Dựng tam giác đều ABC sao cho B thuộc tia Py và C thuộc tia phân giác của góc xPy.. Gọi Q là giao điểm của AB và PC..[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÙ CÁT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2010 – 2011 Ngày thi: 27/11/2010 – Thời gian: 150 phút Bài (1,5 điểm) Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn đẳng thức: xy + = z Bài (2,5 điểm) a) Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện a2 = b + 3992 x y z a và x, y, z là nghiệm hệ phương trình 2 x y z b Chứng minh giá trị biểu thức P sau đây không phụ thuộc vào x, y, z: 1996 y 1996 z y 1996 z 1996 x z 1996 x 1996 y P= x 2 1996 x 1996 y b) Cho x + y + z = Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx 2 1996 z Bài (3 điểm) a) Giải phương trình 1 x x 1 x b) Giải hệ phương trình sau: 2x 2y x 3y 2x 2y 2x 3y 4x y Bài (3 điểm) Cho góc xPy = 120 và điểm A nằm trên tia Px Dựng tam giác ABC cho B thuộc tia Py và C thuộc tia phân giác góc xPy Gọi Q là giao điểm AB và PC Chứng minh rằng: 1 PQ PA PB Quy Nhơn, ngày 07 – 10 – 2012 BVC (2) LƯỢC GIẢI: Bài Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: xy + = z (1) Nếu x là số nguyên tố lẻ thì xy + là số chẵn lớn 2, nên là hợp số, đó z không là số nguyên tố: trái giả thiết Vì x = Thay x = vào (1), ta có 2y + = z Nếu y lẻ thì 2y + và 2y + > 3, nên 2y + là hợp số, suy z không là số nguyên tố: trái giả thiết Vì y = 2, suy z = 22 + = Vậy nghiệm nguyên tố phương trình (1) là: x = 2, y = 2, z = Bài a) Chứng minh 1996 y 1996 z y 1996 z 1996 x z 1996 x 1996 y P= x 2 2 1996 x 1996 y không phụ thuộc, x, y , z Theo giả thiết, ta có: a2 = b + 3992 (1) (a, b > 0), x y z a (2) 2 x y z b (3) Từ (1), (2), (3) suy : 2(xy + yz + xz) = (x + y + z)2 – (x2 + y2 + z2) = a2 – b = 3992 xy + yz + xz = 1996 (4) Thay (4) vào số hạng thứ biểu thức P và biến đổi, ta có : 1996 z 1996 y 1996 z x xy yz zx y xy yz zx z = x = x 2 1996 x 2 xy yz zx x y z y x z x z y x y z x z x y 1996 z 1996 x = y(z + x), Tương tự, y 1996 x 1996 y z 1996 y 1996 z Từ đó P = x(y + z) + y(z + x) + z(x + y) = 2(xy + yz + zx) = 2.1996 = 3992 Vậy P không phụ thuộc x, y, z = z(x +y) b) Chứng minh x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx (1) Biến đổi tương đương : (1) 2(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx) 12 (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2 12 (2) Theo BĐT B.C.S ta có : [(x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2] [12 + 12 + 2] [(x + y).1 + (y + z).1 + (z + x).1]2 [(x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2] [2(x + y + z)]2 = (2.3)2 = 36 (Thay x + y + z = 3) [(x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2] 12 Do đó BĐT (2) đúng BĐT (1) đúng Vậy x + y2 + z2 + xy + yz + zx Dấu « = » xảy và x = y = z = (3) Bài 3(3 điểm) a) Giải phương trình ĐKXĐ : x x x 1 1 x (1) Đặt x = a (a 0) x2 = – a2 Phương trình trở thành : (1) a x(1 + 2ª) + a = x2(1 + 4ª + 4ª2) (với x > , a 0) + a = (1 – a2)(1 + 4ª + 4ª2) = (1 – a)(1 + 4ª + 4ª2) (a 0) - 4ª3 + 3ª = a(3 – 4ª2) = a = a2 = +Nếu a = thì x = x = (x > 0) 1 3 +Nếu a2 = thì x2 = - = x (x > 0) 4 1 Vậy tập nghiệm phương trình (1) là: S = 1; 2 b) Giải hệ phương trình: 2x 2y 2x 3y x 2y 2x 3y 4x y 3y ĐKXĐ : x - y, x a2 b2 y 2x 2y a 2x y a Đặt (a, b 0) 2 2x 3y b 2x 3y b x 3a b 10 Hệ phương trình trở thành: a b 3ab 2ab a b 2 2 (a + b)2 = (a + b) + 3a b a b 5 4 a b 10 Đặt t = a + b (t > 0), ta có : 5 t2 - t – = 3t2 – 4t – 15 = t1 = 3, t2 = < : loại 3 Với t = 3, thì a + b = ab = Áp dụng định lý Vi-ét đảo, ta có a = 1, b = a = 2, b = 3 11 Nếu a = 1, b = thì : y = ,x= 10 Nếu a = 2, b = thì y = , x = 5 Thử lại, các cặp giá trị (x, y) trên thỏa mãn hệ phương trình 11 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : (x ; y) = ; , ; 10 5 (4) Bài (3 điểm) 1 PQ PA PB Trên đoạn thẳng PC lấy điểm D cho PD = PB Khi đó tam giác PBD nên PB = BD, đó BPA = BDC (c.g.c) Suy PA = DC Do đó PC = PD + DC = PB + PA APQ = 600 + 120 = 1800 nên tứ giác APBC nội tiếp, cho ta BCP PAQ Mặt khác, ACB Do đó PBC PQA (g.g) Suy ra: Y PB PC PQ PA C PC PA PB 1 PQ PA.PB PA.PB PA PB 1 Vậy PQ PA PB S Chứng minh B D Q 60 600 P A x Quy Nhơn, ngày 07 – 10 – 2012 BVC (5) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÙ CÁT MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2011 – 2012 Ngày thi: 12/11/2011 – Thời gian: 150 phút Bài (2,0 điểm) Phương trình 30x + 4y = 2008 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? Vì ? Bài (2,5 điểm) a) Chứng minh A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương với số nguyên x, y 1 1 b) Cho số a, b, c thỏa mãn: a b c 2010 a b c 2010 Chứng minh số a, b, c có số 2010 Bài (2,5 điểm) a) Chứng minh với số thực a, b, c ta có: 3(a2 + b2 + c2 + 1) 2(a + b + c + ab + bc + ca) Đẳng thức xảy nào? b) Giải hệ phương trình: x y x 2y 2 x 2y x y 3x y Bài (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh CD và CB lấy hai điểm M và N cho BM = DN Gọi I là giao điểm BM và DN Chứng minh IA là phân giác góc BID Quy Nhơn, ngày 07 – 10 – 2012 BVC (6) LƯỢC GIẢI Bài (2 điểm) Số nghiệm nguyên dương phuwong trình 30x + 4y = 2008 Biến đổi phương trình: 2008 30x 15x 30x + 4y = 2008 y = 502 Để y nguyên với x nguyên thì x = 2k (k N) Mặt khác y > nên y = 502 – 15k > 502 Do đó: < k < , k N nên k 33 15 Khi đó nghiệm tổng quát phương trình là: x 2k , với k N, k 33 y 502 15k Vậy phương trình đã cho có 33 nghiệm nguyên dương Bài a) Chứng minh A là số chính phương A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 4y2 + 2y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2y2(x2 + 5xy + 4y2) + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2]2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 : số chính phương (x, y Z) Vậy A = (x2 + 5xy + 5y2)2 là số chính phương với x, y nguyên 1 1 b) a b c 2010 a b c 2010 Chứng minh số a, b, c có số 2010 Từ hệ điều kiện bài toán ta có: a b 1 1 1 1 a b a b c a bc a b a b c c ab c a b c (a + b) = (a + b)(b + c)(c + a) = (a, b, c, a + b + c 0) ab c a b c a + b = 0, b + c = 0, c + a = Vì a + b + c = 2010 nên c = 2010, a = 2010, b = 2010 Vậy ba số a, b, c 2010 Bài (2,5 điểm) a) Chứng minh: 3(a + b2 + c2 + 1) 2(a + b + c + ab + bc + ca) (1) Biến đổi tương đương: (1) 3(a2 + b2 + c2 + 1) - 2(a + b + c + ab + bc + ca) (a2 + b2 – 2ab) + (b2 + c2 – 2bc) + (c2 + a2 – 2ca) + (a2 – 2a + 1) + (b2 – 2b + 1) + (c2 – 2c + 1) (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + (c – 1)2 (2), a, b, c BĐT (2) đúng BĐT (1) đúng Vậy 3(a2 + b + c2 + 1) 2(a + b + c + ab + bc + ca) Dấu “=” xảy và a = b = c = (7) x y x 2y 2 b) Giải hệ phương trình: x 2y x y 3x y Biến đổi phương trình thứ nhất: (x + y + 1)2 – 2(x + y + 1)(x + 2y) + (x + 2y)2 = (x + 2y 0, x + y + 0) [(x + y + 1) – (x + 2y)]2 = (1 – y)2 = y = Thay y = vào phương trình thứ hai hệ : 3x + = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = 1, y = Bài (3, điểm) Chứng minh IA là phân giác góc BID Kẻ AH BM, AK DN A Ta có : SMAB = AH.BM, SNAD = AK.DN Mặt khác, CD // AB, M CD nên H SMAB = SABC = SABCD K I BC // AD, N BC nên: D M SNAD = SCAD = SABCD 1 Suy ra: SMAB = SNAD AH.BM = AK.DN AH = AK (vì BM = DN) 2 Vậy IA là tia phân giác góc BID B N C Quy Nhơn, ngày 07 – 10 – 2012 BVC (8)