un n n 1 Bài 4: +) Tính u1 , u2 : Gán B=2346; A=4650 Ấn ( ALPHA B ALPHA A ) SHIFT STO A Ấn tiếp ( ALPHA A ALPHA B ) SHIFT STO B Lặp lại dãy phím: V = ( V : phím mũi tên trên phím REPLAY) Kết quả: u1 60, u2 78 +) Tính u20 , u29 : Gán A=60; B=78 Ấn ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A Ấn tiếp ALPHA A ALPHA B SHIFT STO B Lặp lại dãy phím: V = ( V : phím mũi tên trên phím REPLAY) Kết quả: u20 9437226, u29 4831838250 2010 2009 Bài 5: P ( x) x x 11 (6) Giả sử P( x ) x 1 Q( x ) ax b P(1) a b 13 a b a 1 11 a b b 12 Vậy phần dư là: x 12 Suy ra: P( 1) a b 1 1 11 x x x x x x x 2009 x 2010 Bài 6: n 1 n n n n Với , ta có: (*) Áp dụng công thức (*), ta có: x x 1 x 1 x x 3 x 2 x 2 x 3 x x 3 x 3 x 4 …………………………………… x 2010 x 2009 x 2009 x 2010 x 2010 x 11 Khi đó: (6) x 2010 x 11 Điều kiện: x Bình phương hai vế (6.1), ta được: x 2010 x 121 22 x 22 x 1888 (6) (6.1) 944 944 944 x 1 x x 1 11 11 11 (thỏa điều kiện x ) 92 x 7363 7363, 76033 121 Vậy: * Ghi chú: Từ phương trình (6.1), ta dùng chức phím SHIFT SOLVE để tìm nghiệm gần đúng phương trình, ta kết x 7363, 76033 (ghi phương trình (6.1) vào máy, ấn SHIFT SOLVE , cho x giá trị tùy ý, ấn = , kq x 7363, 76033 ) Bài 7: +) Gọi An là tổng số viên bi bỏ vào hộp sau n ngày An 1 22 23 2n Ta có: n An 2 2 n n An n An An n An 2 Sau 10 ngày, tổng số bi bỏ vào hộp là: A10 210 1023 20 Sau 20 ngày, tổng số bi bỏ vào hộp là: A20 2 1048575 +) Gọi u1 ; u2 ; u3 ; ; un theo thứ tự là số viên bi lấy ngày thứ nhất, ngày thứ hai, ngày thứ ba, …, ngày thứ n (7) Ta có: u1 1; u2 1; un un un ; với n 3 (đây chính là dãy số Fibonacci) +) Gọi S n là tổng số viên bi lấy đến ngày thứ n Ta có: S n u1 u2 u3 un Quy trình ấn phím tính S n : Ghi vào màn hình biểu thức lặp: X X 1: B B A 1: X X 1: A A B Ấn CALC (nhập X 2 ) = (nhập B 1 ) = (nhập A 2 ) Ấn = = … ta tính S n S 20 17710 Kết quả: S10 143 ; +) Vậy kết cần tìm là: a) A10 S10 880 b) A20 S20 1030865 Bài 8: Từ 01/01/2009 đến 01/01/2019 có tất là: 365.8 366.2 3652 ngày Ta có: 3652 5(mod 7) Vì ngày 01/01/2009 là ngày Thứ Năm nên ngày 01/01/2019 là ngày Thứ Ba Bài 9: A M B E D C Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD Ta có: SDECM SABCD 2SADM SDEC a a a2 a a 2 11, 20092 SDECM 31,36504 Áp dúng: với a 11, 2009 ; ta tính được: (cm2) Bài 10: a) Ký hiệu: c AB 3,987 b AC 6,321 1 S ABC BK AC AB AC sin A 2 S= bc sin 650 11, 42031 b) Kẻ AH BC, H BC 0 BK c.sin 65 ; AK c.cos65 B Suy ra: KC = AC AK b c.cos65 BK KC a BC D c A c.sin 65 b c.cos65 H K C (8) 1 BK.AC bc sin 650 AH BC AH a S= AH.BC = BK.AC AHC vuông H, có: AH cosHAC= · AC tìm HAC µ A 650 ·HAD=HAC · · HAC 2 Suy ra: AHD vuông H, có: AH AH cosHAD= AD= 4,12398 AD cosHAD * Ghi chú: có thể sử dụng công thức tính độ dài đường phân giác AD ABC để tính a b c bcp( p a) p AD b c , với (9)