Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a Trục Ox.[r]
(1)Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số Nguyên hàm thường gặp hàm số hợp ∫ du=u+C ∫ d ( ax +b ) = a ( ax +b ) +C α +1 u α α +1 u du= +C ( α ≠ ) ∫ ( ax +b ) α+1 ∫ ( ax +b )α dx= 1a α +1 +C ( α ≠1 ) du ∫ u =ln|u|+C ( u ≠ ) dx ∫ ax +b = a ln|ax+ b|+C ( x ≠ ) e u du=eu +C ∫ au ∫ e ax+b dx= a eax+b +C u a dx= +C ( 0<a ≠ ) ∫ ln a ∫ cos ( ax+b ) dx= a sin ( ax+ b ) +C ∫ cos udu=sin u+C ∫ sin ( ax +b ) dx=− a cos ( ax +b )+C ∫ sin1udu=−cos u+C ∫ cos u du=tan u+C 1 dx= tan ( ax +b ) + C ∫ cos ( ax +b ) a ∫ sin2 u du=− cotu+ C 1 ∫ sin2 ( ax +b ) dx=− a cot ( ax +b ) +C ∫ dx=x +C α +1 x α x dx= +C ( α ≠ ) ∫ α +1 dx ∫ x =ln|x|+C ( x ≠ ) ∫ e x dx=e x +C ax x a dx= +C ( 0<a ≠ ) ∫ ln a ∫ cos xdx=sin x+ C ∫ sin xdx=−cos x +C ∫ cos x dx=tan x +C ∫ sin2 x dx=−cot x +C I ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đổi biến số dạng b ò f[u(x)]u (x)dx / Để tính tích phân ta thực các bước sau: Bước Đặt t = u(x) và tính dt = u (x)dx Bước Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a, x = b Þ t = u(b) = b a / b b ò f[u(x)]u (x)dx = ò f(t)dt / Bước a a e I = Ví dụ Tính tích phân dx ò x ln x e Giải dx x Đặt x = e Þ t = 1, x = e Þ t = t = ln x Þ dt = Þ I = ò dt = ln t t Vậy I = ln2 = ln2 (2) p Ví dụ Tính tích phân Hướng dẫn: p I = cosx ò (sin x + cosx) ĐS: dx p ò (tan x + 1) dx = I = cosx ò (sin x + cosx) I = dx cos2 x I = dx 2x + ò (1 + x) Ví dụ Tính tích phân Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 I = ln ĐS: I = Ví dụ 10 Tính tích phân Hướng dẫn: Đặt t = tan x + ò 3- x dx 1+ x 3- x t2dt t= Þ L 8ò 1+ x (t + 1)2 Đặt ; đặt t = tan u L p I = - 3+2 ĐS: Chú ý: 3- x I =ò dx + x Phân tích , đặt t = + x tính nhanh Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính / Bước Đặt x = u(t) và tính dx u (t )dt ∫f ( x)dx a ta thực các bước sau: Bước Đổi cận: x a t , x b t b Bước / ∫f ( x)dx ∫f [u(t )]u (t )dt ∫g (t )dt a I = Ví dụ Tính tích phân ò dx - x2 Giải p p x = sin t, t Î é - ; ù Þ dx = costdt ê ë 2ú û Đặt p x = Þ t = 0, x = Þ t = (3) p ò Þ I = p cost dt = - sin2 t cost dt = cost ò p p ò dt = t 06 = p p - 0= 6 p I = Vậy I = Ví dụ Tính tích phân Hướng dẫn: Đặt x = 2sin t ĐS: I = p ò - x2dx I = Ví dụ Tính tích phân dx ò1+ x Giải p pö ; ÷ Þ dx = (tan2 x + 1)dt ÷ ÷ 2ø æ x = tan t, t Î ç ç ç è Đặt x = Þ t = 0, x = Þ t = p Þ I =ò 3- I = Ví dụ Tính tích phân Hướng dẫn: 3- I = ò ò dx = x + 2x + 3- tan t + dt = + tan2 t p I = Vậy dx x + 2x + p dx ò + (x + 1) 2 I = Ví dụ Tính tích phân p I = ĐS: ò 3- I = ò dx - x2 dx x + 2x + 2 Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân p I = ò cos p ò dt = Đặt x + = tan t p I = 12 ĐS: Ví dụ Tính tích phân p I = 12 ĐS: Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lượng giác p x sin3 xdx (4) Hướng dẫn: Đặt t = cosx I = 15 ĐS: p I = Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân Hướng dẫn: Đặt t = sin x I = 15 ĐS: ò cos xdx p I = Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn) Tính tích phân Giải p I = ò cos p x sin2 xdx = ò cos x sin2 xdx p p 1 cos2 x sin2 2xdx = (1 - cos4x)dx + ò cos2x sin2 2xdx ò ò 40 16 40 p p p 1 æx sin3 2x ö p ÷ = (1 - cos4x)dx + ò sin2 2xd(sin2x) = ç sin 4x + = ÷ ò ç ÷ 16 è16 64 24 ø0 32 p I = 32 Vậy p dx ò cosx + sin x + I = Ví dụ 14 Tính tích phân Hướng dẫn: x t = tan Đặt ĐS: I = ln2 a sin a 2t ; cos a 1 t ; tan a 2t t tan 1 t2 1t2 1 t2 2: Biểu diễn các hàm số LG theo 3.2 Dạng liên kết p xdx ò sin x + I = Ví dụ 15 Tính tích phân Giải x = p t Þ dx = - dt Đặt x = Þ t = p, x = p Þ t = 0 Þ I =- (p - t)dt òp sin(p - t) + = p p ò ( sin t + p p ) t dt sin t + dt p dt = pò - I Þ I= ò sin t + sin t + (5) p p = ò æt p ö dç - ÷ ÷ p ç ÷ p ç æt p ö è ø p p ÷ ç p dt = ò = tan ç - ÷ ÷ =p = ò ç æ p÷ ö è2 ø 2 çt cos2 t - p cos ç - ÷ ç è2 ÷ ø p dt ( t t sin + cos 2 ) ( ) Vậy I = p Tổng quát: p p p ò0 xf(sin x)dx = ò0 f(sin x)dx p I = Ví dụ 16 Tính tích phân ò sin 2007 p p I +J = Mặt khác Tổng quát: ( ) ) ( ) p ò dx = p (2) Từ (1) và (2) suy I = I = p p n cosn x p ò0 sinn x + cosn x dx = , n Î Z+ p p sin x ò0 sinn x + cosn x dx = Ví dụ 17 Tính tích phân Giải p x = - t Þ dx = - dt Đặt p p x = 0Þ t = , x = Þ t = 2 p p sin2007 - t 2 dx cos2007 t p = 2007 p ò0 sin2007 t + cos2007 t dx = J - t + cos - t 2 (1) ( Þ I =- sin2007 x ò0 sin2007 x + cos2007 x dx sin2 x ò sin x + 3cosx dx J = và cos2 x ò sin x + 3cosx dx Giải I - 3J = p (1) p dx dx I +J = ò dx = ò sin x + p sin x + 3cosx p t = x + Þ dt = dx I + J = ln 3 Đặt (2) 1- 1- I = ln + , J = ln 16 16 Từ (1) và (2) ln(1 + x) I =ò dx + x Ví dụ 18 Tính tích phân Giải Đặt x = tan t Þ dx = (1 + tan t)dt ( ) (6) x = Þ t = 0, x = Þ t = p Þ I = ln(1 + tan t) ( + tan2 t ) dt = + tan t ò p p ò ln(1 + tan t)dt p t = - u Þ dt = - du Đặt p p t = 0Þ u = , t = Þ u = 4 p Þ I = 0 p = é æ p - tan u ö ö p p 0 p ò ln2du - ò ln ( + tan u) du = ln2 p I = ĐS: æ ÷ ÷du = ò ln ç ÷du ç ò ln çççè1 + + tan u ø÷ ÷ ÷ ç è1 + tan u ø = I = ứ u÷ ÷údu ÷ú ø û p Ví dụ 19 Tính tích phân Hướng dẫn: Đặt x = - t æp ò ln(1 + tan t)dt = - ò ln êêë1 + tan çççè4 - p I = ln2 Vậy I cosx dx x +1 ò 2007 - p 2 Tổng quát: Với a > , a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; a ] thì a a f(x) ò ax + 1dx = ò0 f(x)dx -a Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx p I = Tính tích phân Giải ò f(x)dx - p p J = ò f(- x)dx p , x = - t Þ dx = - dt p p p p x=Þ t = , x= Þ t=2 2 Đặt - (7) p Þ I = ò f(- t)dt = J p Þ 3I = J + 2I = p ò [ f(- x) + 2f(x) ] dx - p = p p ò cosxdx = 2ò cosxdx = - p I= Vậy 3.3 Các kết cần nhớ a i/ Với a > , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì ò f(x)dx = - a a a ò f(x)dx = 2ò f(x)dx ii/ Với a > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì - a iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) p p ïìï (n - 1)!! 2 , neáu n leû ïï n n n!! cos xdx = sin xdx = í ò ò ïï (n - 1)!! p 0 , neáu n chaün ïï ïî n!! Trong đó n!! đọc là n walliss và định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0!! = 1; 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; 9!! = 1.3.5.7.9; 10!! = 2.4.6.8.10 p ò cos 11 Ví dụ 21 p ò sin 10 Ví dụ 22 xdx = xdx = 10!! 2.4.6.8.10 256 = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 9!! p 1.3.5.7.9 p 63p = = 10!! 2.4.6.8.10 512 II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta có ( uv ) / = u/ v + uv/ Þ ( uv ) / dx = u/ vdx + uv/ dx b Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ b ò d(uv) = ò vdu + ò udv a b Þ uv b a = b a a a Công thức: b ò udv = uv a Công thức (1) còn viết dạng: a b b ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv a b b b a - ò vdu a (1) b a - ò vdu a (8) b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) / b a - a ò f (x)g(x)dx / a (2) Phương pháp giải toán b ò f(x)g(x)dx Giả sử cần tính tích phân a ta thực Cách Bước Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân b du = u/ (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân Bước Thay vào công thức (1) để tính kết Đặc biệt: b b ò P(x) sinaxdx, ò P(x) cosaxdx, ò e a a phải tính b ax i/ Nếu gặp ò vdu a .P(x)dx a với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x) b ii/ Nếu gặp Cách ò P(x) ln xdx a thì đặt u = ln x b b ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G (x)dx / Viết lại tích phân a a và sử dụng trực tiếp công thức (2) I = Ví dụ Tính tích phân ò xe dx x Giải ïìï du = dx í ï v = ex îï (chọn C = 0) ìïï u = x í dv = ex dx Þ ï Đặt ïî Þ ò xe dx = xe x x - ò e dx = (x x 1)ex e I = Ví dụ Tính tích phân ò x ln xdx Đặt =1 Giải e ìï u = ln x ïí Þ ïï dv = xdx î e dx ìï ïï du = x ïí ïï x ïï v = î e x2 e2 + Þ ò x ln xdx = ln x - ò xdx = 21 1 p I = Ví dụ Tính tích phân òe x sin xdx Giải (9) ìï u = sin x ì du = cosxdx ïí ïíï Þ ï dv = ex dx ïï v = ex î Đặt îï p Þ I = ò ex sin xdx = ex sin x p p 0 ìïï u = cosx ïì du = - sin xdx ï Þ í dv = ex dx í ïïî ïï v = ex î Đặt p Þ J = p ò ex cosxdx = e2 - J - òe x cosxdx = ex cosx p p + ò ex sin xdx = - + I p p e2 + Þ I = e - (- + I) Þ I = Chú ý: Đôi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần p2 I = Ví dụ Tính tích phân Hướng dẫn: ò cos xdx p Đặt t = x L Þ I = 2ò t costdt = L = p - e I = ò sin(ln x)dx Ví dụ Tính tích phân (sin1 - cos1)e + I = ĐS: III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán Dạng b I = ò f(x) dx a Giả sử cần tính tích phân , ta thực các bước sau Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x + f(x) b I = Bước Tính x1 a x1 x2 - x2 b + b ò f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx a a x1 x2 I = Ví dụ Tính tích phân Bảng xét dấu òx - 3x + dx Giải - x - (10) + x2 - 3x + I = - ò( x ò( x - 3x + 2) dx - - Ví dụ 10 Tính tích phân p I = - 26 ĐS: Dạng 59 59 I = Vậy p I = - 3x + 2) dx = ò - 4cos2 x - 4sin xdx b I = Giả sử cần tính tích phân Cách ò [ f(x) b I = ± g(x) ] dx , ta thực a b ò [ f(x) ± g(x) ] dx = b ò f(x) dx ± ò g(x) dx a a Tách sử dụng dạng trên Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) và g(x) a I = Ví dụ 11 Tính tích phân ò( x - x - ) dx Giải - Cách I = ò ò ò xdx + ò xdx + ò (x - 1)dx - x - ) dx = - =- x2 ò x- dx ò (x - 1)dx - - =- x dx - ( x - 0 + - x2 - - 1 æx2 ö +ç - x÷ ÷ ç ÷ è2 ø - æx2 ö ç - x÷ ÷ ç ÷ =0 è2 ø Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 – – I = 0 + – + + ò( - x + x - 1) dx + ò ( x + x - 1) dx + ò ( x - x + 1) dx = - x -0 + ( x - x ) + x 12 = Vậy I = Dạng b I = Để tính các tích phân bước sau: ò max { f(x), a b g(x)} dx J = và ò { f(x), a g(x)} dx , ta thực các (11) Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b] Bước + Nếu h(x) > thì max { f(x), g(x)} = f(x) và { f(x), g(x)} = g(x) + Nếu h(x) < thì max { f(x), g(x) } = g(x) và { f(x), g(x) } = f(x) ò max { x I = Ví dụ 12 Tính tích phân + 1, 4x - 2} dx Giải ( 4x - 2) = x2 - 4x + h(x) = x + ( ) Đặt Bảng xét dấu x h(x) + I = – + ò( x + 1) dx + ò ( 4x - 2) dx + ò ( x2 + 1) dx = 80 I = Vậy 80 I = Ví dụ 13 Tính tích phân ò { , x - x } dx Giải x ( - x ) = 3x + x - h(x) = Đặt Bảng xét dấu x h(x) I = – ò 3x dx + ò ( - x ) dx = Vậy + æ x2 ö ÷ +ç 4x = + ÷ ç ÷ ln è 2ø ln I = x + ln IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán Dạng b Để chứng minh " x Î [ a; b ] b ò f(x)dx ³ (hoặc a ò f(x)dx £ a ) ta chứng minh f(x) ³ (hoặc f(x) £ ) với Ví dụ 14 Chứng minh ò - x6 dx ³ 0 Giải " x Î [ 0; 1] : x £ Þ Với 1- x ³ Þ ò - x6dx ³ Dạng b Để chứng minh b ò f(x)dx ³ ò g(x)dx a a ta chứng minh f(x) ³ g(x) với " x Î [ a; b ] (12) p p dx ò0 + sin10 x £ Ví dụ 15 Chứng minh dx ò + sin 11 x Giải pù é " x Î ê0; ú: £ sin x £ Þ £ sin11 x £ sin10 x ë 2û Với 1 Þ + sin10 x ³ + sin11 x > Þ £ 10 + sin x + sin11 x p p dx ò + sin 10 Vậy x £ dx ò + sin 11 x Dạng b A£ Để chứng minh ò f(x)dx £ a B ta thực các bước sau Bước Tìm giá trị lớn và nhỏ f(x) trên đoạn [a; b] ta m £ f(x) £ M b ò f(x)dx £ A = m(b - a) £ Bước Lấy tích phân M(b - a) = B a 2£ Ví dụ 16 Chứng minh ò + x2 dx £ Giải Với " x Î [ 0; 1] : £ + x £ Þ £ + x2 £ 2£ Vậy p £ 3p ò 3- Ví dụ 17 Chứng minh p ò + x2dx £ dx p £ 2sin x Giải ép 3p ù "x Î ê ; £ sin x £ Þ ú: ë4 û Với Þ £ - 2sin2 x £ Þ £ 3Þ ( ) 3p p £ 4 p £ Vậy £ 12 Ví dụ 18 Chứng minh p ò p 3p ò 3p £ sin2 x £ £1 2sin2 x ( dx 3p p £1 4 2sin x ) 3p ò 3p dx p £ 2 2sin x cotx dx £ x Giải (13) f(x) = cotx , xÎ x ép p ù ê ; ú ê ë4 ú û ta có Xét hàm số -x - cotx ép p ù / sin x ê ; ú f (x) = < " x Î ê x2 ë4 ú û p p p pù é Þ ff £ (x) £ f "x Î ê ; ë4 ú û ép p ù cotx Þ £ £ "x Î ê ; ú ê p x p ë4 ú û ( ) ( ) p ö 3æ p p÷ ç - ÷ £ ç ÷ è3 ø p ç Þ ò p £ 12 Vậy p cotx æp p ö dx £ ç - ÷ ÷ ç ÷ ç x p è3 ø ò p cotx dx £ x Dạng (tham khảo) b A£ Để chứng minh ò f(x)dx £ B (mà dạng không làm được) ta thực ìï f(x) £ g(x) " x Î [ a; b] ïï b ï b Þ ò f(x)dx £ B í ïï g(x)dx = B a ò ïï a î Bước Tìm hàm số g(x) cho ìï h(x) £ f(x) " x Î [ a; b] ïï b ï b Þ A £ ò f(x)dx í ïï h(x)dx = A a ò ïï a î Bước Tìm hàm số h(x) cho a £ 2 dx p £ - x2007 Ví dụ 19 Chứng minh Giải é 2ù " x Î ê0; ú: £ x2007 £ x2 £ ú ê ë û Với 1 Þ £ - x2 £ - x2007 £ Þ £ £ - x2007 ò 2 Þ 2 dx - x2 0 Đặt x = sin t Þ dx = costdt p x = Þ t = 0, x = Þ t= ò dx £ ò dx £ - x2007 2 ò 1 - x2 (14) 2 ò Þ dx = - x2 p ò costdt p = cost 2 £ dx p £ - x2007 Vậy 3+1 xdx 2+1 £ ò £ x +2- Ví dụ 20 Chứng minh Giải Với " x Î [ 0; 1] : - £ x + - £ - x x x Þ £ £ 3- 2- x +2- 1 Þ ò Vậy xdx £ 3- ò ò 3+1 £ xdx £ x +2- 1 ò xdx £ x +2- ò xdx 2- 2+1 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn các đường b S = ò f(x) dx y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) dx Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x, x = 1, x = e và Ox Giải ln x ³ " x Î [ 1; e] nên Do e S= a e ò ln x dx = ò ln xdx = x ( ln x 1 1) e =1 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = - x + 4x - 3, x = 0, x = và Ox Giải Bảng xét dấu x y S=- + ò( - x – + 4x - 3) dx + ò ( - x2 + 4x - 3) dx (15) æ x3 ö æ x3 ö 2 ÷ ÷ ç =- ç + 2x + 3x + + 2x + 3x = ÷ ÷ ç ç ÷ è ÷ è ø ø S= (đvdt) Vậy Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn các đường b S = ò f(x) - g(x) dx y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b] b ò f(x) - g(x) dx Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn các đường a b S = ò f(x) - g(x) dx y = f(x), y = g(x) là a Trong đó a, b là nghiệm nhỏ và lớn phương trình f(x) = g(x) ( a £ a < b £ b) Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f(x) = g(x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [ a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ò f(x) - g(x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x + 11x - 6, y = 6x , x = 0, x = Giải h(x) = (x + 11x 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - Đặt h(x) = Û x = Ú x = Ú x = (loại) Bảng xét dấu x h(x) – + S=- ò( x - 6x + 11x - 6) dx + ò ( x3 - 6x2 + 11x - 6) dx 1 æx ö æx ö 11x 11x2 3 ÷ ç =- ç 2x + 6x + 2x + - 6x ÷ = ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç è4 ø0 è ø1 2 S= Vậy (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x + 11x - 6, y = 6x 4 Giải h(x) = (x + 11x 6) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - Đặt (16) h(x) = Û x = Ú x = Ú x = Bảng xét dấu x h(x) + – S= 3 ò( x ò( x - 6x2 + 11x - 6) dx - - 6x2 + 11x - 6) dx 2 æx ö 11x =ç - 2x3 + - 6x ÷ ÷ ç ÷ è4 ø1 æx ö 11x2 ç 2x + - 6x ÷ = ÷ ç ÷ è4 ø 2 S= (đvdt) Vậy Chú ý: Nếu đoạn [ a; b] phương trình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào thì ta có thể dùng công b thức ò f(x) - b g(x) dx = ò[ f(x) - g(x) ] dx y Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn = x , y = 4x Giải Ta có x = 4x Û x = - Ú x = Ú x = a a Þ S= ò( x ò( x - 4x ) dx + - - 4x ) dx 0 æx4 æx4 ö 2ö ÷ ç = ç 2x + - 2x2 ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ =8 è4 ø- è4 ø S = Vậy (đvdt) y = x - x + và trục hoành Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn Giải 2 Ta có x - x + = Û t - 4t + = 0, t = x ³ ét = Û ê êt = Û ë éx = ê êx = Û ë Þ S= ò - éx = ±1 ê êx = ±3 ë x2 - x + dx = 2ò x2 - 4x + dx é1 = 2ê êò ( x - 4x + 3) dx ê ë0 éæx3 ö ÷ ç ê = ç - 2x + 3x ÷ + ÷ ê ø0 ëè ù + ò ( x2 - 4x + 3) dx úú æx3 ö ç - 2x2 + 3x ÷ ÷ ÷ ç è3 ø1 ú û ù 16 ú= ú û 16 (đvdt) Vậy Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - 4x + và y = x + Giải Phương trình hoành độ giao điểm x2 - 4x + = x + S= (17) ìï ïï Û ïí ïï ïï î x + 3³ éx2 - 4x + = x + Û ê êx2 - 4x + = - x - ê ë éx = ê êx = ë Bảng xét dấu x x2 - 4x + 3 – + ò( x Þ S= + - 5x ) dx + ò ( - x + 3x - 6) dx + ò ( x2 - 5x ) dx 1 3 æx æ- x ö æx ö 5x ö 3x 5x2 ÷ 109 ÷ ÷ ç ç ç = ç +ç + - 6x ÷ +ç = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ è3 ø1 è ø0 è 2 ø3 3 109 (đvdt) Vậy Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x - , y = x + Giải Phương trình hoành độ giao điểm x2 - = x + Û t2 - = t + 5, t = x ³ ìï t = x ³ ïï ìï t = x ³ t2 - = t + Û ïí Û ïí é Û x = ±3 ïï ê ïï t = î ïï ê t2 - = - t - îê ë S= Þ S= ò x - 1- x + 5) dx = 2ò x2 - - ( - ( x + 5) dx Bảng xét dấu x x - – + Þ S=2 ò ( - x2 - x - 4) dx + ò ( x2 - x - 6) dx 1 æ- x ö æx ö x x2 73 ÷ ç =2ç 4x + - 6x ÷ = ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø0 è ø1 2 3 73 S= (đvdt) Vậy Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y = f(x) ³ 0" x Î [ a;b ] , y = , b V = pò f 2(x)dx a x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là 2 Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x + y = R quay quanh Ox Giải 2 Hoành độ giao điểm (C) và Ox là x = R Û x = ±R (18) 2 2 2 Phương trình (C) : x + y = R Û y = R - x R R Þ V = pò ( R - x ) dx = 2pò ( R - x2 ) dx 2 - R R æ2 x ö 4pR ÷ = 2p ç R x = ÷ ÷ ç è 3ø 4pR V = (đvtt) Vậy Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x = g(y) ³ 0" y Î [ c;d ] , x = , d V = pò g2(y)dy y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là c 2 x y (E) : + = a b Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse quay quanh Oy Giải y2 = Û y = ±b Tung độ giao điểm (E) và Oy là b 2 x2 y2 a y (E) : + = Û x2 = a2 a b b2 Phương trình b b æ a2y2 ö æ a2y2 ö ÷ ÷ ç Þ V = pò ç a dy = p ÷ ç ça - b2 ø ÷ ò ÷ ÷dy è ø è b - b R æ2 a2y3 ö 4pa2b ÷ ç = 2p ça y = ÷ ÷ è 3b2 ø Vậy V = 4pa2b (đvtt) Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b, f(x) ³ 0,g(x) ³ " x Î [ a; b ]) quay quanh trục Ox là b V = pò f 2(x) - g2(x) dx a 2 Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường y = x , y = x quay quanh Ox Giải éx = ïìï x ³ Û ê í êx = ïx =x ë Hoành độ giao điểm îï 1 Þ V = pò x - x dx = p =p ( 15 x Vậy Trường hợp - x V = ) ò( x - x ) dx = 3p 10 (đvtt) 3p 10 (19) Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và y = d (c < d, f(y) ³ 0,g(y) ³ " y Î [ c; d ]) quay quanh trục Oy là d V = pò f 2(y) - g2(y) dy c Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường x = - y + , x = - y quay quanh Oy Giải éy = - - y2 + = - y Û ê êy = ë Tung độ giao điểm 2 Þ V = pò ( - y2 + 5) - ( - y ) dy - =p ò( y - 11y2 + 6y + 16) dy - æy5 11y3 ö 153p =pç + 3y2 + 16y ÷ = ÷ ç ÷ ç è5 ø- 153p V = (đvtt) Vậy VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP ∫ x 10 dx Tính I= Áp dụng kết đó hãy tính tổng sau: S 1 1 C10 C10 C1010 11 19 I x x dx Tính: ∫ Áp dụng kết đó hãy tính tổng sau: 1 1 18 19 S C190 C19 C19 C19 C19 20 21 Chứng minh rằng: 1 1 2 n 1 Cn Cn Cnn n 1 n 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI sin x cos x F ln 4 sin x cos x Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= , biết Tính các tích phân sau: e2 2 x - 7x dx ∫ x A= ∫x 2 -1 dx B= -2 ∫2 C= x ln 2dx Tính các tích phân sau: ∫e e cos x sin xdx A= Tính các tích phân sau: ln x dx ∫ x B= * C= e sin(ln x) dx ∫ x I= J= ∫sin ∫x dx x cot x dx x 4 * ∫1 D =1 x dx x -1 10 ∫lg xdx K= (20) ln L= dx ∫ x x ln e 2e 2 sin xdx ∫ ∫x M= cos x sin x N= dx -9 sin x dx x) ∫(1 cos C= Tính các tích phân sau: dx ∫ A= - x B= dx ∫x 3 ln 1- e x dx ∫ x e D= ∫x E= 2 ∫ 16 - x dx C= dx 1 Tính các tích phân sau: e2 e ∫cos(ln x)dx D*= Tính: ∫cos xdx A= e ln x dx ∫ x F= * C= B= ∫cos xdx C= ∫x x dx ∫x xdx ln x x a x=1; x=e; y=0 và y= e dx x ∫ D= x dx ∫x ln xdx E= 1 G= H= Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: 1 x ∫xe dx ln x ∫x x2 F* ∫ dx 11 x 3x x dx ∫ x E= x sin x dx ∫ * cos x B= ln x dx ∫ A= x x dx ∫ x 1 I= J= x ∫1 x dx b y=2x; y=3x và x=0 c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) điểm có hoành độ 10 Cho hình phẳng D giới hạn các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox 11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 và y=0, x=1 nó quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Hết (21)