cùng phía có Bolyai bị thu hút vào vấn đề này câu nói đó có nội dung như sau: " Ai chứng tổng bé hơn hai góc vuông thìngời khi như kéo dài vô hạn hai đường thẳng minh được tiên đề vaề cá[r]
(1)Ví dụ Tính ước số chung lớn 91 và 287 Trước hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91*3 + 14 (91 & 14 dùng cho vòng lặp kế) Nhận xét: số nào chia hết 287 và 91 chia hết 287 - 91*3 = 14 Tương tự, số chia hết 91 và 14 chia hết 91*3 + 14 = 287 Do đó, ƯSCLN(91,287) = ƯSCLN(91,14) Bài toán trở thành tìm ƯSCLN(91,14) Lặp lại quy trình trên phép chia không còn số dư sau: 91 = 14*6 + (14 & dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7*2 (không còn số dư, kết thúc, nhận làm kết quả) Cuối cùng ta có: = ƯSCLN(14,7) = ƯSCLN(91,14) = ƯSCLN(287,91) [sửa]Bổ đề Giả sử a = bq + r, với a, b, q, r là các số nguyên, ta có: [sửa]Mã giải = [sửa]Chương trình đệ quy procedure USCLN(a, b : positive integers) Begin if a mod b = then USCLN := b else USCLN(b; a mod b); End [sửa]Chương trình dùng vòng lặp procedure USCLN(a, b : positive integers) Begin x := a y := b while y ≠ begin (2) r := x mod y x := y y := r end{x la USCLN cần tìm} Chuyên đề : Thuật toán Ơclit Thuật toán Ơclit Để tìm USCLN hai số a và b ta có thể dùng cách chia liên tiếp gọi là thuật toán Ơclit sau: Bước 1: Lấy a chia cho b Nếu a b thì ƯSCLN (a, b) =b Nếu a b (dư r) thì làm tiếp bước Bước 2: Lấy b chia cho số dư r Nếu b r thì ƯSCLN (a, b) =r Nếu b r (dư r1) thì làm tiếp bước Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1 Nếu r r1 thì ƯSCLN (a, b) =r1 Nếu r r1 (dư r2) thì làm tiếp bước Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 Nếu r1 r2 thì ƯSCLN (a, b) =r2 Nếu r1 r2 (dư r3) thì làm tiếp tục trên số dư Số dư cuối cùng khác dãy phép chia liên tiếp trên là ƯSCLN (a, b) (3) Thí dụ: Thí dụ 1: Tìm ƯSCLN (450; 198) Giải Bước 1: Lấy 450 chia cho 198 450 : 198 = (dư 54) Bước 2: Lấy 198 chia cho số dư 54 198 : 54 = (dư 36) Bước 3: Lấy 54 chia cho số dư 36 54 : 36 = (dư 18) Số dư cuối cùng khác Bước 4: Lấy 36 chia cho số dư 18 36 : 18 = (dư 0) Số dư cuối cùng ƯSCLN (450; 198) =18 Thí dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯSCLN là 15 và phép chia liên tiếp thuật toán Ơclit các thương là 2; 15; Giải Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a, b (a>b) Theo đầu bài ta có phép chia liên tiếp nên số dư phép chia thứ hai cho ta ƯSCLN (a, b) Ta có các phép chia sau: a = 2b + r (1) b = 2r + r1 (trong đó r1=15) (2) r = r1.9 (3) Vậy r = 15.9 = 135 b = 3.135 +15 = 420 a = 2.420 + 135 = 975 Hai số cần tìm là 975 và 420 (4) Có lẽ nhiều bạn diễn đàn chưa biết đến thuật toán Euclide tìm ƯCLN Mình biết đến nó thôi Hôm mình định Post bài để chia sẻ với các bạn thuật toán này Ta xét trường hợp sau: a) Nếu b là ước a thì (a, b) = b b) Nếu b không là ước a, giả sử a = bp + c thì (a, b) = (b, c) Thuật toán: a = bp + r1; < r1 < b b = r1.p1 + r2; < r2 < r1 r1 = r2.p2 + r3; < r3 < r2 r2 = r3.p3 + r4; < r4 < r3 rn - = rn - 1.pn - + rn; < rn < rn - rn - = rn.pn + Thuật toán Euclide phải kết thúc dư là Trong trường hợp b) này ta có, (a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = = (rn - 1, rn) = rn Vậy ƯCLN a và b là rn, là số dư cuối cùng khác thuật toán Euclide Các bạn vào đây này, đó là bài mình đã Post lên diễn đàn, bạn Pirates đã vận dụng thuật toán euclide để giải Cách ấn máy Casio fx500ES và fx500ES Plus để tìm USCLN(75,60) 75 $\to$ SHIFT STO A 60 $\to$ SHIFT STO B Ghi tiếp |A - B| $\to$ A : | B-A | $\to$ B (Muốn ghi dấu ":" phải kéo trỏ cuối dòng, vế |B-A| $\to$ B máy không lên) Sau đó ấn = = kết đó kết còn lại là USCLN (15) Bội số chung nhỏ là: $\frac{A\times B}{USCLN}$ (5) Truyện kể rằng, vào năm 1823 Farkas Bolyai (1775-1858) đã viết thư cho người trai là Janos Bolyai (15 27.1.1860) người Hungary rằng: "Con đừng vào đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào "hang không đáy trí tuệ, tinh lực và tâm huyết bố" Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm người bố đã suốt đời nghiên cứu định đề Eu không thành công Khi biết mình yêu thích nghiên cứu "lý thuyết các đường song song", thì F Bolyai đã đã viết cho mình (trong thư khác) sau: "Con không thể nào chiến thắng lý thuyết c song song đường Bố đã đến cuối đường và đã lạc vào đêm đen dày đặc, tia s nến không có và đã chôn vùi đó bao niềm hạnh phúc đời mình Khi lao vào các học thuyết các đường song song, chẳng còn gì Con hãy lẩn tránh nó lẩn tránh dục vọng thấp hèn, hao mòn sức lực con, cướp an nhàn, quấy đảo yên tĩnh và giết chết niềm vui tối mịt mùng nuốt chửng chòi tháp khổng lồ và chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm Chẳng người có thể đạt tới thực đề Euclid phát biểu hoàn mĩ chính hình học Chúa trời hãy cứu vớt khỏiĐịnh "Nguyên lý" sau: ham mê ôm ấp " Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng tạo thành hai góc Nhưng F Bolyai không ngờ câu nói chính ông trước đây đã làm khác J cùng phía có Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung sau: " Ai chứng tổng bé hai góc vuông thìngời kéo dài vô hạn hai đường thẳng minh tiên đề vaề các đường thẳng song song, người đó sáng này, chúng viên kim cương to trái đất") Và chàng J Bolyai trẻ tuổi đã đã không cắt phía hai góc đó người trước, J Bolyai đ vì lời cảnh báo bố mình mà lùi bước Tránh thất bạo đường riêng mình Ông đã không tìm cách chứng minh định đề Euclid, mà đã xét nó tiên Và phủ định định đề Euclid, J Bolyai đã xây dựng hệ thống hình học (mà sau cò hình học phi Ơclit) Các kết hình học này ông phong phú và chứng minh ông J Bolyai là nhà toán học thiên tài, bị đố kị, chê bai và bị điều đơm đặt ông Cuộc số Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây tinh thần lẫn vật chất Người bố chính là nhà toán học huyết và thương con, từ bài học sai lầm rút từ chính đời nghiên cứu toán học mình, F.B tình trở thành vật cản trên đường tìm tòi, sáng tạo (6) (7)