Đang tải... (xem toàn văn)
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc t[r]
(1)Bài tập phần rút gọn Baøi : P = 14 14 x 2 x x 1 x x x x Q= 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : 2) Cho biÓu thøc : a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để | Q | > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Híng dÉn : P = a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : Q = x −1 b) | Q | > - Q ⇔ x > c) x = { 2;3 } th× Q Z Baøi : Cho biÓu thøc P = x a) Rót gän biÓu thøc sau P x x x b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = Híng dÉn : x+ a) §KX§ : x > ; x BiÓu thøc rót gän : P = 1−x √2 b) Víi x = th× P = - – x √ x +1 x −1 − Baøi : Cho biÓu thøc : A = x−1 √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để | A | = A Híng dÉn : √x a) §KX§ : x 0, x BiÓu thøc rót gän : A = √x− 1 b) Víi x = th× A = - c) Víi x < th× A < d) Víi x > th× | A | = A 1 a 3 a Baøi : Cho biÓu thøc : A = a a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Xác định a để biểu thức A > Híng dÉn : (2) a) §KX§ : a > vµ a 9 BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi < a < th× biÓu thøc A > √a+ x x x 4x x x 1 x2 Baøi : Cho biÓu thøc: A= 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rót gän A 3) Với x Z ? để A Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ ± x +2003 b) BiÓu thøc rót gän : A = víi x ≠ ; x ≠ ± x c) x = - 2003 ; 2003 th× A Z x 2003 x x x x x 1 x x 1 : x x x x x A= Baøi : Cho biÓu thøc: a) Rót gän A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Híng dÉn : √ x+1 a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = √x− b) Víi < x < th× A < c) x = { ; } th× A Z x2 x x1 : x x x x 1 x Baøi : Cho biÓu thøc: A = a) Rót gän biÓu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A < Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ BiÓu thøc rót gän : A = x + √ x+ b) Ta xÐt hai trêng hîp : +) A > ⇔ > luôn đúng với x > ; x ≠ (1) x + √ x+1 +) A < ⇔ < ⇔ 2( x+ √ x +1 ) > ⇔ x+ √ x x + √ x+ (2) Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(®pcm) a 3 Baøi : Cho biÓu thøc: P = a a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = a1 a 2 a 4 a (a 0; a 4) Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a 4 BiÓu thøc rót gän : P = √a − b) Ta thÊy a = §KX§ Suy P = > đúng vì theo gt thì x > (3) a a a a a 1 a N= Baøi : Cho biÓu thøc: 1) Rót gän biÓu thøc N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Híng dÉn : a) §KX§ : a 0, a BiÓu thøc rót gän : N = – a b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ Suy N = 2005 Baøi 10 : Cho biÓu thøc P= x √ x+ 26 √ x −19 x x −3 − √ +√ x +2 √ x − √ x − √ x +3 a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P x=7 − √ c Với giá trị nào x thì P đạt giá trị nhỏ và tính giá trị nhỏ đó Híng dÉn : x+16 P= a ) §KX§ : x 0, x 1 BiÓu thøc rót gän : √ x+3 103+3 √ b) Ta thÊy x=7 − √ §KX§ Suy P= 22 c) Pmin=4 x=4 Baøi 11 : Cho biÓu thøc P= ( √2x√+3x + √√x +3x − 3xx+−93 ) :( 2√√xx−3−2 − 1) c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Híng dÉn : −3 a ) §KX§ : x 0, x 9 BiÓu thøc rót gän : P= √ x+3 b Víi ≤ x <9 th× P<− c Pmin= -1 x = a Rót gän P b Tìm x để a 1 a1 Bµi 12: Cho A= a Rót gän A b TÝnh A víi a = 4 P<− a1 a a a 1 a víi x>0 ,x 1 15 10 15 ( KQ : A= 4a ) x x 9 x x3 x 2 : x x x x x Bµi 13: Cho A= víi x 0 , x 9, x 4 a Rót gän A b x= ? Th× A < c Tìm x Z để A Z (KQ : A= x ) 15 x 11 x 2 x x x x x víi x 0 , x 1 Bµi 14: Cho A = (4) a b c Rót gän A T×m GTLN cña A Tìm x để A = 2 x d CMR : A (KQ: A = x ) x2 x 1 Bµi 15: Cho A = x x x x 1 x víi x 0 , x 1 a Rót gän A x x x 1 ) b T×m GTLN cña A ( KQ : A = Bµi 16: Cho A = x x x x x víi x 0 , x 1 a Rót gän A b CMR : A 1 ( KQ : A = x x x 1 ) x x 25 x x 3 x 5 : x 25 x x 15 x 5 x Bµi 17: Cho A = a Rót gän A b Tìm x Z để A Z ( KQ : A = x 3 ) a a a Bµi 18: Cho A = a Rót gän A b Tìm a để A < a a 1 a 3 a c Tìm a Z để A Z víi a 0 , a 9 , a 4 ( KQ : A = a 1 a 3) x x 7 x 2 x 2 x : x x 2 x x x Bµi 19: Cho A= víi x > , x 4 a Rót gän A x 9 b So s¸nh A víi A ( KQ : A = x ) 3 x y x y : x y y x Bµi20: Cho A = a Rót gän A x y xy x y víi x 0 , y 0, x y (5) xy ( KQ : A = x b CMR : A 0 xy y ) x x x x 1 x 1 x 1 x x x x x x x1 x 1 Bµi 21 : Cho A = a Rót gän A Víi x > , x 1 x x 1 b Tìm x để A = ( KQ : A = x x 2 : x x x x Bµi 22 : Cho A = a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A = x ) x x víi x > , x 4 x) 1 : Bµi 23 : Cho A= x x x x x víi x > , x 1 a Rót gän A b TÝnh A víi x = (KQ: A = x ) x 1 x4 : x x x 1 x Bµi 24 : Cho A= víi x 0 , x 1 a Rót gän A x b Tìm x Z để A Z (KQ: A = x ) x 2 : x 1 x x x x x x Bµi 25: Cho A= víi x 0 , x 1 a Rót gän A b Tìm x Z để A Z x1 c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A = x ) x x 3x x 1 : x 3 x x x víi x 0 , x 9 Bµi 26 : Cho A = a Rót gän A b Tìm x để A < - 3 ( KQ : A = a ) x 1 x x x x : x x x x Bµi 27 : Cho A = a Rót gän A x víi x 0 , x 1 (6) b TÝnh A víi x = c CMR : A 1 Bµi 28 : x 1 : x x x 1 Cho A = x x a Bµi 29 : (KQ: Rót gän A b.So s¸nh A víi (KQ: x A= x4 ) víi x > , x 1 x1 x ) A= x1 x x 2 : x 0, x x x x 1 x Víi Cho A = a Rót gän A b Tìm x để A = c Tìm x để A < x x ( KQ : A = x ) x x x x 1 x x x Bµi30 : Cho A = a Rót gän A b CMR nÕu < x < th× A > c TÝnh A x =3+2 víi x 0 , x 1 d T×m GTLN cña A (KQ: A = x (1 x ) ) x2 x x1 : x x x x 1 x Bµi 31 : Cho A = víi x 0 , x 1 a Rót gän A A = x x 1 ) Bµi 32 : b CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > , (KQ: x x 1 : x x x Cho A = víi x > , x 1, x 4 a Rót gän b Tìm x để A = x 1 x x x : x x x1 x 1 Bµi 33 : Cho A = víi x 0 , x 1 a Rót gän A b TÝnh A x= 0,36 c Tìm x Z để A Z (7) x x 3 x 2 x 2 : x x x x x Bµi 34 : Cho A= víi x 0 , x 9 , x 4 a Rót gän A b Tìm x Z để A Z c Tìm x để A < (KQ: A= x x 1 ) BAØI TAÄP PHAÀN HAØM SOÁ BAÄC NHAÁT Baøi : 1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b ¿ ⇔ 2=a+ b a=3 Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : − 4=−a+ b b=−1 ¿{ ¿{ ¿ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ Baøi : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < ⇔ m < 2) Do đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = ¿ y=− x+2 3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – là nghiệm hệ pt : y=2 x − ¿{ ¿ ⇔ (x;y) = (1;1) Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + và y = 2x – đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + −1 Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = Baøi : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Híng dÉn : 1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = - ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3 Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) (8) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có ¿ x =1 y 0=2 ¿{ ¿ y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔ Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định (1;2) Baøi4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB 2) Tìm các giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : ¿ 1=a+ b −1=2a+ b ¿{ ¿ ⇔ a=−2 b=3 ¿{ Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua ¿ m − m=−2 ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn : m2 − 2m+2=2 ⇔ m = ¿{ ¿ Vậy m = thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng thời qua ®iÓm C(0 ; 2) Baøi : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định Êy 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Híng dÉn : 1) m = 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn qua là M(x0 ;y0) Ta có y0 = (2m – 1)x0 + m - ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = ⇔ Vậy với m thì đồ thị luôn qua điểm cố định ( −1 −5 ) ; 2 Baứi : Tìm giá trị k để các đờng thẳng sau : 6 x 4x y= ;y= vµ y = kx + k + c¾t t¹i mét ®iÓm ¿ −1 x0 = −5 y 0= ¿{ ¿ Baứi : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) vµ B(-3; -1) (9) Baøi : Cho hµm sè : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đờng thẳng (D) : 1) §i qua ®iÓm A(1; 2003) 2) Song song với đờng thẳng x – y + = Chủ đề : Ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn A kiÕn thøc cÇn nhí : Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = Ph¬ng ph¸p gi¶i : + NÕu a ≠ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt : x = −a b + NÕu a = vµ b ≠ ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm + NÕu a = vµ b = ⇒ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm ¿ ax + by = c HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn : a'x + b'y =c' ¿{ ¿ Ph¬ng ph¸p gi¶i : Sö dông mét c¸c c¸ch sau : +) Ph¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét hai ph¬ng tr×nh rót mét Èn theo Èn , thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø ta đợc phơng trình bậc ẩn +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó hệ có hệ số đối nhau) - Trừ cộng vế với vế để khử ẩn đó - Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai B VÝ dô minh häa : VÝ dô : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y : x x a) §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - S = { } + =2 x-1 x+2 2x3 - b) =2 x + x +1 Gi¶i : §KX§ : x 3+ x +1 ≠ (*) −3 2x3 - Khi đó : = ⇔ 2x = - ⇔ x = x + x +1 −3 −3 −3 Víi ⇔ x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 −3 VËy x = lµ nghiÖm VÝ dô : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – = (1) + NÕu m th× (1) ⇔ x = - (m + 2) + NÕu m = th× (1) v« nghiÖm VÝ dô : T×m m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên (2m – 3)x + 2m2 + m - = Gi¶i : Ta cã : víi m Z th× 2m – , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = - (m + 2) 2m - để pt có nghiệm nguyên thì ⋮ 2m – Giải ta đợc m = 2, m = (10) VÝ dô : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23 Gi¶i : 23 - 7x x−1 a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = = – 2x + 4 V× y Z ⇒ x – ⋮ Giải ta đợc x = và y = BAØI TAÄP PHAÀN HEÄ PHÖÔNG TRÌNH Baøi : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2x 3y a) 3x 4y 2 b) x 4y 6 2x y 3 x y 1 y 4x 4x 3y 5 c) d) x y 5 2 x x y 2 2x 0 1, e) 4x 2y f) x x y Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx y 2 x my 1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m 2) Gọi nghiệm hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m Híng dÉn : Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh thay m = -1 2) Gọi nghiệm hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: (a 1)x y a x (a 1)y 2 cã nghiÖm nhÊt lµ (x; y) 1) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào a 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a tho¶ m·n 6x2 – 17y = 2x 5y 3) Tìm các giá trị nguyên a để biểu thức x y nhận giá trị nguyên Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x ay 1 (1) ax y 2 1) Gi¶i hÖ (1) a = 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ cã nghiÖm nhÊt mx y n Baứi : Xác định các hệ số m và n, biết hệ phơng trình nx my 1 1; cã nghiÖm lµ (11) a 1 x y 4 ax y 2a Baøi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh (a lµ tham sè) 1) Gi¶i hÖ a = 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y ¿ x - ( m + 3)y = Baøi (trang 22): Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (m - 2)x + 4y = m - (m lµ tham sè) ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ m = -1 b) Gi¶i vµ biÖn luËn pt theo m ¿ x - my=0 Baøi : (trang 24): Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx − 4y = m + (m lµ tham sè) ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ m = -1 b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xaùc ñònh moïi heä coù nghieäm x > 0, y > Bài 10 (trang 23): Một ôtô và xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau thì gặp Nếu cùng chiều và xuất phát điểm thì sau hai xe cách 28 km Tính vaän toác cuûa moãi xe HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h Bài 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự định đến B lúc 12 trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B lúc 11 trưa Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát A Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào cài bể nước cạn, sau thì đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai thì sau bể Nếu mình vòi thứ hai chảy bao lâu bể Đáp số : Bài 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t 0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C Hường dãn : ¿ ¿ x + y = 10 x = 2,5 ⇔ y = 7,5 Ta coù heä pt : 100x + 20y = 400 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch có nồng độ 50% Lại thêm 300g nước vào dung dịch dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít dung dịch ban đầu Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu (12) ¿ ( x + 200) 100 %=50 % y + 200 ⇔ ( x+ 200) Theo baøi ta coù heä pt : 100 %=40 % y + 500 ¿{ ¿ Vậy nồng độ phần trăm dung dịch axít ban đầu là 40% ¿ x =400 y = 1000 ¿{ ¿ Ph¬ng tr×nh bËc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ Để biện luận có nghiệm phương trình : ax + bx + c = (1) đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp a) Nếu a= đó ta tìm vài giá trị nào đó m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên có thể : - Có nghiệm - vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a Lập biệt số Δ = b2 – 4ac Δ / = b/2 – ac * Δ < ( Δ / < ) thì phương trình (1) vô nghiệm b * Δ = ( Δ / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a ❑ b (hoặc x1,2 = ) a * Δ > ( Δ / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: − b −√ Δ − b+ √ Δ x1 = ; x2 = 2a 2a ❑ ❑ − b −√ Δ − b❑+ √ Δ❑ (hoặc x1 = ; x2 = ) a a Định lý Viét Nếu x1 , x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thì b S = x + x2 = a c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: ⇔ p = x1x2 < ¿ Δ≥0 p>0 Hai nghiÖm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) ⇔ S> ¿{{ ¿ x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < < x2 ) (13) Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) ⇔ ¿ Δ≥ p>0 S< ¿{{ ¿ ¿ Δ> p=0 Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm d¬ng( x2 > x1 = 0) ⇔ S> ¿{{ ¿ ¿ Δ> p=0 Mét nghiÖm b»ng vµ nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔ S< ¿{{ ¿ 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)TÝnh nhÈm nghiÖm XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a 0) c a NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = , x2 = NÕu a – b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m c a Δ ≥ th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc (Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x +x S *) + = = p x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 + x2 *) = S −2 p + = x2 x1 x1 x2 p *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x + x −2 a 1 S − 2a *) + = = x −a x2 −a (x − a)( x2 −a) p − aS+a2 (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót tõ ®iÒu kiÖn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ≥ ) d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiệm thø C¸ch gi¶i: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc đã cho có nghiệm: Δ ≥ (hoÆc Δ❑ ≥ ) (*) - Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị tham sè - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) 2 (14) để kết luận +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ≥ (hoÆc Δ❑ ≥ ) mµ ta thay lu«n x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình và gi¶i ph¬ng tr×nh Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có Δ < thì kết luận không có giá trị nào tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc §ª t×m nghiÖm thø ta cã c¸ch lµm +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bÇy ë trªn) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thø B Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = Gi¶i Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – + Nếu Δ❑ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình đã cho có nghiệm ph©n biÖt: x1 = m + - √ m2 −9 x2 = m + + √ m2 −9 + NÕu Δ❑ = ⇔ m = ± - Víi m =3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = - Víi m = -3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = -2 + NÕu Δ❑ < ⇔ -3 < m < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt kuËn: Víi m = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = Víi m = - th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2 Víi m < - hoÆc m > th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 = m + - √ m2 −9 x2 = m + + Víi -3< m < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm √ m2 −9 Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – = Híng dÉn Nếu m – = ⇔ m = thì phơng trình đã cho có dạng * NÕu m – ⇔ m Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu Δ❑ = ⇔ 9m – 18 = ⇔ m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = =-2 a −3 - NÕu Δ❑ > ⇔ m >2 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = m± √ m −2 m −3 - NÕu Δ❑ < ⇔ m < Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt luËn: Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = -2 Víi m > vµ m ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1,2 = m± √ m −2 m −3 Víi m < ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - 6x – = ⇔ x=- Δ❑ = (15) Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + ( √ 3− √ )x - √ 15 = d) x2 –(3 - √ )x - √ = Gi¶i a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) = c − 2009 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = , x2 = = a b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 , c 204 x2 = = - 12 =− a 17 c) x2 + ( √ 3− √ )x - √ 15 = cã: ac = - √ 15 < Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( √ 3− √ ) = - √ + √ x1x2 = - √ 15 = (- √ ) √ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1 = - √ , x2= √ (hoÆc x1 = √ , x2 = - √ ) d ) x2 –(3 - √ )x - √ = cã : ac = - √ < Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có ¿ x1 + x2= - √ x x = - √7= 3(-2 √7) ¿{ ¿ VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = , x2 = - √7 Bµi : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 = m+1 HoÆc x2 = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*) * m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = - ⇔ x 1=−1 ¿ m− *m–3 ⇔ m (*) x 2= m −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – = a) TÝnh: A = x12 + x22 B = |x − x 2| (16) C= 1 + x −1 x − D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) 1 vµ x −1 x −1 Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x − x 2| = √ S − p=√37 ( x1 + x 2) −2 1 S −2 + +C= = = =− x −1 x − ( x −1)( x − 1) p − S +1 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta cã : 1 + =− S= (theo c©u a) x −1 x − 1 = =− p= ( x −1)( x − 1) p − S +1 1 VËy vµ lµ nghiÖm cña h¬ng tr×nh : x −1 x −1 1 X2 – SX + p = ⇔ X2 + X= ⇔ 9X2 + X - = 9 b) lËp ph¬ng tr×nh bËc cã c¸c nghiÖm lµ Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè) Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 là nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Gi¶i Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: k+ ) 5 36 )+ > víi mäi gi¸ trÞ cña k VËy 5 Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - 36 k+ + ) = 5(k 25 25 ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu ⇔ p < 1 k+ + )<0 ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2 4 ) < luôn đúng với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái ⇔ -(k dÊu víi mäi k Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k – x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) 87 = (k – 1)[(2k ) + ] 16 = 5(k2 – (17) 87 ) + ] >0 16 87 ) + > víi mäi k) ⇔ k – > ( v× (2k 16 ⇔ k>1 VËy k > lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m Tìm m để |x − x 2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 là hao nghiệm phơng trình (1) nói phÇn 2.) Gi¶i Víi m = - ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiÖm lµ x1 = , x2 = - Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + 1 19 19 = m2 + 2.m + + = (m + ) + > víi mäi m 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + ) + ] 19 m+ ¿2+ 1 19 = => |x − x 2| = =0 ⇔ m=2 19 m + √ 2 ¿ √¿ Vậy |x − x 2| đạt giá trị nhỏ √ 19 m = Do đó x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k - √ Bµi : Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2) Chứng minh phơng trình đã cho có nghiệm với m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm Gi¶i: 1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = , x2= 2) + Nếu: m + = => m = - đó phơng trình đã cho trở thành; 5x – = ⇔ x = + NÕu : m + => m - Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số : Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt m− 1+5 2(m− 3) m− m+4 x1 = = x2 = m− 1− = =1 = m+4 2(m+2) 2( m+2) 2(m+2) m+2 Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với m 3)Theo c©u ta cã m - thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp lÇn nghiÖm ta sÐt trêng hîp m−3 Trêng hîp : 3x1 = x2 ⇔ = giải ta đợc m = (đã giải câu 1) m+2 (18) Trêng hîp 2: x1 = 3x2 ®iÒu kiÖn m ⇔ 1= m−3 m+2 ⇔ m + = 3m – ⇔ m = - 2) 11 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm x1 = , x2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15 KiÓm tra l¹i: Thay m = Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Gi¶i 1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x = ❑ + NÕu m LËp biÖt sè Δ = (m – 2) – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m =-m+4 ❑ Δ < ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiÖm Δ❑ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = m−2 = − = a m 2 Δ❑ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiÖm ph©n biÖt x1 = m−2 − √ − m+ ; x2 = m−2+ √ − m+ m m VËy : m > : ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm m = : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x = m < : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m−2 − √ − m+ m ; x2 = m−2+ √ − m+ m m−3 <0 ⇔ m ¿ m> m<0 ¿ ¿ ¿ m<3 ⇔ ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ ⇔ ¿ m>3 Trêng hîp m<0 ¿{ ¿ c a ¿ m− 3>0 m<0 ¿ ¿ ¿ m −3< ¿ m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ kh«ng tho¶ m·n <0 11 (tho¶ m·n (19) ¿ m<3 Trêng hîp m>0 ⇔ 0<m<3 ¿{ ¿ *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm ⇔ m (*) (ở câu a đã có) Δ❑ - Thay x = vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã : 9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = *) C¸ch 2: Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn .Sau đó thay m = - ❑ Δ tho¶ m·n mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = - vµo ph¬ng tr×nh (1) : 9 x – 2(4 - 2)x - -3=0 ⇔ -9x2 +34x – 21 = x 1=3 ¿ x 2= cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > => ¿ ¿ ¿ ¿ VËy víi m = th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x= *)§Ó t×m nghiÖm thø ,ta cã c¸ch lµm Cách 1: Thay m = vào phơng trình đã cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = phần trên đã làm) C¸ch 2: Thay m = vµo c«ng thøc tÝnh tæng nghiÖm: 2(− −2) 2( m−2) 34 x1 + x2 = = = m −9 34 34 x2 = - x1 = -3= 9 C¸ch 3: Thay m = - 9 vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm − −3 m−3 21 21 21 x1x2 = => x2 = : x1 = :3= = = m 9 9 − Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Gi¶i ❑ 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp ⇔ Δ = ⇔ k2 – (2 – 5k) = (Nh (20) ⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > ) k1 = − − √ 33 ; k2 = − 5+ √ 33 2 VËy cã gi¸ trÞ k1 = − − √ 33 hoÆc k2 = − 5+ √ 33 th× ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp 2 2.Cã c¸ch gi¶i Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: ⇔ k2 + 5k – (*) Δ❑ Ta cã x1 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 b Víi ®iÒu kiÖn(*) , ¸p dông hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = =¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – + k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n 49 35 49 −70 −8 29 + k2 = => Δ❑ = kh«ng tho¶ m·n − −2= =− 4 VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m C¸ch : Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn ❑ Δ C¸ch gi¶i lµ: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = (cách tìm nh trên) Thay lÇn lît k1 , k2 vµo ph¬ng tr×nh (1) + Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = 39 + Víi k2 = (1) => x2- 7x + = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2 VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m BAØI TAÄP PHAÀN PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI Baøi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 x x x2 x2 2) 1 x12 x 22 x1x x x1 x x x x22 x22 3) 1 Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + = x x x x1 TÝnh (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) Baøi : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 1) Tìm các giá trị m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm phơng trình) Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – = 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: (21) x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + = (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh B = x13 + x23 Baøi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè) a) Xác định m để phơng trình có nghiệm là Tìm nghiệm còn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 Baøi : Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – = (*) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt C©u9 Cho ph¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) C©u 10: Ph¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 đó ta có , = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m Δ ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) m−m+1 víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x= = m−1 m− 1 pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0)=> -1< <0 m− ¿ ¿ 2m +1> >0 m− => m− =>m<0 m−1<0 m− 1<0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ VËy Pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0) vµ chØ m<0 GIẢI BAØI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Baứi : Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô Hướng dẫn : Gọi vận tốc ôtô thứ là x (km/h ĐK x > 0) Ta có : Vận tốc ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h) 300 300 =1 Do ôtô thứ đến B sớm ôtô thứ hai ta có phương trình : x -10 x Giải ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60 Đáp số : Vận tốc ôtô thứ : 60 km/h Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h Baứi : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận (22) tốc đó, vì đờng khó nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km ĐK x > 0) 2x x x + = + Theo giả thiết bài toán ta có phương trình : 50 40 50 Giải ta được: x = 300 (tmđk) Vậy quảng đường AB là : 300km Baøi : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau giê 48 phót th× ®Çy Neáu ch¶y cïng mét thêi gian nh thì lợng nớc vòi II 2/3 lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng thì sau bao l©u ®Çy bÓ Híng dÉn : Gäi x, y lÇn lît lµ thêi gian vßi I, vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ ¿ 1 ¿ + = x y 24 y =12 Theo bµi ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : Giải ta đợc : x = (tm®k) = ¿{ x 2y ¿ ¿{ ¿ §¸p sè : Vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ giê Vßi giê ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ mÊt 12 giê Baứi : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Híng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự định là y(giờ) ĐK : x > 0, y > ¿ 35( y +2)= x Theo baøi ta coù heä pt : 50( y - 1) = x ¿{ ¿ suy : 35y + 70 = 50y -50 ⇔ y = (TMÑK) Thay vào hệ ta x = 350 (TMĐK) Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km) Thời gian dự định : (giờ) Baứi : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h TÝnh vËn tèc cña mçi «t«? Hướng dẫn : Gäi x (km) lµ vËn tèc cđa «t« thø §K x > 180 180 − =2 Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x x+15 Giải ta đợc : x = 30 ; x = -45(loại) §¸p sè : VËn tèc «t« thø hai : 30 (km/h) VËn tèc «t« thø nh©t : 45 (km/h) Baứi : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất 80 cây Biết số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ cây Tính số học sinh nam và số học sinh nữ tổ Gi¶i : Gäi sè häc sinh nam lµ x (em) §K : x nguyªn d¬ng, x 13 40 40 − =3 ⇔ 3x2 – 119x + 520 = ( √ Δ = 89) Theo gt bµi ta cã pt : x 13 - x 119+89 Giải ta đợc : x = (lo¹i) ; x = (TM§K) §¸p sè : Sè HS nam : (em) (23) Sè HS n÷ : em Baứi : Khoảng cách hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở là 10 Biết vận tốc lúc kém vận tốc lóc ®i lµ km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« Gi¶i : Gäi vËn tèc lóc ®i lµ x (km/h) §K : x > 180 180 + + =10 ⇔ 17x2 – 805x + 1800 = ( √ Δ = 725) Theo gt bµi ta cã pt : x x-5 805 −725 Giải ta đợc : x = (lo¹i) ; x = 45 (TM§K) 34 §¸p sè : VËn tèc lóc ®i : 45 (km/h) Baứi : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cùng lúc đó từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô Gi¶i : Gäi vËn tèc thùc cña can« lµ x (km/h) §K x > 24 16 + =2 ⇔ 2x2 – 40x = Theo gt bµi ta cã pt : x+4 x - Giải ta đợc : x = (loại) ; x = 20 §¸p sè : VËn tèc thùc cña can« : 20 (km/h) Baứi : Khoảng cách hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tèc mçi xe Gi¶i : Gäi vËn tèc cña xe thø hai lµ x (km/h) §K x > 108 108 − = ⇔ x2 + 6x – 3240 = ( √ Δ' = 57 ) Theo gt bµi ta cã pt : x x+6 Giải ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54 §¸p sè : VËn tèc xe thø nhÊt lµ : 60 (km/h) VËn tèc xe thø hai lµ : 54 (km/h) Baøi 11 : Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm §Õn lµm viÖc, ph¶i điều công nhân làm việc khác nên công nhân còn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết suất lao động công nhân là nh Gi¶i : Gäi x lµ sè c«ng nh©n lóc ®Çu ( c«ng nh©n) §K : x nguyªn d¬ng, x > 360 360 − =4 ⇔ x2 – 3x – 270 = ( √ Δ = 33 ) Theo gt bµi ta cã pt : x −3 x Giải ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18 §¸p sè : Sè c«ng nh©n lóc ®Çu : 18 ( c«ng nh©n) Baứi 12 : Ba bình có thể tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình thì bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc thì bình thứ đợc 1/3 thể tích nó Tìm thể tích bình Gi¶i : Gäi x, y, z (lÝt) theo thø tù lµ thÓ tÝch cña ba b×nh §K : x,y, z > ¿ x + y + z = 120 ¿ x = 50 x=z+ y y= 40 ⇔ Theo gt bµi ta cã hpt : (TM§K) z = 30 x=y + z ¿{{ ¿ ¿{{ ¿ §¸p sè : B×nh thø nhÊt cã thÓ tÝch : 50 (lÝt) B×nh thø hai cã thÓ tÝch : 40 (lÝt) B×nh thø ba cã thÓ tÝch : 30 (lÝt) (24) Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến thì họ gặp nhau, chỗ gặp c¸ch A bao nhiªu km Giải : Gọi x (giờ) là thời gian từ A đến C ĐK : x > Theo gt bµi ta cã pt : 10x + 14(x – 2) = 56 Giải ta đợc : x = (TM§K) §¸p sè : GÆp lóc : 10h15’ C¸ch A : 35 (km) Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở A Thời gian xuôi ít thời gian ngợc là 40' Tính khoảng cách A và B Biết vận tốc ca nô không đổi, vËn tèc dßng níc lµ 3km/h Giải : Gọi x (km) là quảng đờng AB ĐK : x > x x + = Theo gt bµi ta cã pt : 30 24 Giải ta đợc : x = 80 (TMĐK) Đáp số : Quảng đờng AB : 80 (km) Baứi 15 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp Giải : Gọi x (km/h) là vận tốc ngời xe đạp ĐK x > 50 50 − = Theo gt bµi ta cã pt : x 2,5x Giải ta đợc : x = 12 (TMĐK) Đáp số : Vận tốc ngời xe đạp : 12 (km/h) VËn tèc ngêi ®i xe m¸y : 30(km/h) Baứi 16 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng và số ghế hàng NÕu sè hµng t¨ng thªm vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm th× phßng cã 400 ghÕ Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? Gi¶i : Gäi x lµ sè d·y ghÕ cña phßng häp §K x nguyªn d¬ng 360 +1 ¿ = 400 ⇔ x2 – 39x –360 = ( √ Δ = ) Theo gt bµi ta cã pt : (x + 1)( x Giải ta đợc : x = 24 (TMĐK) , x = 15 (TMĐK) §¸p sè : Cã thÓ x¶y kh¶ n¨ng +) KN : Phßng häp cã 24 d·y ghÕ vµ mçi d·y cã 15 ghÕ +) KN : Phßng häp cã 15 d·y ghÕ vµ mçi d·y cã 24 ghÕ Baøi 17 : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê và ngời thứ làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm mình công việc đó mÊy giêi th× xong? Gi¶i : Gäi x, y (giê) lÇn lît lµ thêi gian mçi ngêi lµm mét m×nh hoµn thµnh c«ng viÖc §K x, y > ¿ 1 + = ⇔ x y 16 x = 24 Theo gt bµi ta cã hpt : (TM§K) + = y = 48 x y ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : Ngêi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc : 24 giê Ngêi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc : 48 giê Baứi 18 : Hai vật chuyển động trên đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng lúc từ cùng điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì giây lại gặp Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật (25) Gi¶i : Gäi x, y (m/s) lÇn lît lµ vËn tèc cña hai vËt §K x > y > ¿ ⇔ 2x + 2y = 62,8 x = 18,84 Theo gt bµi ta cã hpt : 10x = 62 + 10y (TM§K) y = 13 ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : VËn tèc cña hai v©t lÇn lît lµ : 18,84 (km/h) ; 13 (km/h) Baứi 19 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do đó cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm Giải : Gọi x, y lần lợt là sản phẩm tổ và tổ làm đợc tháng thứ ĐK : x, y nguyên dơng ¿ x + y = 800 ⇔ 15x 20y x = 300 + =145 Theo gt bµi to¸n ta cã hpt : (TM§K) y = 500 100 100 ¿{ ¿{ ¿ §¸p sè : Trong th¸ng : Tổ sản xuất đợc 300 (sản phẩm) Tổ sản xuất đợc 500 (sản phẩm) Bài 20 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian đã định và dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất Giải : Gọi x là số chi tiết mà nhà máy dự định làm ĐK : x nguyên dơng x x + 600 = +1 ⇔ x = 3000 (TM§K) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : 300 400 Đáp số : Tổng số chi tiết dự định làm 3000 (chi tiết) Bµi 21: Mét ca n« xu«i dßng 42km råi ngîc dßng trë l¹i lµ 20km m¸t tæng céng 5giê BiÕt vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2km/h T×m vËn tèc cña ca n« lóc dßng níc yªn lÆng Gi¶i : Gäi x lµ vËn tèc cña ca n« lóc níc yªn lÆng ( km/h ; §K : x > 2) 42 20 + =5 ⇔ 5x2 - 62x + 24 = ( √ Δ' = 29) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x +2 x- 2 Giải ta đợc : x = (lo¹i) ; x = 12 §¸p sè : VËy vËn tèc cña ca n« lóc níc yªn lÆng : 12 (km/h) Bài 22: Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có bao nhiêu xe? Giải : Gọi x là số xe đội lúc đầu (xe ĐK : x > 2) 120 120 − =16 ⇔ x2 - 2x -15 = ( √ Δ' = 4) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x−2 x Giải ta đợc : x = - (loại) ; x = Đáp số : Vậy đội xe có xe Bài 23: Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc ô tô biết quãng đờng AB dài 240km Gi¶i : Gäi x lµ vËn tèc cña «t« thø hai (Km/h §K : x > 0) 240 240 − = ⇔ 5x2 - 60x – 8640 = ( √ Δ ' =210) Theo gt bµi to¸n ta cã pt : x −12 x Giải ta đợc : x = -36 (loại) ; x = 48 §¸p sè : VËn tèc cña «t« thø hai : 48 km/h VËn tèc cña «t« thø nhÊt : 60 km/h (26) Bµi 24: NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mét bÓ c¹n th× sau giê 55phót bÓ ®Çy bÓ NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? Gi¶i : Gäi x lµ th Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc số cây sân trờng Nếu lấy cây tổ chuyển cho tổ thì số cây trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 cây tổ chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc tổ hai gấp đôi số cây tổ mét Hỏi tổ trồng đợc bao nhiêu cây? Bµi 25: Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch 150km, ®i ngîc chiÒu vµ gÆp sau giê T×m vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña « t« A t¨ng thªm 5km/h vµ vËn tèc « t« B gi¶m 5km/h th× vËn tèc cña « t« A b»ng lÇn vËn tèc cña « t« B Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã đã b¸n cho nhµ níc BiÕt r»ng lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ níc nhiÒu h¬n hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn «n tËp h×nh häc PhÇn : h×nh häc ph¼ng I.§êng trßn: 1,§Þnh nghÜa: Tập hợp các điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > không đổi gọi là đờng tròn tâm b¸n kÝnh R KÝ hiÖu : ( ; R) 2, Vị trí tơng đối: * Của điểm với đờng tròn : xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× vị trí tơng đối HÖ thøc M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ; R) OM = R M n»m ( O ; R ) OM < R * Của đờng thẳng với đờng tròn : xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a ) vị trí tơng đối Sè ®iÓm chung HÖ thøc a c¾t ( O ; R ) d<R a tiÕp xóc ( O ; R ) d=R a vµ ( O ; R ) kh«ng giao d>R * Của hai đờng tròn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vị trí tơng đối Sè ®iÓm chung HÖ thøc Hai đờng tròn cắt R – r < d < R- r (27) Hai đờng tròn tiếp xúc : + tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc : Hai đờng tròn không giao : +hai đờng tròn ngoài : +đờng tròn lớn đựng đờng trßn nhá : d=R+r d=R–r d>R+r d < R -r Tiếp tuyến đờng tròn : a §Þnh nghÜa : đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến đờng tròn nó có điểm chung với đờng đó b, TÝnh chÊt : + Tính chất : Nếu đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn thì nó vuông góc với bán kÝnh ®I qua tiÕp ®iÓm + Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm thì giao điểm này cách hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyÕn c, C¸ch chøng minh : Cách : chứng minh đờng thẳng đó có điểm chung với đờng tròn đó Cách : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính đờng tròn đó điểm và điểm đó thuộc đờng tròn Quan hệ đờng kính và dây cung : * §Þnh lÝ : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy thµnh hai phÇn b»ng * §Þnh lÝ : §êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy Quan hệ dây cung và khoảng cách đến tâm : * Định lí : Trong đờng tròn hai dây cung và chúng cách tâm * Định lí : Trong hai dây cung không đờng tròn, dây cung lớn và nã gÇn t©m h¬n II Góc đờng tròn: 1, Các loại góc đờng tròn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Góc có đỉnh bên hay bên ngoài đờng tròn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung b»ng c¨ng hai d©y b»ng b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng tr¬ng hai cung b»ng * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n (28) b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tứ giác nội tiếp đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đờng tròn Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b, C¸ch chøng minh : * Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác cùng thuộc đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 * Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới cùng góc B Bµi tËp: Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lît t¹i E vµ F a CM: tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt b CM: tø gi¸c EFCB néi tiÕp c §êng th¼ng qua A vu«ng gãc víi EF c¾t BC t¹i I Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC d CMR: NÕu S ABC = S AEHF th× tam gi¸c ABC vu«ng c©n Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M Nối OM c¾t BC t¹i I Chøng minh tam gi¸c BMC c©n Chøng minh: gãc BMA < gãc AMC Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC §êng cao AH vµ BP cña tam gi¸c ABC c¾t t¹i Q Chøng minh OH // AH Trªn AH lÊy ®iÓm D cho AD = MO Tø gi¸c OMDA lµ h×nh g×? Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH OM kÐo dµi c¾t (O) t¹i N VÏ OE vu«ng gãc víi NC Chøng minh OE= MB Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp 10 Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) c¾t BM kÐo dµi t¹i K Chøng minh CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCK 11 So s¸nh c¸c gãc KMC vµ KCB víi gãc A 12 Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M 13 13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC 14 Chøng minh gãc SBC = gãc NCM 15 Chøng minh gãc ABF = gãc AON 16 Tõ A kÎ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC (29) Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O) §êng cao AH cña tam gi¸c ABC c¾t (O) t¹i D , AO kÐo dµi c¾t (O) t¹i E a) Chøng minh tø gi¸c BDEC lµ h×nh thang c©n b) Gäi M lµ ®iÓm ch×nh gi÷a cña cung DE, OM c¾t BC t¹i I Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC c) TÝnh b¸n kÝnh cña (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N cho các cung AM, MN, NB b»ng Gäi P lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN, H lµ giao ®iÓm cña AN víi BM CMR: a) Tø gi¸c AMNB lµ h×nh thang c©n b) PH ┴ AB Từ đó suy P, H, O thẳng hàng c) ON là tiếp tuyến đờng tròn đơnngf kính PH Bµi 6: Cho (O, R) , d©y cung AB < 2R Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AB KÎ hai d©y MC, MD lÇn lît c¾t AB t¹i E vµ F CMR: a Tam giác MAE và MCA đồng dạng b ME MC = MF MD c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp Khi AB=R √ thì tam giác OAM Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC F a Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? b Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp c Chøng minh AE AB = AF AC d Chømg minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (I) e Gọi Ax là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E a Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp b TÝnh gãc AHE c Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng d Chøng minh AD = AE e Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E là giao điểm cña AB vµ CD, F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Chøng minh r»ng: d a EF ┴ AC b DA DF = DC DE c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I a Chøng minh IA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) b Chøng minh CK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI (30) Bµi 11: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña AB VÏ vÒ cïng phÝa víi AB c¸c tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB C¸c ®iÓm M, N theo thø tù di chuyÓn trªn Ax vµ By cho gãc MON = 90 Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN Chøng minh r»ng : a AB lµ tiÕp tuyÕn cña (I ; IO) b MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMN c MN là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB d Khi c¸c ®iÓm M, N di chuyÓn trªn Ax, By th× tÝch AM BN kh«ng dæi Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’ , M d Chứng minh BC là tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M Bµi 13: Cho (O) vµ (O’)tiÕp xócngoµi t¹i A §êng th¼ng ¤’ c¾t (O) vµ (O’) theo thø tù t¹u B vµ C ( khác A ) Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M là giao ®iÓm cña BD vµ CE Chøng minh r»ng : a Gãc DME lµ gãc vu«ng b MA là tiếp tuyến chung hai đờng tròn c MD MB = ME MC Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm BC a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp b Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng c KÎ tiÕp tuyÕn Ax víi (O) Chøng minh Ax // DE d Chứng minh góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác Bµi 15: Cho (O) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi (O) VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AB vµ AC , c¸t tuyÕn ADE Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE a Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp b Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BHA c Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE Chøng minh : AB2 = AI AH d BH c¾t (O) t¹i K Chøng minh AE // CK Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N a Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng b Tø gi¸c MNDC néi tiÕp c Chứng minh AC AM = AD AN và tích này không đổi C, D di động Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng tròn D, các tia AD và BC cắt t¹i E a Chøng minh tam gi¸c ABE c©n t¹i B b C¸c d©y AC vµ BD c¾t t¹i K Chøng minh EK ┴ AB (31) c Tia BD c¾t tia Ax t¹i F Chøng minh tø gi¸c AKEF lµ h×nh thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiÕp tuyÕn t¹i B vµ D c¾t t¹i T a Chøng minh r»ng OT // AB b Chøng minh ba ®iÓm O, C, T th¼ng hµng c TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c TBD theo R d TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi hai c¹nh TB, TD vµ cung BCD theo R Bài 19: Hai đờngtròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài C Gọi AC và BC là hai đờng kính qua C (O) và (O’) DE là dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) là F a Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? b Chøng minh r»ng ba ®iÓm B, E, F th¼ng hµng c Chøng minh tø gi¸c MDBF néi tiÕp d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui Chøng minh MF= DE vµ MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính BC Gọi M là trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O’) I a.Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? t¹i sao? b.Chøng minh BI // AD c.Chøng minh ba ®iÓm I, B, E th¼ng hµng vµ MD = MI d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’) e Bài 21: Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN đờng tròn đó Gọi I là trung điểm dây MN a Chứng minh điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên đờng tròn b Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABOC theo b¸n kÝnh R cña (O) Bµi 22: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D, c¾t (O) t¹i E TiÕp tuyÕn đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M a Chøng minh MA = MD b Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F th¼ng hµng Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB b Gọi E là giao điểm BC với (O) Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c Chøng minh DM lµ ph©n gi¸c cña gãc ADE d Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bµi 24: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A a Nªu c¸ch dùng (O) qua A vµ tiÕp xóc víi BC t¹i B Nªu c¸ch dùng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C (32) b c d Hai đờng tròn (O) và (O’) vị trí tơng đối nào? Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC và các bán kính (O) , (O’) Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB Gọi M là điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N a Chứng minh tích AM AN không đổi b c VÏ CD ┴ AM Chøng minh c¸c tø gi¸c MNOB vµ AODC néi tiÕp Xác định vị trí điểm M trên cung BC để tam giác COD cân D Bµi 26: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O), H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC, M lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM là hình bình hành b Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng M qua AB và AC Chứng minh ba điểm N H , E th¼ng hµng c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn Bµi 27: Cho (O,R) vµ (O’,r) tiÕp xóc ngoµi t¹i M ( R > r ) §êng th¼ng OO’ c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i D Tiếp tuyến chung ngoài AB ( A ∈(O), B ∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I a Chøng minh c¸c tam gi¸c OIO’ vµ AMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng Chøng minh AB=2 √ R r c Tia AM c¾t (O’) t¹i A’, tia BM c¾t (O) t¹i B’ Chøng minh ba ®iÓm A, O, B’ vµ A’ , O’ , B th¼ng hµng vµ CD2 = BB’2 + AA’2 d Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm AM với OI và BM với O’I Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R vµ r b Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn Tiếp tuyến Cx cña (O) c¾t tia AB t¹i I Ph©n gi¸c gãc CIA c¾t OC t¹i O’ a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB b Gäi D,E theo thø tù lµ giao ®iÓm thø hai cña CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O’, E th¼ng hµng c Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt E và F ( F nằm B và E ) a Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng b Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp c Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB và CD vuông góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F là điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chøng minh r»ng: a Gãc MAH = gãc MCB b Tam gi¸c ADE c©n c Tø gi¸c AHBK néi tiÕp (33) Bµi 31 Cho ®o¹n th¼ng AB vµ C lµ mét ®iÓm n»m gi÷a A vµ B Ngêi ta kÎ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB Trªn tia Ax lÊy mét ®iÓm I Tia Cz vu«ng gãc víi tia CI C và cắt By K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh: a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB c APB vu«ng d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhÊt Bµi 32 Cho (O) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi (O) Tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn AMN víi (O) (B, C, M, N cïng thuéc (O); AM<AN) Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y MN, I lµ giao ®iÓm thø hai đờng thẳng CE với (O) a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên đờng tròn b Chøng minh gãc AOC=gãc BIC c Chøng minh BI//MN d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài 33 Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD) a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp b Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE d Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH đờng tròn nói trªn biÕt AC=6cm; gãc ACB = 30o Bài 34 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A là điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D là điểm thuéc b¸n kÝnh OC §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F a Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp b Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O) d TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®o¹n th¼ng BC, BA vµ cung nhá AC cña (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o Bài 35 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M và tiếp xúc với AB N Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt t¹i c¸c ®iÓm thø hai C, D a Chøng minh CD//AB b Chứng minh MN là tia phân giác góc AMB và đờng thẳng MN qua điểm K cố định c Chứng minh tích KM.KN cố định d Gọi giao điểm các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ có thể đợc Bài 36 Cho đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D trên đờng tròn cho C, D không nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi các điểm chính các cung AC, AD lÇn lît lµ M, N Giao ®iÓm cña MN víi AC, AD lÇn lît lµ H, I Giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K a CM: NKD vµ MAK c©n b CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So s¸nh c¸c gãc CAK víi gãc DAK d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND Bài 37 Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với điểm A và tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C và cắt Ax điểm M Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E a Chøng minh M lµ trung ®iÓm BC b Chøng minh O1MO2 vu«ng c Chøng minh B, A, E th¼ng hµng; C, A, D th¼ng hµng d Gọi I là trung điểm DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc víi d d PhÇn 2: H×nh häc kh«ng gian A.Lý thuyÕt: I Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ h×nh häc kh«ng gian: Các vị trí tơng đối: a.Vị trí tơng đối hai đờng thẳng: * a // b a , b (P), a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung (34) * a c¾t b a , b (P), a vµ b cã mét ®iÓm chung * a vµ b chÐo a vµ b kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng b Vị trí tơng đối đờng thẳng a và mặt phẳng (P): * a // (P) a vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung * a c¾t (P) a vµ (P) cã mét ®iÓm chung * a (P) a vµ (P) cã v« sè ®iÓm chung c Vị trí tơng đối hai mặt phẳng (P) và (Q): * (P) // (Q) kh«ng cã ®iÓm chung * (P) (Q) = a có đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến hai mặt phẳng) * (P) (Q) Mét sè c¸ch chøng minh: a Chứng minh hai đờng thẳng song song: C1: a vµ b cïng thuéc mét mÆt ph¼ng a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung C2: a // c vµ b // c ( P) //(Q) C3 : (P)∩(R)=a ⇒ a // b (Q)∩(R)=b } b.Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: a // b ⇒ a // ( P) b ⊂( P) } c.Chøng minh hai mÆt ph¼ng song song: a , b ⊂(Q) ,aXb ⇒( P)// (Q) a // (P), b //( P) } d.Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc: a ⊥(P) ⇒a ⊥ b b ⊂(P) } e.Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: a⊥b,a⊥c ⇒ a ⊥( P) bXc , b ⊂( P) , c ⊂( P) } g.Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc: a ⊥( P) ⇒( P)⊥(Q) a ⊂( Q) } II Mét sè h×nh kh«ng gian: H×nh l¨ng trô: Sxq = P h với P: chu vi đáy V=B.h h : chiÒu cao B: diện tích đáy H×nh chãp: H×nh trô: Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy V = B.h = R2.h h: chiÒu cao H×nh nãn: (35) S xq = P d V= B.h với d: đờng cao mặt bên H×nh chãp côt: S xq= ( P+ P ' ) d V = ( B+ B '+ √ B B' ) h S xq= P d=πR l 1 V = B h= πR h 3 d: đờng sinh; h: chiều cao H×nh nãn côt: S xq = ( P+ P ' ) d=π ( R+r ) d π h ( 2 V = ( B+ B ' + √ B B' ) h= R +r + R r ) 3 H×nh cÇu: S=4 πR2 V = πR3 B Bµi tËp: Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD) Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g×? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD LÊy ®iÓm E AB, F BC 1 cho: AE= AB; CF= CB 4 a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH b Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD) CMR: F, H, I th¼ng hµng Bài 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) và (Q) cắt thì giao tuyÕn cña chóng song song víi a Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t theo giao tuyÕn d Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b CMR: a Nếu a x d = M thì a, b, d đồng qui b Nếu a // d thì a, b, d đôi song song 1 SD= SA , E ∈ AB cho BE= BA Gäi 4 M lµ trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC CMR: a SB // (IDE) b N lµ trung ®iÓm cña BC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d (ABC) A Trên d lấy ®iÓm S bÊt kú a Chøng minh BC SH b Kẻ AI là đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI (SBC) c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh S xq, Stp, V cña h×nh chãp S ABC Bài 7: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM, điểm I AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABC), trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú a Chøng minh SA = SB = SC b Gọi IH là đờng cao tam giác SIM CMR: IH (SBC) Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D SA cho c TÝnh Sxq vµ V cña h×nh chãp S ABC biÕt AB=3 √ cm ; SA = cm (36) 1 Bµi 8: Cho tø diÖn S ABC §iÓm E SA, F AB cho SE= SA ; BF= BA Gäi G, H theo 3 thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC CMR: a EF // GH b EG, FH, AC đồng qui Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S cho SA = 10 cm a CMR: SB AC b TÝnh SB, BC, SC c CM: Tam gi¸c SAC vu«ng d TÝnh Stp , V Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vuông góc với mp(ABCD) A lấy ®iÓm S cho SA = cm CMR: a (SAB) (SAD) b SC BD c C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng d TÝnh Sxq , V cña h×nh chãp S ABCD Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy là hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, các đờng chÐo AC’ = 15 cm , DB’ = cm a TÝnh AB? b TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD A’B’C’D’ c TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp B’ ABCD Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tính Sxq và V Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh Sxq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm a CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt b CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2 c TÝnh Stp , V ? Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300 TÝnh Stp vµ V ? Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh là cm a Tính đờng chéo BD’ b TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’ ABD c TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết dm3 = lít ) Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( cßn gọi là thiết diện) là hình chữ nhật có diện tích 72 cm Tính bán kính đáy, đờng cao hình trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi cm, chiÒu réng cm Tính Sxq và V hình trụ đó Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a TÝnh Sxq cña h×nh nãn b TÝnh V cña h×nh nãn c Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB CMR: CD (AOB) (37) Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vòng quanh AB Tính bán kính đáy, đờng cao hình nón tạo thành Từ đó tính Sxq , và V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600 Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh cm Tính Sxq và V Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm a TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt b Tính V hình nón sinh hình nón cụt đó Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ gãc D =900, AB = BC = a , gãc C = 60 TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a C¹nh AD b C¹nh DC 1 m 1 x m 0 x x Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh (*) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm dơng phân biệt Gi¶i tãm t¾t: §KX§: x x t t 1 t t m 0 x §Æt ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh a) m = (Tù gi¶i) b) Víi t = x2 – x – = ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã nghiÖm d¬ng (v× ac < 0) Để phơng trình (*) có đúng nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình t2 + t + – m = 11 ph¶i cã nghiÖm kÐp kh¸c Hay m = x3 1 1 1 a b c a2 b c Bµi 2: a) Cho a, b, c Z tháa m·n ®iÒu kiÖn Chøng minh r»ng a3 + b3 + c3 chia hÕt cho b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 + ax2 + bx + = 0, biÕt r»ng a, b, c lµ sè h÷u tØ vµ + lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Gi¶i tãm t¾t: a) §K: a, b, c Tõ gt suy a + b + c = Mµ a3 + b3 + c3 – (a + b + c) = a(a – 1)(a + 1) + b(b – )(b + 1) + c(c – 1)(c + 1) chia hÕt cho vµ a + b + c = chia hÕt cho nªn a + b3 + c3 chia hÕt cho b) V× + lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn ta cã 2a b 3a b 0 v× a, b lµ sè h÷u tØ nªn 2a b 0 a 3a b 0 b 1 Thay vµo HS tù gi¶i tiÕp Bµi 3: Cho x, y N* tháa m·n x + y = 2011 x x2 y y y2 x T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc P = Gi¶i tãm t¾t: * C¸ch 1: V× x, y N nªn x y 2009 x y 2009 2 1 x y 4044121 Mà (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy = 20112 – 4xy Do đó –xy = (38) 1 x y 4044121 VËy P = 20113 - 6031xy = 20113 + 6031 1 4044121 20092 4044121 3 4 Ta cã 2011 + 6031 P 2011 + 6031 Hay 2035205401 P 8120605021 VËy GTNN cña P lµ 2035205401 DÊu “=” x¶y x = 1006 vµ y = 1005 hoÆc x = 1005 vµ y = 1006 GTLN cña P lµ 8120605021 DÊu “=” x¶y x = 2010 vµ y = hoÆc x = vµ y = 2010 C¸ch 2: P = 20113 - 6031xy theo bµi ta cã x, y 2010 Ta chøng minh 2010 xy 1005 1006 ThËt vËy xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x – 2010 = 2010x – x2 + x – 2010 = (2010 – x)(x – 1) (v× x, y 2010) Ta có xy 2010 Do đó P 8120605021 MÆt kh¸c 1005.1006 – xy = 1005 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x) Ta có 1005.1006 – xy Do đó 2035205401 P Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, dây cung MN = R di chuyển trên nửa đờng tròn Qua M kẻ đờng thẳng song song ON cắt đờng thẳng AB E Qua N kẻ đờng thẳng song song OM cắt đờng thẳng AB t¹i F a) CMR: MNE NFM b) Gọi K là giao điểm EN và FM Hãy xác định vị trí dây MN để chu vi tam giác MKN lớn Gi¶i tãm t¾t: a) Dễ dàng chứng minh đợc EMN FNM 120 ME MO ME MN MN NF (vì MON đều) MÆt kh¸c EMO ONF NO NF b) MNE NFM MNE NFM FMO MKN 1800 MNE NMF 1800 FMO NMF 180 600 1200 mµ không đổi K thuộc cung tròn chứa góc 120 dựng trên đoạn thẳng MN = R không đổi Từ đó suy K là điểm cung MKN hay MK = NK KÐo dµi EM vµ FN c¾t t¹i I vµ ta chøng minh ® îc MN ë vÞ trÝ cho AM = MN = NB = R Bµi 5: Cho a, b, c > vµ abc = a3 b3 c3 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b Chøng minh r»ng Gi¶i tãm t¾t: ¸p dông B§T CauChy ta cã a3 1 b 1 c a3 b c 3a 3 1 b 1 c 1 b 1 c 8 a3 b3 c3 a b c 1 b 1 c 1 c a a 1 b tơng tự cộng lại đợc Mµ a b c 3 abc 3 ruy ®pcm DÊu “=” x¶y a = b = c = (39)