Cơ sở grobner trong hình học nhiệt đới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— O TH HOI THNG ă C S GROBNER TRONG HèNH HỌC NHIỆT ĐỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC S PHM O TH HOI THNG ă C S GROBNER TRONG HÌNH HỌC NHIỆT ĐỚI Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HỒNG LÊ TRƯỜNG Thái Nguyên – 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Đào Thị Hoài Thương i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành khóa 22 đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Hồng Lê Trường, Viện Tốn học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo trường Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học, người tận tình giảng dạy, khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè động viên, ủng hộ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Đào Thị Hoài Thương ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành phân bậc 1.2 Tập lồi C s Gră obner Hình học Nhiệt đới 13 2.1 Định giá 13 2.2 Cơ sở Grăobner 16 2.3 Phc Grăobner 30 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 iii Mở đầu Một lí cho thành cơng gần hình học nhiệt đới dễ hình dung Điều phần lớn chúng rời rạc, đối tượng có cấu trúc tổ hợp phức đa diện Mục đích luận văn để giải thích nguồn gốc cấu trúc phức đa diện hình học nhit i bng quan im Grăobner i s giao hoán Trong luận văn này, làm việc trường K cố định với định giá không âm val : K ∗ → R, K ∗ = K − {0} Kí hiệu R = {a ∈ K : val(a) ≥ 0} vành định giá K Vành R vành địa phương với iđêan cực đại mval = {a ∈ K | val(a) > 0} trường thặng dư k = R/m Với a ∈ R ta kí hiệu a ¯ ảnh a k Đặt Γval ⊆ R ảnh định giá val Nếu Γval = {0} giả sử ∈ Γval ; điều đảm bảo cách thay val bội dương Giả sử K đầy đủ nhiều trường hợp K đóng đại số Khi có định nghĩa sau Định nghĩa 0.0.1 Cho f = ±1 cu xu ∈ K[x±1 , , xn ], tập Trop(V (f )) u∈Zn quỹ tích phi tuyến hàm tuyến tính phần Trop(f ) cho Trop(f )(w) = minn (val(cu ) + w · u), tức hàm Trop(f )(w) đạt cực tiểu u∈Z hai điểm u khác Cho đa tạp xuyến X ⊆ T n ∼ = (K ∗ )n Đa tạp nhiệt đới X Trop(X) = Trop(V (f )), f ∈I(X) ±1 K[x±1 , , xn ] ⊇ I(X) = {f | f (x) = với x ∈ X} Định lý hình học nhiệt đới sau Định lý 0.0.2 Cho X ⊆ T n ∼ = (K ∗ )n , K = K , tập Trop(X) bao đóng tơpơ Euclid Rn tập val(X) = {(val(x1 ), , val(xn )) ∈ Rn | x = (x1 , , xn ) ∈ X} Giả sử tồn chẻ định giá Đó đồng cấu nhóm Γval → K ∗ từ w ∈ Γval đến tw ∈ K ∗ với val(tw ) = w Nếu K trường chuỗi Puiseux C{{t}} với hệ số C chẻ để w ∈ Q đến tw ∈ C{{t}} Nếu K = Qp chẻ để w ∈ Z đến pw Nếu K đóng đại số chẻ tồn tại; xem [9, Bổ đề 2.1.13] Với trường K với định giá chẻ val, quỹ tích phi tuyến hàm ±1 Trop(f ), với f ∈ K[x±1 , , xn ] quỹ tích w đạt nhỏ nhất hai lần, bao đóng tập w mà inw (f ) không đơn thức Trong trường hợp đa tạp X , định giá K không tầm thường Trop(X) mơ tả bao đóng w ∈ Γnval mà inw (I(X)) = Hơn nữa, đa tạp nhiệt đới cịn có cấu trúc phức đa diện Để mô tả cấu trúc quỹ tích phi tuyến Trop(X), cần sử dụng lớ thuyt c s Grăobner i vi cỏc iờan thun vành đa thức Mục đích luận văn mơ tả ứng dụng lí thuyết s Grăobner nh ngha a nhit i Lun văn chia làm hai chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành phân bậc, định lý đa diện lồi, phức đa diện Chương trình bày cụ thể khái niệm định giá, nhiệt đới hóa từ xây dựng s Grăobner v phc Grăobner Chng Kin thc chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức vành phân bậc; định nghĩa định lý đa diện lồi cần thiết cho việc trình bày nội dung chương 1.1 Vành phân bậc Định nghĩa 1.1.1 i) Một vành phân bậc R vành giao hốn, có đơn vị thỏa mãn tính chất ∞ Rn tổng trực tiếp nhóm Abel Rn phép cộng; 1) R = n=0 2) Rn Rm ⊆ Rm+n , với m, n ≥ ii) Cho R = Rn vành phân bậc Một R−môđun M gọi môđun n≥0 phân bậc thỏa mãn điều kiện sau 1) M = Mn tổng trực tiếp nhóm Abel Mn phép n≥0 cộng; 2) Rn Mm ⊆ Mn+m , với m, n ≥ Ví dụ 1.1.2 i) Cho R vành Khi R vành phân bậc với phân bậc tầm thường ∞ Rn , R0 = R, Ri = với n ≥ R= n=0 Tương tự, cho M R−mơđun Khi M R−mơđun phân bậc với cấu trúc phân bậc tầm thường ∞ Mn , M0 = M, M1 = với n ≥ M= n=0 ii) Cho A = R[x1 , , xk ] vành đa thức k biến, có hệ số vành R ∞ Khi A vành phân bậc với phân bậc chuẩn tắc sau A = An , n=0 A0 = R, với n ≥ 1, An = {f (x1 , , xk ) ∈ A | f (x) đa thức bậc n} Lưu ý đa thức bậc d đa thức có đạng f (x) = aα x α α =d Định nghĩa 1.1.3 Nếu M mơđun phân bậc vành phân bậc R gọi phần tử x Ri (hoặc Mi ) phần tử bậc i Kí hiệu deg(x) = i Định nghĩa 1.1.4 Iđêan I ⊂ K[x0 , , xn ] có tập sinh đa thức Ví dụ 1.1.5 Cho trường K vành đa thức R = K[x, y, z] với phân bậc chuẩn tắc Khi i) I1 = xn + y n − z n iđêan R ii) I2 = x + y khơng iđêan R Hình 2.2: Phc Grăobner B 2.3.12 Cho I l iờan thun S = K[x0 , , xn ] Có hữu hạn iđêan đơn thức khởi đầu khác inw (I) w chạy Γn+1 val Chứng minh Giả sử I có vơ hạn iđêan đơn thức khởi đầu Cho Σ0 tập tất iđêan đơn thức khởi đầu I Từ Σ0 vơ hạn, I khơng iđêan khơng ta chọn phần tử f1 ∈ I Vì f1 có hữu hạn số hạng iđêan đơn thức khởi đầu M ∈ Σ0 chứa số hạng f1 , phải có số hạng m1 f1 mà chứa vô hạn iđêan Σ0 Cho Σ1 = {M ∈ Σ0 | m1 ∈ M } Cho J1 = (m1 ) Vì vô hạn iđêan đơn thức khởi đầu chứa J1 , có số iđêan khởi đầu chứa thực J1 Do Bổ đề 2.2.11 suy đơn thức S J1 phụ thuộc tuyến tính mơđun I , đơn thức f2 I khơng có hạng tử J1 Lặp lại, có số hạng m2 f2 mà chứa số hữu hạn iđêan Σ1 Cho Σ2 = {M ∈ Σ1 | m2 ∈ M } cho J2 = J1 + (m2 ) Quá trình lặp lại, giai đoạn tìm kiếm đơn thức fk khơng có số hạng chứa Jk−1 số mk nằm hữu hạn iđêan khởi đầu Σk−1 Iđêan Jk = Jk−1 + (mk ) chứa số iđêan khởi đầu fk+1 tạo thành Trong cách 35 này, ta nhận dãy tăng thích hợp iđêan J1 ⊆ J2 ⊆ J3 ⊆ Vì S Noether điều khơng thể xảy Ta kết luận I có hữu hạn iđêan đơn thức khởi đầu Bổ đề 2.3.13 Cho I iđêan C[x] Khi {w ∈ Rn | inw (I) = I} không gian véc tơ Rn Định nghĩa 2.3.14 τ (f ) = {w ∈ Γn+1 val | inw (f ) không đơn thức} Trop(f ) : Rn → R hàm tuyến tính phần Bổ đề 2.3.15 Cho f = cu xu g = u∈∆(f ) cv xv Khi ta có v∈∆(g) Trop(f g)(w) = Trop(f )(w) + Trop(g)(w) cu cv ) + w · a = Trop(f g)(w)} {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | val( u+v=a = {u : val(cu ) + w · u = Trop(f )(w)} + {v : val(cv ) + w · v = Trop(g)(w)} Hơn nữa, ta có (1) τ (f g) = τ (f ) ∪ τ (g) (2) τ (f n ) = τ (f ) (3) inw (f g) = inw (f )inw (g) Chứng minh Vì f.g = cu cv xu+v = u+v∈∆(g)+∆(f ) ( a∈∆(f )+∆(g) u+v=a cu cv )xa Trop(f )(w) = min{val(cu ) + w · u | u ∈ ∆(f )}, Trop(g)(w) = min{val(cv ) + w · v | v ∈ ∆(f )}, ta có Trop(f g)(w) = min{val( cu cv + w · a | a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} u+v=a 36 = min{min{val(cu ) + val(cv ) | u + v = a} + w · a | a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} = min{min{val(cu ) + val(cv ) + w · a | u + v = a} | a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} = min{min{(val(cu ) + w · u) + (val(cv ) + w · v) | u + v = a} | a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} = min{(val(cu ) + w · u) + (val(cv ) + w · v) | u + v = a, a ∈ ∆(f ) + ∆(g)} = min{(val(cu ) + w · u) + (val(cv ) + w · v) | (u, v) ∈ ∆(f ) × ∆(g)} = min{(val(cu ) + w · u) + min{(val(cv ) + w · v) | v ∈ ∆(g)} | u ∈ ∆(f )} = min{(val(cu ) + w · u) | u ∈ ∆(f )} + min{(val(cv ) + w · v) | v ∈ ∆(g)} = Trop(f )(w) + Trop(g)(w) Do {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | val( cu cv ) + w · a = Trop(f g)(w)} u+v=a = {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | val( cu cv ) + w · a = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} u+v=a = {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | min{val(cu ) + val(cv ) | u + v = a} + w · a = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} = {a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | min{(val(cu ) + w · u) + (val(cv ) + w · v) | u + v = a} = Trop(f )(w) + Trop(g)(w)} = {a ∈ ∆(f )+∆(g) | ∃u, v : u+v = a; val(cu )+w·u = Trop(f )(w); val(cv )+ w · v = Trop(g)(w)} = {u : val(cu ) + w · u = Trop(f )(w)} + {v : val(cv ) + w · v = Trop(g)(w)} (1) Cho w ∈ τ (f g) Khi |{a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | val( c u cv ) + w · a = u+v=a Trop(f g)(w)}| = |{u : val(cu ) + w · u = Trop(f )(w)}| = |{v : val(cv ) + w · v = Trop(g)(w)}| = Khi w ∈ τ (f ) w ∈ τ (g) Vì vậy, w ∈ τ (f ) ∪ τ (g) Nếu w ∈ τ (f ) ∪ τ (g) |{u : val(cu ) + w · u = Trop(f )(w)}| = |{v : val(cv ) + w · v = Trop(g)(w)}| = Do |{a ∈ ∆(f ) + ∆(g) | 37 val( cu cv ) + w · a = Trop(f g)(w)}| = w ∈ τ (f g) Do u+v=a τ (f g) = τ (f ) ∪ τ (g) (2) Hiển nhiên suy từ (1) (3) Ta có inw (f )inw (g) cu t−val(cu ) xu = cv t−val(cv ) xv v:val(cv )+v·w=Trop(g)(w) u:val(cu )+u·w=Trop(f )(w) = c u cv t −val( cu cv ) u+v xu xv u:val(cu )+u·w=Trop(f )(w) v:val(cv )+v·w=Trop(g)(w) c u cv t = −val( cu cv ) u+v xu xv {u:val(cu )+u·w=Trop(f )(w)}+{v:val(cv )+v·w=Trop(g)(w)} cu c v t = −val( cu cv ) u+v=a xa cu cv )+w·a=Trop(f g)(w) a=u+v:val( u+v=a = cu cv t −val( cu cv ) u+v=a xa cu cv )+w·a=Trop(f g)(w) a∈∆(f )+∆(g):val( u+v=a = inw (f g) Trong phần tiếp theo, ta cố định tùy ý iđêan I SK = K[x0 , , xn ] Cố định d ∈ N chọn sở {f1 , , fs } Id , s = dimK (Id ) Cho Md tập đơn thức bậc d Sd cố định thứ tự tuyến tính Md Khi [Md ] véc tơ theo thứ tự Chú ý Sd K−không gian véc tơ với sở {xu | xu ∈ Md } Id K−khơng gian véc tơ Sd Vì |Md | = n+d d n+d d , tồn × s−ma trận Bd cho [f1 , , fs ] = [Md ]Bd Ta kí hiệu Ad = BdT Khi hệ số xu fi (Ad )iu Cho J ⊆ Md với |J| = s, ta kí hiệu AJd ma trận cỡ s × s Ad theo cột dán 38 nhãn J Vì {f1 , , fd } sở K−không gian véc tơ Id , rank(Ad ) = rank(Bd ) = s det(AJd ) = J ⊆ Md , |J| = s J Ta kí hiệu A−J d ma trận nghịch đảo Ad Mệnh đề 2.3.16 Cố định J ⊆ Md với |J| = s u ∈ J Khi tồn gu ∈ I cho gu = xu + cuv xv , xv ∈J cuv det(AJduv ) = với Juv = (J \ {u}) ∪ {v} det(AJd ) Chứng minh Cho g1 , , gs đa thức Sd cho [g1 , , gs ] = [f1 , , fs ]Bd−J = [Md ]Bd Bd−J Khi với i, gi ∈ I Ma trận Bd Bd−J có dạng ma trận đơn vị cột có số J Do với u ∈ J tồn đa thức gi cho civ xv Khi ta thay i ← u, gi ← gu [g1 , , gs ] ← [gu | gi = xu + xv ∈J u ∈ J] Vì [gu | u ∈ J] = [Md ]Bd Bd−J , ta có [cuv | u ∈ J] = [Bd ]v Bd−J Từ det(AJduv ) Juv = (J \ {u}) ∪ {v} quy tắc Cramer, ta có cuv = det(AJd ) Bây giờ, đặt hd = J⊆Md :|J|=s xu det(AJd ) u∈J Bổ đề 2.3.17 Nếu inw (hd ) = det(AJd ) xu u∈J inw (gu ) = xu với u ∈ J Hơn nữa, inw (I)d = xu | u ∈ J Chứng minh Vì inw (hd ) = det(AJd ) xu , ta có val(det(AJd )) + u∈J val(det(AJduv )) u·w < u∈J u0 · w với u ∈ J v ∈ J Do với + u0 ∈Juv 39 u ∈ J , val(det(AJd )) + u · w < val(det(AJduv )) + v · w với v ∈ J Từ Mệnh đề 2.3.16, ta có inw (gu ) = xu với u ∈ J Do {inw (gu ) | u ∈ J} ⊆ inw (I)d độc lập tuyến tính Sd Từ Hệ 2.2.15, dim inw (I) = s = |J| inw (I)d = xu | u ∈ J Định nghĩa 2.3.18 Cho hàm đa thức nhiệt đới F : Rn+1 → R Đặt ΣF phức đa diện F tuyến tính thành phần ΣF Thành phần cực đại phức đa diện ΣF có dạng σ = {w ∈ Rn+1 : F (w) = a + w · u} a + xu chạy đơn thức F Ta có |ΣF | = Rn+1 Nếu hệ số a nằm nhóm Γ ⊂ R phức ΣF Γ-hữu tỷ Cho D bậc cực đại tất đơn thức sinh iđêan đơn thức khởi D đầu inw (I), ∀w ∈ Γn+1 val hd Đặt g = d=1 Xét hàm Trop(g) : Rn+1 → R tuyến tính phần Cho ΣTrop(g) phức đa diện Trop(g) tuyến tính đa diện ΣTrop(g) Chú ý ΣTrop(g) phức đa diện Γval - hữu tỷ Bổ đề 2.3.19 Nếu w w′ nằm miền thành phần cực đại σ ΣTrop(g) Khi w′ ∈ CI [w] Chứng minh Vì σ thành phần cực đại, inw (g) = inw′ (g) đơn thức Từ Bổ đề 2.3.15, inw (hd ) = inw′ (hd ) đơn thức với d ≤ D Do ta giả sử inw (hd ) = inw′ (hd ) = det(AJdd ) xu Từ Bổ đề u∈Jd 2.3.17, ta có inw (I)d = x | u ∈ Jd = inw′ (I)d với d < D Từ định u 40 nghĩa D ta có inw (I) = inw′ (I) Bổ đề 2.3.20 Cho I ⊆ K[x0 , , xn ] g, ΣTrop(g) Nếu w ∈ Γn+1 val nằm miền thành phần cực đại σ ΣTrop(g) σ = CI [w] Chứng minh Từ Bổ đề 2.3.19, ta có σ ⊆ CI [w] Vì σ thành phần cực đại, inw (g) đơn thức Từ Bổ đề 2.3.15, inw (hd ) đơn thức với d ≤ D Vì ta giả sử inw (hd ) = inw′ (hd ) = det(AJdd ) xu u∈Jd Từ Bổ đề 2.3.17, ta có inw (gu ) = x với u ∈ Jd với d < D u inw (I)d = xu | u ∈ Jd Cho w0 ∈ CI [w] giả sử w0 không nằm phần σ Khi đó, inw (g) = inw0 (g) tồn d < D cho inw (hd ) = inw0 (hd ) Ta thay J ← Jd Khi ta có inw0 (hd ) = det(AJd ) xu Khi tồn u∈J J ′ ⊆ Md với J ′ = J cho u · w0 < val(det(AJd0 )) + ′ val(det(AJd )) + u∈J ′ u · w0 u∈J0 với J0 ⊆ Md J0 = J ′ Ta chọn J ′ cho số đỉnh đa diện u | val(det(AJd0 )) + conv{ u · w0 cực tiểu } u∈J0 u∈J0 Do tồn v ∈ Qn+1 với v · u với J0 khác u đủ nhỏ ta có u · (w0 + ǫv) < val(det(AJd0 )) + ′ val(det(AJd )) + u∈J ′ u · (w0 + ǫv) u∈J0 41 với J0 ⊆ Md với J0 = J ′ Do inw0 +ǫv (hd ) = det(AJd ) xu Khi ′ u∈J ′ từ Bổ đề 2.3.19, ta có inw0 +ǫv (I)d = xu | u ∈ J ′ Từ Định lý 2.2.14, ta inw0 (I) = inw (I)d = xu | u ∈ J Khi inv (inw (I))d = xu | u ∈ J , mâu thuẫn với J = J ′ Định nghĩa 2.3.21 Cho iđêan cố định I K[x1 , , xn ] Mt c s Grăocbner ph dng i vi iờan thun I tập hữu hạn U I cho với w ∈ (Γval )n , tập inw (U ) = {inw (f ) : f ∈ U} sinh iđêan khởi đầu inw (I) k[x1 , , xn ] Bổ đề 2.3.22 Cố định trường K với định giá Mọi iđêan I vành đa thức K[x0 , , xn ] có c s Gră obner ph dng hu hn Chng minh Phc Grăobner (I) hu hn i vi nún cú chiu cực đại σ , chọn w ∈ int(σ) Cho inw (I) = xuσi | i = 1, , sσ Bây ta chứng minh ∃guσi ∈ I cho inw (guσi ) = xuσi Thật vậy, σ thành phần cực đại, iđêan khởi đầu inw (I) iđêan đơn thức Từ Bổ đề 2.2.11, đơn thức xa không nằm inw (I) tạo thành K−cơ sở SK /I Do đó, với xuσi inw (I), xuσi = cuσi a xa + guσi xa ∈inw (I) với guσi ∈ I Do guσi = xuσi − cuσi a xa Vì inw (guσi ) ∈ inw (I) xa ∈inw (I) inw (I) đơn thức, hạng tử inw (guσi ) nằm inw (I) Từ việc xây dựng guσi , inw (guσi ) = xuσi Bây ta {guσi | σ thành phần cực đại (I)} sở Grăobner ph dng Tht vy, t w n+1 val Khi inw (I) đơn thức CI [w] thành phần cực đại Vì ∃guσi ∈ I cho inw (guσi ) = xuσi nên đa thức {guσi | i = 1, , sσ } tạo thnh c s Grăocbner ca I i vi w 42 Do ta giả sử inw (I) khơng đơn thức Khi từ Định lý 2.3.4, tồn v ǫ > đủ nhỏ cho inv (inw (I)) = inw+ǫv (I) iđêan đơn thức CI [w] mặt đa diện CI [w + ǫv] Cho w′ = w + ǫv Vì inw′ (I) đơn thức, CI [w′ ] thành phần cực đại Vì inv (inw (guσi ) ∈ inv (inw (I)) = inw′ (I) inw′ (I) đơn thức, hạng tử inv (inw (guσi ) nằm inw′ (I) Từ việc xây dựng guσi , inv (inw (guσi ) = xuσi Khi {inw (guσi ) | i = 1, , sσ } l c s Grăobner ca inw (I) i vi v Do inw (I) = inw (guσi ) | i = 1, , sσ Do đa thức {guσi | i = 1, , sσ } tạo thnh c s Grăobner ca I i vi w nh nghĩa 2.3.23 Cơ sở nhiệt đới iđêan I K[x0 , , xn ] tập S = {f1 , , fr } ⊆ I cho τ (I) = τ (f ) = τ (f1 ) τ (fr ) f ∈S Nếu J iđêan K[x0 , , xn ] tâp sinh F J sở nhiệt đới với w ∈ Γn+1 val , iđêan inw (J) chứa đơn thức inw (F) chứa đơn thức Định lý 2.3.24 Mọi iđêan I ⊆ K[x] = SK có sở nhiệt đới Chứng minh Cho F tập sinh hữu hạn I mà không l c s nhit i Chn mt nún Grăobner CI [w] mà có giao phần tương đối τ (f ) f ∈F m không tầm thường iđêan khởi đầu inw (I) chứa đơn thức x Từ Định lý 2.2.14, có số v ∈ Qn với iđêan đơn thức inv (inw (I)) inw+ǫv (I) = inv (inw (I)) với ǫ > đủ nhỏ Cố định ǫ đặt w′ = w + ǫv Vì inw′ (I) đơn thức, từ Bổ đề 2.2.11, đơn thức xa không nằm inw′ (I) tạo thành K−cơ sở SK /I Do xm = ca xa + f với xa ∈inw′ (I) 43 số f ∈ I Do f = xm − ca x a xa ∈inw′ (I) Cho w0 ∈ CI [w] Nếu inw0 (f ) = xm = inw0 (f ) − xm ∈ inw0 (I) = inw (I) Do inv (inw0 (f ) − xm ) ∈ inv (inw (I)) Vì inv (inw (I)) = inw′ (I) đơn thức nên hạng tử inv (inw0 (f ) − xm ) nằm inv (inw (I)), mâu thuẫn với việc xây dựng f Do inw0 (f ) = xm Do w0 ∈ τ (f ) τ (f ) ∩ CI [w] = ∅ Bây ta thêm f để sở F v lp li quỏ trỡnh Vỡ qut Grăobner cú hu hạn nón nên q trình chấm dứt sau hữu hạn bước Nó loại bỏ tất nún ca qut Grăocbner m vi phm iu kin F sở nhiệt đới Nhận xét 2.3.25 Hept Theobald [13] X ⊆ T n n−d đa tạp bất khả quy n-chiều, ln tồn f0 , , fn−d ∈ I(X) = fi i=0 n−d τ (fi ) Điều có nghĩa ta bỏ qua điều kiện sinh với τ (X) = i=0 iđêan sở nhiệt đới với phần tử n − d + ln tồn Tuy nhiên, bậc fi lớn Ta có giao đầy đủ theo nghĩa thơng thường mà khơng giao nhiệt đới hóa tập sinh có lực lượng đối chiều Alessandrini Nesci đưa [5] bị chặn bậc đa thức fi sở nhiệt đới iđêan I phụ thuộc vào đa thức Hilbert I bị chặn cỡ, bậc phần tử sở nhiệt đới Tuy nhiên, thời điểm viết, hiệu thật hiệu thuật tốn để tính sở nhiệt đới không tồn 44 Nhận xét 2.3.26 Sự xây dựng iđêan khởi đầu phụ thuộc vào cách chọn chẻ w → tw ánh xạ định giá val : K ∗ → R Điều cần thiết để so sánh iđêan khởi đầu với cách chọn khác w, cách chọn làm iđêan khởi đầu vào iđêan k[x0 , , xn ] 45 Kết luận Tóm lại, luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết kết s Grăobner v phc Grăobner Hỡnh hc nhit i Kết luận văn gồm nội dung sau: • Chứng minh được: Cho I ⊆ K[x0 , , xn ] iđêan Cố định w ∈ Rn Khi inw (I) nht v ta cú th chn mt c s Grăobner I Hơn nữa, g ∈ inw (I)d tồn f ∈ Id cho g = inw (f ) • Chứng minh được: Cố định iđêan I ⊆ K[x0 , , xn ] Khi {CI [w] : w ∈ Γn+1 val } tạo thành hữu hạn phức đa diện Γval -hữu tỷ • Chứng minh được: Mọi iđêan I vành đa thức K[x0 , , xn ] cú mt c s Grăobner ph dng hu hn ã Chứng minh được: Mọi iđêan I ⊆ K[x] = SK có sở nhiệt đới 46 Tài liệu tham khảo [1] Anders Nedergaard Jensen (2007), "A non-regular Grăobner fan", Discrete Comput Geom, 37 (3), 443–453 [2] Anders Nedergaard Jensen Gfan, "A software system for Grăobner fans and tropical varieties", Available at http://home.imf.au.dk/jensen/software/gfan/gfan.html [3] Bernd Sturmfels (1996), "Grăobner Bases And Convex Polytopes", volume of University Lecture Series, American Mathematical Society, Providence, Ri [4] Bernd Sturmfels and Jenia Tevelev (2008), "Elimination theory for tropical varieties", Math Res Lett., 15 (3), 543–562 [5] Daniele Alessandrini and Michele Nesci (2009), "On the tropicalization of the Hilbert scheme", Arxiv: 0912.0082 [6] David Bayer and Ian Morrison (1988), "Standard bases and geometric invariant theory", I Initial ideals and state polytopes, Computational Aspects Of Commutative Algebra, J Symbolic Comput, (2-3), 209–217 [7] David Cox, John Little and Donal O’Shea (2007), Ideals, Varieties, And Algorithms, Undergraduate Texts In Mathematics, An Introduc47 tion To Computational Algebraic Geometry And Commutative Algebra, Springer, New York, third edition [8] Diane Maclagan (2001), "Antichains of monomial ideals are finite", Proc Amer Math Soc., 129 (6), 1609–1615 (Electronic) [9] Diane Maclagan and Bernd Sturmfels, Introduction to tropical geometry, Draft Book In Progress Available at http://www.warwick.ac.uk/staff/ D.Maclagan/papers/Tropicalbook.pdf [10] Diane Maclagan and Rekha R Thomas (2007), "Computational algebra and combinatorics of toric ideals", In Commutative Algebra And Combinatorics, volume of Ramanujan Math, Soc Lect Notes Ser., pages Part I: Vi+106 Ramanujan Math Soc., Mysore With the cooperation Of Sara Faridi, Leah Gold, A V Jayanthan, Amit Khetan And Tony Puthenpurakal [11] Israel M Gelfand, Mikhael M Kapranov and Andrei V Zelevinsky (2008),Discriminants, Resultants And Multidimensional Determinants, ă ă Modern BirkhAuser Classics, BirkhAuser Boston Inc., Boston, Ma, Reprint Of The 1994 Edition [12] Jesus A De Loera, Jăorg Rambau and Francisco Santos (2010), Triangulations, volume 25 of Algorithms and Computation in Mathematics, Structures for algorithms and applications, Springer-Verlag, Berlin [13] Kerstin Hept and Thorsten Theobald (2009), "Tropical bases by regular projections", Proc Amer.Math Soc., 137 (7), 2233–2241 [14] Sam Payne (2009), "Fibers of tropicalization", Math Z., 262 (2), 301–311 48 [15] Teo Mora and Lorenzo Robbiano (1988), "The Grăobner fan of an ideal", Computational Aspects Of Commutative Algebra, J Symbolic Comput, (2-3), 183–208 49 ... thành cơng gần hình học nhiệt đới dễ hình dung Điều phần lớn chúng rời rạc, đối tượng có cấu trúc tổ hợp phức đa diện Mục đích luận văn để giải thích nguồn gốc cấu trúc phức đa diện hình học nhiệt. .. chặn bậc đa thức fi sở nhiệt đới iđêan I phụ thuộc vào đa thức Hilbert I bị chặn cỡ, bậc phần tử sở nhiệt đới Tuy nhiên, thời điểm viết, hiệu thật hiệu thuật tốn để tính sở nhiệt đới khơng tồn 44... [0, 1], ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ S Ví dụ 1.2.4 i) Trong R2 , hình đa giác, hình trịn, hình Elip tập lồi Trong R3 hình đa diện, hình cầu tập lồi ii) Hình cầu B = {x ∈ Rn : x ≤ 1} tập lồi Thật vậy,