Đang tải... (xem toàn văn)
Biết rằng hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC.. Tính thể tích khối tứ diện ABCD...[r]
(1)TR¦êNG §¹I HäC VINH TR¦êNG THPT CHUY£N §Ò THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU N¡M năm học: 2012 - 2013 M«n: To¸n - Líp 12; Thêi gian lµm bµi: 120 phót Câu (3 điểm) Cho hàm số y = 2x − có đồ thị (C ) 2− x a, Tìm điểm M thuộc (C ) biết hoành độ nó thoả mãn phương trình y ' ' (x ) = b, Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm M tìm câu a Câu (2 điểm) a, (1 điểm) Cho hàm số y = x + (3m − 2)x + (1 − 2m )x + , m là tham số Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x = b, (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = (x + 2) − x Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình ⎧⎪− y + 12 x + 3xy = x + x y + x + y − ⎨ ⎪⎩2 x − xy + x − = Câu (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên gấp lần cạnh đáy a, Cho AB = a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD và SC b, Gọi M là trung điểm AB Tính góc hai đường thẳng SA và CM Câu (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy là tam giác đều, cạnh bên a và tạo với đáy góc 600 Gọi D là trung điểm cạnh CC’ Biết hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện ABCD …………Hết………… (2) TR¦êNG §¹I HäC VINH TR¦êNG THPT CHUY£N ĐÁP ÁN §Ò THI KSCL ĐẦU N¡M Năm học: 2012 - 2013 M«n: To¸n - Líp 12; Thêi gian lµm bµi: 120 phót Câu (3 điểm) TXĐ D = R \ {2} , y' ' (x ) = (2 − x ) (2 − x )3 Theo giả thiết ta có = ⇔ (2 − x ) = ⇔ x = (2 − x ) a, (1,5 điểm) y ' (x ) = Suy điểm M cần tìm là: M (1;−1) b, (1,5 điểm) Tại M (1;−1) , hệ số góc phương trình tiếp tuyến là y ' (1) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = x − Câu (2 điểm) a, (1 điểm) TXĐ R Ta có: y ' (x ) = x + 2(3m − 2)x + − 2m , y ' ' (x ) = x + 6m − Hàm số đạt cực tiểu điểm x = khi: ⎧4 m − = ⎧ y ' (1) = ⇔m= ⇔⎨ ⎨ ⎩6m − > ⎩ y ' ' (1) > b, (1 điểm) TXĐ D = [− 2;2] Ta có y ' (x ) = y ' (x ) = ⇔ − 2x − 2x2 − x2 − x − x2 = ⇔ x =1 − x2 Vì y(− 2) = 0, y (2) = 0, y (1) = 3 Suy ra: GTLN hàm số là 3 , GTNN hàm số là Câu (1 điểm) Ta có: − y + 12 x + xy = x + 3x y + x + y − ⇔ ( x − y ) + ( x − y ) = (2 x − 1) + (2 x − 1) Xét hàm số f (t ) = t + t trên R , phương trình trên có dạng f (x − y ) = f (2 x − 1) 3 Vì f ' (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t ) đồng biến trên R Do đó f (x − y ) = f (2 x − 1) ⇔ x − y = x − ⇔ y = − x ⎡x = Thế vào phương trình còn lại ta được: x + x − = ⇔ ⎢ ⎢x = − ⎣ Hệ đã cho có hai nghiệm (x, y ) là (1,0) và ⎛⎜ − , ⎞⎟ ⎝ 3⎠ (3) Câu (3 điểm) a, (1,5 điểm) AC = 2a, SA = a , SO = a Đặt h = d (O; ( SBC ) ) Suy S a 55 1 1 11 = + + = ⇒h= 2 2 h OS OB OC 5a 11 N D C Ta có d ( AD; SC ) = d ( A; ( SBC ) ) = 2d (O; ( SBC ) ) = 2h = 2a 55 11 b, (1,5 điểm) Đặt AB = ⇒ SA = Gọi N là trung điểm CD O A M B ⇒ AN = 5, SN = 11 2 Ta có cos(SA, CM ) = cos(SA, AN ) = cos ∠SAN = 12 + − 11 15 = 10 2.2 ⎛ 15 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 10 ⎠ Suy (SA,CM ) = arccos⎜⎜ C' Câu (1 điểm) Gọi H, K là hình chiếu A’, D lên (ABC) A' Suy H là trọng tâm ΔABC và DK = A' H B' D a A' H = 2 3a a a a , AH = ⇒ S ΔHAB = ⇒ S ΔABC = 2 16 16 3a Vậy VABCD = DK S ΔABC = 64 C K A H B (4)