Liên phân số và đa thức trực giao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Liên phân số 1.1 1.2 1.3 Liên phân số 1.1.1 Liên phân số xuất phép chia 1.1.2 Liên phân số xuất giải phương trình 11 1.1.3 Các định nghĩa liên phân số 13 Một số công thức đẹp liên phân số 15 1.2.1 Phép biến đổi liên phân số 15 1.2.2 Hai chuỗi số đặc biệt đồng thức liên phân số 17 1.2.3 Liên phân số arctan π 20 Ứng dụng liên phân số lịch âm nhạc 24 1.3.1 Liên phân số lịch 24 1.3.2 Piano 27 Chương Đa thức trực giao 2.1 2.2 31 Xấp xỉ Diophantus 31 2.1.1 Xấp xỉ tốt xấp xỉ tốt 31 2.1.2 Sự xấp xỉ hội tụ 32 Liên phân số đa thức trực giao 39 2.2.1 39 Ma trận trực giao 2.2.2 Cầu phương Gauss 40 2.2.3 Phương pháp Sturm 42 2.2.4 Tiếp cận Chebyshev đa thức trực giao 45 2.2.5 Một số đa thức trực giao quan trọng 45 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Tốn khóa (2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THCS Trần Phú, Quận Lê Chân, Thành phố Hải Phịng tạo điều kiện cho tác giả hồn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hoàn thành tốt luận văn Mở đầu Liên phân số (hay phân số liên tục - continued fractions) dạng biểu diễn số thực dương, hữu tỷ vô tỷ, dạng phân số nhiều tầng Người ta tìm thấy nhiều ứng dụng đa dạng liên phân số, chẳng hạn ứng dụng toán giải phương trình Pell hay xấp xỉ Diophantus Trong Tốn học, đa thức trực giao (orthogonal polynomials) đóng vai trị vơ quan trọng Đồng thời, cơng cụ hữu ích cho ngành vật lý kỹ thuật Luận văn có mục đích, thứ trình bày liên phân số ứng dụng đơn giản chúng nhiều biểu diễn liên quan đến arctan số π , thứ hai, nghiên cứu ứng dụng liên phân số đa thức trực giao Nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Liên phân số Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở liên phân số, bao gồm định nghĩa, tính chất Phần có mục tiêu giới thiệu số đồng thức đẹp liên phân số số hàm số thường gặp arctan π Sau chúng tơi thảo luận ứng dụng liên phân số lịch âm nhạc • Chương Đa thức trực giao Trong chương chúng tơi trình bày xấp xỉ Diophantus, liên phân số đa thức trực giao, bao gồm cầu phương Gauss, phương pháp Sturm, tiếp cận Chebyshev đa thức trực giao cuối đa thức trực giao quan trọng Mặc dù cố gắng nghiên cứu đề tài thực luận văn, nhiều lý khác nhau, chắn luận văn khiếm khuyết định Tác giả kính mong góp ý Thầy, Cơ, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2017 Tác giả Trịnh Thị Phương Thanh Chương Liên phân số 1.1 Liên phân số Hiện có nhiều cách để viết số Chúng ta sử dụng hệ số khác nhau, phân số, số thập phân, logarithm, lũy thừa miêu tả lời, Mỗi cách thuận tiện phục vụ mục đích người Để biểu biễn số, liên phân số công cụ sáng đẹp Đầu tiên, ta chi tiết chút vào khái niệm liên phân số hay gọi phân số liên tục (continued fractions) Ta bắt đầu cách liên phân số thường xuất cách tự nhiên phép chia dài thiết lập định nghĩa Ví dụ, π π viết dạng liên phân số sau: 12 = 1+ π , 32 2+ 53 2+ 2+ 72 2+ 12 π = 3+ 32 6+ 6+ 53 72 6+ 6+ Liên phân số bên trái dựa theo Lord Brouncker (đồng thời liên phân số ghi chép lại), liên phân số bên phải thu Euler Ta có cơng thức cho số e sau: e = 2+ 2+ = 1+ 3+ 4+ 0+ 1+ 5+ 1+ 2+ 1+ 1+ 4+ Các liên phân số thảo luận chi tiết sau, khía cạnh tốn học khía cạnh ứng dụng thực tiễn 1.1.1 Liên phân số xuất phép chia Một cách thông thường để liên phân số xuất từ “phép chia lặp” Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 1.1.1 Xét phép chia số 157 cho 68 Ta viết 157 21 = 2+ 68 68 Nghịch đảo phân số 21 68 ta có 157 = + 68 68 21 Xét số 68 21 , ta viết 68 = 3+ = + 21 , 21 21 10 nên ta viết 157 68 cách đẹp hơn, 157 = 2+ 68 3+ Do 21 21 = + 51 nên ta viết 157 = 2+ 68 (1.1) 3+ 4+ Vì số nguyên nên phép chia dừng lại Biểu thức bên phải (1.1) gọi liên phân số hữu hạn đơn giản Có nhiều cách để kí hiệu biểu thức này, luận văn ta dùng kí hiệu 2; 3, 4, để biểu diễn cho 2+ 3+ 4+ Như vậy, liên phân số xuất cách tự nhiên từ việc viết số hữu tỷ cách lặp lặp lại phép chia Tất nhiên, 157 68 hai số đặc biệt, cách lặp lại phép chia vậy, ta biểu diễn số hữu tỷ a/b liên phân số hữu hạn đơn giản Đây Thuận tốn Euclide Mỗi cặp x0 > x1 số nguyên 34 ta thấy |ξ − cn+1 | = ξ − pn+1 = |qn+1 ξ − pn+1 | qn+1 qn+1 < |qn ξ − pn | qn+1 pn < |qn ξ − pn | = ξ − = |ξ − cn | qn+1 qn Phép chứng minh định lý kết thúc Bây ta chứng minh định lý quan trọng mục Định lí 2.1.6 (Định lý Xấp xỉ tốt nhất) Mọi xấp xỉ tốt số thực (hữu tỉ vô tỉ) hội tụ liên phân số chuẩn tắc chúng ngược lại, hội tụ c1 , c2 , c3 , xấp xỉ tốt Chứng minh Ta chứng minh xấp xỉ tốt hội tụ, cần chứng minh hội tụ c1 , c2 , c3 , xấp xỉ tốt Cho ξ số thực với hội tụ {cn = pn /qn } Ta chứng minh pn /qn xấp xỉ tốt quy nạp toán học Ta bắt đầy với trường hợp n = Ta chứng minh p1 /q1 xấp xỉ tốt phản chứng Nếu p1 /q1 khơng xấp xỉ tốt nhất, định nghĩa xấp xỉ tốt nhất, phải có phân số khác a/b = p1 /q1 với ≤ b ≤ q1 |bξ − a| ≤ |q1 ξ − p1| Sử dụng bất bình đẳng rút mâu thuẫn Chú ý bất đẳng thức suy trường hợp riêng, trường hợp ξ xảy hữu tỉ, ξ1 = p1 /q1 Chúng ta rút mâu thuẫn cách đơn giản làm việc với định nghĩa việc khai triển tắc ξ = a0 + ξ ξ1 > a1 := ⌊ξ1 ⌋ 35 định nghĩa q1 p1 q1 = a1 = ⌊ξ1 ⌋ p1 = a0 a1 + = a0 q1 + (2.3) Do đó, bất đẳng thức |bξ − a| ≤ |q1 ξ − p| viết lại b a0 + ξ ≤ q1 a0 + ξ − (a0 q1 + 1) Sau hoán đổi triệt tiêu, ta có dạng sau ba0 + q1 b q1 b −a ≤ − ⇒ a − ba0 + ≤ − ξ ξ1 ξ ξ1 (2.4) Vì < q1 = ⌊ξ1 ⌋ điều kéo theo < q1 /ξ1 ≤ 1, − qξ1 < 1 Vì vậy, (2.4) ta có a − ba0 + b b b < ⇒ − < a − ba0 < + ξ ξ ξ Bởi giả thiết, ≤ b ≤ q1 ⌊ξ1 ⌋, < b/ξ ≤ −1 < a−ba0 < Do vậy, a − ba0 số nguyên, số nguyên phải Nếu a − ba0 = 0, từ (2.4) ta có b q1 ≤ 1− ⇒ b ≤ |ξ1 − q1 | = ξ1 − ⌊ξ1 ⌋ < 1, ξ1 ξ1 cho thấy b < 1, điều khơng thể xảy ≤ b Mặt khác, a − ba0 = 1, ta có 1− q1 b ≤ 1− ⇒ |ξ1 − b| ≤ |ξ1 − q1 | ⇒ ξ1 − b ≤ ξ1 − q1 , ξ1 ξ1 chỗ mà ta sử dụng ξ1 − q1 = ξ1 − ⌊ξ1 ⌋ ≤ b ≤ q1 ξ1 − b ≤ Triệt tiêu ξ1 thấy q1 ≤ b Do b ≤ q1 ta phải có q1 = b Do đẳng thức a − ba0 = a = a0 b + = a0 q1 + = p1 36 Do đó, a/b = p/q, mâu thuẫn Bây giả sử pn /qn với n ≥ xấp xỉ tốt nhất; ta chứng minh pn+1 /qn+1 xấp xỉ tốt Ta giả sử ξ = pn+1 /qn+1 , ngược lại pn+1 /qn+1 tự động xấp xỉ tốt Ta có |yξ − x| ≤ |qn ξ − pn | với x = pn+1 , y = qn+1 (2.5) Ta giảm vế trái bất đẳng thức tất số hữu tỉ x/y với ≤ y ≤ qn+1 , sau chứng minh việc thu giảm x/y xấp xỉ tốt nhất, cuối chứng minh x/y = pn+1 /qN+1 Để tối giản vế trái (2.5), ta đặt q mẫu số nhỏ y tất số hữu tỉ x/y với y > mà |yξ − x| ≤ |qn ξ − pn | (2.6) Vì q mẫu số y nhỏ thỏa mãn (2.6) với x/y với y > 0, (2.5) ta phải có q ≤ qn+1 Bây đặt p số tự nhiên x làm cho |qξ − x| nhỏ Đặc biệt, |qξ − p| ≤ |qn ξ − pn | Lưu ý p/q tối giản, p = jx q = jy với j ≥ với x, y đó, y < q |yξ − x| ≤ j|yξ − x| = |qξ − p| < |qn ξ − pn | điều mâu thuẫn với định nghĩa q số dương y nhỏ thỏa mãn (2.6) Ta lưu ý |qξ − p| < |qn ξ − pn | pn /qn xấp xỉ tốt theo giả thiết, ta phải có qn < q Tóm lại, ta có qn < q ≤ qn+1 p/q tối giản Ta yêu cầu p/q xấp xỉ tốt tới ξ Từ S Khrushev [2, Lemma 7.9] ta biết p/q phải hội tụ Trong trường hợp p/q = pk /qk 37 với k Vì p/q tối giản thế ta phải có p = pk q = qk Mặt khác, ta biết qn < qn+1 k phải n + Điều chứng tỏ p/q = pn+1 /qn+1 phép chứng minh hoàn thành, ta p/q xấp xỉ tốt Vì đơn giản cho phản chứng, ta giả sử p/q xấp xỉ tốt Do phải tồn số hữu tỉ a/b = p/q thỏa mãn ≤ b ≤ q |bξ − a| ≤ |qξ − p| (2.7) Do |bξ − a| ≤ |qξ − p| a/b thỏa mãn |bξ − a| ≤ |qn ξ − pn | Với q này, theo định nghĩa, mẫu số dương nhỏ y số hữu tỉ x/y thỏa mãn |yξ − x| ≤ |q − nξ − pn |, nên ta phải có q ≤ b Tuy nhiên b ≤ b theo giả thiết nên ta có q = b, đó, đặt b = p vào (2.7), ta |qξ − a| ≤ |qξ − p| (2.8) Với p này, theo định nghĩa tạo |qξ − x| nhỏ so với tất x, đặc biệt |qξ − p| < |qξ − a| Do đó, từ (2.8) ta có |qξ − a| ≤ |qξ − p| Bình phương hai vế ta q2 ξ − 2qξ a + a2 = q2 ξ − 2qξ p + p2 Từ suy ξ= p+a 2q Ở ta chia cho p − a a/b = p/q theo giả thiết, b = p, a = p Đặc biệt, |a − p| ≥ |qξ − p| = p+a a− p ≥ −p = 2q 2 (2.9) 38 Ta có ξ = (p + a)/2q Thật vậy, tử số mẫu số có thừa số chung m ≥ ta viết ξ = k/ℓ p + k = mk 2q = mℓ Đặc biệt, (2.9) ta có |ℓξ − k| = ℓ k − k = < ⇒ |ℓξ − k| < |qξ − p| ℓ (2.10) Ta có hai lựa chọn, m = m > Nếu m = 2, 2q = 2ℓ nên q = ℓ thay vào (2.10) ta có |qξ − k| < |qξ − p| Hơn nữa, điều mâu thuẫn với định nghĩa củap cực tiểu |qξ − x| cho tất x Nếu m > 2, ℓ < q tương tự ta kết luận, p/q xấp xỉ tốt dẫn tới kết luận ξ = (p + a)/2q tối giản Bây viết ξ = (p + a)/2q dạng khai triển liên phân số tắc, pN /qN kí hiệu hội tụ cuối nó, ta có N > n + ξ= pN qN p + a = pN 2q = qN = aN qN−1 + qN−2 với aN ≥ dạng khai triển tắc Do |qN−1 ξ − pN−1 | = qN−1 ξ − < qN−1 pN−1 qN−1 qN−1 qN = 1 ≤ ≤ ≤ |qξ − p| qN 2q Đặc biệt, |qξ − p| < |qn ξ − pn | ta có |qN−1 ξ − |pN−1 | < qn ξ − pn | Tuy nhiên, aN ≥ ta có 2qN−1 ≤ aN qN−1 < aN qN−1 + qN−2 = qN = 2q ⇒ qN−1 < q Nhưng điều mẫu thuẫn với định nghĩa q mẫu số dương nhỏ y số hữu tỉ x/y thỏa mãn |yξ − x| < |qn ξ − pn | Điều mâu thuẫn cuối cho thấy xảy ξ = (p + a)/2q tối giản, đó, p/q phải xấp xỉ tốt tới ξ , điều hoàn thành xong chứng minh 39 2.2 Liên phân số đa thức trực giao 2.2.1 Ma trận trực giao Một ma trận vuông  gọi trực giao  a a a1n  1 12    a21 a22 a2 n          an1 an an n  1 n ∑ ak j al j =  j=1 (2.11) k = l k = l Ma trận trực giao 2x2 tham số hóa tham số a b   a b  a2 + b2 b −a (2.12) D Grave (1937, 1938), giải thích cách tiếp cận Euler trường hợp n = Một lời giải cho Bài toán Euler tìm Vilenkin (1991) Giả sử g jk (α ) phép quay góc α mặt phẳng tọa độ (x j , xk ) Để đơn giản, đặt gk+1k (α ) = gk (α ) Ta có kết sau phép quay liên quan đến đa thức trực giao Định lí 2.2.1 Mỗi phép quay g Rn biểu diễn tích phép quay g = g(n−1) , , g(1) , g(k) = g1 (θ1k ) gk (θkk ) 40 2.2.2 Cầu phương Gauss Do toán cầu phương Newton-Cotes (xem S Khrushev [2]) phụ thuộc vào n điểm, lựa chọn hợp lý xk cho cơng thức mà đẳng thức đa thức bậc n − + n = 2n − Bài toán Gauss nghiên cứu năm 1814 Ta có −1 n f (x)dx ≈ ∑ lk f (xk ) k=1 điểm −1 ≤ x1 < x2 < < xn ≤ (thực tế Gauss xét khoảng (0, 1), mà nhận từ (−1, 1) biến đổi tuyến tính) Một cơng thức cầu phương đẳng thức đa thức bậc 2n − đẳng thức đơn thức f (x) = xm với m = 0, 1, , 2n − Từ suy giá trị m δm := −1 n m x dx − ∑ k=1 lk xkm n − (−1)m+1 − ∑ lk xkm = = m+1 k=1 (2.13) Do lk định nghĩa tích phân S Khrushev [2, equality (7.6)], δm = với m = 0, , n − Chú ý δm = O(1) m → ∞ Với |z| > 1, Gauss xét chuỗi Laurent ∞ n ∞ k − (−1)m+1 xm δm G(z) = ∑ = l + k ∑ ∑ ∑ m+1 m+1 m+1 m=n z m=0 (m + 1)z k=1 m=0 z ∞ nhân với Q để nhận công thức ∞ lk Q(z) δm Q(z) Q(z)G(z) = ∑ + ∑ m+1 m=n z k=1 z − xk n (δn zn−1 + + δ2 n−1 )Q(z) = P(z) + + O n n+1 z z2 (2.14) P đa thức Chú ý δn = = δ2n−1 = (2.14) deg(QG − P) < −n − 1, deg Q = n Khi đó, theo 41 Định lý Markoff P/Q hội tụ thứ n liên phân số ln z + 12 22 32 42 = z − z − 3z − 5z − 7z − 9z − , ∞ z+1 − (−1)m+1 ln = ∑ = G(z) z − m=0 (m + 1)zm+1 Từ suy Q đa thức xác định công thức Euler-Wallis Qn +1 (x) = (2n + 1)xQn (x) − n2 Qn− (x), Q0 (x) = 1, Q1 (x) = x Ta cần kiểm tra tất không điểm Qn đơn nằm (−1, 1) Nhắc lại rằng, theo định lý giá trị trung bình, đa thức nhận giá trị ngược dấu a < b có khơng điểm (a, b) Ta có kết sau Định lí 2.2.2 Các khơng điểm xn,1 < xn−1,1 < < xn,n Qn nằm (−1, 1) xen kẽ không điểm Qn−1 Cuối cùng, ta phát biểu kết Gauss năm 1814 Định lí 2.2.3 (Gauss 1814) Với số nguyên dương n tồn n điểm −1 < x1 < < xn < cho n −1 f (x)dx = ∑ lk f (xk ) (2.15) k=1 với đa thức f mà deg f ≤ 2n − Các điểm xk không điểm mẫu số hội tụ thứ n liên phân số s + 12 22 ln = s − s - 3s - 5s - 42 Bây ta quan tâm đến phân phối Jacobi Jacobi (1826) quan sát thấy việc thay f (x) = xk Qn (x) (2.16) với ≤ k < n cho ta −1 Qn dx = −1 xQn dx = = −1 xn−1 Qn dx = (2.16) deg(xk Qn (x)) ≤ 2n − Qn (xk ) = Tuy nhiên, Legendre (1785) đưa đa thức trực giao Pn (x)   n = m 1 (2.17) Pn (x)Pm (x)dx = δn m , δnm =  n = m 2n + −1 mà gọi đa thức Legendre Tích phân phần −1 uv′ dx = uv|1−1 −vu′ dx chứng tỏ đa thức dn v (x) = n (x − 1)n dx ′ bậc n thỏa mãn (2.16) có khơng điểm x = −1 x = Ta có Qn (x) = (2n − 1)!!n! d n (x − 1)n n (2n)! dx 2.2.3 Phương pháp Sturm Trước hết ta thảo luận nghiệm đa thức thực Ta có hai định lý khơng điểm đa thức sau Định lí 2.2.4 (Descartes) Số nghiệm dương đa thức số lần đổi dấu hệ số trừ số chẵn khơng âm Định lý Budan sau tổng quát hóa định lý Descartes 43 Định lí 2.2.5 (Budan) Giả sử f đa thức cho f (a) f (b) = với a < b Khi số nghiệm f (a, b) kể bội so với V (a) −V (b) lượng số nguyên chẵn không âm Đến đây, ta phát biểu định lý Sturm Định lí 2.2.6 (Sturm) Giả sử {bn (x)}n≥1 dãy đa thức tuyến tính thực với hệ số x dương, giả sử {an }n≥1 dãy số thực khác tuỳ ý Khi không điểm mẫu số Qn hội tụ a2 a3 a1 a1 b1 (x) − b2 (x) − b3 (x) − b1 (x) − (2.18) thực, xen kẽ với khơng điểm Qn−1 Các tính chất đa thức Qn tổng hợp định lý sau đây: Định lí 2.2.7 Giả sử Qn mẫu số hội tụ thứ n liên phân số (2.18) Khi dãy f0 (x) = Qn (x), f1 (x) = Qn −1 (x), fn (x) = Q0 (x) (2.19) thỏa mãn tính chất sau (a) f0 (x) f1 (x) đổi dấu từ − đến + x vượt qua không điểm tuỳ ý f0 (x) theo chiều dương; (b) Khơng có đa thức fk (x), fk+1 (x), k = 0, 1, , m − 1, có chung khơng điểm; (c) Nếu fk (α ) = 0, ≤ k ≤ m − 1, fk−1 (α ) fk+1 (α ) < 0; (d) fn (x) khơng có khơng điểm thực 44 Ta có định nghĩa sau dãy Sturm Định nghĩa 2.2.8 Một dãy đa thức khác không f (x) = f0 (x), f1 (x), , fm (x) (2.20) R[X] gọi dãy Sturm đa thức f (x) [a, b] với a < b điều kiện (a)-(d) Định lí 2.2.7 thỏa mãn [a, b] Định lí 2.2.9 (Sturm 1829) Giả sử f ∈ R[X] đa thức tách với nghiệm đơn, giả sử f (a) f (b) = với a < b giả sử (2.20) dãy Sturm f (x) Khi số nghiệm f (x) (a, b) WS (a) −WS (b) Năm 1836, Vincent định lý Sturm liên quan chặt chẽ với định lý Descartes Định lý Vincent gợi ý trước Fourier Chúng áp dụng phương pháp Lagrange để tìm nghiệm dương đa thức tách Nghiệm tuỳ ý x biểu diễn liên phân số x = b0 + 1 1 , b1 + b2 + b3 + + bm + z b0 , b1 , , bm số nguyên dương z > 0, ta viết x= Pm z + Pm−1 Qm z + Qm−1 Khi hàm số F(z) định nghĩa Fm (z) := (Qm z + Qm−1 )n f Pm z + Pm−1 Qm z + Qm−1 đa thức z thỏa mãn Fm (z) = f (x) = Bây ta phát biểu kết quan trọng nhất, Định lí Vincent Định lí 2.2.10 (Vincent) Với đa thức thực f tách được, tồn số nguyên dương M( f ) cho với m > M( f ), số lần đổi dấu hệ số Fm không 45 2.2.4 Tiếp cận Chebyshev đa thức trực giao Bởi (2.17), đa thức Legendre trực giao [−1, 1] với trọng số 1, có quan hệ với liên phân số Gauss 1 z + 1 12 22 32 42 dt ′ = ln = z − z − 3z − 5z − 7z − 9z − −1 z − t (2.21) Tuy nhiên, Jacobi thấy mẫu số hội tụ liên phân số (2.21) trực giao với trọng số lớn Xét σ độ đo Borel dương với giá compact C Do tích phân Cauchy, hàm d σ (t) t −z chỉnh hình z = ∞, xác định phần tử C[1/z] Cσ (z) = Định lí 2.2.11 Giả sử P/Q hội tụ Cσ , n = deg Q Khi Q(t)t k d σ = 0, k = 0, 1, , n − (2.22) Bây ta trình bày nghiệm Chebyshev tốn Euler Định lí 2.2.12 (Chebyshev 1855) Giả sử {Qn } mẫu số hội tụ liên phân số d σ (t) an a1 a2 = b1 (z) − b2 (z) − bn (z) − R z−t (2.23) bn (z) = kn z + ln Khi R Q2n (t)d σ (t) = a1 an+1 kn+1 2.2.5 Một số đa thức trực giao quan trọng Bây ta trình bày số đa thức trực giao quan trọng (2.24) 46 Đa thức Chebyshev Trong Vật lý Kỹ thuật, Đa thức Chebyshev lớp quan trọng đa thức trực giao Để trình bày nó, ta phát biểu định lý Euler: Định lí 2.2.13 (Euler) Với hàm hữu tỉ R(z, w) hai biến phức R z, (2.25) az2 + bz + c dz thác triển thành hàm sơ cấp Bởi công thức Euler-Wallis, mẫu số Tn (z) hội tụ đến (2.25) thỏa mãn Tn (z) = 2zTn−1 (z) − Tn−2 (z), T1 (z) = 2T0 (z) − T−12 (z), n = 2, 3, T0 ≡ 1, T−1 ≡ Do đa thức T0 (z) = 1, T1 (z) = z, T2 (z) = 2z2 − 1, T3 (z) = 4z3 − 3z, đa thức Chebyshev cổ điển, trực giao khơng gian Hilbert L2 ([−1, 1], d µ ), d µ = π −1 (1 − x2 )−1/2 dx, π −1 T j (x)Tk (x) √ dx − x2 =0 với j = k Đa thức Hermite Các đa thức Hermite định nghĩa Szegăo (1975) + ex Hn (x)Hm (x)dx = 2n n!δnm (2.26) Ta có H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, Hn (x) = 2xHn−1 (x) − 2(n − 1)Hn−2 (x), n ≥ Khi đó, đa thức Hn (x) với n ≥ trực giao không gian Hilbert L2 (π −1/2 e−x dx) 47 Kết luận kiến nghị Những kết đạt Luận văn “Liên phân số đa thức trực giao” đạt kết sau: Trình bày kiến thức sở liên phân số, đa thức trực giao mối quan hệ chúng Biểu diễn liên phân số liên quan đến arctan số π Nêu ứng dụng liên phân số lịch âm nhạc Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận văn, số vấn đề sau cần tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu sâu xấp xỉ Diophantus, mối quan hệ liên phân số đa thức trực giao • Ứng dụng liên phân số vào tốn giải phương trình Diophantus 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái (2003), Số học thuật toán, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [2] S Khrushev (2003), Orthogonal Polynomials and Continued Fractions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press [3] D Old (1963), Continued Fractions, Random House and The L.W Singer [4] X Viennot (2013), Introduction to Continued Fractions, Labri, CNRS, Université de Bordeaux ... Chương Đa thức trực giao Trong chương trình bày xấp xỉ Diophantus, liên phân số đa thức trực giao, bao gồm cầu phương Gauss, phương pháp Sturm, tiếp cận Chebyshev đa thức trực giao cuối đa thức trực. .. 13 Một số công thức đẹp liên phân số 15 1.2.1 Phép biến đổi liên phân số 15 1.2.2 Hai chuỗi số đặc biệt đồng thức liên phân số 17 1.2.3 Liên phân số arctan π ... liên phân số, đa thức trực giao mối quan hệ chúng Biểu diễn liên phân số liên quan đến arctan số π Nêu ứng dụng liên phân số lịch âm nhạc Đề xuất số hướng nghiên cứu Sau kết đạt luận văn, số vấn