Tìm xác suất để chọn ra 4 học sinh đi lao động sao cho trong đó có không quá 2 nữ... 2 Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD.[r]
(1)Sở GD & ĐT Thanh Hóa Trường THPT Thọ Xuân ĐỀ THI HỌC HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 11 Năm học 2011 - 2012 Trườ ng THP T4 Thọ Xuân Tổ: Toán Ma trận đề thi HSG cấp trườ ng môn Toán 11 Năm học 20112012 Thôn Vận g Dụng Hiểu TNK Tự TNK Tự TNK Tự Q Luận Q Luận Q Luận Hàm số LG, PTLG Chủ Nhận Đề Biết Tổng 1 2,0 Tổ hợp – xác suất – cấp số cộng & cấp số nhân Giới hạn dãy số & hàm số Hình học không gian 2,0 Tổng Cộng 4,0 2,0 6,0 2,0 2,0 4,0 4,0 Đạo hàm & ứng dụng 2,0 6,0 2,0 7,0 2,0 11 13,0 20,0 (2) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 11 NĂM 2011 – 2012 Thời gian: 120 phút Câu (2,0đ) Giải phương trình 9 cos2x 3sin 2x 2(x ) 3 Câu 2: (2,0đ) Khai triển biểu thức P( x) x n n ta P( x) a0 a1 x a2 x an x Tìm hệ số a6 biết a0 a1 a2 71 Câu 3: (4,0đ) 1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác đó thiết phải có mặt chữ số 2) Một tổ học sinh có nam và nữ Tìm xác suất để chọn học sinh lao động cho đó có không quá nữ Câu (6,0đ) lim x 3x x2 1) Tính giới hạn sau: L = x 1 Sn n 1 3 2n 2n Tính limSn 2) Cho 3) Cho hàm số y x x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số kẻ từ điểm M ( 1; 2) Câu (2,0đ) Cho tứ diện ABCD Tìm M không gian cho MA2 MB MC MD2 đạt giá trị nhỏ Câu (4,0đ) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a ( a ) và tam giác BCD cân D với DC 1) Chứng minh AD BC a (3) 2) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tính góc hai đường thẳng AG và CD theo a biết góc hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) 300 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 11 NĂM 2011 – 2012 CÂU LỜI GIẢI VÀ ĐÁP SỐ ĐIỂM PT cos2x 3sin 2x 5(cos x sinx) 3 (cos x sin x) 3(1 2sin x.cos x) 5(cos x sinx) 0 (cos x sinx)( 2cos x 4sin x 5) 0 cos x sinx 0 ( 2cos x 4sin x 0 VN) t anx x k (k Z) 1 2x n 0,5đ 0,5đ 0,5đ Cn0 Cn1 ( x) Cn2 ( x)2 Cnn ( x) n 0,5đ 0,5đ 2 6 Khi đó a0 Cn , a1 Cn ( 2) , a2 Cn ( 2) và a6 Cn ( 2) 0,5đ Mặt khác a0 a1 a2 71 Cn 2Cn 4Cn 71 2n 2n(n 1) 71 2n 4n 70 0 n 7 (t / m) n (l ) 0,5đ 0,5đ Vậy a6 C7 ( 2) 448 Xét trường hợp 3.1 TH1: Chữ số đầu là số Khi đó chữ số đằng sau có A7 cách chọn TH2: chữ số không đứng vị trí đầu Khi đó có vị trí cho số 4 Chữ số đầu có cách chọn và chữ số còn lại có A6 cách chọn Vậy TH2 có 5.6.A6 cách chọn Vật số các số tự nhiên TMYC đầu bài là: A 5.6 A 13320 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (4) 3.2 Phép thử: ‘‘lấy ngẫu nhiên sinh viên tổ” n C11 330 Gọi A: ‘‘Lấy HS đó có không quá nữ” Có trường hợp xảy TH1: Lấy HS nam có C64 cách chọn TH2: Lấy HS đó có nữ và nam có C15 C 36 cách TH3: Lấy HS đó có 2nữ và nam có C25 C 26 cách 0,5đ 0,5đ 0,5đ n A C64 C51.C63 C52 C62 265 P A Vậy xác suất xuất biến cố A là: x 3x x ( x 1) ( x 1) x lim lim x x x2 x2 x2 0,5đ lim x2 x3 3x lim x ( x x 1) x x [( x 1) ( x 1) x (1 3x) ] 1,0đ x 1 2 Sn 4.2 n 0,5đ 1 2n 2n 2n n 2n 2 n Suy : Đường thẳng d qua điểm M(- 1; 2), hệ số góc k có phương trình là: y k ( x 1) Đường thẳng d là tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương trình limSn lim 4.3 0,5đ lim x 4.1 n A 265 53 n 330 66 sau có nghiệm: x x k ( x 1) 3 x k 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ x , k y 2 y x 4 Vậy các phương trình tiếp tuyến cần lập là: 0,5đ Giải hệ tìm : x 1, k 0 0,5đ Gọi G là trọng tâm tứ diện ta có: 2 2 MA2 MB MC MD2 MA MB MC MD 2 2 2 MG GA MG GB MG GC MG GD 4 MG MG ( GA GB GC GD) GA2 GB GC GD2 0.5đ 4 MG GA2 GB GC GD2 GA2 GB GC GD2 Dấu “=” xảy và M G 2 2 Vậy: MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ M là trọng tâm tứ diện 0.5đ 0.5đ 0.5đ (5) 1) CM : AD BC Gọi M là trung điểm BC, ta có : ABC nên AM BC BCD cân nên DM BC BC ( AMD) BC AD (đpcm) 1,5đ A D C G M N B 2) Tính góc AG và CD -Ta có MA và MD cùng BC nên góc mp (ABC) và (BCD) góc MA và MD Góc MA và MD 300 -Trong MCD kẻ GN / / CD , nối AN Thì góc AG và CD góc AG và GN *TH1 : Góc AMD 300 a MG MD 3 - BCD cân D nên tính MD a - ABC cạnh a nên MA a -Áp dụng định lí cosin cho AMG , ta tính 0,5đ 0,5đ AG a 13 a GN CD ANC có - MCD có a a NC ; AC a; C 600 AN 3 AGN có AN a a a 13 ; GN ; AG 6 0,5đ (6) cos G Áp dụng hệ định lí cosin tính cos 65 Gọi góc ( AG; CD) thì 5 65 0,5đ * TH2 : Góc AMD 1500 cos Hoàn toàn tương tự tính : góc ( AG; CD) thì 26 cos cos 65 Vậy góc ( AG; CD) t/m : 26 0,5đ (7)