Đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 (225 đề thi cấp trường, cấp huyện, cấp thành phố dành cho học sinh lớp 7 và các lớp bồi dưỡng nâng cao toán có lời giải chi tiết). tài liệu bao gồm 1025 trang chứa các dạng toán thường gặp trong đề thi.
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết 1 a) x 243 b) x x c) x 5 Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh đa thức x2 x vô nghiệm b) Cho tỉ lệ thức 1) a c b Với Chứng minh: b d d 2a 3c 2a 3c 2b 3d 2b 3d 2) a c ac b2 d bd Câu (4,0 điểm) a) Tìm x biết x x x b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B 8 x đạt giá trị nhỏ x 3 Câu (5,0 điểm) Cho ABC nhọn, AD vng góc với BC D Xác định I; J cho AB trung trực DI, AC trung trực DJ;IJ cắt AB ; AC L K Chứng minh a) AIJ cân b) DA tia phân giác góc LDK c) BK AC ; CL AB d) Nếu D điểm tùy ý cạnh BC Chứng minh góc IAJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) Tìm x, y thuộc biết : 25 y x 2009 ĐÁP ÁN HSG THANH OAI 2014-2015 Câu 5 1 1 a) x x x 2 3 Vậy x b) x x 1 Nếu x ta có: 2x x x (thỏa mãn) Vậy x x Nếu x ta có 2x 1 x x (thỏa mãn) c) x 5 2 x x x x 5 5 Vậy x x Câu 2 a) x2 x x2 x x 1 Vì x 1 x nên x 1 1 x Do đa thức cho vô nghiệm b) 1) Với 2) b a c 2a 2c 3a 3c 2a 3c 2a 3c ; d b d 2b 2d 3b 3d 2b 3d 2b 3d a c a2 c2 a2 c2 2 (1) b d b d b d2 a c a c ac (2) b d b d bd Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu a) x x x (1) Lập bảng xét dấu x -3 x+3 + + x–4 + Xét khoảng x 3, ta có (1) trở thành 2 x x 3,5 (thuộc khoảng xét) Xét khoảng 3 x , ta có (1) trở thành 0.x (khơng có giá trị x thỏa mãn) Xét khoảng x , ta có (1) trở thành: 2 x 7 x 3,5 (không thuộc khoảng xét) Kết luận : Vậy x 3,5 x x 3 1 x 3 x 3 x 3 B đạt giá trị nhỏ nhỏ x3 Xét x x , ta có giá trị nhỏ 5 x x3 Kết luận: Giá trị nhỏ B – x b) Biến đổi B Câu A K J L I B D C a) Do AB; AC trung trực AB Nên AI = AD; AD=AJ AI AJ AIJ cân A b) ALI ALD (c.c.c) I1 D1 Tương tự AKD AKJ (c.c.c) D2 J Mà AIJ cân (câu a) I1 J D1 D2 DA tia phân giác LDK c) Chứng minh KC phân giác đỉnh K tam giác DLK Chứng minh DC phân giác đỉnh D tam giác DLK Suy LC tia phân giác đỉnh L tam giác DLK Mà AB phân giác đỉnh L tam giác LDK Hay CL vuông góc với AB L Chứng minh tương tự : BK vng góc với AC K d) Chứng minh IAJ 2BAC (không đổi) * AIJ cân A có IAJ khơng đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nến cạnh bên AI nhỏ Ta có AI AD AH (AH đường vng góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức D H Vậy D chân đường vng góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ Câu Ta có: 25 y x 2009 2 x 2009 25 y 2 x 2009 y 25(*) Vì y nên x 2009 2 25 2 , suy x 2009 x 2009 Với x 2009 1, thay vào (*) ta có: y 17 (loại) Với x 2009 thay vào (*) ta có y 25, suy y ( y ) Từ tìm x 2009, y PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT N ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu (4,0 điểm) 2 1 0, 25 0, 11 : 2012 1) M 7 1, 0,875 0, 2013 11 2) Tìm x, biết : x2 x x Câu (5,0 điểm) 1) Cho a,b,c ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện abc bca c ab c a b b a c Hãy tính giá trị biểu thức B 1 1 1 a c b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5;6;7, sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x x 2003 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y z xyz Câu (6,0 điểm) Cho xAy 600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay M Chứng minh: a) K trung điểm AC b) KMC tam giác c) Cho BK cm Tính cạnh AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c 1, chứng minh a b c 2 bc ac ab ĐÁP ÁN HSG TOÁN VIỆT YÊN 2012-2013 Câu 2 1 0, 25 0, 11 : 2012 1) Ta có: M 7 1, 0,875 0, 2013 11 1 2 2 11 2012 : 7 7 7 2013 11 10 1 1 1 11 : 2012 2013 11 2 2012 : 0 7 2013 2) Vì x2 x nên 1 x2 x x2 hay x +) Nếu x (*) x 1 x +)Nếu x * x 2 x 1 Câu 1) Nếu a b c , Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b 1 c a b abc abc bca c a b a b bc c a Mà 1 1 1 2 c a b c a b b a c b c c a b c Vậy B 1 1 1 8 a c b a c b +)Nếu a b c Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b 0 c a b abc abc bca c a b a b bc c a Mà 1 1 1 1 c a b c a b b a c b c c a b c Vậy B 1 1 1 1 a c b a c b 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x (x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu a, b, c a b c a bc x 5x 6x x 7x a ;b ;c (1) 18 18 18 18 18 Ta có: Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a' b' c' a b c x 4x 5x 6x a ' ;b ' ;c ' (2) 15 15 15 15 15 a a '; b b '; c c ' nên lớp 7C nhận nhiều lúc So sánh (1) (2) ta có c c' 6x 7x x 4 x 360 15 18 90 hay đầu , Vậy Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu 1) Ta có: A x x 2013 x 2013 x x 2013 x 2011 Dấu “=” xảy x 2013 x x 2) Vì x, y, z nguyên dương nên ta giả sử 1 Theo 2013 1 x y z 1 1 1 x2 x yz yx zx x x x x Thay vào đầu ta có : y z yz y yz z y(1 z ) (1 z ) y 1 z 1 z 1 z y 1 y TH1: z 1 z y 1 y TH2: 1; 2;3 ; 1;3; Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn Câu x z t C B y K M H A ABC a) BK CAB ACB MAC cân B đường trung tuyến ABH BAK b) K trung điểm AC (cạnh huyền – góc nhọn) BH AK (hai cạnh tương ứng ) mà Ta có : BH = CM (tính chất cặp đoạn chắn) mà CK BH AK AC CM CK MKC tam giác cân (1) ACB 300 MCK 600 (2) MCB 900 Mặt khác BK đường cao 1 AC BH AC 2 MKC Từ (1) (2) tam giác KAB 300 AB 2BK 2.2 cm ABK c) Vì vng K mà AK AB2 BK 16 12 ABK Vì vng K nên theo Pytago ta có: KC Mà KCM AC KC AK 12 KC KM 12 Theo phần b) AB = BC =4; AH =BK=2 HM = BC (HBCM hình chữ nhật) AM AH HM Câu a b c 1 Vì nên : 1 c c (1) ab a b ab a b a a b b (2) ; (3) ac a c Tương tự: bc b c a b c a b c (4) Do đó: bc ac ab b c a c a b a 1 b 1 ab a b a b c 2a 2b 2c 2(a b c) (5) a b c Mà b c a c a b a b c a b c a b c a b c 2 Từ (4) (5) suy bc ac ab (đpcm) TRƯỜNG THCS HẠ HỊA ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN NĂM HỌC 2010-2011 Bài Chứng minh rằng: M 3n2 2n2 3n 2n có tân với số tự nhiên n Bài Tìm x a) x 15 b) x 3, x x3 Bài Chứng minh : ad bc 4abcd số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức Bài 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y 20 10 2010 5 Bài Cho tam giác ABC vuông B Vẽ tia AD phân giác BAC ( D BC ) Vẽ tia CE phân giác BCA E AB Hai tia AD CE cắt I a) Chứng minh CIA 1350 b) Vẽ tia Cx tia đối tia CA Tia phân giác góc BCx cắt tia AD K Tính góc CKA TRƯỜNG THCS CÙ CHÍNH LAN ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm hoc 2018-2019 Mơn thi: TỐN Câu (5 điểm) 1) Cho a c với a, b, c Chứng minh rằng: c b a a2 c2 a) b b2 c b a b2 a b) 2 a a c 2) Tổng ba phân số tối giản 25 tử chúng tỉ lệ nghịch với 20;4;5 63 Các mẫu chúng tỉ lệ thuận với 1;3;7 Tìm ba phân số Câu (3 điểm) Tìm số ngun x, y biết: y x Câu (3 điểm) Tìm số nguyên x để A có giá trị số nguyên biết: A x 1 ( x 0) x 3 Câu (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A x 2013 x 2014 x 2015 Câu (7 điểm) Cho tam giác ABC vng cân A có trung tuyến AM E điểm thuộc cạnh BC Kẻ BH , CH vng góc với AE ( H , K thuộc AE) a) Chứng minh BH AK b) Cho biết MHK tam giác ? Vì ? ĐÁP ÁN Câu 2 a c a c a c 1) a) Từ c b c b c b 2 a a c a2 c2 a a2 c2 2 2 (đpcm) b c b c b2 b b c b) Áp dụng chứng minh phần a ta có: a c a a2 c2 b b2 c2 b b2 c2 1 1 c b b b c2 a a c2 a a c2 b a b2 c2 a c b a b2 c2 a c2 a a a c2 a2 c2 a a2 c2 b a b2 a (dfcm) a a c2 2) Gọi ba phân số cần tìm a, b, c 25 Theo ta có: a b c 63 1 1 1 a : b : c 20 21: 35 :12 20 12 35 25 a b c abc 63 21 35 12 21 35 12 68 63 5 25 20 a 21 ; b 35 ; c 12 63 63 63 21 25 20 Vậy ba phân số cần tìm ; ; 21 Câu y y 1 2y Từ x 1 y 40 x x x 2y ước lẻ 40 1; 5 2y -5 -1 -8 -40 40 x y Vậy ta có cặp số x; y 8;3 ; 40;1 ; 40;0 ; 8; 2 -2 Câu Ta có: A A x 1 1 x 3 x 3 x U (4) 1; 2; 4 x 3 Lập bảng: -4 -2 -1 x 3 Loại x Vậy x 1;4;16;25;49 Câu A x 2013 x 2014 x 2015 16 25 A x 2013 x 2015 x 2014 Vi : x 2015 2015 x A x 2013 2015 x x 2014 Mà x 2013 2015 x x 2013 2015 x A x 2013 2015 x x 2014 x 2014 A x 2014 x 2013 2015 x x 2014 Dấu " " xảy x 2014 Vậy Amin x 2014 49 Câu A H E B M C K a) Xét ABH CAK có: AHB CKA 900 ; AB AC (ABC cân A), ABH CAE (cùng phụ với BAH ) ABH CAK (ch gn) BH AK b) Ta có: MA MB MC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) ABC cân A AM vừa trung tuyến vừa đường cao AM BC AMB AMC vuông cân M BAM ACM 450 Ta có: ABH CAK (cau a) BAH ACK (hai góc tương ứng) Mà: BAH BAM MAH BAH 45 MAH MAH MCK ACK ACM MCK ACK 45 MCK Xét AMH CMK có: AMH CMK ( phụ với HMC MA MC (cmt ); MAH MCK (cmt ) AMH CMK ( g.c.g ) MH MK MHK cân M AMH HMC 900 CMK HMC HMK 90 HMK vuông cân M AMH CMK PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIAO THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5,0 điểm) 2 1 a) Thực phép tính : 6. 3. 1 : 1 1 1 1 b) Cho biểu thức: A 100 3 3 3 Tính giá trị biểu thức B A 100 Bài (3,0 điểm) Tìm x, y biết: a) x 5x y 120 y b) x 1 2 y 1 y y 1 Bài (3,0 điểm) 1 1 So sánh M với 12 15 105 315 9177 2 b) Cho số nguyên dương a; b; c; d ; e thỏa mãn a b c2 d e2 chia hết cho Chứng tỏ a b c d e hợp số a) Cho M Bài (3,0 điểm) Cho tỉ lệ thức: a c 2a 3b 2c 3d (giả Chứng minh rằng: b d 2a 3b 2c 3d thiết tỉ lệ thức có nghĩa) Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, O trung điểm BC Từ B kẻ BD vng góc với AC (D thuộc AC ) Từ C kẻ CE vng góc với AB E AB a) Chứng minh rằng: OD BC b) Trên tia đối tia DE lấy điểm N, tia đối tia ED lấy điểm M cho DN EM Chứng minh rằng: Tam giác OMN tam giác cân ĐÁP ÁN Bài 2 1 a ) 6. 3. 1 : 1 4 2 16 1 : : 3 3 9 16 1 1 1 b) A 100 3 3 3 1 1 A 1 99 3 3 1 A A 1 100 A 1 100 4 1 1 A A 1 100 1 100 4 4 1 B A 100 .1 100 100 4 Bài x x y x y x y x y 120 a) 2 y 8 40 20 40 20 60 x 2.8 16 y 2.5 10 b) y 1 y y 1 x 1 Đặt A x 1 2 Chứng tỏ A 3 x (1) Dấu xảy x Đặt B y y y B y 1 y y y y với y Dấu xảy y y với y Dấu xảy y y y với y Dấu xảy y B với y (2) Dấu xảy y Từ (1) (2) A B x 1; y Bài 12 1 1 M 1.3.5 3.5.7 5.7.9 19.21.23 4 4 4M 1.3.5 3.5.7 5.7.9 19.21.23 1 1 1 1 4M 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 19.21 21.23 1 40 21.23 483 40 40 Vì M 12 480 483 12 b) Đặt A a2 b2 c2 d e2 ; B a b c d e a) So sánh M với Xét: A B a b2 c d e2 a b c d e a a b2 b c c d d e2 e A B a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 e e 1 Với n số ngun tích số ngun liên tiếp chia hết A B chia hết cho Theo đề A chia hết B chia hết cho Và B > Vậy B hợp số Bài a c a b 2a 3b Giả thiết tỉ lệ thức có nghĩa, từ b d c d 2c 3d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2a 3b 2a 2c 2a 3b 2a 3b 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2c 3d 2a 3b 2c 3d Bài N A D E M B C O I a) Chứng minh OD BC Trên tia đối tia OD lấy điểm I cho OI OD Nối I với C Chứng minh OBD OCI (c.g.c) BD CI Và BDO OIC , mà hai góc vị trí so le DB / /CI Mà CD BD CD CI Chứng minh được: BDC ICD(c.g.c) BC DI OD BC b) Nối O với E Chứng minh tương tự câu a có: OE BC OD OE OED cân O Chứng minh được: OEM ODN Chứng minh được: OEM ODN c.g.c OM ON (dfcm) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4,0 điểm) a) Thực phép tính: 212.35 46.92 510.73 252.492 3 125.7 59.133 1 1 1 n2 n 98 100 7 7 7 50 Bài (3,0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x y x xz b) CMR: b) Cho đa thức : f ( x) ax bx c Biết f 0 0; f 1 2017; f 1 2018.Tính a, b, c Bài (3,0 điểm) b2 a b a a c Chứng minh rằng: a c2 a c b b) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1,2,3 a) Cho Bài (8,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AB AC Trên cạnh AB lấy điểm D cho BD AC Trên đường vng góc với AB B lấy điểm E cho BE AD (E C nằm nửa mặt phẳng bở AB) 1) Tam giác CDE tam giác 2) Trên cạnh AC lấy điểm F cho CF AD Gọi giao điểm BF CD O Chứng minh COF 450 3) Trên BF lấy điểm P cho FCO OCP Kẻ FH CP H CP Chứng minh: a) HO tia phân giác FHP b) Chứng minh: OH OC HF CF Bài (2,0 điểm) Tìm x, y biết: 36 y x 2018 ĐÁP ÁN Bài a) E 212.35 46.92 22.3 84.35 510.73 252.492 125.7 59.133 12 212.35 212.34 510.73 54.7 1 12 12 9 12 13 1 59.73.9 212.34.2 56 2429 12 59.73.9 6250 1 1 1 b) Đặt A 4n2 4n 98 100 7 7 7 Ta có: 1 1 49 A n4 n2 96 98 7 7 1 50 A 100 A 50 Bài a) Sử dụng tính chất A 2 0; y 0; x xz nên x y x xz 3 Dấu xảy x ; y ; z b) Tính f (0) c c f (1) a b c a b c 2017 a b 2017 Suy : x f 1 a b c 2018 a b 2018 Từ tính a 4035 ;b 2 Bài a c c ab c b b2 c b2 ab b a b b Khi đó: a c a ab a a b a a) Từ b2 c b b2 a b a Suy : Hay 2 a c2 a a c a b) Gọi chữ số cần tìm a, b, c Số chia hết cho 18 nên chia hết cho a b c Lại có: a b c 27 suy a b c nhận giá trị 9,18,27 a b c abc abc Theo ta có: mà a nên , suy 6 a b c 18 a b c Suy a 3, b 6, c Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số cuối chẵn Vậy số cần tìm 396;936 Bài E B P D O A M H F C 1) Chứng minh DBE CAD(c.g.c) DE DC (1); BDE ACD; DEB CDA Mặt khác : DBE vng B có BDE DEB 900 Do đó: BDE CDA 900 CDE 900 CDE vuông D (2) Từ (1) (2) suy CDE vuông cân D 2) CDE vuông cân D DEC DCE 450 Chứng minh BE / / AC EBC FCB Chứng minh: BEC CFB (vì có BE CF (cùng AD), EBC FCB BC cạnh chung) BCE CBF BF / /CE Khi DCE COF (vì hai góc so le ) mà DCE 450 COF 450 3) a) AFH góc ngồi đỉnh F HFC nên: AFH FHC 900 2OCF 450 OCF Mà AFO góc ngồi đỉnh F OFC AFO COF FCO 450 FCO , AFO AFH , hay FO tia phân giác AFH CFH có đường phân giác góc C đường phân giác góc ngồi F cắt O, nên đường phân giác góc ngồi đỉnh H CHF phải qua O HO tia phân giác FHP 3b) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với OF I cắt AC M Chứng minh FIM FIH ( g.c.g ) MI HI , FM FH Do đó: OM OH (quan hệ đường xiên – hình chiếu) Từ suy ra: OH OC HF CF Bài 36 y x 2018 y 8. x 2018 36 2 x 2018 2 2 Vi y x 2018 x 2018 2 Với x 2018 y 28(ktm) x 2020 Với x 2018 y2 y y 2016 Với x 2018 x 2018 y 36 y Vậy x; y 2020;2 ; 2016;2 ; 2018;6 ... 2b 17 10a b 17 Ta có: 3a 2b 17 9.(3a 2b) 17 27a 18b 17 17a 17b 10a b 17 10a b 17 *10a b 17 3a 2b 17 Ta có: 10a b 17 10a b 17 20a 2b 17 17a... 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thi? ??n, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5;6 ;7, sau chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua... ab ĐÁP ÁN HSG TOÁN VIỆT YÊN 2012-2013 Câu 2 1 0, 25 0, 11 : 2012 1) Ta có: M 7 1, 0, 875 0, 2013 11 1 2 2 11 2012 : 7 7 7