Luận án tiến sĩ bài toán kiểm định mã và phân bậc ngôn ngữ theo độ không nhập nhằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Đình Hân BÀI TỐN KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ PHÂN BẬC NGÔN NGỮ THEO ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG LUẬN ÁN TIẾN SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Hà Nội - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Đình Hân BÀI TỐN KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ PHÂN BẬC NGƠN NGỮ THEO ĐỘ KHƠNG NHẬP NHẰNG Chun ngành: Khoa học máy tính Mã số: 62.48.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Long Vân PGS.TS Phan Trung Huy Hà Nội - 2012 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết tơi trình bày luận án hồn tồn mới, chưa công bố công trình khoa học khác Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả trước đưa vào luận án Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2012 Nguyễn Đình Hân LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, hướng dẫn GS.TSKH Đỗ Long Vân PGS.TS Phan Trung Huy Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới hai thầy, suốt thời gian qua hướng dẫn, bảo tận tình để tác giả hồn thiện luận án Tác giả chân thành cảm ơn thành viên Seminar “Toán rời rạc Tổ hợp”, Viện Toán học nhận xét ý kiến trao đổi hữu ích, góp phần nâng cao chất lượng trình bày luận án Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, thầy giáo tồn thể bạn đồng nghiệp Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội giúp đỡ chân tình, vơ tư mà tác giả nhận trình thực luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng n, gia đình, thầy giáo bạn đồng nghiệp Khoa Cơng nghệ Thơng tin, Phịng Quản lý Khoa học Đối ngoại thời gian vừa qua giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi không ngừng ủng hộ tác giả MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ MỞ ĐẦU CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ 1.1 Nửa nhóm vị nhóm 1.2 Từ ngôn ngữ 1.3 Otomat ngôn ngữ quy 12 1.3.1 Otomat 12 1.3.2 Ngơn ngữ quy 13 1.4 Mã từ hữu hạn 16 1.4.1 Mã tính chất đại số mã 16 1.4.2 Độ trễ giải mã 18 1.4.3 Tiêu chuẩn kiểm định mã 19 1.5 Mã luân phiên mã từ định biên 20 1.5.1 Mã luân phiên 20 1.5.2 Mã từ định biên 22 1.6 Mã từ vô hạn 24 1.6.1 Từ ngôn ngữ từ vô hạn 24 1.6.2 ω-mã 24 1.6.3 Z-mã 25 KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ MÃ MỞ RỘNG 2.1 Thuật toán kiểm định mã ♦-mã 26 26 2.1.1 Tiêu chuẩn Sardinas-Patterson cải tiến 26 2.1.2 Thuật toán kiểm định mã vị nhóm 33 2.1.3 Thuật toán kiểm định ♦-mã 36 2.2 Thuật toán kiểm định ω-mã 40 2.2.1 Thủ tục kiểm định ω-mã ngôn ngữ 40 2.2.2 Thuật tốn kiểm định ω-mã vị nhóm 44 2.2.3 Thuật toán kiểm định ω-mã đồ thị 46 2.3 Thuật toán kiểm định Z-mã 51 2.3.1 Thủ tục kiểm định Z-mã ngôn ngữ 51 2.3.2 Thuật tốn kiểm định Z-mã vị nhóm 57 2.3.3 Thuật toán kiểm định Z-mã đồ thị 61 ii MỤC LỤC ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG CỦA NGƠN NGỮ 3.1 Tính chất khơng nhập nhằng ngôn ngữ 3.1.1 Tích khơng nhập nhằng mã 3.1.2 Xác định độ không nhập nhằng kiểu 3.1.2.1 3.1.2.2 66 66 67 69 Thủ tục xác định độ không nhập nhằng kiểu Thuật toán xác định độ không nhập nhằng kiểu 69 72 Xác định độ không nhập nhằng kiểu 3.1.3.1 Thủ tục xác định độ không nhập nhằng kiểu 3.1.3.2 Thuật tốn xác định độ khơng nhập nhằng kiểu 74 74 79 3.2 Phân bậc ngơn ngữ theo tính khơng nhập nhằng 3.2.1 Phân bậc kiểu 3.2.2 Phân bậc kiểu 81 81 83 3.3 Độ trễ giải mã 3.3.1 Độ trễ giải mã độ không nhập nhằng 83 83 3.1.3 3.3.2 Xác định độ trễ giải mã 3.3.2.1 Thủ tục xác định độ trễ giải mã cho ngôn ngữ 3.3.2.2 Thuật tốn tìm độ trễ giải mã cho ngơn ngữ quy 84 84 90 3.3.3 Thuật toán xác định độ trễ giải mã ♦-mã 92 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 Hệ mật đa trị nhập nhằng 94 94 4.2 Bài toán tương ứng Post ứng dụng 97 4.2.1 Bài tốn tương ứng Post lớp ngơn ngữ từ định biên 97 4.2.2 Kỹ thuật bẫy cửa sập 103 KẾT LUẬN 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ 109 DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ 1.1 Một overlap hai từ liên hợp x y 11 1.2 Một X-phân tích từ w 1.3 Khởi đầu phân tích kép từ w 11 17 2.1 Một hướng cải tiến tiêu chuẩn kiểm định mã Sardinas-Patterson 27 2.2 Các ngơn ngữ X Ví dụ 2.6 2.7 33 3.1 Minh họa trường hợp tính tốn tập Ui , Vi+1 69 4.1 Cấu trúc điều khiển B 4.2 Từ tuyệt mật w 4.1 Bảng nhân bí mật B × B 98 98 99 4.3 Chi tiết cấu trúc từ tuyệt mật w 101 4.2 Bảng kê xác suất tìm nghiệm toán 102 MỞ ĐẦU Mã có vai trị thiết yếu nhiều lĩnh vực xử lý thông tin, nén liệu, truyền thông mật mã Đặc biệt, theo tiến khoa học máy tính, nhu cầu sử dụng mã biểu diễn, bảo mật thông tin ngày cấp thiết thực tiễn, địi hỏi cơng trình nghiên cứu chiều sâu chiều rộng Trong số phải kể đến toán lĩnh vực lý thuyết mã ứng dụng Ta biết khái niệm mã khởi nguồn từ lý thuyết thông tin Shannon đề xuất năm 1949 Trong khuôn khổ lý thuyết này, phát triển lý thuyết mã dẫn tới nghiên cứu mã có độ dài cố định liên quan đến toán phát lỗi sửa lỗi truyền thông liệu Đến năm 1955, Schă utzenberger xut hng nghiờn cu v mó cú độ dài biến đổi sử dụng phương pháp tổ hợp đại số Từ đó, nhiều cơng trình nghiên cứu nảy sinh, phát triển nhận kết phong phú, lý thú lý thuyết ứng dụng Lý thuyết mã ngày phận khơng thể thiếu khoa học máy tính, cơng nghệ thơng tin truyền thơng , có liên hệ chặt chẽ với lý thuyết tổ hợp từ, lý thuyết otomat, ngơn ngữ hình thức lý thuyết nửa nhóm Bài tốn kiểm định mã tốn nghiên cứu đặc tính mã hay ngơn ngữ hình thức mối quan hệ với mã toán nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu vai trị sâu sắc chúng phát triển lý thuyết mã nói riêng, ngơn ngữ hình thức lý thuyết biểu diễn thơng tin nói chung Khái niệm mã xem xét luận án mã có độ dài biến đổi Ta hình dung mã ngôn ngữ từ hữu hạn cho tích ghép từ “giải mã” cách Tích ghép có hai dạng: trường hợp mã tích ghép hữu hạn trường hợp ω-mã, Z-mã tích ghép vơ hạn Từ thấy tốn kiểm định ngơn ngữ cho trước có mã (ω-mã, Z-mã) khơng, tốn lý thuyết mã Sử dụng phương pháp tổ hợp từ để kiểm tra ngôn ngữ cho trước có thỏa mãn định nghĩa mã khơng, Sardinas Patterson (1953) đưa tiêu chuẩn kiểm định mã, cịn gọi tiêu chuẩn Sardinas-Patterson cho lớp ngơn ngữ tổng quát Ta để ý rằng, lĩnh vực Toán học, tiêu chuẩn Sardinas-Patterson xem câu trả lời cho toán đặt Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu sâu lĩnh vực Tin học, Tổ hợp, Tính tốn lại địi hỏi tính kiến thiết với thuật toán chi tiết Về nguyên tắc, theo phương pháp Sardinas Patterson, thuật toán nhận số cấu hình tổ hợp cần kiểm tra hữu hạn Đây trường hợp ngơn ngữ đốn nhận được, tương đương ngơn ngữ quy Thuật tốn kiểm định mã hiệu cho lớp ngơn ngữ quy hữu hạn đề MỞ ĐẦU xuất Rodeh (1982) với độ phức tạp thời gian O(nm), n tổng số từ mã ngôn ngữ m tổng độ dài chúng Đối với lớp ngơn ngữ quy tổng qt, để thiết lập thuật toán, ta phải kết hợp với chúng cơng cụ otomat vị nhóm hữu hạn Khi ngơn ngữ đầu vào giả thiết đoán nhận otomat hữu hạn thỏa đồng cấu đại số Nếu đầu vào cho otomat hữu hạn, thuật toán kiểm định mã tốt biết Robert (1996) có độ phức tạp thời gian O(n2 ), với n tổng số trạng thái số cung otomat Trường hợp đầu vào đồng cấu đại số thuật tốn chưa biết câu hỏi tất yếu (câu hỏi 1) là: Có tồn thuật tốn hiệu kiểm định mã khơng? Câu hỏi tương tự (câu hỏi 2) nêu ta xem xét toán kiểm định ω-mã Đối với Z-mã nay, ta biết đến tiêu chuẩn tốn học kiểu SardinasPatterson nhóm tác giả Đỗ Long Vân, Nguyễn Hương Lâm Phan Trung Huy (1993), cịn tồn thuật tốn kiểm định Z-mã chưa biết Mặt khác, với hình thức mã mở rộng, chẳng hạn số mã nhóm nghiên cứu tác giả phát triển gần mã luân phiên ♦-mã, câu hỏi (câu hỏi 3) là: Thuật tốn kiểm định mã mở rộng, cải biên để áp dụng cho Z-mã mã không? Từ vấn đề câu hỏi đặt trên, hướng nghiên cứu cải tiến thuật toán kiểm định mã mã mở rộng cần thiết có ý nghĩa thời Do đó, mục tiêu thứ luận án là, dựa thành tựu đại số, lý thuyết otomat lý thuyết đồ thị, thiết lập thuật toán kiểm định mới, chất lượng tốt cho mã thuật toán kiểm định cho lớp mã khác gồm ♦-mã, ω-mã Z-mã Đối với vấn đề kiểm định mã đặt câu hỏi 1, tiếp cận theo phương pháp kinh điển Sardinas Patterson theo tính chất đốn nhận ngơn ngữ đồng cấu đại số, ta nhận thuật tốn cỡ hàm mũ thủ tục tính tốn, ta khơng tránh khỏi việc phải xem xét tất tập vị nhóm hữu hạn đốn nhận ngơn ngữ đầu vào Trong luận án, nhờ kỹ thuật loang dần lý thuyết đồ thị, chứng minh kết quan trọng cho phép nhận tiêu chuẩn cải tiến từ tiêu chuẩn Sardinas-Patterson để kiểm định mã Từ cho phép giảm số bước tính tốn thủ tục xuống cỡ tuyến tính theo kích thước vị nhóm cho Kết nhận thuật toán có độ phức tạp mặt thời gian đa thức bậc hai hiệu quả, trả lời khẳng định cho câu hỏi đặt Liên quan đến câu hỏi 2, năm 1986, Staiger đề xuất tiêu chuẩn đại số cho việc kiểm định ω-mã sở tiêu chuẩn Sardinas-Patterson Từ kết này, Augros Litovsky (1999) phát triển thuật toán dựa otomat hữu hạn để kiểm định ngơn ngữ quy có ω-mã khơng với độ phức tạp thời gian O(n3 ), n kích thước vị nhóm phép chuyển dịch otomat tối tiểu đốn nhận ngơn ngữ Với vị nhóm hữu hạn thỏa ngơn ngữ đầu vào (vị nhóm phép chuyển dịch nói trường hợp riêng), đề xuất tiêu MỞ ĐẦU chuẩn kiểm định ω-mã dựa đồ thị hữu hạn có tơ màu cung, thiết lập thuật tốn kiểm định ω-mã có độ phức tạp thời gian O(n2 ), với n kích thước vị nhóm cho Chúng tơi mở rộng kết nói trên, thiết lập thuật tốn mới, hiệu kiểm định ♦-mã Z-mã, để trả lời câu hỏi Một tốn ngơn ngữ hình thức có liên quan đến lý thuyết mã tốn nghiên cứu dựa đặc điểm phân tích không nhập nhằng từ thành dãy từ đặc biệt thuộc ngôn ngữ cho, mà mã trường hợp riêng Từ đó, tính khơng nhập nhằng trở thành đối tượng nghiên cứu mối liên hệ với lý thuyết mã Vì đặc tính không nhập nhằng liên quan đến phương pháp biểu diễn thơng tin cách nên tốn nghiên cứu phân tích khơng nhập nhằng đưa đến hướng nghiên cứu mở rộng lý thuyết mã Khái niệm không nhập nhằng xuất thường xuyên lý thuyết khoa học máy tính Chẳng hạn otomat không nhập nhằng, văn phạm không nhập nhằng hay phép tốn khơng nhập nhằng ngơn ngữ Khi đó, khơng nhập nhằng thể tính quan hệ tồn đường otomat, dẫn xuất văn phạm hay phân tích từ thuộc ngôn ngữ Định nghĩa mã ngụ ý mã không nhập nhằng Chi tiết hơn, ta biết mã X tùy ý không nhập nhằng Nghĩa thơng điệp mã hóa thành từ X giải mã theo cách Tuy nhiên, tính khơng đảm bảo việc giải mã thực dễ dàng Ví dụ, chữ x, y, z thơng điệp mã hóa thành từ b, ba, aa X, việc giải mã định thông điệp baaa khởi đầu b hay ba Điều phản ánh khía cạnh nhập nhằng mã, liên quan đến độ trễ giải mã loại độ khó trình giải mã đề xuất Gilbert Moore (1959) Biểu diễn mã thực chất biểu diễn thông tin cách Thật ngạc nhiên, nghiên cứu tính khơng nhập nhằng độ trễ giải mã mã sơi động, có nhiều kết thiết lập ứng dụng mạnh mẽ lĩnh vực mật mã, biểu diễn tri thức nhiều lĩnh vực khác, tính khơng nhập nhằng ngơn ngữ nói chung khơng mã chưa nghiên cứu Các vấn đề câu hỏi đưa sau cho thấy tính cấp thiết phải có nghiên cứu chủ đề Thứ nhất, phân lớp mã hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết mã Chẳng hạn, liên quan đến cấu trúc tạo dựng mã, mã prefix xây dựng cách đơn giản, cấu trúc mã tổng quát vấn đề mở Phân lớp mã theo độ trễ giải mã cho phép ta mở rộng khái niệm mã prefix (có độ trễ 0) cho trường hợp mã tổng quát Tuy nhiên phân bậc bỏ qua lớp ngôn ngữ không mã, tạo khoảng trống nghiên cứu lý thuyết mã hóa thơng tin ứng dụng Từ đó, phát sinh câu hỏi (câu hỏi 4) là: Có tồn phân bậc mịn tồn ngơn ngữ theo tính khơng nhập nhằng khơng? Hai là, lĩnh vực mật mã, ngun lý chung khơng có hệ mật tồn lâu dài ... nhằng không nhập nhằng ngôn ngữ độ không nhập nhằng phân lớp ngôn ngữ theo độ không nhập nhằng này, nhận phân bậc vơ hạn mịn tồn ngơn ngữ Trong đó, mã thuộc lớp ngơn ngữ đặc biệt nằm phân bậc Đây... toán kiểm định ω -mã vị nhóm 44 2.2.3 Thuật toán kiểm định ω -mã đồ thị 46 2.3 Thuật toán kiểm định Z -mã 51 2.3.1 Thủ tục kiểm định Z -mã ngôn ngữ. .. Thuật toán kiểm định Z -mã vị nhóm 57 2.3.3 Thuật toán kiểm định Z -mã đồ thị 61 ii MỤC LỤC ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG CỦA NGÔN NGỮ 3.1 Tính chất khơng nhập nhằng ngơn ngữ