’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là số hữu tỉ... chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐT HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Năm hoïc: 2011 – 2012 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài :( 4.0 điểm) Cho biểu thức: M = ( x2 − 1 1− x − x + x − x2 +1 x +1 1+ x )( ) a, Tìm x để M xác định b) Rút gọn biểu thức M tìm giá trị nhỏ M c) Tìm x để M nhận giá trị nguyên Bài 2: (4.0 điểm) a.Giải phương trình: x 2+5 x − √ x2 +5 x +4=− 2 x + y =11 b.Giải hệ phương trình: x + xy+ y=3+ √ { Bài 3: (4.0 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I là trung điểm DE Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC H và cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc đường tròn b Chứng minh ICB = IDK c Chứng minh H là trung điểm DK Bài 5: ( điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n Hết (2) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1:(4.0 điểm) ( a, VÌ : x4 – x2 + = x2 − + ) > ; x2 + > với x 0,5đ => biểu thức đã cho xác định với x ( b, Ta có: M = 4 2 x −1 1− x − x4 + 2 x − x +1 x +1 1+ x )( ) x −1 − x + x −1 x + x +1 − x = x +1 1+x x −2 x +1 x −2 ¿ = x + x +1 x + x −2 Vậy : M ¿ x +1 x −2 Ta có: M ¿ =1- Vì x2 + 1 Dấu “=” xảy x = x +1 x +1 3 Do đó: M = - - = - Vậy Mmin = - x = x +1 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ c Tìm x để M nhận giá trị nguyên Để M nhận giá trị nguyên thì x +1 <=> x2 + là ước dương <=> nhận giá trị nguyên x2 + = x2 + = <=> x=0 x = ± √2 Vậy với x = ; x = ± √ thì M nhận giá trị nguyên 0,75đ 0,5đ 0,25đ Bài 2: (4.0 điểm) Giải phương trình: a x +5 x − √ x2 +5 x +4=− 2 x 2+5 x +4 − √ x2 +5 x +4=2 Đặt y=√ x 2+ x + (y 0) được: y2 - y - = Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = 0,5đ 0,5đ (3) Với y = giải √ x2 +5 x+ 4=2 x1 = 0; x2 = -5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc này cần đặt điều kiện bình phương hai vế b.Giải hệ phương trình: 2 x + y =11 x + xy+ y=3+ √ { - Đặt S = x + y; P = xy được: S − P=11 S+ P=3+ √ { 0,25 - ⇒ S2 +2 S −(17+ √ 2)=0 - Giải phương trình S 1=3+ √ ; S 2=− 5− √2 - S 1=3+ √2 P1=3 √ ; S 2=− 5− √2 P2=8+5 √ - Với S 1=3+ √ ; P1=3 √ có x, y là hai nghiệm phương trình: X −(3+ √ 2) X +3 √ 2=0 - Giải phương trình X 1=3 ; X 2=√ - Với S 2=− 5− √ P2=8+5 √ có x, y là hai nghiệm phương trình: X +( 5+ √ 2) X +8+5 √ 2=0 Phương trình này vô nghiệm x=3 x =√ - Hệ có hai nghiệm: y= ; y=3 √ { 0,5đ 0,5đ { 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (4.0 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = luôn có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên n =-1: Phương trình có nghiệm Với n -1 n+10 ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + =(n2 + 3n + 1)2 0,5đ ’ nên phương trình luôn có nghiệm ’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm phương trình là số hữu tỉ b Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 là nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) 0,5đ 0,5đ 0,5đ Giải: Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1;x3x4 = x3 + x4 = -2010 0,5đ (4) (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 2010 - 2009 =2010+2009 =4019 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( 3.0 điểm) 0,5đ 0,5đ 0,5đ B K A M O H D I E C a, OB BA; OC CA ( AB, AC là các tiếp tuyến) OI IA (I là trung điểm dây DE) B, O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường tròn đường kính AO) (1) DK // AB (Cùng vuông góc với BO) IDK = IAB (2) Từ (1) và (2) được: ICB = IDK ICB = IDK hay ICH = IDH Tứ giác DCIH nội tiếp HID = HCD HCD = BED (Cùng chắn cung DB (O)) HID = BED IH // EB IH là đường trung bình tam giaùc DEK H là trung điểm DK Bài 5: ( 1.0 điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia hết cho nên A(n) chia hết cho với n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên A(n) chia hết cho với n - Nếu n chẵn n2 chia hết cho A(n) chia hết cho Nếu n lẻ (n-1) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25 0,5đ 0,25 0,25 0,25 (5) (n+1) là tích hai số chẵn nên nó chia hết cho A(n) chia hết cho với n - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố cùng nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60 0,25 (6)