BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Đình Hân BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ PHÂN BẬC NGÔN NGỮ THEO ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG LUẬN ÁN TIẾN SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Hà Nội 2012 BỘ GIÁO DỤC V[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Đình Hân BÀI TỐN KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ PHÂN BẬC NGÔN NGỮ THEO ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG LUẬN ÁN TIẾN SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Hà Nội - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Đình Hân BÀI TỐN KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ PHÂN BẬC NGƠN NGỮ THEO ĐỘ KHƠNG NHẬP NHẰNG Chun ngành: Khoa học máy tính Mã số: 62.48.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Long Vân PGS.TS Phan Trung Huy Hà Nội - 2012 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết tơi trình bày luận án hồn tồn mới, chưa công bố công trình khoa học khác Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả trước đưa vào luận án Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2012 Nguyễn Đình Hân LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, hướng dẫn GS.TSKH Đỗ Long Vân PGS.TS Phan Trung Huy Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới hai thầy, suốt thời gian qua hướng dẫn, bảo tận tình để tác giả hồn thiện luận án Tác giả chân thành cảm ơn thành viên Seminar “Toán rời rạc Tổ hợp”, Viện Toán học nhận xét ý kiến trao đổi hữu ích, góp phần nâng cao chất lượng trình bày luận án Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, thầy giáo tồn thể bạn đồng nghiệp Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội giúp đỡ chân tình, vơ tư mà tác giả nhận trình thực luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng n, gia đình, thầy giáo bạn đồng nghiệp Khoa Cơng nghệ Thơng tin, Phịng Quản lý Khoa học Đối ngoại thời gian vừa qua giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi không ngừng ủng hộ tác giả MỤC LỤC DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ MỞ ĐẦU CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ 1.1 Nửa nhóm vị nhóm 1.2 Từ ngôn ngữ 1.3 Otomat ngôn ngữ quy 12 1.3.1 Otomat 12 1.3.2 Ngơn ngữ quy 13 1.4 Mã từ hữu hạn 16 1.4.1 Mã tính chất đại số mã 16 1.4.2 Độ trễ giải mã 18 1.4.3 Tiêu chuẩn kiểm định mã 19 1.5 Mã luân phiên mã từ định biên 20 1.5.1 Mã luân phiên 20 1.5.2 Mã từ định biên 22 1.6 Mã từ vô hạn 24 1.6.1 Từ ngôn ngữ từ vô hạn 24 1.6.2 ω-mã 24 1.6.3 Z-mã 25 KIỂM ĐỊNH MÃ VÀ MÃ MỞ RỘNG 2.1 Thuật toán kiểm định mã ♦-mã 26 26 2.1.1 Tiêu chuẩn Sardinas-Patterson cải tiến 26 2.1.2 Thuật tốn kiểm định mã vị nhóm 33 2.1.3 Thuật toán kiểm định ♦-mã 36 2.2 Thuật toán kiểm định ω-mã 40 2.2.1 Thủ tục kiểm định ω-mã ngôn ngữ 40 2.2.2 Thuật toán kiểm định ω-mã vị nhóm 44 2.2.3 Thuật toán kiểm định ω-mã đồ thị 46 2.3 Thuật toán kiểm định Z-mã 51 2.3.1 Thủ tục kiểm định Z-mã ngôn ngữ 51 2.3.2 Thuật toán kiểm định Z-mã vị nhóm 57 2.3.3 Thuật toán kiểm định Z-mã đồ thị 61 ii MỤC LỤC ĐỘ KHÔNG NHẬP NHẰNG CỦA NGƠN NGỮ 3.1 Tính chất khơng nhập nhằng ngôn ngữ 3.1.1 Tích không nhập nhằng mã 3.1.2 Xác định độ không nhập nhằng kiểu 3.1.2.1 3.1.2.2 66 66 67 69 Thủ tục xác định độ không nhập nhằng kiểu Thuật toán xác định độ không nhập nhằng kiểu 69 72 Xác định độ không nhập nhằng kiểu 3.1.3.1 Thủ tục xác định độ không nhập nhằng kiểu 3.1.3.2 Thuật tốn xác định độ khơng nhập nhằng kiểu 74 74 79 3.2 Phân bậc ngôn ngữ theo tính khơng nhập nhằng 3.2.1 Phân bậc kiểu 3.2.2 Phân bậc kiểu 81 81 83 3.3 Độ trễ giải mã 3.3.1 Độ trễ giải mã độ không nhập nhằng 83 83 3.1.3 3.3.2 Xác định độ trễ giải mã 3.3.2.1 Thủ tục xác định độ trễ giải mã cho ngôn ngữ 3.3.2.2 Thuật tốn tìm độ trễ giải mã cho ngơn ngữ quy 84 84 90 3.3.3 Thuật toán xác định độ trễ giải mã ♦-mã 92 MỘT SỐ ỨNG DỤNG 4.1 Hệ mật đa trị nhập nhằng 94 94 4.2 Bài toán tương ứng Post ứng dụng 97 4.2.1 Bài tốn tương ứng Post lớp ngơn ngữ từ định biên 97 4.2.2 Kỹ thuật bẫy cửa sập 103 KẾT LUẬN 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ 109 DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ 1.1 Một overlap hai từ liên hợp x y 11 1.2 Một X-phân tích từ w 1.3 Khởi đầu phân tích kép từ w 11 17 2.1 Một hướng cải tiến tiêu chuẩn kiểm định mã Sardinas-Patterson 27 2.2 Các ngơn ngữ X Ví dụ 2.6 2.7 33 3.1 Minh họa trường hợp tính tốn tập Ui , Vi+1 69 4.1 Cấu trúc điều khiển B 4.2 Từ tuyệt mật w 4.1 Bảng nhân bí mật B × B 98 98 99 4.3 Chi tiết cấu trúc từ tuyệt mật w 101 4.2 Bảng kê xác suất tìm nghiệm toán 102 MỞ ĐẦU Mã có vai trị thiết yếu nhiều lĩnh vực xử lý thông tin, nén liệu, truyền thông mật mã Đặc biệt, theo tiến khoa học máy tính, nhu cầu sử dụng mã biểu diễn, bảo mật thông tin ngày cấp thiết thực tiễn, địi hỏi cơng trình nghiên cứu chiều sâu chiều rộng Trong số phải kể đến toán lĩnh vực lý thuyết mã ứng dụng Ta biết khái niệm mã khởi nguồn từ lý thuyết thông tin Shannon đề xuất năm 1949 Trong khuôn khổ lý thuyết này, phát triển lý thuyết mã dẫn tới nghiên cứu mã có độ dài cố định liên quan đến toán phát lỗi sửa li truyn thụng d liu n nm 1955, Schă utzenberger đề xuất hướng nghiên cứu mã có độ dài biến đổi sử dụng phương pháp tổ hợp đại số Từ đó, nhiều cơng trình nghiên cứu nảy sinh, phát triển nhận kết phong phú, lý thú lý thuyết ứng dụng Lý thuyết mã ngày phận khơng thể thiếu khoa học máy tính, cơng nghệ thơng tin truyền thơng , có liên hệ chặt chẽ với lý thuyết tổ hợp từ, lý thuyết otomat, ngơn ngữ hình thức lý thuyết nửa nhóm Bài tốn kiểm định mã tốn nghiên cứu đặc tính mã hay ngơn ngữ hình thức mối quan hệ với mã toán nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu vai trị sâu sắc chúng phát triển lý thuyết mã nói riêng, ngơn ngữ hình thức lý thuyết biểu diễn thơng tin nói chung Khái niệm mã xem xét luận án mã có độ dài biến đổi Ta hình dung mã ngôn ngữ từ hữu hạn cho tích ghép từ “giải mã” cách Tích ghép có hai dạng: trường hợp mã tích ghép hữu hạn trường hợp ω-mã, Z-mã tích ghép vơ hạn Từ thấy tốn kiểm định ngơn ngữ cho trước có mã (ω-mã, Z-mã) khơng, tốn lý thuyết mã Sử dụng phương pháp tổ hợp từ để kiểm tra ngơn ngữ cho trước có thỏa mãn định nghĩa mã không, Sardinas Patterson (1953) đưa tiêu chuẩn kiểm định mã, cịn gọi tiêu chuẩn Sardinas-Patterson cho lớp ngơn ngữ tổng quát Ta để ý rằng, lĩnh vực Toán học, tiêu chuẩn Sardinas-Patterson xem câu trả lời cho toán đặt Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu sâu lĩnh vực Tin học, Tổ hợp, Tính tốn lại địi hỏi tính kiến thiết với thuật toán chi tiết Về nguyên tắc, theo phương pháp Sardinas Patterson, thuật toán nhận số cấu hình tổ hợp cần kiểm tra hữu hạn Đây trường hợp ngơn ngữ đốn nhận được, tương đương ngơn ngữ quy Thuật tốn kiểm định mã hiệu cho lớp ngơn ngữ quy hữu hạn đề MỞ ĐẦU xuất Rodeh (1982) với độ phức tạp thời gian O(nm), n tổng số từ mã ngôn ngữ m tổng độ dài chúng Đối với lớp ngơn ngữ quy tổng qt, để thiết lập thuật toán, ta phải kết hợp với chúng cơng cụ otomat vị nhóm hữu hạn Khi ngơn ngữ đầu vào giả thiết đốn nhận otomat hữu hạn thỏa đồng cấu đại số Nếu đầu vào cho otomat hữu hạn, thuật toán kiểm định mã tốt biết Robert (1996) có độ phức tạp thời gian O(n2 ), với n tổng số trạng thái số cung otomat Trường hợp đầu vào đồng cấu đại số thuật toán chưa biết câu hỏi tất yếu (câu hỏi 1) là: Có tồn thuật tốn hiệu kiểm định mã khơng? Câu hỏi tương tự (câu hỏi 2) nêu ta xem xét toán kiểm định ω-mã Đối với Z-mã nay, ta biết đến tiêu chuẩn tốn học kiểu SardinasPatterson nhóm tác giả Đỗ Long Vân, Nguyễn Hương Lâm Phan Trung Huy (1993), tồn thuật tốn kiểm định Z-mã chưa biết Mặt khác, với hình thức mã mở rộng, chẳng hạn số mã nhóm nghiên cứu tác giả phát triển gần mã luân phiên ♦-mã, câu hỏi (câu hỏi 3) là: Thuật tốn kiểm định mã mở rộng, cải biên để áp dụng cho Z-mã mã không? Từ vấn đề câu hỏi đặt trên, hướng nghiên cứu cải tiến thuật toán kiểm định mã mã mở rộng cần thiết có ý nghĩa thời Do đó, mục tiêu thứ luận án là, dựa thành tựu đại số, lý thuyết otomat lý thuyết đồ thị, thiết lập thuật toán kiểm định mới, chất lượng tốt cho mã thuật toán kiểm định cho lớp mã khác gồm ♦-mã, ω-mã Z-mã Đối với vấn đề kiểm định mã đặt câu hỏi 1, tiếp cận theo phương pháp kinh điển Sardinas Patterson theo tính chất đốn nhận ngơn ngữ đồng cấu đại số, ta nhận thuật tốn cỡ hàm mũ thủ tục tính tốn, ta khơng tránh khỏi việc phải xem xét tất tập vị nhóm hữu hạn đốn nhận ngơn ngữ đầu vào Trong luận án, nhờ kỹ thuật loang dần lý thuyết đồ thị, chứng minh kết quan trọng cho phép nhận tiêu chuẩn cải tiến từ tiêu chuẩn Sardinas-Patterson để kiểm định mã Từ cho phép giảm số bước tính tốn thủ tục xuống cỡ tuyến tính theo kích thước vị nhóm cho Kết nhận thuật tốn có độ phức tạp mặt thời gian đa thức bậc hai hiệu quả, trả lời khẳng định cho câu hỏi đặt Liên quan đến câu hỏi 2, năm 1986, Staiger đề xuất tiêu chuẩn đại số cho việc kiểm định ω-mã sở tiêu chuẩn Sardinas-Patterson Từ kết này, Augros Litovsky (1999) phát triển thuật toán dựa otomat hữu hạn để kiểm định ngơn ngữ quy có ω-mã khơng với độ phức tạp thời gian O(n3 ), n kích thước vị nhóm phép chuyển dịch otomat tối tiểu đoán nhận ngơn ngữ Với vị nhóm hữu hạn thỏa ngơn ngữ đầu vào (vị nhóm phép chuyển dịch nói trường hợp riêng), đề xuất tiêu MỞ ĐẦU chuẩn kiểm định ω-mã dựa đồ thị hữu hạn có tơ màu cung, thiết lập thuật tốn kiểm định ω-mã có độ phức tạp thời gian O(n2 ), với n kích thước vị nhóm cho Chúng mở rộng kết nói trên, thiết lập thuật tốn mới, hiệu kiểm định ♦-mã Z-mã, để trả lời câu hỏi Một tốn ngơn ngữ hình thức có liên quan đến lý thuyết mã tốn nghiên cứu dựa đặc điểm phân tích khơng nhập nhằng từ thành dãy từ đặc biệt thuộc ngôn ngữ cho, mà mã trường hợp riêng Từ đó, tính khơng nhập nhằng trở thành đối tượng nghiên cứu mối liên hệ với lý thuyết mã Vì đặc tính khơng nhập nhằng liên quan đến phương pháp biểu diễn thông tin cách nên toán nghiên cứu phân tích khơng nhập nhằng đưa đến hướng nghiên cứu mở rộng lý thuyết mã Khái niệm không nhập nhằng xuất thường xuyên lý thuyết khoa học máy tính Chẳng hạn otomat khơng nhập nhằng, văn phạm không nhập nhằng hay phép tốn khơng nhập nhằng ngơn ngữ Khi đó, khơng nhập nhằng thể tính quan hệ tồn đường otomat, dẫn xuất văn phạm hay phân tích từ thuộc ngôn ngữ Định nghĩa mã ngụ ý mã không nhập nhằng Chi tiết hơn, ta biết mã X tùy ý không nhập nhằng Nghĩa thơng điệp mã hóa thành từ X giải mã theo cách Tuy nhiên, tính khơng đảm bảo việc giải mã thực dễ dàng Ví dụ, chữ x, y, z thơng điệp mã hóa thành từ b, ba, aa X, việc giải mã khơng thể định thông điệp baaa khởi đầu b hay ba Điều phản ánh khía cạnh nhập nhằng mã, liên quan đến độ trễ giải mã loại độ khó q trình giải mã đề xuất Gilbert Moore (1959) Biểu diễn mã thực chất biểu diễn thông tin cách Thật ngạc nhiên, nghiên cứu tính khơng nhập nhằng độ trễ giải mã mã sơi động, có nhiều kết thiết lập ứng dụng mạnh mẽ lĩnh vực mật mã, biểu diễn tri thức nhiều lĩnh vực khác, tính khơng nhập nhằng ngơn ngữ nói chung khơng mã chưa nghiên cứu Các vấn đề câu hỏi đưa sau cho thấy tính cấp thiết phải có nghiên cứu chủ đề Thứ nhất, phân lớp mã hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết mã Chẳng hạn, liên quan đến cấu trúc tạo dựng mã, mã prefix xây dựng cách đơn giản, cấu trúc mã tổng quát vấn đề mở Phân lớp mã theo độ trễ giải mã cho phép ta mở rộng khái niệm mã prefix (có độ trễ 0) cho trường hợp mã tổng quát Tuy nhiên phân bậc bỏ qua lớp ngôn ngữ không mã, tạo khoảng trống nghiên cứu lý thuyết mã hóa thơng tin ứng dụng Từ đó, phát sinh câu hỏi (câu hỏi 4) là: Có tồn phân bậc mịn tồn ngơn ngữ theo tính khơng nhập nhằng khơng? Hai là, lĩnh vực mật mã, ngun lý chung khơng có hệ mật tồn lâu dài MỞ ĐẦU trước cơng, ln có nhu cầu thiết lập hệ mật Trong hệ mật, mã đối tượng bị cơng Khi đó, câu hỏi (câu hỏi 5) đặt là: Nếu ta sử dụng ngơn ngữ khơng phải mã có nâng cao hiệu an tồn chống cơng cho hệ mật khơng? Nghiên cứu sâu tính khơng nhập nhằng ngơn ngữ cịn đặt nhiệm vụ phải thiết lập thuật tốn tính tốn loại độ đo nhập nhằng không nhập nhằng đề cập, độ trễ giải mã độ không nhập nhằng ngôn ngữ Mặc dù tiêu chuẩn cho ngơn ngữ có độ trễ giải mã hữu hạn đưa nhiều tác giả, chẳng hạn Vũ Thành Nam (2007) cho mã Devolder tác giả khác (1994) cho ω-mã, thuật tốn hiệu tính độ trễ giải mã chưa biết Hơn nữa, thiết lập thuật tốn tính độ trễ giải mã cho lớp mã mới, thuật tốn tính độ khơng nhập nhằng ngơn ngữ theo hai kiểu khác nhau, mối quan hệ chúng mối quan hệ chúng với độ trễ giải mã vấn đề hồn tồn Vì vậy, mục tiêu thứ hai luận án nghiên cứu lớp ngôn ngữ gần mã thông qua nghiên cứu độ không nhập nhằng ngôn ngữ xem yếu tố phản ánh “gần nhau” ngôn ngữ với mã, thiết lập phân bậc ngôn ngữ dựa độ không nhập nhằng chúng Cuối không quan trọng, mục tiêu thứ ba luận án là, từ kết thiết lập luận án, đề xuất số sơ đồ ứng dụng Các kết nhận luận án trả lời khẳng định câu hỏi 5, đồng thời giải nhiệm vụ nghiên cứu tính khơng nhập nhằng đặt phần Cụ thể, đặc trưng ranh giới nhập nhằng không nhập nhằng ngôn ngữ độ không nhập nhằng phân lớp ngôn ngữ theo độ không nhập nhằng này, nhận phân bậc vơ hạn mịn tồn ngơn ngữ Trong đó, mã thuộc lớp ngơn ngữ đặc biệt nằm phân bậc Đây tranh tổng thể lý thuyết, khởi đầu cho nghiên cứu nhằm phát tính chất lớp mã ngôn ngữ gần mã Hai độ đo không nhập nhằng khác đề xuất cho ngôn ngữ kết thiết lập cho thấy khả ứng dụng lớp ngơn ngữ khơng mã cho mã hóa thơng tin Khi đó, độ khơng nhập nhằng k ngơn ngữ sử dụng, với ≤ k ≤ ∞, đóng vai trị độ khó liên quan đến trình giải mã Việc xác định giá trị k gây khó khăn cho đối phương thực thám mã Bằng việc sử dụng phương pháp công cụ đại số, tổ hợp từ, phương pháp truyền thống lý thuyết otomat hữu hạn đồ thị, kết luận án trình bày chi tiết chương, từ Chương đến Chương luận án với cấu trúc sau Chương dành cho việc trình bày khái niệm cần thiết làm sở lý thuyết thiết lập kết chương sau 6 MỞ ĐẦU Chương chứa đựng kết liên quan tới kiểm định mã mã mở rộng Mở đầu tiêu chuẩn kiểm định mã mà thực chất tiêu chuẩn Sardinas-Patterson cải tiến đề xuất chứng minh Trên sở tiêu chuẩn này, bốn thuật tốn kiểm định có độ phức tạp thời gian O(n2 ) thiết lập, với n kích thước vị nhóm thỏa ngơn ngữ đầu vào Cụ thể là: − Thuật tốn 2.2 kiểm định mã cho trường hợp ngơn ngữ quy, sở Định lý 2.1 − Thuật toán 2.3 kiểm định ♦-mã cho trường hợp ♦-ngơn ngữ quy, sở Định lý 2.4 − Thuật toán 2.4 kiểm định ω-mã cho trường hợp ngơn ngữ quy, sở Định lý 2.6 2.7 − Thuật toán 2.5 kiểm định Z-mã cho trường hợp ngơn ngữ quy, sở Định lý 2.11, 2.12 2.13 Thuật toán 2.2 nhận nhờ sử dụng phương pháp đại số kết hợp với cấu trúc liệu đặc biệt kiểu stack vị nhóm hữu hạn Thuật tốn 2.3 có phương pháp tiếp cận tương tự ngoại trừ số tính chất đại số mở rộng thiết lập cho lớp ♦-ngơn ngữ Đối với ω-mã Z-mã, để có Thuật toán 2.4 2.5, phương pháp đại số kết hợp với phương pháp đồ thị giới thiệu Ở kỹ thuật trình bày chi tiết gồm kỹ thuật chuyển biểu diễn đại số toán sang biểu diễn đồ thị kỹ thuật kiểm định chu trình đặc biệt đồ thị hữu hạn có tô màu cung Các điều kiện tương đương cho toán chứng minh đầy đủ với độ phức tạp thời gian bước thực tính tốn chi tiết Chương trình bày khái niệm kết làm rõ khoảng trống nghiên cứu lý thuyết mã hóa thơng tin ứng dụng Đó lớp ngơn ngữ lớn đặc trưng độ không nhập nhằng, nằm lớp mã lớp ngơn ngữ định nghĩa tích không nhập nhằng Các đặc trưng tổ hợp đại số ngôn ngữ thiết lập làm sở đề xuất thuật toán xác định độ đo nhập nhằng không nhập nhằng chúng Trong số trường hợp đặc biệt, ta sử dụng công cụ otomat hữu hạn kết hợp với ngôn ngữ để diễn tả thuật tốn Ngồi hai phân bậc ngôn ngữ theo hai kiểu độ không nhập nhằng, kết thiết lập là: − Thuật tốn 3.1 xác định độ khơng nhập nhằng kiểu cho lớp ngơn ngữ quy, sở Định lý 3.1 − Thuật toán dựa otomat hữu hạn xác định độ không nhập nhằng kiểu cho lớp ngơn ngữ quy, sở Định lý 3.2 3.3 − Thuật toán dựa otomat hữu hạn xác định độ trễ giải mã cho mã thuộc lớp ngơn ngữ quy, sở Định lý 3.4 3.5 MỞ ĐẦU − Thuật toán tổ hợp xác định độ trễ giải mã cho ♦-mã thuộc lớp ♦-ngơn ngữ quy, sở Định lý 3.6 3.7 Thuật toán 3.1 thuật toán kiểu Sardinas-Patterson cải tiến mà ta thiết lập Chương Độ phức tạp thời gian O(n2 ) Các thuật tốn cịn lại có độ phức tạp thời gian cỡ hàm mũ theo n, với n kích thước vị nhóm thỏa ngơn ngữ đầu vào Đây đánh giá thơ theo tính chất đốn nhận ngơn ngữ đồng cấu đại số Các thuật toán hiệu xem xét hướng nghiên cứu luận án Chương dành cho việc trình bày số sơ đồ ứng dụng Kết cụ thể sau: − Đối với lớp ngôn ngữ k-không nhập nhằng kiểu 1, đề xuất hệ mật có tính đa trị nhập nhằng sử dụng ngơn ngữ có độ nhập nhằng cao − Đối với lớp ngôn ngữ từ định biên, đề xuất sơ đồ bảo mật hướng nghiên cứu mở rộng để xây dựng hệ mật dựa bẫy cửa sập dẫn xuất tốn khơng định PCP Các kết luận án cơng bố cơng trình - 16 (xem Danh mục cơng trình cơng bố, qua phản biện chấp nhận đăng luận án) trình bày tại: − Seminar “Tốn rời rạc Tổ hợp”, Phịng Cơ sở Toán học Tin học, Viện Toán học − Seminar khoa học, Bộ mơn Tốn Tin, Viện Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội − Hội thảo quốc gia lần thứ XII “Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thơng”, Biên Hịa, - 6/8/2009 − Hội thảo quốc gia lần thứ XIII “Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thông”, Hưng Yên, 19 - 20/8/2010 − Hội nghị toàn quốc lần thứ III Ứng dụng toán học, Hà Nội, 23 - 25/12/2010 − Hội thảo quốc gia lần thứ XIV “Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thông”, Cần Thơ, - 8/10/2011 − Hội thảo quốc tế IEEE-RIVF 2012, Thành phố Hồ Chí Minh, 27/2 - 1/3/2012 − Hội thảo quốc tế ACIIDS 2012, Kaohsiung, Taiwan, 19 - 21/3/2012 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ Trong chương này, khái niệm liên quan sử dụng luận án đề cập Nội dung kiến thức đại số, ngôn ngữ mã từ hữu hạn trình bày mục, từ Mục 1.1 đến Mục 1.4, tham khảo trích dẫn từ tài liệu [4; 5; 6; 7; 9; 13; 16; 18; 21; 27; 28] Bên cạnh đó, luận án cịn giới thiệu số lớp mã dựa hình thức tích có tính thời làm sở để thiết lập thuật toán mới, hiệu cho lớp mã chương Nội dung kiến thức mã luân phiên mã từ định biên trình bày Mục 1.5 hướng nghiên cứu lý thuyết mã, đề xuất gần cơng trình [14; 15; 23; 35; 36; 37; 38] Kiến thức ngôn ngữ mã từ vô hạn xem mở rộng khái niệm lý thuyết mã truyền thống cho trường hợp vô hạn, tổng hợp từ tài liệu [3; 10; 11; 13; 19; 20; 24; 29; 31; 32; 33; 34], nội dung Mục 1.6 Trong luận án, tập số tự nhiên ký hiệu N Lực lượng tập hợp X ký hiệu Card(X) Các bảng chữ giả thiết hữu hạn khơng nói khác 1.1 Nửa nhóm vị nhóm Ta nhắc lại nửa nhóm S tập hợp trang bị phép tốn hai ngơi kết hợp, khơng nói thêm ta ký hiệu theo lối nhân Một nửa nhóm (t.ư nhóm con) T S tập S với phép tốn cảm sinh làm cho T trở thành nửa nhóm (t.ư nhóm) Nửa nhóm S vị nhóm S có đơn vị Đơn vị vị nhóm S ký hiệu 1S Một vị nhóm vị nhóm S nửa nhóm có chứa đơn vị S Ví dụ 1.1 M = {0, 1} vị nhóm nhân với phần tử đơn vị Ví dụ 1.2 Với vị nhóm M bất kỳ, ta trang bị cấu trúc vị nhóm cho tập tất tập P(M) M cách định nghĩa, với X, Y ⊂ M, XY = {x.y | x ∈ X, y ∈ Y } Phần tử đơn vị {1} 1.2 Từ ngơn ngữ Ví dụ 1.3 Từ vị nhóm M, N ta có vị nhóm M × N tích trực tiếp M N, M (n) tích trực tiếp n lần vị nhóm M Cho nửa nhóm (vị nhóm) S T Ánh xạ ϕ : S → T gọi đồng cấu nửa nhóm (t.ư vị nhóm) với a, b ∈ S, ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (t.ư ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ϕ(1S ) = 1T với 1S đơn vị S, 1T đơn vị T ) Đồng cấu ϕ gọi đơn cấu (t.ư toàn cấu, đẳng cấu) ϕ đơn ánh (t.ư toàn ánh, song ánh) Một đồng cấu từ vị nhóm S vào gọi tự đồng cấu Cho M vị nhóm Với x, y ∈ M, ta có x−1 y = {z ∈ M | x.z = y} xy −1 = {z ∈ M | x = z.y} Với S, T ⊆ M, ta định nghĩa phép cắt trái, phải S T T −1 S = {u ∈ M | ∃t ∈ T : t.u ∈ S} ST −1 = {u ∈ M | ∃t ∈ T : u.t ∈ S} Ta có tính chất sau Tính chất 1.1 Cho M vị nhóm, P, K ⊆ M, P = K ∗ m ∈ M Khi P −1(m−1 K) = (m.P )−1 K Chứng minh Chứng minh P −1 (m−1 K) ⊆ (m.P )−1 K Ta có w ∈ P −1(m−1 K) ⇔ (∃p ∈ P, k ∈ K : w = p−1 (m−1 k) ⇔ k = m.p.w) Vì w = (m.p)−1 k ∈ (m.P )−1 K Chứng minh (m.P )−1 K ⊆ P −1(m−1 K) Ta có w ∈ (m.P )−1 K ⇔ (∃p ∈ P, k ∈ K : w = (m.p)−1 k ⇔ k = m.p.w) Vì w = p−1 (m−1 k) ∈ P −1 (m−1 K) 1.2 Từ ngôn ngữ Cho A bảng chữ Một từ w bảng chữ A dãy hữu hạn phần tử A w = (a1 , a2 , , an ), ∈ A Tập tất từ bảng chữ A ký hiệu A∗ trang bị phép nhân (tích) ghép có tính chất kết hợp (a1 , a2 , , an )(b1 , b2 , , bm ) = (a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bm ) 10 CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ Vì vậy, để thuận tiện ta viết w = a1 a2 · · · an thay cho w = (a1 , a2 , , an ) Một phần tử a ∈ A gọi chữ Từ rỗng ký hiệu ε đóng vai trò phần tử đơn vị phép nhân ghép Do đó, tập A∗ có cấu trúc vị nhóm A∗ gọi vị nhóm tự A Tập tất từ khác rỗng A ký hiệu A+ Ta có A+ = A∗ − {ε} Độ dài |w| từ w = a1 a2 · · · an với ∈ A n Quy ước |ε| = Ánh xạ w 7→ |w| đồng cấu từ A∗ đến vị nhóm cộng N Với n ≥ 0, ta ký hiệu A