2 Một người cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là 8 là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạn[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ ĐỀ THI KHẢO SÁT LẦN NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN 10 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Ngày kiểm tra:17 tháng 01 năm 2021 Câu I(1,5 điểm) Tìm tập xác định các hàm số sau: 3x 2x 1) y 2) y 2x x x 1x Câu II (1,5 điểm) Cho hàm số y x 2mx m có đồ thị (P) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m 2) Tìm m để (P) giao đường thẳng d : y 2x điểm phân biệt A và B cho tam giác OAB vuông O với O là gốc tọa độ Câu III(2,0 điểm) Giải các phương trình sau: 1) x 1 x 3x 2) 3x x x xy x 2y Câu IV(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x, y 3x x 7y 12 x x 2x y Câu V(2,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy , cho điểm A 1; 1, B 3;2,C 1; 4 1) Chứng minh A, B,C là ba đỉnh tam giác Tính độ dài trung tuyến AM ABC 2) Tìm tọa độ trực tâm H ABC Câu VI(1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB 4, AC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , K là điểm thỏa mãn KA 3KC Biểu diễn GK theo AB, AC và tính cos GK , BC Câu VII(1,0 điểm) 1) Cho A x | x 2x m , B x | x mx m Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m khoảng 2020;2021 để A B 2) Một người cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía là hình chữ nhật, có chu vi là ( là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật là đường kính hình bán nguyệt) Hãy xác định các kích thước của hình chữ nhật để diện tích cửa sổ là lớn HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: S1 S2 (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN 10 (Đáp án – thang điểm gồm 03 trang) Câu I (1,5 điểm) Tìm tập xác định các hàm số sau: 2x + 1) y = x −x x ≠ 1) Đkxđ: x − x ≠ ⇔ x ≠ Đáp án 2) y= Điểm 2x + + 3x 1− x Vậy TXĐ: D = \ {0;1} II (1,5 điểm) 0,5 0,25 2x + ≥ x ≥ − 2) Đkxđ: ⇔ Vậy TXĐ: D = − ;1 1 − x > x < 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( P ) : y = x − 2x − 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 2) Tìm m để (P) giao đường thẳng d := y 2x + điểm phân biệt A và B cho tam giác OAB vuông O với O là gốc tọa độ? Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và d là: x − ( m + 1) x − m − = (1) Đồ thị cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x và (2) có hai + TXĐ: , Khoảng đồng biến, nghich biến + Bảng biến thiên + Đỉnh, trục đối xứng, giao các trục bảng điểm + Vẽ đồ thị đúng, đẹp nghiệm phân biệt x1 , x ⇔ ∆ ' > ⇔ m + 3m + > ⇔ m ∈ x + x = 2m + Vì x1 , x là nghiệm phương trình (1) nên theo định lý Viet : −m − x1 x = Gọi A ( x1 ;2x1 + 1) , B ( x ;2x + 1) Tam giác OAB vuông O nên OA ⊥ OB ⇔ OA.OB = ⇔ x1x + ( 2x1 + 1)( 2x + 1) = 0,25 0,25 ⇔ 5x1x + ( x1 + x ) + = ⇔ −5m − 15 + 4m + + = ⇔ m = −10 III (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: ( x + 1) x − = 3x − x= − 5(L) TH1: x ≥ PT ⇔ ( x + 1)( x − ) = 3x − ⇔ x − 4x − = ⇔ x= + 5(TM) x = 1(TM) TH2: x < PT ⇔ ( x + 1)( − x ) = 3x − ⇔ x + 2x − = ⇔ x = −3(TM) Vậy phương trình có ba nghiệm x= + , x = −3; x = 2) Giải phương trình: 3x − + x + = 0,5 0,25 0,25 (3) Điều kiện : x ≥ PT ⇔ 3x − + x + + IV (1,0 điểm) 0,25 ( 3x − )( x + ) = 16 ⇔ 3x + 4x − = − 2x 0,25 x ≤ x ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇔ x = 2(TM) 0,5 + − = − + − + = 3x 4x 64 32x 4x x 36x 68 x = 34 Vậy phương trình có nghiệm x = x xy x 2y 0(1) Giải hệ phương trình: x, y 3x x 7y 12 x x 2x y 7(2) x ≥ Với điều kiện 3x + x + 7y + 12 ≥ x + 2x + y − ≥ (1) ⇔ x + ( y + 1) x + 2y − = −y −1 + y − x= = −2 ( loai ) 2 2 ∆= ( y + 1) − ( 2y − )= y − 6y + 9= ( y − 3) ⇒ y y − − − + x = =− y + 0,25 Với x =1 − y ⇒ y =1 − x vào (2) ta được: 3x − 6x + 19 − x − 1= ⇔ x + x − + x −= x2 + x − 0,25 x − x + 19 ( điều kiện x ≥ ) ⇔ ( x − 1)( x + x − 6)= x − 16 x + 34 ⇔ ( x − 2)( x + x − 3) = x − x + 17 ⇔ ( x − 2)( x + x − 3) = ( x + x − 3) − 10( x − 2)(3) Đặt a = b = 0,25 x + 2x − (ĐK a > 0, b ≥ ) ta có (3) trở thành x−2 0(loai) a + 2b = a − 3ab − 10b =0 ⇔ ( a + 2b )( a − 5b ) =0 PT ta có : a − 5b = ⇔ a = 5b V (2,0 điểm) 23 + 341 −21 − 341 = = ⇒y x 2 = a 5b ⇒ x + x − = x − ⇔ x − 23x + 47 = ⇔ (tm) 23 − 341 −21 + 341 = = ⇒y x 2 23 + 341 − 21 − 341 23 − 341 − 21 + 341 ; Kết luận, hệ có nghiệm là ; ; 2 2 0,25 Ta có M là trung điểm BC nên M (1;3) ; AM = 0,5 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A (1; −1) , B ( 3;2 ) ,C ( −1;4 ) 1) Chứng minh A, B,C là đỉnh tam giác Tính độ dài trung tuyến AM ∆ABC Ta có AB = ( 2;3) , AC = ( −2;5) , BC = ( −4;2 ) 0,5 Do ≠ nên AB, AC không cùng phương Vậy ABC là tam giác −2 (1 − 1) + ( + 1) 2 = (4) 2) Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC AH.BC = AH ⊥ BC * Gọi H ( a;b ) là trực tâm ∆ABC Khi đó: ⇔ 0,5 BH ⊥ AC BH.AC = VI (1,0 điểm) 19 a = −4 ( a − 1) + ( b + 1) = Vậy H 19 ; ⇔ ⇔ −2 ( a − 3) + ( b − ) = b = Cho tam giác ABC vuông A, AB 4, AC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , K là điểm thỏa mãn KA 3KC Biểu diễn GK theo AB, AC và tính cos GK , BC Ta có AG = AB + AC, AK = AC ⇒ GK = AK − AG = − AB + AC 3 12 Mặt khác BC = AC − AB, BC = 42 + 62 = 13 25 289 17 2 − + = + − GK = AB AC AB AC AB.AC = ⇒ GK = 12 144 18 36 5 61 2 GK.BC = − AB + AC AC − AB =AB + AC =4 + = 12 12 12 61 GK BC 61 13 cos GK , BC GK BC 17 221 13 a) Cho A =∈ 0} , B =∈ 0} Có bao nhiêu {x | x − 2x + m − = {x | x − mx − + m = ( VII (1,0 điểm) 0,5 0,5 0,25 ) 0,25 giá trị nguyên tham số m khoảng ( −2021;2010 ) để A ∩ B = ∅ TH1: A = ∅ thì x − 2x + m − = vô nghiệm ⇔ ∆ ' = − m < ⇔ m > 2 TH2: B = ∅ thì x − mx − + m =0 vô nghiệm ∆ = m − 4m + = ( m − ) < 0,25 ⇒ không tồn m (1) A ≠ ∅;B ≠ ∅ x − 2x + m − = TH3: ycbt ⇔ (1) và (2) có nghiệm và vô nghiệm ∅ A ∩ B = x − mx − + m =0 ( ) 0,25 Do (2) luôn có nghiệm x= nên thay vào (2) ta có: 1; x = m − m 0;m 3;m ≠ ≠ ≠ Kết hợp TH ta có: m ∈ {−2019, , −1,1, 2,5, 2020} Vậy có 4037 giá trị m nguyên b) Cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía là hcn, có chu vi là 8(m) Hãy xác định các kích thước hcn để diện tích cửa sổ là lớn nhất? Gọi x là bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt là π x , tổng ba cạnh hình chữ nhật là − πx Diện tích cửa sổ là: 0,25 π x2 − π x − 2x π S =S1 + S2 = + 2x = 8x − ( + 2)x 2 Lập bảng biến thiên ta có S lớn hay x = 0,25 4+π Vậy S max thì các kích thước nó là: chiều dài m ; chiều rộng 4+π 16 4+π (5) (6)