De dap an HSG T QH nghean

Vẽ hình đúng theo yêu cầu bài ra không tính phần vẽ thêm... Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa..[r]

PHÒNG GD &ĐT QUỲ HỢP ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Vòng Năm học 2012 – 2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (5 điểm)  x 3 x    x x  a) Rút gọn biểu thức: P   x1  : x 1  x  x 1 b) Cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn : Tính giá trị biểu thức ad  bc 1 a b    c d b và c Câu 2: (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  0 b) Tìm số tự nhiên n để n + và n – 13 là hai số chính phương Câu 3: (5 điểm) a) Cho x 0; y  Chứng minh x x  y y  xy ( x  y ) b) Cho x, y, z  và x  y  z 12 Tìm giá trị lớn biểu thức :  x  y  z  15   x  y  z  15   x  y  z  24  M       x y z       Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, góc BCA có số đo  a) Chứng minh: Sin2  + Cos2  = b) Biết: tan  = ; BC = 10 cm Tính độ dài các cạnh AB; AC c) Gọi M là trung điểm AC Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC chúng cắt N Chứng minh AN  BM - Hết Lưu ý: - Học sinh không sử dụng máy tính - Học sinh bảng A làm hết tất các câu - Học sinh bảng B không phải làm câu 2b Họ tên thí sinh:……………………………… ; SBD:…… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Nội dung đáp án Câu Câu 5đ a) 3đ Đ/k: x 0; x 1        b) 2đ    x1  x 1 3đ 1 c d     d b cd b  c d  b ( c  d ) (1) Ta có: c a b  c3 c a b (2)  a b ad  bd  bc  bd  Ta có: x  xy  0 5đ a) 2,5 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5  0,25 0,25 d  bc  bd ad  bc  ad  bc 0 0,25 0,25 Vì x = không là nghiệm phương trình, nên x 0 0,25 0,25 x2  7 x  x x Với x 0 , ta có:  x phải là số nguyên  x   1; 7 Vì x và 2y là số nguyên ¿ ¿ ¿ ¿ x=−7 x=−1 x=1 x=7 y=− y=4 y=4 (tm) ⇒ y=− ¿{ ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ 0,5 1,0 0,5 1,0 Vậy phương trình có nghiệm: ( x ; y ) ∈ { (− ; − ) ; ( −1 ; −4 ) ; ( 1; ) ; ( ; ) } Để n+6 và n – 13 là hai số chính phương  n+6 = p2 và n -13 = q2 ( p, q   )  p2 – q2 = (n + 6) – (n – 13) = 19  (p - q)(p + q) = 19 Do 19 là số nguyên tố, p – q < p + q nên:  p  q 1    p  q 19 Câu 0,5 0,5  2y  b) 1đ 0,5 0,5 x   x 1  a) 2đ   x 1 x1 Bảng B  Từ (1) và (2) ta có: Câu   x   x  x   x  x 1   x 1 x  x 1 P  x  x 1 x1 Bảng A 0,75 0,75 0,25 0,25 0,25  p 10   q 9 Từ n + = p2=102 =100  n = 94 Thay vào n – 13 ta 94 – 13 = 81 = 92 ( thỏa mãn) Vậy n = 94 thì n+6 và n – 13 là hai số chính phương 0,25 x x  y y  xy ( x  y ) (1)  ( x  y )( x  xy  y )  xy ( x  y ) 0,5 0,5  ( x  y )( x  1,0 1,0 xy  y )  xy ( x  y ) 0 đ  ( x  y )( x  xy  y ) 0  ( x  y )( x  y ) 0 (2) 0,75 0,75 Vì x 0; y  nên x  y 0 Mặt khác ( x  y ) 0 nên BĐT(2) đúng  BĐT(1) đúng; dấu = xảy  x = y (x 0; y  0) b) 2,5 đ Thay x  y  z 12 vào biểu thức M, ta : M x  y  z  12   x y z  1 4  3    x y z = 1   Áp dụng BĐT : a b a  b (với a  0, b  ) hai lần ta được: 1 4 16 16        x y z x  y z x  y  z 12  M 3   x y  x  y 3    x  y z   z 6  x  y  z 12  Dấu “=” xảy Vậy GTLN M là -1 x  y 3, z 6 Câu 7đ 0,25 0,25 0,5 0,5 Hình Vẽ 0,5 A D M K B H Vẽ hình đúng theo yêu cầu bài (không tính phần vẽ thêm) 1,0 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5đ 0,5 C N a 2,5 b 2đ c 2đ AB AC Ta có sin  = BC ; cos  = BC AB AC AB  AC    sin2  + cos2  = BC BC BC (1) 0,5đ 0,5đ Theo ĐL Pyta go: AB2 + AC2 = BC2 (2) Từ (1)và (2)  s in2  + Cos2  = 1,0đ 1,0đ AB AB AB AC  Ta có: tan  = AC mà tan  = nên AC =  0,5đ 0,5đ AB AC  = k  AB = 3k; AC = 4k Đặt 0,5đ 0,5đ Theo ĐL pytago ta có: 9k2 + 16k2 = 100  k =  AB = 6(cm); AC = 8(cm) Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MB; ta có ABCD là hình bình hành  AD// BC; AB//CD 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,75 0,75 1,0đ 1,0đ Mà CA  AB(gt)  CD  CA Lại có CN  CA(gt) nên  CD và CN trùng  CA  DN Vì MN  BC, BC// AD nên  MN  AD Tam giác ADN có CA  DN ; MN  AD  DM  AN K  AN  BM K Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa 0,5đ 0,5đ 0,75 0,75