a/ Tìm hai chữ số tận cùng của a để bình phơng của a có tận cùng là 89.. ii Cả hai số m và n đều là số chính phơng.[r]
(1)D¹ng 9.Sè häc 1) Tìm số biết nhân số đó với 15 cộng với lập phơng số đó b»ng lÇn bình phơng số đó cộng với 31 lần số đó? 2) Tìm số biết nhân số đó với 12 thêm vào lập phơng số đó thì kết lần bình phơng số đó cộng với 35 3/ T×m sè nguyªn d¬ng a lín nhÊt cho 2007! Chia hÕt cho ❑a 4/ Tìm số tự nhiên a lớn để chia các số 13511 , 13903 , 14589 cho a ta đợc cùng số d HD:Ta cã:13511 r(mod a) 13903 r(mod a) 14589 r(mod a) 392 0(mod a) 1078 0(mod a) 686 0(mod a) a =¦CLN(392;1078;686) = 98 §¸p sè:a = 98 5/Luỹ thừa bậc số gồm các chữ số:1,2,3,3,7,9.Tìm số đó? 6/T×m tÊt c¶ c¸c sè cã ch÷ sè tho¶ m·n: a/Số tạo thành chữ số cuối lớn số tạo thành chữ số đầu đơn vị b/Lµ sè chÝnh ph¬ng 7/Cho số nguyên , cộng ba số nguyên ta đợc các số là 180 , 197, 208 , 222 Tìm số lớn các số nguyên đó 8/Cho a = 28 + 211+2n Tìm số tự nhiên n để a là số chính phơng HD: +NÕu n = th× a = 28 + 211+28 = 5.29 Lo¹i n-8 * +NÕu n < th× a = (9+2 ) víi n N Lo¹i +NÕu n>8 th× ta cã: a = 28(9+2n-8) víi n N* V× a lµ sè chÝnh ph¬ng th× + 2n-8 = p2 2n-8 = p2 - ,p >3 2n-8 = (p-3)(p+3) ,p >3 n-8 V× lµ tÝch cña hai sè cã hiÖu [(p+3)-(p-3)=6] vµ mçi sè ph¶i lµ luü thõa cña p 8 p 2 p =5 n =12 9/Tìm các chữ số a, b , c , d để ta có : a5 bcd 7850 10/Cho biÕt tû sè cña 7x - vµ y + 13 lµ h»ng sè vµ y = 20 x = Hái y = 2010 th× x b»ng bao nhiªu ? 11/T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã kh«ng qu¸ 10 ch÷ sè mµ ta ®a ch÷ sè cuèi cïng lªn vÞ trÝ ®Çu tiªn thì số đó tăng gấp lần 12/ BiÕt r»ng sè a = 80a1a2 a3a4 a5 a6 a7 lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn.H·y t×m sè a 13/ TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña sè A2 biÕt A = 999…98 (Sè A cã 2007 ch÷ sè 9) 14)T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : Chia d 1, Chia d 2, Chia d 3, Chia d 4, Chia d 5, Chia d 6, Chia d 15) T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : Chia d 1, Chia d 2, Chia d 3, Chia d 4, Chia d 5, Chia d 6, Chia d , Chia d 8, Chia 10 d 16/ T×m sè cã 10 ch÷ sè cho chia cho d , chia cho d , chia cho 735 d 20 17/ Biết số tự nhiên chia cho 123 thì đợc thơng lớn là 97 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiªn trªn 18/ Biết số tự nhiên chia cho 678 thì đợc thơng lớn là 397 và số d lớn nhất.Tìm số tự nhiªn trªn (2) 19/ Biết số tự nhiên chia cho 20102011 thì đợc thơng lớn là 2012 và số d lớn nhất.Tìm sè tù nhiªn trªn 20/ Cho số nguyên,nếu cộng số nguyên bất kì thì ta đợc:222;255;249;234 T×m sè nguyªn lín nhÊt 21/ Cho số nguyên,nếu cộng số nguyên bất kì thì ta đợc:4691;5568;5599;4706 T×m sè nguyªn lín nhÊt 22/Tæng c¸c ch÷ sè cña mét sè cã ch÷ sè cho tríc céng víi b×nh ph¬ng cña tæng ch÷ sè Êy cho ta chính số đó.Tìm số đã cho 23/T×m x,y cho: 62 xy 427 99 24/T×m sè tù nhiªn n cã ch÷ sè cho n chia cho 131 d 12 , n chia cho 132 d 98 25/Tìm số tự nhiên biết số đó chia cho 26 thì đợc số d lần bình phơng số thơng 26/Tìm số nguyên tố khác biết tích số đó gấp lần tổng chúng 27/Chứng minh luôn tìm đợc 2005 số tự nhiên liên tiếp là hợp số 28/Cho p lµ sè nguyªn tè >3 Hái p2+2003 lµ sè nguyªn tè hay lµ hîp sè 29/T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè cho céng víi sè gåm ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngîc l¹i th× ta đợc số chính phơng 30/Chøng minh r»ng :a=19k + 5k + 1995k + 1996k kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng abc n cba n 31/T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè abc cho: 32/H·y xÐt xem sè a = 1k + 9k + 19k + 1993k, k Z vµ k lÎ cã ph¶i lµ mét sè chÝnh ph¬ng kh«ng? HD:V× k lÎ nªn:1k 1(mod 4) 9k 1k(mod 4) 1(mod 4) 19k (-1)k(mod 4) -1(mod 4) 1993k 1k(mod 4) 1(mod 4) VËy: a 2(mod 4) a kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng 33/Chøng minh r»ng sè b = +92k + 772k + 19772k kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng víi k Z HD:Ta cã:1 1(mod 3) 92k 02k(mod 3) 0(mod 3) 772k (-1)2k(mod 3) 1(mod 3) 19772k 02k(mod 3) 0 (mod 3) VËy: b 2 (mod 3) (V« lý) b kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng 34/T×m sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:Chia cho d 1,chia cho d 2,chia cho d vµ chia cho d HD:Ta cã: a 1(mod 2) a 2(mod3) a 3(mod 4) a 4(mod 5) 20a 40(mod 60) 15a 45(mod 60) 12a 48(mod 60) (3) 47a 133(mod 60) 13(mod 60) 47a=60t+13 a 60t 13 13t 13 t 47 47 13t 13 47 k 13 8k k t 3k 13 13 §Æt 47 8k 13u 5u u k u 8 §Æt 13 5u 8v 3v v u v 5 §Æt 3v 5p 2p p v p 3 §Æt 2p 3q q q p q 2 §Æt q l q 2l §Æt (víi t,k,u,v,p,q,l Z+) p=2l+l=3l v=3l+2l=5l u=5l+3l=8l k=8l+5l=13l t=3.13l-1+8l=47l-1 a=47l-1+13l=60l-1 V× a lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt Chän l=1 a=59 §¸p sè:a=59 35/Chøng minh r»ng sè A 11 10 1 1995 sè 1994 sè lµ sè chÝnh ph¬ng HD:Ta cã :A =(101994+101993+ +10+1) (101995+5)+1 101995 (101995 5) = 101995 = Mµ : 2 (mod 3) (4) 101995 1(mod 3) 101995+2 3(mod 3) 0(mod 3) Chøng tá: 101995+23 VËy A lµ sè chÝnh ph¬ng 36/ Víi gi¸ trÞ nµo cña k N th×: A 1995 21995 k3 1997 k19 51995 chia hÕt cho HD:Ta cã: 1995 -1 (mod 4) 1997 1 (mod 4) A ( 1) 21995 k3 ( 1) (mod 4) 21995 k3 14 VËy : A 4 k lÎ 37/Tìm số tự nhiên a lớn để chia các số 2933, 1799 , 2357 cho a ta đợc cùng số d 38/Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1) vµ b = 44…4 ( n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng:a + b + lµ sè chÝnh ph¬ng 39/Chøng minh r»ng sè: A 224 99 10 n-2 sè n sè lµ sè chÝnh ph¬ng víi n 2 40/Cho a lµ mét sè gåm 2n ch÷ sè 1, b lµ mét sè gåm n+1 ch÷ sè 1, c lµ mét sè gåm n ch÷ sè (n lµ sè tù nhiªn,n 1) Chøng minh r»ng:a+b+c+8 lµ sè chÝnh ph¬ng 41/ Cho sè an = 57421 35n Tìm n N (1000 n 2000 ) để an có giá trị là số tự nhiên 2003 42/T×m sè h¹ng nhá nhÊt tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y un = n + n 43/ Biết số tự nhiên chia cho 20102010 thì đợc thơng lớn là 2010 và số d bé nhất.Tìm sè tù nhiªn trªn 44/ Cho sè a = 1.2.3…17 (TÝch cña 17 sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ ch÷ sè 1) Hãy tìm ớc số lớn a , biết ớc số đó : a/ Lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn b/ Lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn 45/ T×m c¸c íc nguyªn tè nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña sè 2152 + 3142 46/ T×m sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1x y3z mµ chia hÕt cho 13 47/ a/ Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636…đợc viết dới dạng phân số tối giản Thế thì tổng tử và mÉu lµ: (5) A.15 B.45 C.114 D.135 E.150 b/ Mệnh đề sau đây đúng không:(0,3333…).(0,6666…) = (0,2222…) c/ Nếu F = 0,4818181… đợc viết dới dạng phân số tối giản thì mẫu lớn tử là bao nhiêu? n n n 48/ XÐt ph¬ng tr×nh d¹ng Fermat: x1 x2 xn x1 x2 xn Ph¸t biÓu b»ng lêi:T×m c¸c sè cã n ch÷ sè cho tæng luü thõa bËc n cña c¸c ch÷ sè b»ng chÝnh sè Êy Trong c¸c sè sau ®©y sè nµo lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn:153; 370;371; 407; 1634; 8280; 9474; 54748; 92727; 93084; 548834; 1741725; 4210818; 9800817; 9926315; 24678050; 24678051; 33467290; 55213479; 88593477; 146511208; 472335975; 534494836; 912985153; 4679307774; 6693271456 49/ Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 là số có chữ số đầu và chữ số cuối 1, tức là n3 = 111…1111 ( dấu … biểu thị các số đứng giữa).Tìm n và n3 50/Gi¶ sö a lµ mét sè tù nhiªn cho tríc a/ Tìm hai chữ số tận cùng a để bình phơng a có tận cùng là 89 b/T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt a mµ b×nh ph¬ng cña nã lµ mét sè b¾t ®Çu b»ng ch÷ sè 19 vµ kÕt thóc b»ng ch÷ sè 89 c/ Tìm tất các số tự nhiên n cho n2 là số 12 chữ số có dạng :n2 = 2525******89 (Trong đó sáu dấu * biểu thị sáu chữ số ,có thể khác nhau).Tìm các chữ số đó 51/ T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn d¬ng (m,n) cã ch÷ sè tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau ®©y: i) Hai ch÷ sè cña m còng lµ hai ch÷ sè cña n ë c¸c vÞ trÝ t¬ng øng.Ch÷ sè cßn l¹i cña m nhá h¬n ch÷ số tơng ứng n đúng đơn vị ii) Cả hai số m và n là số chính phơng 51/ T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn d¬ng (m,n) cã ch÷ sè tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn sau ®©y: i) Hai ch÷ sè cña m còng lµ hai ch÷ sè cña n ë c¸c vÞ trÝ t¬ng øng.Hai ch÷ sè cßn l¹i cña m nhá h¬n hai chữ số tơng ứng n đúng đơn vị ii) Cả hai số m và n là số chính phơng 52/ Cho sè an = 20203 21n Tìm n N (1010 n 2010 ) để an có giá trị là số tự nhiên 53/ T×m sè nhá nhÊt c¸c sè cosn , víi n lµ sè tù nhiªn n»m ®o¹n: n 25 54/ T×m mét sè gåm ch÷ sè d¹ng xyz biÕt tæng cña ch÷ sè b»ng kÕt qu¶ cña phÐp chia 1000 cho xyz 55/ Hỏi có bao nhiêu số gồm chữ số đợc viết các chữ số 2,3,7 và chia hết cho 56/ Hỏi có bao nhiêu số gồm chữ số đợc viết các chữ số 2,3,5và chia hết cho 57/ Hỏi có bao nhiêu số gồm chữ số đợc viết các chữ số 1,2,3 và chia hết cho 58/ Sè 19549 lµ hîp sè hay nguyªn tè 59/ BiÕt sè cã d¹ng N = 1235679 x y chia hÕt cho 24 T×m tÊt c¶ c¸c sè N 60/ Tìm cặp hai số tự nhiên nhỏ (ký hiệu là a và b , đó a là số lớn , b là số nhỏ) có tổng là béi cña 2004 vµ th¬ng cña chóng b»ng 61/ a) T×m tÊt c¶ c¸c sè mµ b×nh ph¬ng sÏ cã tËn cïng lµ ba ch÷ sè b) Cã hay kh«ng c¸c sè mµ b×nh ph¬ng sÏ cã tËn cïng lµ bèn ch÷ sè 62/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn m lµ íc sè cña (6) N = 1980.1930.1945.1954.1969.1975.2004 nhng kh«ng chia hÕt cho 900 (7)