Đang tải... (xem toàn văn)
Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kỳ trong các số đó đều là một số âm.. b T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn sao cho tÝch cña chóng b»ng hiÖu..[r]
(1)Mét sè bµi to¸n khã «n luyÖn hsg to¸n (p 2) (BT nâng cao và số chuyên đề toán – Bùi Văn Tuyên) 19 Cho 18 số nguyên cho tổng số các số đó là số âm Giải thích vì tổng 18 số đó là số âm? Bài toán còn đúng không thay 18 sè bëi 19 sè 20 a) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn cho tæng b»ng tÝch b) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn cho tÝch cña chóng b»ng hiÖu 21 T×m x, y Î Z biÕt : a) xy + 3x – 7y = 21 b) xy + 3x – 2y = 11 22 T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn d¬ng nhá h¬n 10 cña x vµ y cho 3x – 4y = - 12 23 Tìm n ẻ Z để : a) n - lµ béi cña n + b) n + lµ béi cña n - x- 4 = vaø x - y = y 3 Î Z 24 T×m x,y biÕt : 25 T×m x Î Z biÕt (x+5)(3x-12) > 26 Chøng minh r»ng : 1.3.5 39 = 20 a) 21.22.23 40 A= 1.3.5 (2n - 1) = n (n Î N* ) b) (n +1)(n + 2)(n + 3) 2n n +1 n- 27 Cho ph©n sè a) Tìm n để A có giá trị nguyên b) Tìm n để A là phân số tối giản 28 Tìm m, n ẻ Z n + = a) m (tr 73) S= 29 Cho m - = b) n 1 1 + + + + <S < 2 Chøng minh r»ng : * 30 Cho a,b,c Î Z ; x + y + z = b c a c a b S1 = x + z; S2 = x + y; S3 = z + y a a b b c c BiÕt Chøng minh r»ng : S1 + S2 + S3 ³ 10 tr 75 (2) 31 Tuæi cña anh hiÖn gÊp lÇn tuæi cña em lóc ngêi anh b»ng tuæi hiÖn cña ngêi em §Õn tuæi cña em b»ng tuæi anh hiÖn cña ngêi anh th× tæng sè tuæi cña hai anh em lµ 35 TÝnh tuæi cña anh vµ em hiÖn 31 32 33 60 = 1.3.5 59 32 Chøng tá r»ng : 2 2 33 Cho hai phân số có tổng lần tích chúng Tính tổng các số nghich đảo hai phân số đó 30 34 Cho S = + + + + + Tìm chữ số tận cùng S, từ đó suy S không phải lµ sè chÝnh ph¬ng 35 Chứng minh : P= 2! 2! 2! 2! + + + + <1( n Î N ; n ³ 3) 3! 4! 5! n! 1 2 + + + + = x( x +1) 36 Tìm x Î N bieát : 21 28 36 Híng dÉn gi¶i 19 Ta chia 18 sè lµm nhãm, mçi nhãm sè V× tæng cña sè bÊt kú lµ mét sè ©m nªn tæng c¸c sè mçi nhãm lµ mét sè ©m Vëy tæng cña nhãm tøc lµ tæng cña 18 sè lµ mét sè ©m NÕu thay 18 sè b»ng 19 sè th× 19 sè Ýt nhÊt còng cã mét sè ©m (v× nÕu kh«ng cã sè âm nào thì tổng số không thể là số âm) Ta tách riêng số âm đó còn lại 18 số Theo c/m trên thì tổng 18 số là số âm, cộng với số âm đã tách riêng từ đầu đợc số âm, tức là tổng 19 số đã cho là số âm 20 a) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn cho tæng b»ng tÝch b) T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn cho tÝch cña chóng b»ng hiÖu Gi¶i a) Gọi hai số nguyên đó là x, y Theo bµi ta cã : xy = x + y Û xy - x- y = Û xy - x- y +1 = Û x(y -1)- (y -1) = Û (x -1)(y -1) = Ta cã b¶ng sau : x- y-1 x y 1 2 -1 -1 0 b) Gọi hai số nguyên đó là x, y Theo bµi ta cã : xy = x - y Û xy - x+ y = Û xy - x + y - = -1 Û x(y -1) + (y -1) = Û (x +1)(y -1) = -1 Ta cã b¶ng sau : x+ 1 -1 (3) y-1 x y 21.T×m x, y Î Z biÕt : -1 0 -2 a x = ; y Î Z hoÆc x Î Z ; y = -3 b (x-2)(y+3)= 22.Ta thÊy 3x M3; -21M3 Þ 4yM3 Vì (4;3) = nên y M3 ị y = 3k (0 < k < 4) Thay y = 3k vào 3x – 4y = - 12 ta đợc : 3x – 4.3k = - 12 Þ x = 4k-7 2 23 a) n - = n + 3n - 3n - + = (n + 3n) - (3n + 9) + = n(n + 3) - 3(n + 3) + } V× n - lµ béi cña n + nªn lµ béi cña n + VËy n + { Ta cã b¶ng sau: n+3 -1 -2 n -2 -4 -1 -5 2 b) n + lµ béi cña n - nªn (n + )(n-3) lµ béi cña n - Î ±1; ±2 2 2 2 hay n - 9Mn - Þ n - - 2Mn - Þ 2Mn - { VËy Ta cã b¶ng sau: n - Î ±1; ±2} n2 - n n Lo¹i -1 Lo¹i ±3 -2 Lo¹i x- 4 = vaø x - y = y 3 Î Z 24 T×m x,y biÕt : x- 4 = y 3 nªn 3(x-4) = 4(y-3) Þ 3x-12=4y-12 Þ 3x=4y(1) V× MÆt kh¸c x-y=5 Þ x=5+y (2) Tõ (1) Þ 3(5+y) = 4y Þ 15+3y = 4y Þ y = 15 Thay vµo (2) Þ x = 20 VËy x = 20; y = 15 ìï x + > ïí ï 25 (x+5)(3x-12) > Þ HoÆc ïî x - 12 > hoÆc - TH ìï x + > ïí Þ ïîï x - 12 > ìï x >- ïí Þ x >4 ïîï x > ïìï x + < Þ í ïîï x - 12 < ïìï x <- Þ x <- í ïîï x < ìï x + < ïí ïïî x - 12 < - TH VËy víi x > hoÆc x < -5 th× (x + 5)(3x - 12) > 26 a) (4) 1.3.5 39 (1.3.5 39).(2.4.6 40) (1.2.3.4.5 39.40) = = 21.22.23 40 (21.22.23 40).(2.4.6 40) (21.22.23 40).220 (1.2.3.4 20) (1.2.3.4.5 39.40) = = 20 20 (1.2.3.4 40).2 b) 1.3.5 (2n - 1) (1.3.5 (2n - 1)).(2.4.6 n) = (n +1)(n + 2)(n + 3) 2n é(n +1)(n + 2)(n + 3) nù.(2.4.6 n) ë û (1.2.3.4.5 2n) = = (n Î N* ) é(n +1)(n + 2)(n + 3) 2nù.(1.2.3 n).2 n n ë û 27 Cho ph©n sè a) A= A= n +1 n- n +1 n - + 4 = =1+ n- n- n- } A cã gi¸ trÞ nguyªn n – Î ¦(4)= { Ta cã b¶ng sau: n-3 -1 -2 -4 n -1 b) §Ó A lµ ph©n sè tèi gi¶n th× (n + 1, n - 3) = hay (n – 3, 4) = Þ n - /M2 hay n lµ sè ch½n ±1; ±2; ±4 n mn 3m + = Þ + = Þ + mn = 3m Þ 3m - mn = Þ m(3 - n) = 28 a) m 6m 6m 6m Ta cã b¶ng sau: m 3-n n -3 -1 -6 -2 -3 -3 -2 m mn n - = Þ = Þ mn - = n Þ mn - n = Þ n(m - 1) = b) n 2 n n n Ta cã b¶ng sau: n m-1 m S= 29 Cho -1 -4 -3 2 -2 -2 -1 -4 -1 1 1 + + + + <S < 2 Chøng minh r»ng : 30 Ta cã : S1 + S2 + S3 = b c a c a b b a c b c a ( x + z) + ( x + y) + ( z + y ) = ( x + x ) + ( y + y) + ( z + z) a a b b c c a b b c a c b a c b c a = ( + ) x + ( + ) y + ( + z) ³ x + y + z = 2( x + y + z) = 2.5 = 10 a b b c a c = VËy : S1 + S2 + S3 ³ 10 -6 -1 (5) 31 I ìï Tuoåi em ïí ï Tríc ®©y ïî Tuoåi anh M II ìï Tuoåi em ïí ï Hieän ïî Tuoåi anh M IIÍ Sau naøy ìï Tuoåi em ïí ïïî Tuoåi anh M } 35 Ta vẽ sơ đồ gồm phần: - Tuoåi anh phaàn I baèng tuoåi em phaàn II - Tuoåi anh phaàn II baèng tuoåi em phaàn III Hiệu tuổi anh và tuổi em đoạn thẳng nhau, giả sử là M 35.3 = 15 Từ sơ đồ ta thấy tuổi anh là + (tuoåi) 35.2 = 10 + Tuoåi em hieän laø : (tuoåi) 32 Ta coù : 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33 60).(1.2.3 30) = = 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) = = 1.3.5 59 2.4.6 60 a c vaø d Theo bµi ta cã : 33 Gọi hai p/số đó là b a c a c ad + bc ac + = 5( ) Û = Û ad + bc = 5ac b d b d bd bd b d bc + ad 5ac + = = =5 ac ac Tổng các số nghịch đảo p/số là : a c S = (1 + 31 + 32 + 33 ) + (34 + 35 + 36 + 37 ) + + (324 + 325 + 326 + 327 ) + (328 + 329 + 330 ) = (1 + 31 + 32 + 33 ) + 34 (1 + 31 + 32 + 33 ) + + 324 (1 + 31 + 32 + 33 ) + (328 + 329 + 330 ) 24 28 29 30 34 Ta coù : = 40 + 40.3 + + 40.3 + (3 + + ) 28 29 30 Vậy chữ số tận cùng S là chữ số tận cùng tổng + +3 28 29 30 4.7 4.7 4.7 Ta coù : + +3 = + 3.3 + 3 = + + = (6) Vậy tổng S có chữ số tận cùng là Vì soá chính phöông khoâng coù taän cuøng laø neân suy S khoâng phaûi laø soá chính phöông 35 Ta coù æ1 1 2! 2! 2! 2! 1ö ÷ + + + + = 2!ç ç + + + + ÷ ÷ ÷ ç 3! 4! 5! n! n !ø è3! 4! 5! æ1 æ1 1 ö 1 ö 1÷ ÷ ç ÷ ÷ < 2.ç + + + = + + + ç + ç ÷ è ÷ ÷ ç ç2 3 (n - 1)n ø (n - 1) n ÷ è2.3 3.4 4.5 ø æ1 ÷ ö = 2.ç - ÷ = 1- < 1(n Î N ; n ³ 3) ç ÷ ç n è2 n ÷ ø P= 36 Ta coù : 1 2 + + + + = 21 28 36 x( x +1) 2 2 Þ + + + + = 42 56 72 x ( x +1) 1 1 Þ 2.( + + + + = ) 6.7 7.8 8.9 x( x +1) æ ö 1 ÷ 1 1 1 ÷ Þ 2ç = Þ = Þ = - = Þ x +1 = 18 Þ x = 17 ç ÷ ÷ ç x +1 x +1 18 è6 x +1ø *************************** (7)