de thi hsg tinh thanh hoa

Gọi trung điểm của BH lµ P.. Trung ®iÓm cña AH lµ Q.[r]

đề thi học sinh giỏi m«n thi : to¸n (Thêi gian 150 phót ) Bµi 1: (3 ®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a §Ò sè  x  x   x  x  11 (x-3)(x+3) -5 (x+3) b x-3  x+3 x  4  x 4  x 3 c Bµi 2: (4 ®) A a Cho biÓu thøc: 2x  4x   2x  4x  x  2x   x  2x  2x  b T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x3y+xy3-3x2-3y2 =17 c T×m mäi cÆp sè nguyªn d¬ng (x; y) cho x +2 lµ sè nguyªn d¬ng x y+ Bµi 3: (3 ®) a Với a > ; b > cho trớc và x,y > thay đổi cho : a b + =1 Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ x y b Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n xyz =1 T×m GTNN cña biÓu thøc : E= 1 + + x ( y + z ) y ( z+ x) z ( x + y) Bài 4: (2 đ) Cho tam giác vuông ABC (Â= 90 0) có đờng cao AH Gọi trung điểm BH lµ P Trung ®iÓm cña AH lµ Q Chøng minh : AP CQ Bài 5: (3 đ) Cho đờng tròn (o) nội tiếp tam giác ABC Một tiếp tuyến đờng trßn c¸t c¸c c¹nh AB vµ AC theo thø tù t¹i M vµ N 2 a Chøng minh r»ng: MN  AM  AN  AM AN NM AN  1 b Chøng minh r»ng: MB NC Bµi 6:(3 ®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: a x + y 2+ xy=1 x + y 3=x +3 y { Bài 7:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y 1+ xy §¸p ¸n: Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau; a  x  x   x  x  11 đặt A =  x  x  ( A ³0) víi x ³ 1, y ³ ; b ¿ x − y +xy + y −5 x+ 2=0 x2 + y + x + y − 4=0 ¿{ ¿ A2 2  (4  x)( x  2) 2  (4  x)  ( x  2) 4   A 2 (1) 2 §Æt B = x  x  11 ( x  3)  ³2 (2) §Ó A = B va chØ : 4-x = x-2  x 3 VËy nghiÖm ph¬ng tr×nh x = (x-3)(x+3) -5 (x+3) b (x+3) đặt x-3 y x+3 x-3  x+3 (1) (2)  §K: x   hoÆc x ³3 y ( x  3)( x  3) Tõ (1) ta cã: y  y  0  y1 1; y2 4 Với y > đó x + >  x ³3 Với y = thay vòa (2) ta đợc: x  1  x  10 Do x > nªn x  10 Với y = thay vào (2) ta đợc: x  16  x 5 Do x ³3 nªn x = VËy nghiÖm ph¬ng tr×nh lµ: x  10 ; x = b §Æt x  4  x 4  x 3 ; §K:  x 1 x  a (a ³0);  x b (b ³0) Ta cã:  a 4 b 4 ab 3 1 a 1 b a b a b   2 1 a 1 b a b  a  b 1   1   3 2 3 a b Phải sảy đẳng thức a= b = Do đó : x = VËy nghiÖm ph¬ng tr×nh x = A Bµi 2: a Rót gän biÓu thøc §K: x ³2 Ta bình phơng vế ta đợc A2  x  x  16 x 16 x  x2  2x 1 A 2 x  2x  4x   2x  4x  x  2x   x  .(2 x  1)  ( x  y )  xy 17    xy 4 2x  2x  2x  (2 x  1) 4 x  xx b ph¬ng tr×nh: x3y + xy3 - 3x2 - 3y2 = 17  (x2 + y2)(xy - 3) = 17 = 17.1 Do x,y nguyªn d¬ng nªn x2 + y2>1  x  y 17     xy  1 2x  ( x  y ) 25   xy 4 ⇔ ¿ x + y =5 xy=4 ¿ ¿ ¿ x+ y=−5 ¿ xy=4 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x=4 ¿ y=1 ¿ hoÆc ¿ ¿ x=1 ¿ ¿ y=4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x=1 x=− x=4 KÕt luËn: y=4 hoÆc y=− hoÆc y=1 hoÆc ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ x +2 c §Æt = a Víi a lµ sè nguyªn d¬ng th× x y+ ¿ x=−1 y=− ¿{ ¿ x4 + = a(x2y + 1)  x2(x2- ay) = a - (1) XÐt trêng hîp sau : TH1: NÕu a = th× tõ (1) ta cã : x2(x2- y) = -  x 2=1 − y=−1 { {x=1 y=2  TH2: NÕu a = th× tõ (1) cã x2(x2- 2y) = 0, suy x2 = 2y nªn cã nghiÖm x = 2k, y = 2k2 víi k lµ sè nguyªn d¬ng TH3: NÕu a > th× tõ (1), cã a – > vµ (a – 2) chia hÕt cho x2 nªn a – ³ x2  a ³ x2 + > x2 Từ đó  < x2- ay < x2- x2y  Điều này không xảy Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề là : (1; 2) vµ (2k; 2k2) víi k lµ sè nguyªn d¬ng Bµi 3: a ¸p dông B§T Bu_ nhi_ a_ cèp_ xki ta cã : x+ y=( √ x + √ y hay ) a + x b y a b ≥ √x +√ y x y (√( ) √( ) ) ( √ x+ y ≥ ( √ a+ √ b ) 2 √) DÊu “=” x¶y : √x = √ y a x √ √ b y x y x+ y = = = √ a+ √ b hay : √ a √ b √ a+ √b Tøc lµ : x=√ a ( √ a+ √ b ) ; y=√ b ( √ a+ √b ) VËy (x+y) = ( √ a+ √ b ) : x=√ a ( √ a+ √ b ) y=√ b ( √ a+ √b ) b §Æt a = , b = , c =  abc = x y z xyz =1  x + y = c(a + b) y + z = a(b + c) x + z = b(c + a) E= a2 b+c + b2 c+ a + c2 a+b a b+c Dễ dàng chứng minh đợc Nh©n hai vÕ víi a + b + c > + b c+ a c a+b + ³ 3 a(a+ b+c ) b(a+ b+c ) c( a+b+ c) + + ³ (a+b+c) b+ c c +a a+b 2 a+b+ c  a + b + c ³ ³ ⋅ √ abc = 2 b+c c+ a a+b E³  DÊu "=" x¶y  a = b = c = VËy E = a = b = c = Bµi 4: A I Q Gäi I lµ giao ®iÓm cña CQ vµ AP B Ta cã : CAH = ABH (1) ( gãc cã c¹nh t¬ngP øngHvu«ng gãc) Hai tam gi¸c vu«ng CAH vµ ABH cã gãc nhän b»ng AB BH = CA AH AB BP AB BP ⇒ = ⇒ = (2) CA AQ CA AQ Tõ (1) vµ (2) ⇒ Δ ABP ~ Δ CAQ (c.g.c) AP BP ⇒ = mµ BP =PH ⇒ AP = PH CQ AQ AQ QH CQ QH ⇒ Δ HCQ ~ ΔHAP (c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn t¬ng øng tØ lÖ) ⇒ ΔCAH ~ Δ ABH ⇒ ⇒ HAP = HCQ Xét tam giác IQA và HQC có : Q1 = Q2 (đối đỉnh) HAP = HCQ ( chøng minh trªn) ⇒ Δ IQA ~ Δ HQC⇒ AIQ = CHQ = 900 C A hay : AI CQ (®pcm) Bµi 5: a §Æt AB = AC = BC = a; AM = x; AN = y; MN = z Hạ đờng cao NH  AB ( H  AB ) H M  Trong tam gi¸c vu«ng ANH ( H 90 )  Cã A 60  HM  x  ANH 300  AH  N K E D y y NH  2; y ; theo định lý Py-ta-go ta có: o r B C y y ) ( ) x  y  xy 2 2 MN  AM  AN  AM AN Hay (®pcm) MN HM  NH ( x  b.Ta cã: MD = MK; NE = NK (t/c tiÕp tuyÕn)  AM  AN  MN  AD  AE a ; x y AM N  1   1 Ta phải c/m: BM CN ; đó ta có: a  x a  y  x( x  z )  y( y  z ) ( x  z )( y  z )  x  y z ( c/m c©u a) x y  1 yz xz x  xz  y  yz  xy  xz  zy  z  AM N  1 VËy BM CN (®pcm) Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2 x + y +xy=1(1) 3 x + y =x +3 y (2) { Tõ (1) ta cã PT (2) cã d¹ng : x 3+ y3 = ( x+ y)( x + y 2+ xy ) ⇔ x 3+ y3 ¿ x 3+xy 2+ x2 y +3 x2 y +3 y 3+ xy ⇔ x y+ xy +2 y 3=0 ⇔ y (2 x2 +2 xy + y )=0 x+ y ¿ x +¿=0 ⇔2 y¿ y=0 ¿ y =o y=o x+ y ¿ 2=0 x =0 x=0 ¿ ⇔ ⇔ ⇔ ¿ y=− x y=0 x +¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + Với y = thay vào (1) ta đợc x2=1 ⇔ x ± { { + Víi x = 0, y = thay vµo (1) kh«ng tháa m·n ⇒ x= 0, y = lo¹i VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x,y) lµ (1,0) vµ (-1,0) b Gi¶i hÖ: ¿ x + xy − y −5 x+ y − 2=0 (1) x 2+ y 2+ x + y − 4=0(2) ¿{ ¿ Tõ (1)  2x2 + (y - 5)x - y2 + y + = * Víi: x = - y, ta cã hÖ: y −1 ¿2 ¿ ⇒ ¿ − y −3 ( y − 1) x= =2 − y ¿ 5− y +3( y −1) y +1 x= = ¿ ¿ y − ¿2 − 8(− y 2+ y+ 2)=9 ¿ ¿ ¿ ¿ Δ x =¿ ¿ ¿ x=2− y x 2+ y + x + y −4=0 ¿ ⇔ ¿ x=2− y y − y +1=0 ⇔ x= y =1 ¿{ ¿ *Víi x= y+ , ta cã hÖ: ¿ y +1 ¿ x= x 2+ y + x + y −4=0 ¿ ⇔ ¿ y=2 x − x2 − x −4=0 ⇒ ¿ x=− 13 y=− ¿ ¿{ ¿ 13 VËy hÖ cã nghiÖm: (1;1) vµ − ; − 5 1 1 1 + − = − + − Bµi 7: Ta cã 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy 1+ x 1+ xy 1+ y 1+xy ( ) ( = xy − x2 xy − y (1+ x )(1+ xy) (1+ y 2)(1+ xy) = + x ( y − x )(1+ y 2)+ y (x − y )(1+ x2 ) ( 1+ x2 )(1+ y 2)(1+ xy) )( ) = = ( y − x) [ x (1+ y 2) − y (1+ x ) ] (1+ x )(1+ y 2)(1+ xy) y − x ¿2 ( xy −1) ¿ ¿ ( y − x) [ xy ( y − x )−( y − x) ] 2 (1+ x )(1+ y )(1+ xy) (V× x ³ 1, y ³ 1) = ( y − x)( x +xy − y − yx2 ) (1+ x 2)(1+ y 2)(1+ xy) =¿