GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ VÀ ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp thế kết hợp với đặt ẩn phụ thường được dùng trong các đề thi tuyển sinh hiện nay.[r]
(1)Hướng dẫn ôn tập : Câu II Giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ĐỀ THI TUYỂN SINH §1 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Phương trình bậc ba Dạng : ax bx cx d (a 0) Cách giải : + Nhẩm nghiệm x0 (thường là ước d) + Chia ax3 + bx2 + cx + d cho x – x0 , đưa phương trình tích (x – x0 )(ax2 + Bx + C) = Chia đa thức theo sơ đồ Hocner : A b c d x0 A B C Với B = a.x0 + b , C = B.x0 + c Bài Cho phương trình x 2mx ( 2m 1)x m(1 m ) Tìm m để có nghiệm dương phân biệt Phương trình bậc Dạng : ax bx cx dx e (a 0) Cách giải : Nhẩm nghiệm x0 đưa phương trình tích (x x )(ax Bx Cx D ) Bài Tìm m để phương trình x 2x (m 1)x 2x m có nghiệm phân biệt Phương trình đối xứng, nửa đối xứng Dạng : ax bx cx kbx k 2a (ka 0) Cách giải : + Chia hai vế cho x2 : ax bx c k2 bk ak (vì x = không phải là nghiệm) x x2 k ) b(x ) c x x k + Đặt t x , Đk : t Ta at bt c 2ak x a(x Dạng : ax bx cx kbx k 2a (ka 0) Cách giải : Tương tự, đặt t x Bài 6x4 – 35x3 + 62x2 – 35x + = k x ; Bài x4 – 5x3 + 4x2 – 10x + = (1) Phương trình dạng ( x a ) ( x b) c (c 0) a b a b x t 2 Bài Giải phương trình : (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 (1) Cách giải : Đặt t x Phương trình dạng : ( x a )( x b)( x c)( x d) e với a b c d và e a b Cách giải : Đặt t = (x + a)(x + b), điều kiện : t Phương trình trở thành : t2 + (ab–cd)t – e = Bài 6.: (x – 1)(x + 5)(x – 3)(x + 7) = 297 (1) Phương trình dạng : ( x a )( x b)( x c)( x d) ex với a.b c.d và e Tr.1 (2) Hướng dẫn ôn tập : Câu II Giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ĐỀ THI TUYỂN SINH Cách giải : Chia vế cho x , (x 0) Phương trình tương đương với : x (a b)x ab x (a b)x ab ex x ab a b x cd c d e x x ab Đặt t x Phương trình trở thành : t a bt c d e x II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách giải : Dùng định nghĩa, chia khoảng xét dấu, đặt điều kiện và bình phương VD: Dạng có nhiều biểu thức nằm dấu giá trị tuyệt đối : cáchgiaû i a f (x ) b g(x ) h(x ) chia khoảng xét dấu Các dạng : f ( x) g( x) f ( x) g2 ( x) g( x) f ( x) g( x) 2 f ( x) g ( x) Bài x 5x x Bài x x x (1) ; III BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách giải : Dùng định nghĩa, chia khoảng xét dấu, đặt điều kiện và bình phương Các dạng : f g f g2 g f g 2 f g f f f g f g f g g f g g f g2 Bài x 6x x 5x (1) §2 PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN I PHƯƠNG PHÁP LŨY THỪA Dạng : Lũy thừa bậc lẻ Bài 2n 1 f (x ) 2n 1 f (x ) x 34 x ; Bài g(x ) f (x ) g(x ) g(x ) f (x ) g(x ) x x 2x ; 2n 1 2n 1 Bài 3 x 6x x Lũy thừa bậc chẵn a) Phương trình : Dạng : 2n f ( x) 2n 2n g( x ) g( x) f ( x) g( x) g( x) f ( x) g( x) 2n f ( x) g ( x) Tr.2 (3) Hướng dẫn ôn tập : Câu II Giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ĐỀ THI TUYỂN SINH Bài 2n f ( x) 2n g ( x) f ( x) g ( x) sau phải thử lại giá trị x tìm & Kết luận x2 x x x x 2(x 1) ; Bài x2 x x2 x b) Bất phương trình : **Dạng : Bài Bài g( x) f ( x) 2n f ( x ) g( x ) g( x) f ( x) g2n ( x) x 4x x ; Bài 2n f ( x) f ( x) g( x) g( x) f ( x) g2n ( x) (x 1)( x ) x ; Bài 5x 10x x 2x 5x x 2x (TSĐH 2005) *** Dạng xét dấu : Khi lũy thừa bậc chẵn vế bất phương trình vô tỷ : Nếu vế không âm thì dấu bất đẳng thức giữ nguyên; Nếu vế âm thì dấu bất đẳng thức đổi chiều Bài Giải bất phương trình : x x x II PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP Dạng : a f ( x) b g( x) c.h( x) vớ i a f ( x) b2g( x ) d.h( x ) Cách giải : Nhân vế với lượng liên hợp : a f (x ) b g(x ) Phương trình tương đương với : h(x ) d.h(x ) c.h(x ) a f (x ) b g(x ) c a f (x ) b g(x ) d Bài Bài x3 1/ 4x 3x2 (1) (ĐH BCVT - 2001); / 3(2 x ) x x (2) (HVQS - 2001) x x x (ĐH NT- TpHCM - 2001) III ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG ĐỐI XỨNG HAI CĂN THỨC f (x) g(x) b f (x).g(x) c f (x) g(x) d a f ( x) g( x) b f ( x).g( x) c f ( x) g( x) d Dạng : a Cách giải : Đặt ẩn phụ t f (x ) g(x ) Bình phương vế biểu diễn đại lượng còn lại qua t và ta phương trình, bất phương trình bậc t Bài x x (3 x)(6 x) ; Bài 3x x 4x 3x 5x Tìm m để các phương trình có nghiệm : Bài x x (x 1)(8 x ) m ; Bài m 1x2 1x2 22 1x4 1x2 1x2 Tr.3 (4) Hướng dẫn ôn tập : Câu II Giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ĐỀ THI TUYỂN SINH Dạng : a n f ( x) n g( x) bn f ( x)g( x) c vớ i f ( x ) g( x ) d n f x u Cách giải : Đặt hai ẩn phụ u n d n g x v a u v buv c Phương trình trở thành : n n u v d Bài x 22 x (An Ninh - 01); Bài 56 x x 41 IV ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN Dạng : af ( x) g( x) f ( x) h( x) Cách giải : Đặt t f (x ) , t Ta phương trình bậc theo t : at g(x )t h(x ) Bài ( 4x 1) x 2x 2x ; Bài x x Bài x 5x (x 4) x x ; Bài 6x 10x ( 4x 1) 6x 6x V ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Dạng : a.f ( x) b.g( x) c f ( x).g( x) Cách : Đặt u f (x ) , v g(x ) ; u 0, v Phương trình có dạng : au bv cuv au cvu bv f (x ) Cách : + Nếu g(x ) , ta có hệ : g(x ) + Nếu g(x ) , ta có phương trình : a Đặt t f (x ) f (x ) b c g(x ) g(x ) f (x ) ta phương trình : at ct b g(x ) Các dạng sau tương tự : a.f ( x) b.g( x) c f ( x) g( x) Đặt : u f ( x) , v g( x); v a.f ( x) b.g2 ( x) c f ( x).g( x) (*) Đặt : u f ( x) , v g( x) af ( x) bg( x) cf ( x) dg2 ( x) Đặt u f ( x) , v g( x) (Dạng này sau bình phương thành dạng (*) trên) Chú ý các khai triển sau : x3 ( x 1)( x x 1) ; x x ( x x 1) x ( x 1)2 x ( x x 1)( x x 1) x ( x x 1)( x x 1) ; x (2 x x 1)(2 x x 1) Bài 2(x 2) x ; Bài x 3x x x2 1 ; Bài 2x 3x x 3x Bài 5x 14x x x 20 x Tr.4 (5) Hướng dẫn ôn tập : Câu II Giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ĐỀ THI TUYỂN SINH VI BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH Một số dạng tham khảo : u v uv u v( u) (u 1)(v 1) au bv ab uv a(u b) v(b u) (u b)(a v) (a b) (a b3 ) a 3a 2b 3ab2 b3 (a b3 ) 3ab(a b) (a b) (a b3 ) a 3a 2b 3ab2 b3 (a b3 ) 3ab(a b) Sử dụng phương pháp đồng hệ số , … Bài (x2 – 3x + 2)3 x6 (3x – 2)3 x2 Bài 3x 3x x Bài 2x Bài 3 x 2 x x x x 2x x Bài x 2x 6x 2x x 4x Bài 4x x 3x 7x 6x 7x 46x 21 Bài x x x x 8x Bài (x x )2 (x 1)2 6(x 1)2 VII ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ ĐỐI XỨNG, NỬA ĐỐI XỨNG Dạng : f n ( x) b a n af ( x) b f n (x ) b ay Cách giải : Đặt y n af (x ) b Ta có hệ : n y b af (x ) Bài x 2x ; Bài x 2x x VIII ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HOẶC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Dạng : f ma f ( x), n b f ( x) f (u, v) Cách giải : Đặt u m a f (x ), v n b f (x ) Ta có hệ : m n u v a b Giải hệ này tìm u, v Để tìm x cần giải Dạng (Dạng tổng quát) : f m m a f (x ) u n b f (x ) v f ( x), n g( x) u m f (x ) u m f (x ) au m af (x ) Cách giải : Đặt : n n v g(x ) bv bg(x ) v n g(x ) au m bvn c vớ i af (x ) bg(x ) c (haè ng soá) Tr.5 (6) Hướng dẫn ôn tập : Câu II Giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ĐỀ THI TUYỂN SINH f (u, v) Ta có hệ : m Giải hệ này tìm u, v n au bv c Bài 2009) x x ; Bài x x x x ;Bài 3 3x 5x (TSĐH IX ĐẶT ẨN PHỤ BẰNG BIẾN LƯỢNG GIÁC Dạng : Phương trình có chứa a x Đặt x a sin t với t ; ; ** 2 a x Đặt x a t an t Đặt t ; 2 Bài x x x Bài x (1 x )3 x 2(1 x ) ; X PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ f ( x) Dạng : f ( x) g2 ( x) g( x) f ( x) * f ( x) g( x) g( x) Xét phương trình f ( x) g( x) xác định trên D f ( x) m( x) Nếu x D thì f ( x) g( x) g( x) m( x) f ( x) m( x) g( x) m( x) Bài 4x y y 4x y ; Bài 2: 2x 12x 27 5x 30x 46 x 6x Bài 1 5x 3x 3x x 3x ; 2 Bài x x x 6x 11 §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI f ( x, y) f ( x, y) f (y, x) Dạng : với g( x, y) g( x, y) g(y, x) u x y Cách giải : Đặt Điều kiện có nghiệm là : u 4v v xy x y xy Bài 3 xy yx x y y x 30 ;Bài x x y y 35 II HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI f ( x, y) f (y, x) g( x, y) Dạng : với g( x, y) g(y, x) f ( x, y) f (x , y ) Cách giải : trừ vế phương trình, ta có hệ : f (x, y ) g(x, y ) 2 x y x Bài ; 2 y x y 3x x 2y Bài 2 3y y 2x III HỆ ĐẲNG CẤP BẬC ax bxy cy d Dạng : 2 a x bxy cy d Tr.6 (7) Hướng dẫn ôn tập : Câu II Giải Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ĐỀ THI TUYỂN SINH Cách giải : ax d + Xét y , thay vào hệ giải trực tiếp : a x d + Xét y , đặt x ty thay vào hệ và giải phương trình bậc ẩn t 3x 5xy 4y 38 Bài 1: 2 5x 9xy 3y 15 IV GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ VÀ ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp kết hợp với đặt ẩn phụ thường dùng các đề thi tuyển sinh x 2x 3y x 2y 2x x (y 1)(x y 1) 3x 4x Bài (TSĐH 2008) ;Bài 2.: x 2xy 6x xy x x (1) y 5x x xy x y x 2y Bài ; Bài 2 x 2y y x 2x 2y y 5x 4xy 16x 8y 16 ( 2) x 2y 2x 4(y 1) Bài ; x 4y 2xy 1 x x y (1 y ) Bài ; Bài x x x3 y y y y 2x 2x Bài y y 2x 2x 13 x 4x y 6y ; Bài 2 x y x 2y 22 x 2xy6y72yx 9 (1) 2xyx3 10 …………………………………………………………………… Tr.7 (8)