b/ Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường 1 Tứ giác AQCN là hình hành AQ // NC và AQ = NC Nên hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm O củ[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán – Lớp ĐỀ BÀI: A ĐẠI SỐ: Câu 1: 2 2 a/ Phân tích đa thức: x + y −5 ¿ − x¿ y − 16 xy −16 thành nhân tử b/ Cho P=1+x+x2+…+x2004+x2005 Chứng minh rằng: x.P - P=x2006 - Câu 2: a/ Tìm các giá trị nguyên x để biểu thức sau có giá trị là số x − x +2 x −1 nguyên: b/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A=9 x −6 x +5 Câu 3: A=3 32 −1 a/ So sánh hai số: B=(3+1)(32+ 1)(3 +1)(38 +1)(3 16+1) b/ Chứng minh rằng: n3 −6 n2 +8 n chia hết cho 48 với số chẵn n Câu 4: a/ Cho a+b +c=0 Rút gọn biểu thức: M =a 3+ b3 +c (a 2+ b2)−abc b/ Chứng minh rằng: ( x+ 3)( x −11)+2003 luôn luôn dương với giá trị x Câu 5: a/ Thực phép tính: (2710 −5 81 312 +4 38 ): 41 324 b/ Tìm số tự nhiên n để (5 x n− y −8 x n+2 y ) chia hết cho x3 y n+1 Câu 6: Thực phép tính: 1 1 a/ x ( x + y ) + y (x + y) + x ( x − y ) + y ( y − x) 1 b/ (a − b)(a −c ) + ( b− a)(b − c) + (c − a)(c −b) Câu 7: Cho a+b +c=0 và a, b, c khác Rút gọn biểu thức: M= ab bc ac + 2 2+ 2 2 2 a +b − c b + c − a c +a −b Câu 8: a/ Cho 12+ 22+3 2+ .+ 102=385 Tính 22+ 2+ 62 + +202 1 1 b/ Tính nhanh: + + + + 2003 2004 Câu 9: a/ Tìm a cho đa thức: x 3+ ax2 +5 x+ chia hết cho đa thức x +2 x +3 (2) b/ Chứng minh biểu thức sau viết dạng tổng các bình x +3 ¿ x+ 2¿ + ¿ phương hai biểu thức: x +1 ¿ +3 ¿ x +2 ¿ Câu 10: a/ Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến 5(3 x n+1 − y n −1 )+3(x n+1 +5 y n −1 )− 5(3 x n+1 +2 y n− 1) −(3 xn +1 − 10) b/ Cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=0 Chứng minh rằng: a3 +b 3+ c 3=3 abc 1 Câu 11: Cho a + b + c =0 Tính giá trị biểu thức: b+c c+ a a+ b M= + + a b c Câu 12: Rút gọn các biểu thức ( n là số nguyên dương) 1 1 a/ A= + + + .+ (2 n− 1)( 2n+1) 1 1 b/ B= + + + + n(n+1) ( n+ ) Câu 13: a/ Tìm các số a và b cho phân thức x 2+ x −3 x − viết thành x +1 ¿2 ¿ a b +¿ x −2 b/ Rút gọn phân thức sau: Câu 14: Thực phép tính: 1 x 40 +x 30+ x 20 +x 10+1 M = 45 40 35 x + x +x + .+ x5 +1 16 + + + a/ − x + 1+ x + 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 16 b/ Chứng minh rằng: 1 1 1 Nếu x + y + z =2 và x+y+z=xyz thì + + =2 x y z Câu 15: Cho phân thức: x5 −2 x +2 x3 − x −3 x +6 M= x 2+ x − a/ Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định b/ Rút gọn phân thức c/ Tìm giá trị x để giá trị phân thức B HÌNH HỌC: (3) Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 60 ❑0 , các đường phân giác BD và CE cắt I Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC F Chứng minh rằng: a/ E và F đối xứng với qua BD ❑ b/ IF là tia phân giác BIC c/ D và F đối xứng với qua IC Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm tam giác Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T là trung điểm các đoạn OA, OB, OC a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật b/ Chứng minh ba đoạn RN, MT, SP và cắt trung điểm đường Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác các góc hình bình hành cắt tạo thành tứ giác EFGH a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? b/ Chứng minh EG = FH và hiệu hai cạnh kề đỉnh hình bình hành ABCD Bài 4: Cho hình thoi ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm M, trên tia đối tia CB lấy điểm N, trên tia đối tia DC lấy điểm P, trên tia đối tia AD lấy điểm Q cho BM= CN = DP = AQ a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b/ Chứng minh hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB Từ C kẻ CE vuông góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M kẻ MF CE, MF cắt BC N a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao? b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao? ❑ ❑ c/ Chứng minh BAD=2 AEM ĐÁP ÁN: Câu 1: (4) 2 2 2 2 2 a/ x + y −5 ¿ − x¿ y − 16 xy −16 = x + y −5 ¿ − 4( x y + xy+ 4) ¿ = = 2( xy+ 2)¿ x + y − 5¿ − ¿ xy +2 ¿2=¿ x 2+ y −5 ¿2 − ¿ ¿ ¿ ¿¿ [( x +2 xy + y 2)−1 ] [( x2 −2 xy + y )− 9]=¿ (x+ y+ 1)( x + y −1)(x+ y+3)(x + y −3) = b/ Ta có: P=1+x+x2+…+x2004+x2005 ⇒ x.P= x+x2+x3+…+x2005+x2006 ⇒ x.P – P = (x+x2+x3+…+x2005+x2006) - ( 1+x+x2+…+x2004+x2005) = x+x2+x3+…+x2005+x2005-1-x-x2-…-x2004-x2005) = x2006- Câu 2: a/ Chia tử thức cho mẫu thức ta thương là x2 và dư là Do đó: P(x)= x − x 2+ x −1 = x2+ x −1 Để P(x) có giá trị nguyên thì x −1 phải là số nguyên (Vì x2 luôn nguyên, ∀ x ) ⇒ x-1 phải là ước (hay phải chia hết cho x-1) ⇒ x-1 { 1; − 1; ; −2 } ⇒ x { 2; 0; ; − } Vậy với x= 2; 0; 3; -1 thì biểu thức P(x) có giá trị nguyên x −1 ¿ + x ¿ − x 1+12 + 4=¿ b/ A=9 x −6 x +5=9 x −6 x+ 1+ 4=¿ Vì ( x −1 )2 ≥ với x nên ( x −1 )2 + ≥ Vậy A có giá trị nhỏ là x −1=0 ⇔ x= Câu 3: a/ Ta có: A=3 32 −1=(316 +1)(316 − 1)=(316 +1)(38 +1)(38 −1) = (316 +1)( 38 +1)(3 +1)(34 −1)=(316 +1)(3 8+ 1)(3 +1)(32+ 1)(3 −1) = (316 +1)( 38 +1)(3 +1)(32 +1)(3+ 1)(3 −1) = 2(3+1)(32 +1)( 34 +1)(38 +1)(316 +1) Vậy A = 2.B b/ n3 −6 n2 +8 n ⋮ 48 với số chẵn n Ta có: n3 −6 n2 +8 n = n( n2 − n+8)=n( n2 − n− n+ 8) (5) = n[ n(n− 4)−2(n− 4)]=n(n− 2)( n− ) Đặt n=2k ( vì n chẵn) Do đó: n(n− 2)( n− 4)=2 k (2 k −2)(2 k − 4)=2 2 k (k −1)(k −2) = 8( k − 2)(k −1)k ⋮ 48 ( vì ( k −2 ) (k − 1) k là tích ba số nguyên liên tiếp nên ⋮ ∀ k ∈ Ζ ¿ Vậy n3 −6 n2 +8 n ⋮ 48 với số chẵn n Câu 4: a/ M =a 3+ b3 +c (a 2+ b2)−abc=a3 +b3 +a c +b c −abc = (a3 + a2 c)+( b3 +b2 c)−abc=a2 (a+ c)+b2 (b+c )− abc = a2 (− b)+b2 (− a)− abc ( Vì a+b +c=0 ⇒ a+c=− b , b+c=− a ¿ = −ab (a+b +c)=0 b/ (x+ 3)( x −11)+2003 ¿ x −8 x −33+2003=x −8 x +1970 x −4 ¿ +1954 = (x − x +16)+1954=¿ Vì ( x − )2 ≥ ∀ x ⇒ ( x − )2+1954 >0 ∀ x Vậy (x+ 3)( x −11)+2003 > với x Câu 5: a/ (2710 −5 81 312 +4 38 ): 41 324 = (330 − 316 12+ 16 38): 41 324 = (330 − 328 + 24) :41 24=324 (3 − 34 + 4) :41 24 = 328 : 41 = b/ Để (5 x n− y −8 x n+2 y ) chia hết cho x3 y n+1 thì: ¿ n −2 ≥3 n+ 2≥ n+ 1≤ n+ 1≤ ⇔ ¿ n≥ n≥1 n ≤6 n ≤7 ⇔ ¿ n≥ n ≤6 ¿{{{ ¿ Vậy n =5, n=6 Câu 6: 1 1 a/ x (x + y ) + y ( x + y) + x ( x − y ) + y ( y − x) y+ x y− x 1 = xy (x= y) + xy ( x − y ) = xy − xy =0 1 b/ (a − b)(a −c ) + ( b− a)(b − c) + (c − a)(c −b) (6) = (b − c)−( a −c )+(a − b) b −c −a+ c+ a −b = =0 (a −b)(a −c )(b −c ) (a −b)(a −c )(b −c ) Câu 7: ⇒ a+ b=− c a/ Vì a+b +c=0 Bình phương hai vế ta được: a2 +2 ab+b 2=c ⇒ a2 +b2 − c2=−2 ab Tương tự: b2 +c −a2 =−2 bc Do đó: 2 c + a −b =−2 ac ab bc ac −1 1 A= + + = − − =− −2 ab −2 bc −2 ac 2 2 Câu 8: a/ Ta có: 22+ 2+ 62 + +202 = 22 ( 12+ 22+3 2+ .+ 102 ¿=4 385=1540 1 1 b/ + + + + 2003 2004 1 1 1 1 2003 = 1− + − + − + + 2003 − 2004 =1− 2004 =2004 Câu 9: a/ x 3+ ax2 +5 x+ x +2 x +3 x +2 x +3 x x+ a −2 ( a− ) x +2 x+3 (a −2) x2 +(2 a− )x +3 a −6 ( −2 a ) x+ −3 a Để đa thức ⇒ chia hết cho đa thức x 2+2 x +3 thì đa thức dư ¿ −2 a=0 −3 a=0 với giá trị x, đó: ⇔ a=3 ¿{ ¿ Vậy với a=3 thì đa thức ⇒ chia hết cho đa thức x 2+2 x +3 x +3 ¿ x+ 2¿ + ¿ b/ Ta có x +1 ¿ +3 ¿ x +2 ¿ = x 2+2( x2 +2 x+1)+3( x +4 x+ 4)+4 ( x +6 x+ 9) = x 2+2 x 2+ x +2+3 x 2+12 x+ 12+ x +24 x +36 = 10 x2 + 40 x +50=(x +10 x+25)+(9 x2 +30 x +25) = ( x+5 )2+ ( x +5 )2 Câu 10: a/ 5(3 x n+1 − y n −1 )+3( x n+1 +5 y n −1 )− 5(3 x n+1 +2 y n− 1)−(3 xn +1 − 10) = 15 xn +1 − y n− 1+ x n +1+15 y n − −15 x n+1 −10 y n −1 −3 x n+1 +10 (7) = 10 Vậy giá trị biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị biến x, y b/ Ta có: a+b+c = ⇒ a+b = -c ⇒ 3 ⇒ a +b + a b+3 ab =− c 3 a +b +3ab(a+b) = −c ⇒ - 3abc= −c ⇒ a3 +b −c¿ a+b ¿ =¿ ¿ ⇒ a +b +3ab(-c)= −c hay a3 +b +c 3=3 abc (đpcm) b+c c+ a a+ b b+c c+ a a+b +1 + +1 + +1 −3 Câu 11: M = a + b + c = a b c a+b+ c a+b+ c a+b+ c 1 + + −3=( a+ b+c ) + + −3 = a b c a b c 1 Vì a + b + c =0 nên M = -3 ( )( )( ( ) Câu 12: 1 1 a/ A= + + + .+ (2 n− 1)( 2n+1) 1 1 1 1 = ( − + − + − + + n− − n+1 ) 1 2n n = − n− = n+1 = n+1 ( ) 1 1 b/ B= + + + + n(n+1) ( n+ ) 1 (1 1 1 ) n ( n+3 ) 1 n +3 n = (2 − ( n+11) ( n+2) )= 12 ( n+1 ) ( n+2 ) ( n+1 ) ( n+2 ) = 2 − + − + n ( n+1 ) − ( n+1 )( n+2 ) = Câu 13: a/ (Dùng phương pháp hệ số bất định ) Ta có: x +1 ¿2 ¿ x+ 1¿ +b (x − 2) ¿ x +1 ¿2 ¿ (x − 2)¿ a¿ ¿ a b +¿ x −2 Đồng các hệ số với phân thức x +5 x −3 x − ) ta có: (8) a=1 a+ b=0 a −2 b=5 ⇒ a=1 b=−2 x+1 ¿ x +5 ¿ Vậy = x −3 x − − x −2 ¿ x 40 +x 30+ x 20 +x 10+1 b/ M = 45 40 35 x + x + x + .+ x5 +1 x 40 + x30 + x 20+ x 10 +1 = 40 30 20 10 x ( x + x + x + x +1 ) + ( x 40 + x 30+ x 20 + x 10+1 ) 40 30 20 10 x +x + x +x +1 = = 40 30 20 10 ( x + x + x + x + ) +( x + ) x +1 Câu 14: 1 16 + + + a/ − x + 1+ x + 16 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 2 16 + + + + 2 − x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 16 4 16 8 16 + + + = + + = 4 16 8 − x 1+ x 1+ x 1+ x 1− x 1+ x 1+ x 16 16 16 32 + = = 16 16 32 1−x 1−x 1−x 1 1 + + ¿ =4 ⇒ b/ Ta có: x + y + z =2 x y z ¿ 1 1 1 + + +2( + + )=4 ⇒ xy yz zx x y z = 1 2(x + y + z) + + + =4 x y z xyz 1 xyz + + + =4 ( Vì x+y=z=xyz ) ⇒ x y z xyz 1 xyz + + =4 − ⇒ xyz x y z 1 + + =4 − 2=2 ⇒ x y z x5 −2 x +2 x3 − x −3 x +6 Câu 15: M = x 2+ x − ⇒ a/ Giá trị phân thức M xác định khi: x 2+2 x − ≠ 0⇒ ( x 2+2 x+ ) − ≠ 0⇒ ( x+1 ) −9 ≠ ⇒ ( x − )( x + ) ≠ 0⇒ x −2 ≠ và x+ ≠ ⇒ x ≠ và x ≠ − Vậy với điều kiện x ≠ và x ≠ − thì giá trị phân thức M xác định b/ Ta có: x −2 x +2 x − x − x +6 (9) = x ( x −2 ) +2 x ( x − ) − ( x −2 )=( x − ) ( x + x − ) = ( x − ) [ ( x2 +1 ) − ] =( x − ) ( x +3 ) ( x − )( x +1 ) ( x −2 ) ( x +3 ) ( x −1 )( x +1 ) ( x +3 ) ( x − )( x +1 ) = Vậy M = x +4 ( x −2 ) ( x+ ) c/ Giá trị phân thức M tử và mẫu khác Do đó: ( x 2+ ) ( x −1 ) ( x+ )=0 ⇒ x − 1=0 x+ 1=0 (vì x 2+3> ∀ x ¿ ⇒ x=1 x=−1 ( thỏa điều kiện) Vậy với x=1 , x=− thì M = HÌNH HỌC Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 60 ❑0 , các đường phân giác BD và CE cắt I Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC F Chứng minh rằng: a/ E và F đối xứng với qua BD ❑ b/ IF là tia phân giác BIC c/ D và F đối xứng với qua IC Chứng minh: Gt Kl = 60 ❑0 , BD và CE là các đường phân giác BD CE = I, EF BD( F BC ¿ a/ E và F đối xứng với qua BD ❑ b/ IF là tia phân giác BIC c/ D và F đối xứng với qua IC Δ ABC, A Δ v EOB=Δ v FOB (cạnh a/ gv- gn) ⇒ Δ EBF cân B ❑ Do BD là tia phân giác B nên BD là đường trung trực EF Vậy E và F đối xứng với qua BD ❑ ❑ b/ Do A = 60 ❑0 ⇒ B + C2 = 60 ❑0 ❑ ⇒ BIC = 120 ❑ ❑ ❑ ⇒ ⇒ M = 60 ❑0 I = 60 ❑0 60 ❑0 ❑ Vậy IF là tia phân giác BIC c/ Δ IDC= Δ IFC (g-c-g) ⇒ IF = ID, CF = CD Do đó CI là đường trung trực DF ⇒ ❑ I3 = (10) Vậy D và F đối xứng với qua CI Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm tam giác Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T là trung điểm các đoạn OA, OB, OC a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật b/ Chứng minh ba đoạn RN, MT, SP và cắt trung điểm đường Chứng minh: GT O là trực tâm tam giác M, N, P là trung điểm AB, BC, AC R, S, T là trung điểm OA, OB, OC KL a/ Tứ giác MPTS là hình chữ nhật b/ Ba đoạn RN, MT, SP và cắt trung điểm đường Δ ABC, a/ Trong Δ ABC có MP là đường trung bình ⇒ MP // BC và MP= BC (1) Δ BOC có ST là đường trung bình ST // BC và ST= BC (2) Từ (1) và (2) ⇒ MP // ST và MP = ST Do đó tứ giác MPTS là hình bình hành Do MP // BC và MS // AO ❑ Mà AO BC (gt) Nên MP MS hay SMP=900 Vậy hình bình hành MPTS có góc vuông nên là hình chữ nhật b/ Chứng minh tương tự, tứ giác MRTN là hình chữ nhật Hai hình chữ nhật MPTS và MRTN có chung đường chéo MT Nên ba đoạn MT, SP, RN và cắt trung điểm đường Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Các tia phân giác các góc hình bình hành cắt tạo thành tứ giác EFGH a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? b/ Chứng minh EG = FH và hiệu hai cạnh kề đỉnh hình bình hành ABCD Chứng minh: ⇒ (11) GT ABCD là hình bình hành Các tia phân giác các góc hình bình hành cắt tạo thành tứ giác EFGH KL a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? b/ EG = FH và hiệu hai cạnh kề đỉnh hình bình hành ABCD a/ Trong Δ AFD ta có: ❑ ❑ ❑ ❑ A 1=D 1= ( A + D )= 1800=90 2 ❑ Nên AFD = 90 ❑0 ❑ ❑ Tương tự BHC = 90 ❑0 , AEB =900 ❑ Do đó: HEF =900 Vậy tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật b/ Do EFGH là hình chữ nhật nên: EG = FH EF // HG ⇒ AM // NC, MC // AN (gt) ⇒ Tứ giác ANNC là hình bình hành Δ ABM có BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên Δ ABM cân B Do đó E là trung điểm AM (1) Tương tự G là trung điểm CN (2) Từ (1) và (2) ⇒ EG là đường trung bình hình bình hành AMCN Nên EG = (MC+ AN)=MC Do Δ ABM cân B nên BM = BA Vì CM = CB – BM = CB – BA Vậy EG = FH = CB – BA (12) Bài 4: Cho hình thoi ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm M, trên tia đối tia CB lấy điểm N, trên tia đối tia DC lấy điểm P, trên tia đối tia AD lấy điểm Q cho BM= CN = DP = AQ a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành b/ Chứng minh hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng Chứng minh: ABCD là hình thoi, M tia đối tia BA GT N tia đối tia CB, P tia đối tia DC, Q tia đối tia AD cho BM = CN = DP = AQ KL a/ Tứ giác MNPQ là hình bình hành b/ Hình bình hành MNPQ là hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng a/ Δ BMN = Δ DPQ (c.g.c) ⇒ MN = PQ Δ AMQ = Δ CPN (c.g.c) ⇒ QM = NP Tứ giác MNPQ có các cạnh đối nên là hình bình hành b/ Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt trung điểm O đường (1) Tứ giác AQCN là hình hành (AQ // NC và AQ = NC) Nên hai đường chéo AC và NQ cắt trung điểm O đường (2) Tứ giác MNPQ là hình bình hành nên hai đường chéo MP và NQ cắt trung điểm O đường (3) Từ (1), (2) và (3) ⇒ O là giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD và O là giao điểm hai đường chéo hình hành MNPQ nên O là tâm đối xứng chung hai hình đó Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB Từ C kẻ CE vuông góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M kẻ MF CE, MF cắt BC N (13) a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao? b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao? ❑ ❑ c/ Chứng minh BAD=2 AEM Chứng minh: ABCD là hình bình hành, AD = 2AB, CE GT AB, M là trung điểm AD, nối EM, MF CE, MF cắt BC N KL a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao? b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao? ❑ ❑ c/ Chứng minh BAD=2 AEM a/ Ta có AB // CD AE EC (gt) MF CE ⇒ AE // MF Nên AE // MF // DC, AD = 2AB ⇒ MN = MD = DC = NC Nên Tứ giác MNCD là hình thoi Δ b/ MEC cân tai M vì có MF là đường cao Có EF = FC nên là đường trung tuyến c/ MC là đường chéo hình thoi MNCD ❑ Nên MC là đường phân giác NMD ❑ ❑ Ta có M = M ❑ ❑ M = E1 ( so le trong) ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ Do đó A = NMD = M + M = M + M = E1 ❑ ❑ Vậy BAD=2 AEM (đpcm) -Hết Tân Bình, ngày 16/12/2011 GV biên soạn: Lê Thị Hà và Tống Thùy Oanh Kí tên: Kí duyệt TTCM: 17/12/2011 (14) Xác nhận BGH: (15)