Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gin bd metric sắp thứ tự và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LITNA AMPHONEPADID ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LITNA AMPHONEPADID ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Litna AMPHONEPADID i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 11 năm 2020 Tác giả Litna AMPHONEPADID ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b - metric 1.2 Không gian bd - metric 1.3 Tôpô không gian bd - metric CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỨ TỰ 13 2.1 Ngun lí ánh xạ co Banach khơng gian b-metric 13 2.2 Điểm bất động chung ánh xạ không gian b - metric 14 2.3 Điểm bất động chung ánh xạ co yếu không gian bd - metric thứ tự 19 2.4 Sự tồn nghiệm chung hệ phương trình tích phân 36 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 iii MỞ ĐẦU Nguyên lí ánh xạ co Banach kết đơn giản có nhiều ứng dụng lí thuyết điểm bất động metric Nó công cụ phổ biến để chứng minh tồn nghiệm toán lĩnh vực khác toán học Nguyên lý ánh xạ co Banach mở rộng theo hai hướng Hướng thứ mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho loại ánh xạ khác ánh xạ co yếu, ánh xạ dãn, ánh xạ tương thích yếu, ánh xạ tương thích,… Hướng thứ hai thiết lập ngun lí ánh xạ co Banach cho khơng gian kiểu metric: chẳng hạn không gian 2-metric, D-metric, b metric, b2 - metric, G - metric,… Năm 2000, Hitzler Seda giới thiệu khái niệm dl - metric dl - tơpơ thiết lập định lí điểm bất động không gian dl - metric đầy đủ Năm 2013, N Hussain, J.R Roshan, V Parvaneh M.Abbas giới thiệu khái niệm bd - metric thiết lập định lí điểm bất động chung ánh xạ co yếu không gian bd - metric Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: “Điểm bất động chung ánh xạ co yếu không gian bd - metric thứ tự ứng dụng” Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Nội dung luận văn viết chủ yếu dựa tài liệu [3], [6] [8], gồm 40 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Giới thiệu khái niệm vài tính chất không gian b metric không gian bd - metric Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày lại kết nghiên cứu gần N Hussain, J.R Roshan, V Parvaneh M.Abbas điểm bất động chung ánh xạ co yếu không gian bd - metric Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian b - metric Định nghĩa 1.1.1 Cho E tập khác rỗng l ³ số thực Một hàm d : E ´ E ® ¡ + gọi b - metric với u, v, w Ỵ E , điều kiện sau thỏa mãn: (i ) d (u, v ) = u = v , (ii ) d (u, v ) = d (v, u ) , (𝑖𝑖𝑖) d (u, v ) £ l [d (u, w) + d(w, v )] Cặp (E , d ) gọi không gian b - metric Chú ý lớp không gian b - metric rộng lớp không gian metric Thật vậy, b - metric metric l = Ví dụ 1.1.2 Khơng gian lp (0 < p < 1), ìï ü p ï lp = ùớ (un ) ẻ Ă : un ỏƠ ùý , ùùợ ùùỵ n vi hm s d : lp ´ lp ® ¡ + , xác định d (u, v ) = ( å u n - )1/ p , p n u = (un ), v = (vn ) Ỵ lp khơng gian b -metric với l = 21/ p Ví dụ 1.1.3 Cho (E , d ) không gian metric p(u , v ) = (d (u , v )) p , p > Khi p b - metric với l = 2p - Thật vậy: Hiển nhiên, điều kiện (i) (ii) Định nghĩa 1.1.1 thỏa mãn Nếu < p < ¥ sử dụng tính lồi hàm số f (u ) = u p (u > 0) ta có bất đẳng thc ổa + b ửữ p ỗỗ ữ £ a + b p nghĩa là, (a + b) p £ 2p - 1(a p + b p ) ữ ỗố ứ ữ p ( ) Do với u, v, w Ỵ E , ta có: p(u , v ) = (d (u, v )) p £ (d (u, w ) + d (w, v )) p £ 2p - 1((d (u, w )) p + (d (w, v )) p ) = 2p - 1( p(u, w ) + p(w, v )) Vì vậy, điều kiện (iii) Định nghĩa 1.1.1 thỏa mãn p b metric Định nghĩa 1.1.4 Cho (E , d ) không gian b - metric Khi đó, dãy {u n } Ì E gọi là: a ) hội tụ tồn u Ỵ E cho d (u n , u ) đ 0, n đ Ơ Trong trường hợp này, ta viết lim un = u xđ Ơ b) dóy Cauchy v ch d (u n , u m ) ® 0, m , n đ + Ơ Mnh 1.1.5 Trong không gian b - metric (E , d ) khẳng định sau thỏa mãn: i ) dãy hội tụ có giới hạn nhất, ii ) dãy hội tụ dãy Cauchy, iii ) nói chung, b - metric không liên tục Định nghĩa 1.1.6 Không gian b - metric (E , d ) gọi đầy đủ dãy Cauchy E hội tụ Nói chung, hàm b - metric d với l > không liên tục theo hai biến Sau ví dụ b - metric khơng liên tục Ví dụ 1.1.7 Cho E = ¥ È {¥ } d : E ´ E ® ¡ xác định d (m , n ) = m = n , d (m , n ) = 1 m , n số chẵn m n = ¥ m n d (m , n ) = m , n số lẻ m ¹ n d (m , n ) = m, n lại Khi với m , n , p Ỵ E , ta có d (m , p) £ 3(d (m , n ) + d (n , p)) Do đó, (E , d ) không gian b - metric với l = Nếu u n = 2n , vi mi n ẻ Ơ , thỡ d (2n , Ơ ) = đ , n ® ¥ 2n / d (¥ ,1), n ® ¥ Nghĩa là, u n ® ¥ , d (u 2n ,1) = ® Nói chung b - metric không liên tục, nên ta cần bổ đề đơn giản sau dãy b - hội tụ Bổ đề 1.1.8 Cho (E , d ) không gian b - metric {u n } dãy E cho u n ® u u n ® v Khi u = v Bổ đề 1.1.9 Cho (E , d ) không gian b - metric , {uk }kn = Ì E Khi đó: d(un , u ) £ l d(u 0, u1) + K + l d(un - 2, un - 1) + l n- n- d(un - 1, un ) Bổ đề 1.1.10 Cho {vn } dãy không gian b - metric (E , d ) cho d(vn , + 1) £ qd(vn - 1, ) với < q < / l v mi n ẻ Ơ Khi {vn } dãy Cauchy E Bổ đề 1.1.11 Cho (E , d ) không gian b - metric với l ³ Giả sử {u n } {vn } b - hội tụ đến u v tương ứng Khi ta có: d (u, v ) £ lim inf d (u n , ) £ lim sup d (u n , ) £ l 2d (u, v ) nđ Ơ nđ Ơ l c biệt, u = v , lim d (un , ) = , với w ẻ E ta cú xđ Ơ d (u, w ) £ lim inf d (u n , w ) £ lim sup d(u n , w ) Ê l d (u, w ) nđ Ơ nđ Ơ l Định nghĩa 1.1.12 Cho (E , d ) không gian b - metric Một cặp ánh xạ {f , g} gọi tương thích lim d( fgun , gfun ) = , ú nđ Ơ {u n } l mt dãy E cho lim fun = lim gun = t , vi t ẻ E no ú nđ ¥ x® ¥ Định nghĩa 1.1.13 Cho f g định nghĩa hai tự ánh xạ tập không rỗng E Nếu w = fu = gu với u Ỵ E , u gọi điểm trùng f g , w gọi điểm trùng f g Định nghĩa 1.1.14 Cho f g hai tự ánh xạ xác định tập E Khi f g gọi tương thích yếu chúng giao hốn điểm trùng 1.2 Khơng gian bd - metric Định nghĩa 1.2.1 Cho E tập khơng rỗng Ánh xạ dl : E ´ E ® [0, ¥ ) gọi dl - metric thoả mãn điều kiện sau với u, v, w Î E : (i ) Nếu dl (u , v ) = u = v ; (ii ) dl (u , v ) = dl (v, u ) ; (iii ) dl (u , v ) £ dl (u , w ) + dl (w, v ) Cặp (E , dl ) gọi không gian dl - metric Chú ý u = v , dl (u, v ) khơng Ví dụ 1.2.2 Nếu E = ¡ + È {0} , dl (u , v ) = u + v xác định dl - metric E Định nghĩa 1.2.3 Dãy {u n } không gian dl - metric gọi là: (1) dãy Cauchy với e > , tồn $ n Î ¥ cho với " n , m ³ n , ta có dl (u m , u n ) < e lim dl (um , un ) = n ,m đ Ơ ( ) ( lim sup k đ Ơ bd v2m , v2n + lim sup k đ Ơ bd v2m k k , v 2n +1 k - k 4l ìï el + el £ max ïí el 2, ïï 4l ợ T ú, ta cú l kđ Ơ ( k k k -1 ) £ el (2.16) e l ( £ lim inf Ll u 2m , u 2n 4l y 2l 4bd (v2m ( £ lim sup Ll u 2m , u 2n 4l e+ Vỡ ý ùù ùỵ e e+ Tng t, ta c ỹ ùù ý = el ùù ỵ )ỹùùù kđ Ơ ) k ( k -1 ) Ê el , v2n ) = y 2l 4bd ( fu 2m , gu 2n +1 k k ( £ y Ll (u 2m , u 2n k k -1 k -1 ) (2.17) ) ) ( ) - j Ll (u 2m , u 2n k k -1 ) ) , nên lấy giới hạn k ® ¥ từ (2.12) (2.16), ta nhận ( y 2el ổ ) = y ỗỗỗố2l e÷ ÷ ÷ l ÷ ø ( £ y (lim sup L (u £ y 2l lim sup bd (v2m kđ Ơ l kđ Ơ , u 2n k -1 k ) 2m k l Suy l ( j lim inf Ll (u 2m , u 2n Do lim inf Ll (u 2m , u 2n k® ¥ k® ¥ , u 2n k® ¥ k kđ Ơ k -1 k ( ) - lim inf j Ll (u 2m , u 2n kđ Ơ ) , v2n ) +1 ( ) - j (lim inf L (u y (2el ) - j (lim inf L (u £ y el £ 2m k k 2m k k - k - , u 2n k ) k k -1 ) ) - ) ) ) ) = ) = , mâu thuẫn với (2.17) Như { v 2n } dãy bd - Cauchy E Vì E đầy đủ, nên $v Ỵ E cho lim fu 2n = lim T u 2n + = lim gu 2n + = lim Su 2n = v nđ Ơ ) nđ Ơ nđ Ơ 26 nđ Ơ Bõy gi, ta ch rng v l điểm bất động chung f , g, S T Giả sử (a1 ) xảy S liên tục Khi lim S 2u 2n + = Sv lim Sfu 2n = Sv n® ¥ n® ¥ Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có ( ) bd (fSu 2n , Sv ) £ l bd (fSu 2n , Sfu 2n ) + bd (Sfu 2n , Sv ) Vì cặp ( f , S ) tương thích, nên lim bd (fSu 2n , Sfu 2n ) = Do ú, ly gii hn nđ Ơ n đ Ơ bất đẳng thức trên, ta ( ) lim bd (fSu 2n , Sv ) £ l lim bd (fSu 2n , Sfu 2n ) + lim bd (Sfu 2n , Sy ) = nđ Ơ nđ ¥ n® ¥ Suy lim fSu 2n = Sv nđ Ơ Vỡ Su2n + = gu2n + ° u2n + , nên từ (2.6) ta ( y 2l 4bd ( fSu 2n + 2, gu 2n + ) ) £ y (Ll (Su 2n + 2, u 2n + )) - j (Ll (Su 2n + 2, u 2n + )) , (2.18) ìï ü ïï ïï 2 ïï bd (S u 2n + 2,T u 2n + ), bd ( fSu 2n + 2, S u 2n + ), ïïï ï ïïý Ll (Su 2n + 2, u 2n + ) = max ïí bd (gu 2n + 1,T u 2n + ), ïï ï ïï bd (S 2u 2n + 2, gu 2n + ) + bd ( fSu 2n + 2,T u 2n + ) ïïï ïï ïï 4l ù ợù ỵ Bõy gi, s dng B 1.3.20, ta lim sup Ll (Su 2n + 2, u 2n + ) nđ Ơ ỡù ùù l 2bd (Sv, v ) + l 2bd (Sv, v )ü ï 2 £ max í l bd (Sv, v ), 0, 0, ý = l bd (Sv, v ) ïï ù 4l ùỵ ù ợù T ú, ly gii hn (2.18) áp dụng Bổ đề 1.3.20, ta ỉ ÷ y 2l 2bd (Sv, v ) = y ỗỗ2l bd (Sv, v )ữ ữ ỗố ữ l ứ Ê y l bd (Sv, v ) - j l 2bd (Sv, v ) ( ) ( ) 27 ( ) ( ) ( ) £ y 2l 2bd (Sv, v ) - j l 2bd (Sv, v ) ( ) Suy j l 2bd (Sv, v ) £ hay Sv = v Bây giờ, gu2n + ° u2n + gu2n + ® v n đ Ơ , nờn v u2n + từ (2.6) ta có ( ) y 2l 4bd ( fv, gu 2n + 1) £ y (Ll (v, u 2n + 1)) - j (Ll (v, u 2n + 1)), (2.19) Ll (v, u2n + 1) = max {bd (Sv,T u2n + 1), bd ( fv, Sv), bd (gu 2n + 1,T u 2n + 1), ïï bd (Sv, gu 2n + ) + bd (fv,T u 2n + )ỹ ý ùù 4l ùỵ Ly gii hn trờn n đ Ơ (2.19) sử dụng Bổ đề 1.3.20, ta có ỉ ö ÷ y 2l 3bd ( fv, v ) = y ỗỗ2l bd ( fv, v )ữ ữ ữ çè l ø £ y (bd ( fv, v )) - j (bd ( fv, v )) ( ) ( ) £ y 2l 3bd ( fv, v ) - j (bd ( fv, v )) Suy j (bd ( fv, v )) £ , fv = v Vì f (E ) Í T (E ) , nên tồn điểm n Ỵ E cho fv = T n Giả sử gn ¹ T n Vì n ° T n = fv ° v , từ (2.6) ta có y (bd (T n, gn)) = y (bd ( fv, gn)) £ y (Ll (v, n)) - j (Ll (v, n)), (2.20) ìï b (Sv,T n ), b ( fv, Sv ), b (gn,T n),ü ïï d d ï d ï ïý = b (gn,T n ) Ll (v, n ) = max í b (Sv, gn ) + b ( fv,T n) d d d ïï ïï 4l ùùợ ùùỵ Do ú, t (2.20) ta cú 28 y (bd (T n, gn)) £ y (bd (gn,T n)) - j (bd (gn,T n)) , mâu thuẫn Do gn = T n Vì cặp (g,T ) tương thích yếu, nên gv = gfv = gT n = T gn = T fv = T v v điểm trùng g T Vì Su 2n ° u 2n Su 2n ® v n đ Ơ , nờn suy v u 2n từ (2.6) ta ( ) y 2l 4bd ( fu 2n , gv ) £ y (Ll (u 2n , v )) - j (Ll (u 2n , v )), (2.21) Ll (u2n , v) = max {bd (Su 2n ,T v ), bd ( fu 2n , Su 2n ), bd (gv,T v ), ïï bd (Su 2n , gv ) + bd ( fu 2n ,T v ) ü ý ïï 4l ỵ Ly gii hn trờn n đ Ơ (2.22) (2.22) áp dụng Bổ đề 1.3.20, ta có ïì ïü 2l max ïí bd (v, gv ), bd (gv,T v ), bd (v, gv )ïý ïỵï l ùỵ 4l ù Ê lim inf Ll (u 2n , v ) nđ Ơ Ê lim sup Ll (u 2n , v ) nđ Ơ ỡù ỹ ù 2l Ê max ïí l bd (v, gv ), bd (gv,T v ), bd (v, gv )ùý ùợù ùỵ 4l ù = max {l bd (v, gv), bd (gv, gv)} £ max {l bd (v, gv), 2l bd (v, gv)} = 2l bd (v, gv ) (2.23) Lấy giới hạn n đ Ơ (2.21) v ỏp dng B đề 1.3.20 kết hợp với (2.23), ta có ỉ ö ÷ ÷ y 2l 3bd (v, gv ) = y ỗỗ2l bd (v, gv )ữ ữ ỗố l ø ( ) 29 ( ) £ y lim sup Ll (u 2n , v ) - lim inf j (Ll (u 2n , v)) nđ Ơ ( nđ Ơ £ y (2l bd (v, gv )) - j lim inf Ll (u 2n , v ) ( nđ Ơ ( ) ) ) £ y 2l 3bd (v, gv ) - j lim inf Ll (u 2n , v ) , nđ Ơ Suy lim infn đ Ơ Ll (u2n , v ) = , v = gv Như ta fv = gv = Sv = T v = v Chứng minh tương tự f liên tục Trường hợp (a ) xảy ra, kết chứng minh tương tự Bây giờ, giả sử tập hợp điểm bất động chung f , g, S T thứ tự tốt Ta chúng có điểm bất động chung Giả sử ngược lại fu = gu = Su = T u = u f n = gn = S n = T n = n , u ¹ n Theo giả thiết, áp dụng (2.6) ta nhận y (2l bd (u, n)) = y (2l bd ( fu, gn)) ( ) £ y 2l 4bd ( fu, gn) £ y (Ll (u, n)) - j (Ll (u, n)), ïìï bd (Su, gn ) + bd (fu,T n )ïü ï Ll (u, n ) = max í bd (Su,T n ), bd (fu, Su ), bd (gn,T n ), ý ïï ïï 4l ï ợù ỵ ùỡ bd (u, n ) + bd (u, n )ïü ï ïý = max í bd (u, n ), bd (u, u ), bd (n, n ), ïï ùù 4l ù ợù ỵ { } = max bd (u, n ), bd (u, u ), bd (n, n ) { } £ max bd (u, n ), 2l bd (u, n ), 2l bd (u, n ) £ 2l bd (u, n ) Như 30 ( ) ( ) ( ) y 2l bd (u, n ) £ y 2l bd (u, n ) - j Ll (u, n ) Suy Ll (u, n ) = , mâu thuẫn Do u = n Ngược lại hiển nhiên W Trong định lý sau, bỏ giả thiết liên tục f , g,T S thay tính tương thích cặp (f , S ) (g,T ) tính tương thích yếu ta f , g, S T có điểm bất động chung E Định lý 2.3.2 Cho (E , bd , ° ) không gian b d - metric đầy đủ thứ tự, f , g, S T tự ánh xạ E cho ( f , g) (S ,T ) ánh xạ bị trội ánh xạ trội, tương ứng, với f (E ) Í T (E ) g(E ) Í S (E ) , T (E ) S (E ) tập bd - đóng E Giả sử với cặp phần tử so sánh u, v Ỵ E , ( ) y 2l 4d( fu, gv ) £ y (Ll (u, v )) - j (Ll (u, v )) (2.24) thỏa mãn, ïìï bd (Su ,T v ), bd (fu , Su ), bd (gv,T v ),ïüï ï ïïý , Ll (u , v ) = max ïí b (Su , gv ) + b (fu ,T v ) d ùù d ùù ùùợ ùùỵ 4l y Ỵ Y j Ỵ F Nếu với dãy không tăng {u n } dãy {vn } với y n ° x n , " n cho ® u , ta có u ° u n cặp ( f , S ) (g,T ) tương thích yếu, f , g, S T có điểm bất động chung Ngoài ra, tập hợp điểm bất động chung f , g, S T thứ tự tốt Û f , g, S T có điểm bất động chung Chứng minh theo chứng minh Định lý 2.3.1, $v Ỵ E cho lim bd (vk , v ) = k® ¥ Vì T (E ) bd - đóng {v2n + 1} Í T (E ) , nên v Î T (E ) Do dó $u Î E cho v = T u 31 lim bd (v2n + 1,T u ) = lim bd (T u 2n + 1,T u ) = nđ Ơ (2.25) nđ Ơ Tng t, $n ẻ E cho v = T u = Sn lim bd (v2n , S n ) = lim bd (Su 2n , S n ) = nđ Ơ (2.26) nđ Ơ Bõy ta chứng minh n điểm trùng f S Vì T u2n + ® v = S n n đ Ơ nờn theo giả thiết, T u2n + ° S n Do đó, từ (2.24) ta có ( ) y 2l 4bd ( f n, gu 2n + ) £ y (Ll (n, u 2n + 1)) - j (Ll (n, u 2n + 1)), (2.27) Ll (n, u2n + 1) = max {bd (S n,T u 2n + 1), bd ( f n, S n), bd (gu 2n + 1,T u 2n + 1), ïï bd (S n, gu 2n + ) + bd ( f n,T u 2n + ) ü ý ïï 4l þ = max {bd (T u,T u2n + 1), bd ( f n, v), bd (gu 2n + 1,T u 2n + 1), ïï bd (S n, v2n + ) + bd ( f n,T u 2n + ) ỹ ý ùù 4l ỵ Ly gii hn trờn n đ Ơ , ỏp dng (2.25)-(2.26) v B đề 1.3.20, ta ìï ü ï 1 max ïí bd ( f n, v ), bd (v, v ), bd (v, v )ùý ùợù ùỵ l 4l ï £ lim inf Ll (n, u 2n + ) nđ Ơ Ê lim sup Ll (n, u 2n + ) nđ Ơ ỡù ùù + l 2bd ( f n, v ) ü £ max ïí 0, bd ( f n, v ), l 2bd (v, v ), ý ùù ùù l ợ ỵ { } £ max bd ( f n, v ), 2l 2bd ( f n, v ) = 2l 2bd ( f n, v) 32 (2.28) Lấy giới hạn trờn n đ Ơ (2.27), s dng (2.28) Bổ đề 1.3.20, ta ỉ ÷ y 2l 3d ( f n, v ) = y çç2l d( f n, v )÷ ÷ çè ÷ l ø ( ) ( £ y (2l b ( f n, v )) - j (lim inf L (n, u ( ) ) ) ), £ y 2l 2bd ( f n, v ) - j lim inf Ll (n, u 2n + ) nđ Ơ d l nđ Ơ 2n + suy lim infn ® ¥ Ll (n, u2n + ) = , từ (2.28) ta f n = v = S n Vì f S tương thích yếu, nên ta có fv = fS n = Sf n = Sv Như vậy, v điểm trùng f S Tương tự, v điểm trùng cặp (g,T ) Bây giờ, ta fv = gv Từ (2.24) ta có ( ) y 2l 4d (fv, gv ) £ y (Ll (v, v )) - j (Ll (v, v )), ìï ïï bd (Sv, gv ) + bd (fv,T v )ü ï Ll (v, v ) = max í bd (Sv,T v ), bd (fv, Sv ), bd (gv,T v ), ý ùù ùù 4l ù ợù ỵ ỡù ùù bd (fv, gv ) + bd (fv, gv )ü ï = max í bd (fv, gv ), bd (fv, fv ), bd (gv, gv ), ý ïï ïï 4l ï ỵï þ { } max {b (fv, gv ), 2l b (fv, gv ), 2l b (fv, gv )} = max bd (fv, gv ), bd (fv, fv ), bd (gv, gv ) £ d d d = 2l bd (fv, gv ) Do đó, ta có ( ) y 2l 4d (fv, gv ) £ y (Ll (v, v )) - j (Ll (v, v )) ( ) y (2l b (fv, gv ))- j (L (v, v )) £ y 2l bd (fv, gv ) - j (Ll (v, v )) £ d l 33 Suy Ll (v, v ) = , ta có fv = gv Do fv = gv = Sv = T v Bây giờ, tương tự chứng minh Định lý 2.1.1, từ (2.21)(2.23), ta có gv = v Do đó, fv = gv = Sv = T v = v Kết luận cuối suy tương tự chứng minh Định lý 2.1.1 W Sau ví dụ minh họa cho kết Ví dụ 2.3.3 Cho E = [0, ¥ ) trang bị bd - metric bd (u, v) = (u + v)2 , l = giả sử ‘ ° ’ thứ tự thông thường £ E Hiển nhiên, (E , bd , £ ) không gian bd - metric đầy đủ thứ tự Cho f , g, S ,T : E ® E ánh xạ xác định ỉ ỉ ỗỗ1 + ữ ữ = f (u ) = ln ỗỗ1 + ữ g u , ( ) ln ữ ữ ỗố ỗố ữ ữ 4ứ 5ứ S (u ) = e 5u - 1, Với u Ỵ E , ta có + T (u ) = e 4u - u u £ e u + £ e u , nên ổ uử ổ uử ỗỗ1 + ữ ữ ữ , ( ) ln f (u ) = ln ỗỗ1 + ÷ u g u £ = £ u, ÷ ÷ çè ÷ ÷ çè 4ø 5ø u £ e 5u - = S (u ) u £ e 4u - = T (u ) Như vậy, f g ánh xạ bị trội T S ánh xạ trội với f (E ) = g(E ) = S (E ) = T (E ) = [0, ¥ ) Ngồi ra, cặp (g,T ) tương thích, g liên tục (f , S ) tương thích yếu Lấy cỏc hm y , j : [0, Ơ ) đ [0, ¥ ) xác định y (t ) = bt j (t ) = (b - 1)t , vi mi t ẻ [0, Ơ ) , < b £ ( ) 25 Với u, v Ỵ E , ta có 2 y 2l 4bd (f (u ), g(v )) = 32b (f (u ) + g(v )) ( ) = 32b ln (1 + u / 4) + ln (1 + v / 5) 34 £ 32b (u / + v / 5) = 2 b (5u + 4v ) 25 ( ) £ e 5u - + e 4v - = bd (S (u ),T (v )) £ L2(u, v ) = y (L2(u, v )) - j (L2(u, v )) Như vậy, f , g, S T thoả mãn tất điều kiện Định lý 2.1.1 điểm bất động chung f , g, S T Hệ quả 2.3.4 Cho (E , bd , ° ) không gian b d - metric đầy đủ thứ tự f , g hai tự ánh xạ bị trội E Giả sử với hai phần tử so sánh u, v Ỵ E tùy ý, ( ) y 2l 4bd (fu, gv ) £ y (Ll (u, v )) - j (Ll (u, v )) thỏa mãn, ïìï bd (u, gv ) + bd (fu, v )ïü ï Ll (u, v ) = max í bd (u, v ), bd (fu, u ), bd (gv, v ), ý ïï ùù 4l ù ợù ỵ y ẻ Y v j Î F Nếu với dãy không tăng {u n } dãy {vn } với ° u n , với n cho ® u , ta có u ° u n , f g có điểm bất động chung Ngồi ra, tập điểm bất động chung f g thứ tự tốt Û f g có điểm bất động chung Chứng minh Lấy S T ánh xạ đồng E Khi kết cần chứng minh suy từ Định lý 2.3.2 Hệ quả 2.3.5 Cho (E , bd , ° ) không gian b d - metric đầy đủ thứ tự f , g hai tự ánh xạ bị trội E Giả sử với hai phần tử so sánh u, v Ỵ E tùy ý, 2l 4bd (fu, gv ) £ Ll (u, v ) - j (Ll (u, v )) thỏa mãn, 35 ìï ï bd (u, gv ) + bd (fu, v )ü ï ïý Ll (u, v ) = max í bd (u, v ), bd (fu, u ), bd (gv, v ), ùù ùù 4l ùợ ùỵ v j ẻ F Nếu với dãy không tăng {u n } dãy {vn } với ° u n , với " n cho ® u , ta có u ° u n , f g có điểm bất động chung Ngoài ra, tập điểm bất động chung f g thứ tự tốt Û f g có điểm bất động chung Chứng minh Nếu lấy S T ánh xạ đồng E y (t ) = t , " t Ỵ éëê0, ¥ ), từ Định lý 2.3.2 suy f g có điểm bất động chung W 2.4 Sự tồn tại nghiệm chung hệ phương trình tích phân Xét hệ phương trình tích phân sau: u(t ) = u(t ) = ò b ò b a a F (t , r , u(r ))dr , F (t , r , u(r ))dr , (2.29) b > a ³ Mục đích phần trình bày định lý tồn nghiệm hệ (2.29) thuộc vào E = C [a, b] cách sử dụng kết nhận Hệ 2.3.4 Ở đây, F 1, F : [a, b]´ [a, b]´ ¡ ® ¡ Bài tốn xét phát biểu lại sau Cho f , g : E ® E ánh xạ xác định fu(t ) = gu(t ) = ò b ò b a a F (t , r , u(r ))dr F (t , r , u(r ))dr với u Ỵ E t Î [a, b] Khi tồn nghiệm (2.29) tương đương với tồn điểm bất động chung f g Theo ví dụ 1.2.11, E trang bị 36 bd (u, v ) = max (| u(t ) | + | v(t ) |) p t Ỵ [a ,b ] với u, v Ỵ E , khơng gian bd - metric đầy đủ với l = 2p - Bây ta cho E quan hệ thứ tự phận ° u ° v Û u (t ) £ v(t ) với t Ỵ [a, b] Ta có kết sau Định lý 3.1.1 Giả sử giả thiết sau xảy ra: (i ) F 1, F : [a, b]´ [a, b]´ ¡ ® ¡ liên tục (ii ) " t , r Î [a, b] u Î E , ta có u (t ) £ {ò b a b F (t , r , u (r ))dr , ò F (t , r , u (r ))dr a } (iii ) " r , t Ỵ [a, b] u, v Ỵ E với u ° v , ta có (| F (t , r , u(r )) | + | F pử ổ ữ, ỗ Ê + + ( t , r , v ( r ) | h ( t , r ) ln | u ( r ) | | v ( r ) | ) ( ) ỗố ữ ứ x hàm liên tục thoả mãn ỉ b ö ÷ < p2 - p sup ỗỗỗũ h(t , r )p dr ữ ữ p- a è ø t Ỵ éêëa ,bù b a ( ) ú û Khi phương trình tích phân (2.29) có nghiệm chung u Ỵ E Chứng minh Từ điều kiện (ii ) , f g tự ánh xạ bị trội E Lấy £ p, q < ¥ với 1 + = u, v Ỵ E cho u ± v Từ điều p q , ta có kiện (iii ), " t Ỵ éêa, bù ë ú û ( ) 24 p - (| fu (t ) | + | gv(t ) |) p ổ b ỗỗũ (| F 1(t , r , u(r ) | + | F 2(t , r , u(r ) |)dr ữ ữ ữ ỗố a ứ p p2 - p £ 37 1/ q 1/ p éỉ b p ư÷ ỉ b ư÷ ùú q p - 3p ỗ ỗ Ê ờỗỗốũa dr ứữ ữ ốỗỗũa (| F 1(t , r , u (r ) | + | F 2(t , r , u (r ) |) dr ø÷ ÷ ú êë úû p p ỉ b p ưư ữ pổ ổ p2 - p q ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ Ê (b - a ) ỗỗũa h(t , r ) ỗốln ốỗ1 + (| u (r ) | + | v(r ) |) ø÷÷÷ø dr ÷÷÷ è ø p p2 - p £ p2 - p £ p ổ b p ỗ b a h t r + b u v ( , ) ln ( , ) ( ) ỗỗốũa ( d ) dr ÷÷÷ø p q p q ( ỉ (b - a ) ỗỗốỗũ b a = 24 p - 3p p- (b - a ) ( ) p ö ÷ h(t , r )p ln (1 + Ll (u, v )) dr ÷ ÷ ø ( ) p ỉ b ÷ ln (1 + L (u, v )) ỗỗũ h(t , r ) p dr ữ l ữ ỗố a ứ ( ) ) < ln (1 + Ll (u , v )) p pư ỉ ÷ = Ll (u, v )) p - ỗỗLl (u, v ) p - ln (1 + Ll (u, v )) ÷ ÷ è ø ( ) Vì thế, (2l bd ( fu, gv ) ) p = 2l sup (| fu (t )+ | gv(t ) |) p t Ỵ éëêa ,bù ú û pư ỉ £ Ll (u, v ) p - ỗỗLl (u, v ) p - ln (1 + Ll (u, v )) ÷ ÷ ÷ è ø ( ) Khi lấy y (t ) = t p j (t ) = t p - (ln(1 + t )) Hệ 2.3.4, $u Ỵ E p điểm bất động chung f g , tức là, u nghiệm hệ (2.29) 38 W KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống số khái niệm, tính chất sở khơng gian b - metric không gian bd - metric Một số kết điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ không gian b - metric Các kết trình bày Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.2 Định lí 2.2.1 Một số kết nghiên cứu N Hussain, J.R Roshan, V Parvaneh M.Abbas điểm bất động chung ánh xạ co yếu không gian bd - metric Các kết trình bày Định lí 2.3.1, Định lí 2.3.2, Hệ 2.3.4, Hệ 2.3.5 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aghajani A., Abbas M., Roshan J.R (2012), “Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b-metric spaces” Math Slovaca (in press) [2] Hitzler P., Seda A.K., (2000), “Dislocated topologies” J Electr Eng 51(12), 3-7 [3] Hussain N., Roshan J.R., Parvaneh M.Abbas M., (2013), “Common fixed point results for weak contractive mappings in ordered b-dislocated metric spaces with applications”, Journal of Inequalities and applications, 2013:486 http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2013/1/486 [4] Jha K., (2012), “A common fixed point theorem in dislocated metric space” Appl Math Sci 6(91), 4497-4503 [5] Jungck G., (1986), “Compatible mappings and common fixed points” Int J Math Math Sci 9(4), 771-779 [6] Kirk M, Shahzad N.,(2014), Fixed point theory in distance spaces, Springer International Publishing Switzerland [7] Kumari P.S., Kumar V.V., Sarma I.R., (2012), “Common fixed point theorems on weakly compatible maps on dislocated metric spaces” Math Sci 6, 71 [8] Roshan J.R, Shobkolaei N., Sedghi S and Abbas M., (2014), "Common fixed point of four maps in b−metric spaces", Hac Jour of Math and Stat Vol 43(4), 613–624 [9] Sarma I.R., Kumari P.S., (2012), ”On dislocated metric spaces” Int J Math Arch 3(1), 72-77 40 ... KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỨ TỰ 13 2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach không gian b -metric 13 2.2 Điểm bất động chung ánh xạ không gian b - metric 14 2.3 Điểm bất động chung ánh xạ co yếu không. .. niệm bd - metric thiết lập định lí điểm bất động chung ánh xạ co yếu không gian bd - metric Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài: ? ?Điểm bất động chung ánh xạ co yếu không gian bd - metric thứ tự. .. = t với t Ỵ E CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU 12 TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỨ TỰ 2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach không gian b -metric Định lý 2.1.1 Cho (E , d ) không