b Tìm trên 1 những điểm N sao cho tiếp tuyến tại N cắt 2 tiệm cận tại A,B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất I là giao 2 tiệm cận Bài toán 4: Tiếp tuyến tạ[r]
(1)Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VỀ HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN Cho hai đường cong C : y f x và C ' : y g x Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f x g x f ' x g ' x là hệ sau có nghiệm: Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm, qua điểm có hệ số góc cho trước Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x0 ; y0 C Tính đạo hàm và giá trị f ' x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 x x0 y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C có hệ số góc k f ' x0 VD1.1 Cho hàm số y x4 x2 ( C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến d (C): – Tại điểm có hoành độ x – Tại điểm có tung độ y = – Tại các điểm uốn ( C ) – Tại giao điểm ( C) với đường thẳng y=-3 y x VD1.2 Cho hàm số: y x 3x (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến (1) – Tại điểm A thuộc (1) có hoành độ là – Tại điểm B thuộc (1) có tung độ là – Tại điểm uốn (1) và chứng minh tiếp tuyến uốn có hệ số góc nhỏ – Tại giao điểm (1) với đường cong: y x 4x x 1 VD1.3 Cho hàm số: y (1) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến (1): – Tại điểm A trên đồ thị có hoành độ -2 – Tại điểm B trên đồ thị có tung độ -1 2x – Tại giao điểm (1) với đường cong : y x2 Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến là k Giải phương trình: f ' x k , tìm nghiệm x0 y0 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x0 y0 Chú ý: Cho đường thẳng có hệ số góc k, đó: Nếu d// d : y ax b hệ số góc k = a a Nếu d d : y ax b hệ số góc k k a ka (1) viết phương trình tiếp tuyến (1) biết tiếp tuyến đó : Nếu d tạo với góc d : y ax b tan VD1.4 Cho hàm số : y x4 x2 Page of 14 (2) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan a) Song song với đường thẳng d1 : 24 x y 2012 b) Vuông góc với đường thẳng d2 : x 24 y 2011 VD1.5 Cho hàm số : y x 3x (1) viết phương trình tiếp tuyến (1) biết tiếp tuyến đó : a) Song song với đường thẳng : y=6x+1 b) Vuông góc với đường thẳng : 3x+4y-1=0 2x VD1.6 Cho hàm số: y (1) viết phương trình tiếp tuyến (1) biết tiếp tuyến đó : x 1 a) Song song với đường thẳng : 3x-y+2012=0 b) Vuông góc với đường thẳng : 3x+y+12=0 Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A xA ; y A C Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, đó d : y k x xA y A f x k x xA y A f ' x k Điều kiện tiếp xúc d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: VD1.7 Cho hàm số: y x 2x x Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm A(-1 ;2) x 1 VD1.8 Cho hàm số: y Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm x2 A(1 ;1) Loại 4: Tìm trên đường thẳng xác định điểm kẻ 0,1,2,3… tiếp tuyến với đồ thị tiếp tuyến vuông góc với VD1.9 Cho hàm số: y x 2x (1) tìm trên đường thẳng y=2 điểm kẻ tới (1): a) Không quá tiếp tuyến b) Đúng tiếp tuyến VD1.10 Cho hàm số: y x 3x Tìm M trên đồ thị cho qua M kẻ với đồ thị : a) Đúng tiếp tuyến b) Không quá tiếp tuyến c) Không có tiếp tuyên nào d) Nhiều tiếp tuyến e) Hai tiếp tuyến vuông góc với x2 VD1.11 Cho hàm số: y Tìm điểm trên trục tung để qua đó kẻ tới đồ thị : x 1 a) Hai tiếp tuyến b) Đúng tiếp tuyến Bài toán Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A,B thỏa mãn điều kiện cho trước Loại 1: OA=kOB OB=kOB biết độ dài OA OB Dạng toán này cần lưu ý đến phương trình đoạn chắn: x y A(a;0) , B(0;b) thì phương trình AB là: a b VD1.12 Cho hàm số: y x 3x viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến cắt trục hoành A cắt trục tung B cho OB= 9OA x 3 VD1.13 Cho hàm số: y viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến đó cắt x 1 trục hoành A cắt trục tung B cho OA= 4OB x 1 VD1.14 Cho hàm số: y viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến cắt trục x 1 hoành A cho OA=1 VD1.15 Cho hàm số: y x3 3x m tìm m để tiếp tuyến với đồ thị điểm có hoành độ cắt trục Ox tại A cho OA=3 Page of 14 (3) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Loại 2: Biết diện tích tam giác OAB tam giác OAB cân VD1.16 Cho hàm số: y x 3x m (1) a) Tìm m để tiếp tuyến (1) điểm có hoành độ cắt trục tọa độ A , B cho diện tích tam giác OAB 1,5 b) Khi m=1 , viết phương trình tiếp tuyến (1) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B cho tam giác OAB vuông cân 2x VD1.17 Cho hàm số: y (1) x 1 a) Tìm M thuộc (1) biết tiếp tuyến (1) M cắt trục tọa độ A,B cho diện tích tam giác OAB 0,25 b) Viết phương trình tiếp tuyến (1) biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ A, B cho tam giác OAB vuông cân Bài toán Tiếp tuyến cắt tiệm cận thoă mãn điều kiện cho trước Loại Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A,B đó M là trung điểm AB và diện tích IAB không đổi ( I là giao tiệm cận) 2x VD1.18 Cho hàm số: y (1) x2 M là điểm trên (1), tiếp tuyến M cắt tiệm cận A,B I là giao tiệm cận a) CMR: M là trung điểm AB b) Tam giác IAB có diện tích không đổi mx VD1.19 Cho hàm số: y (1) gọi I là giao điểm tiệm cận Tiếp tuyến (1) cắt xm tiệm cận A, B Tìm m để tam giác IAB có diện tích 12 Loại Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN tiếp tuyến và tiệm cận 2x VD1.20 Cho hàm số: y (1) M thuộc (1) , tiếp tuyến M cắt tiệm cận A,B x 1 Tìm tọa độ M để chu vi tam giác IAB là nhỏ ( I là giao tiệm cận ) 2x VD1.21 Cho hàm số: y (1) x2 a) Tìm trên (1) điểm M cho tiếp tuyến M cắt tiệm cận A,B cho độ dài AB là nhỏ b) Tìm trên (1) điểm N cho tiếp tuyến N cắt tiệm cận A,B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ ( I là giao tiệm cận) Bài toán 4: Tiếp tuyến các giao điểm đường thẳng với đồ thị hàm số thoă mãn điều kiện cho trước x 1 VD1.22 Cho hàm số: y viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ cắt đồ thị 2x điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến đồ thị A và B song song với VD1.23 Cho hàm số : y x 3x Tìm điểm A,B thuộc đồ thị cho tiếp tuyến A, B với đồ thị song song với và độ dài AB = VD1.24 Cho hàm số: y x 3x gọi d là đường thẳng qua A(2;0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị điểm phân biệt A,M,N cho tiếp tuyến M,N vuông góc với Bài tập tổng hợp: Bài Cho hàm số y x4 x2 ( C ) a) Tìm trên đường thẳng y 1 điểm N cho qua N kẻ ít tiếp tuyến với C b) Tìm trên trục hoành điểm M cho qua M không thể kẻ quá tiếp tuyến với (C ) Bài Cho hàm số: y x x (1) a)Khảo sát và vẽ đồ thị (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Page of 14 (4) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan x 1 Bài Cho hàm số: y x4 2mx2 m (Cm ) y a)Định m để (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng (d): y 2( x 1) điểm có hoành độ x b) Khi m=1 tìm trên trục tung điểm mà qua đó kẻ tiếp tuyến với đồ thị Bài Cho hàm số: y x 3x (C ) 2 a)Gọi (d) là tiếp tuyến ( C) M với xM a CMR: Hoành độ các giao điểm d và (C ) là nghiệm pt: ( x a)2 ( x2 2ax 3a 6) b) Tìm a để d cắt ( C) P, Q khác M Tìm quỹ tích trung điểm K PQ Bài Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó: a) Tại điểm A (1) có hoành độ x=1 b) Đi qua điểm M(–1;–9) b) Song song với đường thẳng 24 x y CMR: tồn tiếp tuyến qua điểm uốn (1)có hệ số góc nhỏ Bài Cho hàm số: y x3 2x 8x (1) CMR: không tồn tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số mà vuông góc với Bài Cho hàm số: y x3 (1 2m)x (2 m)x m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng x+y+1=0 góc a cho: cos a 26 Bài Cho hàm số : y x3 x2 (1) viết phương trình tiếp tuyến (1) tại: a)A(1; -1) b) Điểm uốn đồ thị c) Điểm cực đại đồ thị d) Điểm B thuộc đồ thị có hoành độ là e) Điểm C thuộc đồ thị có tung độ là f) Giao điểm đồ thị với hàm sô: y x3 12 x 17 m Bài Cho hàm số : y x3 x (*) 3 a)Khảo sát và vẽ đồ thị m=2 b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị có hoành độ -1 Tìm m để tiếp tuyến độ thị M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 10 Cho hàm số: y x3 m( x 1) (Cm ) ( m là tham số) a)Khi m=1 khảo sát hàm ( C1 ) b) Viết pt tiếp tuyến (C1 ) qua điểm A(0;2) c) Tìm điều kiện m để đồ thị hàm (Cm ) tiếp xúc với trục hoành Bài 11 Cho hàm số: y ( x 2)( x2 mx m2 1) (1) a)Khảo sát và vẽ đồ thị (1) m=2 b) Tìm m để (1) tiếp xúc với trục hoành Bài 12 Cho hàm số: y x3 3x2 (1) Tìm trên y=-2 điểm có thể kẻ a) tiếp tuyến với đồ thị b) tiếp tuyến với đồ thị c) tiếp tuyến vuông góc với với đồ thị Page of 14 (5) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Bài 13 Cho hàm số : y x3 3x2 3x (1) a) CMR trên đồ thị không tồn điểm cho tiếp tuyến điểm đó với đồ thị vuông góc với b) Xác định k để trên đồ thị có ít điểm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y kx Bài 14 Cho hàm số: y 3x x3 (1) Tìm trên đường thẳng y x điểm để từ đó kẻ đúng điểm phân biệt với (1) Bài 15 Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho các tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với Bài 16 Cho hàm số: y x3 m( x 1) (Cm ) a) Viết pt tiếp tuyến (Cm ) giao điểm (Cm ) với Oy b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích 4 x Bài 17 Cho hàm số: y (C ) 2x 1 a) KS và vẽ đồ thị (C ) b) Viết pt tiếp tuyến (C ) : Tại điểm A (C ) có tung độ y 3 Đi qua điểm B(0;1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4 x 2x Bài 18 Cho hàm số : y (1) (CĐ 2012) x 1 a)Khảo sát và vẽ đồ thị (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến d (1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=x+2 (m 1) x m Bài 19 Cho hàm số : y (1) xm a) Với m =1 Tìm trên đồ thị điểm có tổng khoảng cách đến tiệm cận là nhỏ b) CMR: với m đồ thị hàm (1) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định Bài 20 Cho hàm số y 2x x 1 (ĐH KhốiD 2007) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B và diện tích tam giác OAB 4x (C) và M bất kì thuộc ( C) , gọi I la giao tiêm cận Tiếp tuyến M cắt 2 x tiệm cận A và B 1.CMR: M là trung điểm AB CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi 2mx Bài 22 Cho ( Cm ) : y xm a) KS với m=1 và lập phương trình tiếp tuyến ( C1 ) biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;1) b) Tìm m để tiếp tuyến bất kì ( Cm ) cắt tiệm cận tạo tam giác có diện tích là Bài 21 Cho y Bài 23 Tìm trên Oy điểm kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) : y x 1 x 1 Vấn đề 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm số y f x ,đồ thị là (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: Page of 14 (6) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Nghiệm phương trình f ' x là hoành độ điểm cực trị f ' x0 thì hàm số đạt cực đại x x0 f '' x0 Nếu f ' x0 thì hàm số đạt cực tiểu x x0 f '' x0 Nếu Bài toán 1: Tìm cực trị hàm số VD2.1 Tìm cực trị hàm số sau: a) y x 3x b) y x 3x 1 c) y x 2x 3x d) y x 6x VD2.2 Tìm cực trị các hàm số sau: a) y x 2x b) y x 2x c) y 3x 3x Bài toán Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Loại Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị đạt cực trị điểm nào đó Để hàm số y f x có cực trị là phương trình y’=0 có nghiệm và y’ đổi dấu qua nghiệm VD2.3 Cho hàm số: y x mx (m2 m 1)x a) Tìm m để hàm số có cực trị ? b) Tìm m để hàm số đạt cực đại x=1 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x=3 Loại Biện luận số cực trị theo tham số VD2.4 Biện luận số cực trị hàm số sau: x3 a) y 3mx 3x b) y (m 2)x mx c) y x 2(m 1)x m2 d) y mx (m2 9)x Loại Tìm điều kiện tham số để cực trị nằm khoảng xác định VD2.5 Cho hàm số: y x 3mx m a) Định m để hàm số có cực trị (0; ) b) Định m để hàm số có cực trị (;0) c) Định m để hàm số có cực trị (-1; 2) Loại 4.Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị nằm các vị trí hệ trục tọa độ Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành yCĐ yCT Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục tung Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành xCĐ xCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT Page of 14 (7) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành yCĐ yCT VD2.6 Cho hàm số: Loại Phương trình đường thẳng qua cực trị Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: Hàm số y ax3 bx2 cx d Lấy y chia cho y’, thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng qua điểm cực trị Dạng 2: Hàm số y ax bx c dx e Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng ax y bx c ' dx e ' 2a b x d d VD2.7 Cho hàm số: y x (m 1)x m (1) a) Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực trị biết đường thẳng đó song song với đường thẳng y=2 b) Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực trị biết đường thẳng đó qua A(-1;1) VD2.8 Cho hàm số : y x3 3x mx a) Tìm m để đồ thị có cực trị và đường thẳng qua cực trị song song với đường thẳng y= -4x+3 b) Tìm m để đồ thị có cực trị và cực trị đối xứng qua đường thẳng x-4y+1=0 Loại Tìm điều kiện tham số để cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng toán này cần sử dụng linh hoạt định lý Viet VD2.9 Cho hàm số: y x3 3(m 1)x 9x m Tìm m để hàm số có cực trị x1 ; x thỏa mãn : a) x1 2x b) x1 x VD2.10 Cho hàm số: y x3 3(m 1)x 9x m (1) tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu và yCD yCT VD2.11 Cho hàm số : y x 3x mx (1) tìm m để hàm số có cực trị và điểm cực trị cách đường thẳng : x-y-1=0 Loại Cực trị thỏa mãn điều kiện liên quan đến tam giác VD2.12 Cho hàm số: y x 2(m 1)x m2 (1) tìm m để hàm số có cực trị và cực trị đó lập thành: a) đỉnh tam giác cân b) đỉnh tam giác VD2.13 Cho hàm số: y x3 3x 3(m2 1)x 3m2 1 (1) tìm m để hàm số có cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O VD2.14 Cho hàm số: y x3 3x mx , tìm m để hàm số có cực trị đồng thời đường thẳng qua cực trị tạo với trục tọa độ tam giác cân Bài tập tổng hợp Bài 24 Cho hàm số y x3 mx m x Định m để: 1.Hàm số luôn có cực trị 2.Có cực trị khoảng 0; 3.Có hai cực trị khoảng 0; Bài 25 Cho hàm số y x3 +3x2 3mx 3m a Khảo sát hàm số m = b Định m để hàm số không có cực trị Page of 14 (8) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan c Định m để hàm số có cực trị Gọi x1 , x2 là hoành độ điểm cực trị, định m để x1 x2 1 Bài 26 Cho hàm số : y x3 mx (m2 m 1) x a)Tìm m để hàm số có cực đại x=1 b) Tìm m để hàm số có cực tiểu x=3 Bài 27 Cho hàm số : y x3 3(m 1) x2 x m (1) tìm m để (1) đạt cực trị các hoành độ x1 , x2 cho : a) x1 x2 b) x1 x2 c) x1 kx2 k là tham số Bài 28 Cho hàm số y x3 3mx2 x 3m Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị biết đường thẳng đó qua A(1 ;0) 2.Cho hàm số: y x3 3mx2 3m3 (1) định m để (1) có cực trị A,B cho tam giác OAB có diện tích 48 Bài 29 Cho hàm số y x3 3x2 m2 x m tìm m để đồ thị hàm số có cực trị đối xứng với qua đường thẳng y x 2 Bài 30 Cho hàm số y x 1 2m x2 m x m Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 1 Bài 31 Cho hàm số y x3 mx 2m 1 x m Cm Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương 2.Cho hàm số : y x3 3(m 1) x m (1) tìm m để (1) có cực trị A,B cho A,B và I I(3 ; 1) thẳng hàng Bài 32 Cho hàm số y x3 3x2 m2 1 x 3m2 (1), m là tham số a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ Bài 33 Cho hàm số : y x3 3x2 3(m2 1) x 3m2 (1) định m để (1) có cực trị A,B cho tam giác OAB vuông O Bài 34 Cho hàm số : y x3 3x mx (2) định m để hàm số (1) có cực trị và phương trình đường thẳng qua cực trị tạo với trục tọa độ tam giác vuông cân Bài 35 Cho hàm số : y x3 3x2 m (1) định m để (1) có cực trị A,B cho tam giác OAB có diện tích Bài 36 Cho hàm số : y x3 x 3x (1) Gọi A,B là cực trị (1) tìm M trên trục hoành cho tam giác MAB có diện tích là Bài 37 Cho hàm số y mx4 m2 x 10 (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị, cực trị Bài 38 Cho hàm số : y x4 2mx2 m2 m (1) định m để (1) có cực trị lập thành tam giác vuông Bài 39 Cho hàm số : y x4 2mx2 m3 m2 (Cm ) ( m là tham số) Tìm m để hàm số có cực trị và các điểm cực trị đó lập thành tam giác Page of 14 (9) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Bài 40 Cho hàm số : y x4 8m2 x2 (1) định m để (1) có cực trị lập thành tam giác có diện tích 64 Bài 41 Cho hàm số f ( x) x4 2(m 2) x2 m2 5m (Cm) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số với m = b Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Bài 42 Cho hàm số: y x4 2mx2 (1) định m để hàm số có cực trị và đường tròn qua ba điểm cực trị có bán kính Bài 43 Chứng minh hàm số y = x m m2 x m4 xm luôn có có cực trị với m Tìm m cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x Bài 44 Cho hàm số y x m 1 x m xm Chứng minh đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hoành Vấn đề 3: GIAO ĐỒ THỊ Bài toán 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số giao trục hoành k điểm phân biệt lập thành các cấp số Loại Điều kiện để hàm bậc giao Ox điểm lập thành cấp số cộng cấp số nhân Cho hàm số: y ax3 bx2 cx d (C ) (a 0) Tìm điều kiện để (C ) giao Ox tại: a) điểm, điểm phân biệt,3 điểm phân biệt b) điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng c) điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân BL: a)Để biện luận số giao điểm (C ) với Ox ta có thể làm theo cách: C1: Biện luận số nghiệm pt: ax3 bx2 cx d cách phân tích thành pt tích C2: Biện luận số giao điểm từ vị trí các cực trị hàm số + (C ) giao Ox điểm (C ) không có cực trị có cực trị nằm cùng phía với trục hoành + (C ) giao Ox điểm (C ) có cực trị và cực trị nằm trên Ox + (C ) giao Ox điểm phân biệt (C ) có cực trị và cực trị nằm phía với Ox b)Để (C ) giao Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng: C1: Hàm số có cực trị và điểm uốn nằm trên Ox C2: Sử dụng điều kiện cần và đủ: DK cần: Giả sử x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm (C ) và Ox tức là x1 , x2 , x3 là nghiệm phân biệt pt: ax3 bx2 cx d (*) b Theo Viet ta có: x1 x2 x3 mà x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng : 2x2 x1 x3 a b Ta có: 3x2 , tìm x2 thay vào (*) tìm giá trị tham số a ĐK đủ: Thay ngược lại giá trị tham số vào (*) d) Để (C ) giao Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân ĐK cần: Giả sử x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm (C ) và Ox tức là x1 , x2 , x3 là nghiệm phân biệt pt: ax3 bx2 cx d (*) d Theo Viet ta có: x1.x2 x3 mà x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân : x22 x1.x3 a Page of 14 (10) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan d , tìm x2 thay vào (*) tìm giá trị tham số a ĐK đủ: Thay ngược lại giá trị tham số vào (*) VD3.1 Cho hàm số: y x3 3mx 9x , tìm m để đồ thị giao Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng VD3.2 Cho hàm số: y x3 3mx , tìm m để đồ thị giao Ox điểm có hoành độ lập thành cấp số nhân Loại Điều kiện tham số để đồ thị giao Ox điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng VD3.3 Cho hàm số: y x 2(m 1)x 2m tìm điều kiện m để đồ thị giao Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Loại Tìm điều kiện tham số để đồ thị giao Ox k điểm có hoành độ thỏa mãn điều kiện cho trước VD3.4 Cho hàm số: y x3 m2 x (2m2 1)x m , tìm điều kiện tham số để đồ thị giao Ox : a) điểm có hoành độ dương b) điểm có hoành độ lớn c) điểm có hoành độ x1 , x , x thỏa mãn: x12 x 22 x 32 VD3.5 Bài toán 2: Tương giao đồ thị với đường thẳng y=ax+b Loại Biện luận số giao điểm đường thẳng y= ax+b với đồ thị VD3.6 Cho hàm số: y x3 6x 9x (1) , tìm m để đường thẳng d: y= mx-2m-4 cắt (1) điểm phân biệt x VD3.7 Cho hàm số: y , tìm m để đường thẳng d: y = -x+m cắt đồ thị điểm phân biệt x 1 Loại Tìm điều kiện tham số để đường thẳng y= ax+b cắt đồ thị điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước 2x VD3.8 Cho hàm số: y (1) tìm m để đường thẳng d: y= 2x+m cắt đồ thị điểm x 1 phân biệt A, B cho AB 2x VD3.9 Cho hàm số: y , x2 a) CMR: đường thẳng d: y= -x +m luôn cắt đồ thị điểm phân biệt A, B Tìm m để AB nhỏ ? b) Tìm m để đường thẳng y 2 x m cắt đồ thị C hai điểm phân biệt A, B cho tam Ta có: x23 giác OAB có diện tích ( O là gốc tọa độ) c) Tìm m để đường thẳng d: y= -x+m cắt đồ thị điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A, B đến trục hoành d) Tìm m để đường thẳng d: y= -x+m cắt đồ thị điểm phân biệt A, B cho tổng k1 k đạt giá trị lớn ( với k1 , k là hệ số góc tiếp tuyến A, B với đồ thị ) Bài tập tổng hợp Bài 45 Cho hàm số: y x3 3x (C ) Gọi x1 , x2 , x3 là hoành độ giao điểm (C ) và (d m ) : y mx m3 Định m để: a) Hoành độ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng b) Hoành độ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân Bài 46 Cho (Cm ) : y x3 2mx2 (2m2 1) x m(1 m2 ) Định m để (Cm ) cắt Ox tại1 điểm, điểm phân biệt, điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 47 Cho (Cm ) : y x3 mx2 (2m 1) x m Tìm m để (Cm ) cắt Ox điểm phân biệt có Page 10 of 14 (11) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn: x12 x22 x32 Bài 48 a)Cho (Cm) : y x3 3mx2 2m(m 4) x 9m2 m Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng b) Cho (Cm) : y x3 (3m 1) x2 (5m 4) x Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Bài 49 Cho hàm số : y x4 2(m 1) x 2m (1) a) Tìm đk m để (1) có cực trị nằm trên đường thẳng : y=x+4 b) Tìm m đề (1) cắt Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài 50 Cho (C ): y x 5x Tìm điều kiện m để (C ) chắn đường thẳng y m ba đoạn 2x 1 Bài 51 Cho y ( C ) , (d) là đường thẳng qua I (0;k) có hệ số góc -1 x2 a CMR: Khi k thay đổi (d) luôn cắt ( C) E,F b Tìm k để EF có độ dài nhỏ Vấn đề 4: SUY ĐỒ THỊ y = f(x) có đồ thị (C) y f x có đồ thị (C’) y f x có đồ thị (C “) y f x 0, x D Do đó ta phải y f x có f x f x , giữ nguyên phần phía trên trục Ox và x D nên đây là hàm số chẵn lấy đối xứng phần phía trục Ox đó có đồ thị đối xứng qua lên trên trục tung Oy Bài toán 1: Biện luận số giao điểm đồ thị với đường thẳng y = ax +b VD4.1 Cho hàm số: y x 3x 3x (1) Biện luận số giao điểm (C ) với đường thẳng : a) y = m b) y m c) y 2x m VD4.2 Cho hàm số: y x 2x Từ đồ thị biện luận số nghiệm phương trình: a) x 2x m b) x 2x m Bài toán 2: Biện luận số giao điểm đồ thị hàm giá trị tuyệt đường thẳng y= ax +b VD4.3 Cho hàm số: y x 3x 3x (1) , từ đồ thị (1) biện luận số nghiệm phương trình sau: a) x 3x 3x 2m b) x 3x x m VD4.4 cho hàm số: y x 2x (1) , từ đồ thị (1) biện luận số nghiệm phương trình: a) x 2x m b) x 2x m Page 11 of 14 (12) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Bài tập củng cố: Bài 52 Cho hàm số y x3 x2 12 x (C ) a) Biện luận số nghiệm pt: x3 x2 12 x m b)Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x x2 12 x m c) Biện luận số nghiệm phương trình: x3 x2 12 x 2m Bài 53 Cho hàm số : y x4 x (1) a) KS và vẽ (1) b) Định m để phương trình: x4 x2 m có nghiệm phân biệt c) Biện luận số nghiệm pt : x x m Vấn đề : CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức khoảng cách: Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB xB xA 2 yB y A 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax By C và điểm M(x0;y0) đó d M ,. Ax0 By0 C A2 B Bài 54 Cho hàm số y x3 3mx2 3x 3m Cm Định m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng là bé x2 Bài 55 Cho hàm số : y (C ) Gọi M là điểm bất kì trên (C ) x 1 a)CMR : Tích khoảng cách từ M đến tiệm cận là số không đổi b) Tìm M để tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận là nhỏ c) Tìm M để tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ là nhỏ ( Khó) d) CMR : với m thì đường thẳng d : y x m luôn cắt (C ) điểm phân biệt A,B Từ đó tìm m để : + AB ngắn + AB 2x Bài 56 Cho hàm số : y Tìm trên đồ thị điểm M mà tiếp tuyến M với đồ thị cắt x2 tiệm cận A,B cho AB ngắn Bài 57 Cho hàm số C : y 2x Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) x 1 cho đoạn MN nhỏ Vấn đề 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN Cho hàm số y f x có tập xác định là miền D f(x) đồng biến trên D f ' x , x D f(x) nghịch biến trên D f ' x , x D (chỉ xét trường hợp f(x) = số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f ( x ) ax2 bx c Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với a Nếu thì f(x) có nghiệm x b b và f(x) luôn cùng dấu với a x 2a 2a Nếu thì f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng nghiệm f(x) cùng dấu với a Page 12 of 14 (13) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan So sánh nghiệm tam thức với số * x1 x2 P S * x1 x2 P S * x1 x2 P Bài 58 Cho hàm số y x3 m 1 x2 m 1 x Định m để: Hàm số luôn đồng biến trên R Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng 2; Bài 59 Xác định m để hàm số y x3 mx 2x a Đồng biến trên R b Đồng biến trên 1; Bài 60 Cho hàm số y x3 2m 1 x2 12m 5 x a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 (2m 1) x 2(m 1) Bài 61 Xác định m để hàm số: y nghịch biến trên khoảng xác định nó mx m2 Vấn đề 7: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y f x, m ta đưa dạng F x, y mG x, y Khi đó tọa độ điểm cố định F x, y G x, y có là nghiệm hệ phương trình Bài 62 Cho hàm số y x3 m 1 x2 3mx Cm Chứng minh Cm luôn qua hai điểm cố định m thay đổi Bài 63 Cho hàm số Cm : y 1 2m x4 3mx2 m 1 Tìm các điểm cố định họ trên đồ thị Bài 64 Chứng minh đồ thị hàm số y m 3 x3 m 3 x 6m 1 x m Cm luôn qua ba điểm cố định (m 2) x (m2 2m 4) Bài 65 Cho hàm số : y (1) xm a) Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị b) CMR (1) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định m thay đổi (3m 1) x m2 m Bài 66 Cho hàm số : y (1) ( m 0) xm a) CMR: (1) luôn tiếp xúc với dt cố định m thay đổi b) Trên đường thẳng x=1 tìm các điểm mà không có đường nào qua Bài 67 Cho hàm số : y x4 2(m 1) x 2m (1) Tìm điểm cố định để (1) luôn qua Vấn đề 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Điểm I x0 ; y0 là tâm đối xứng đồ thị C : y f x Tồn hai điểm M(x;y) và x ' x0 x x x ' x0 f x f x ' y0 f x f x x y0 là tâm đối xứng (C) f x y0 f x0 x M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: Vậy I x0 ; y0 Page 13 of 14 (14) Chuyên đề hàm số và các bài toán liên quan Bài 68 Cho hàm số Cm : y mx m2 x 1 Định m để Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O x 1 Bài 69 Cho hàm số : y (1) x 1 CMR (1) nhận đường thẳng : y x 2, y x làm trục đối xứng Bài 70 Cho hàm số y x3 3x2 m 1 (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ Bài 71 Cho hàm số y x3 11 có đồ thị C Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng x 3x 3 qua trục tung Bài 72 Cho hàm số y x3 ax2 bx c 1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và qua điểm M(1;1) Bài 73 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB Những điều bạn nên biết các bài thi ĐH phần hàm số, đồ thị − Các câu hỏi không khó trải dài nên cần vốn kiến thức khá rộng hàm số.Chỉ cần nắm các phương pháp các dạng thì có thể hoàn thành tốt bài thi − Nắm các phương pháp chính và tìm lời giải ngắn nhất, đơn giản ( Tránh lời giải tầm thường dài và độ rủi ro cao) − Đọc kỹ đề bài , bình tĩnh, tự tin và nên kiểm tra lại lời giải Page 14 of 14 (15)