=> FIQP, IEQP là các hình bình hành vì tứ giác... Tôn Đức Trình.[r]
(1)KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: Toán-Lớp Thời gian 120 phút Câu 1: Rút gon biểu thức a) A = 11 30 b) B = 2 3 2 Câu 2: Cho biểu thức x2 x x x 2( x 1) x x1 P = x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P x c) Tìm x để biểu thức Q = P nhận giá trị là số nguyên Câu 3: Cho x,y thoã mãn (x + 2011 x )(y + 2011 y ) = 2011 Tính giá trị biểu thức A = x2011 + y2011 Câu 4: Giải phương trình: – x2 = x Câu 5: Qua điểm M tuỳ ý trên đáy lớn AB hình thang ABCD ta kẻ các đường thẳng song song với hai đường chéo AC và BD.Các đường thẳng song song này cắt cạnh AD,CB E và F Đoạn thẳng EF cắt AC và BD I và J FI EJ a) Chứng minh IE FJ b) CMR H là trung điểm đoạn IJ thì H là trung điểm EF PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CAN LỘC (2) Tôn Đức Trình THCS Phúc Lộc KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 Hướng dẫn chấm môn: Toán Câu 1: Rút gon biểu thức a) A = 11 30 = 2 3 = -1 b) B = Câu 2: Cho biểu thức 2đ 2đ x2 x x x 2( x 1) x x1 P = x x 1 a) ĐK x>0, x ≠1 P = x - x +1 0.5 đ 1.5 đ 3 b) Ta có P = ( x - )2 + ≥ => PMin = <=> x = 2 x x - x +1 M x c) Ta có Q = x - x +1 = Do x> 0, x ≠ Ta có 2.0 đ x - x +1 x 1 x x M= > BDT Côsy => < Q < Vì Q nguyên nên Q 3 = => x 1.0 đ Câu 3: Cách Ta có 2 (x + 2011 x )(x - 2011 x ) = 2011 2 (y + 2011 y )(y - 2011 y ) = 2011 y+ 2011+y 2011+x x 2 Kết hợp với giả thiết có: x+ 2011+x 2011+y y Cộng theo vế ta có x = - y => A = x2011 + y2011 = Cách 2: Nhân lien hợp ta có 2 2 Ta có (x + 2011 x )(x - 2011 x )(y + 2011 y ) = 2011(x - 2011 x ) 2 <=> - 2011(y + 2011 y ) = 2011(x - 2011 x ) <=> x + y = 2011 y - 2011 x (1) 2 Tương tự có: x + y = 2011 x - 2011 y (2) Công (1)(2) ta có 2(x + y) = => x = - y => A = x2011 + y2011 = (3) Câu 4: (Cách 1) ĐK: - < x < Ta có: – x2 = x <=> x2 = - 6 x 1 1 <=> x – x + = (6 - x) - x + => (x - ) = ( x - )2 1 => (x - ) = ± ( x - ) = > x = x (1) – x = x (2) 21 giải (1) x = 2, giải (2) x = 2 y2 = - x x => y2 = – x ta có hệ sau: x = - y (I) Cách 2: Đặt y = Từ hệ (I) ta có (x - y)(x + y) = x – y <=>(x - y)(x + y - 1) = x = y => y = - x Với x = y => x = x => x = (t/m) Với y = 1- x ta có 1- x = x (x<1) => (1- x)2 = – x <=> x2 – x + = 21 21 x1,2 = loại x1 Vậy x = 2; x = Cách 3: ĐK: - < x < Bình phương hai vế ta có (6 – x2)2 = - x <=> x4 – 12x2 + x + 30 = <=> (x – 2)(x3 + 2x2 – 8x – 15) = 1 <=> (x – 2)(x + 3)(x2 + x – 5) = Giải x = 2; x = Câu 5: Cách 1: FI FP DG a) Ta có IE PM GB (1) JE EQ CG JF QM GA (2) 21 D C G F I E J H Q DG CG P Mà GB GA (3) A M FI JE Từ (1)(2)(3) ta có IE JF FI JE FI JE FI JE b) Ta có IE JF => IE IE JF JE = F FE => FI = JE mà IH = IJ B => FH = HE Cách 2: C D FP DG CG EQ a) Ta có PM GB GA QM => PQ//EF => FIQP, IEQP là các hình bình hành vì tứ giác G I H F E J Q P A M B (4) có các cạnh đối song song => FJ = IE = PQ (1) FI FP EQ EJ IE PM QM JF Lai có b) Từ (1) FJ = IE mặt khác IH = HJ (gt) => FH = HE Người giải: Tôn Đức Trình THCS Phúc Lộc (5)