Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..[r]
(1)HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN LẦN THỨ XVIII (2010) Đề thi môn : Giải tích Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1.Cho hàm số f ( x) = ln( x + 1) a) Chứng minh với x > ,tồn số thực c thỏa mãn điều kiện f ( x) = xf '(c) mà ta kí hiệu là c( x) c( x) b) Tìm lim+ x ®0 x Câu 2.Cho dãy số {xn } xác định bởi: x1 = 1, x n +1 = xn (1 + xn2010 ), n ³ Tìm æ x 2010 x 2010 x 2010 ö lim ç + + + n ÷ n ®¥ x3 xn+1 ø è x2 Câu 3.Cho a Î ¡ và hàm số f ( x) khả vi trên [0, ¥) thỏa mãn các điều kiện f (0) ³ và f '( x) + af ( x) ³ 0, "x Î [0, ¥) Chứng minh f ( x) ³ 0, "x ³ Câu Cho hàm f ( x) khả vi liên tục trên [0,1] Giả sử ò f ( x)dx = ò xf ( x )dx = Chứng minh tồn c Î (0,1) cho f '(c) = Câu Cho đa thức P( x) bậc n với hệ số thực cho P(-1) ¹ và - P '(-1) n £ P(-1) Chứng minh P( x) có ít nghiệm x0 với | x0 | ³ Câu Chọn hai câu sau: 6a Tìm tất các hàm số dương f ( x) khả vi liên tục trên [0,1] thỏa mãn các điều kiện f (1) = ef (0) và æ f '( x) ö ò0 çè f ( x) ÷ø dx £ 6b Tìm tất các hàm f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn các điều kiện f (1) = 2010 , f ( x + y ) = 2010 x f ( y ) + 2010 y f ( x), "x, y Î ¡ _ Ghi chú: Cán coi thi không giải thích gì thêm (2)