LTDHTo hop

Qua kinh nghiÖm ph©n tÝch t×m lêi gi¶i nhê viÖc t×m c¸c phÐp biÕn ®æi trªn phÇn tö ®¹i diÖn trong bµi to¸n tÝnh tæng trong tæ hîp dùa vµo khai triÓn Niu-Ton.[r]

Tìm phép biến đổi phần tử đại diện để tìm lời giải về tính tổng tốn tổ hợp.

Trong tốn tính tổng liên quan đến tổ hợp, khó việc định hớng tìm lời giải cho dễ tiếp thu, khơng máy móc tiếp thu thụ động Việc tìm các phép biển đổi phần tử đại diện mà cụ thể số hạng tổng quát nhị thức Niu-Tơn , từ trình bày lời giải cách tự nhiên có hiệu lực để giải loi toỏn ny

Bài viết nhằm đa ví dụ mà mấu chốt việc trình bày ý tởng nói

I Các ví dụ minh hoạ

Bài toán1. Tính tæng S=12C

n1+2 2C

n

2+ +n2C

n n .

Ph©n tÝch: Ta h·y xt ph¸t tõ khai triĨn:

(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn (*)

Ta hÃy tìm mối liên quan số hạng tổng quát tổng S số hạng tổng quát (*) Hay nói cách khác từ số hạng tỉng qu¸t cđa (*) b»ng c¸c

phép tốn nào để biến thành số hạng tổng quát S ?

- Số hạng tổng quát (*) uk=xkCnk .

- Số hạng tổng quát S lµ vk=k

2

Cn k

- Tìm phép tốn biến đổi cho từ uk→ vk⇔x k

→ ? → .→ k2 .ở mỗi mũi tên biểu thị phép toán cần tìm Ta bắt đầu.

xk xk

¿ ( lấy đạo hàm) →kx

k−1 ( nh©n víi x)

→kxk (lấy đạo hàm)

→ k2xk −1 (cho x= ) → k2

Vì phép tốn tìm đợc phần tử đại diện nên phải thực trên 2 vế tổng S Theo sơ đồ ta ghi lại cách tự nhiên lời giải nh sau.

Lêi gi¶i:

+ Xt ph¸t tõ khai triĨn (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn .

+ Lấy đạo hàm vế ta có: n(1+x)n−1=Cn1+2 xC2n+3x2Cn3+ +nxnCnn

+ Nhân vế với x ta cã: 1+x¿

n−1

=xCn1+2x2Cn2+3x3Cn3+ +nxnCnn nx¿

+ Lấy đạo hàm vế ta có:

1+x¿n−2 nx=Cn1+22xCn2+32x2Cn3+ +n2xn−1Cnn 1+x¿n −1+(n−1)¿

n¿

+ Cho x =1 ta cã :

NhËn xét: rõ ràng việc trình bày lời giải việc ghi lại mà

Bài to¸n 2 TÝnh tỉng S=Cn0+2

2−1

2 Cn

1

+2

3−1

3 Cn

2+ +2n+1−1

n+1 Cn n.

Ph©n tÝch:

- Số hạng tổng quát (*) xkC n k .(1)

- Số hạng tổng quát cđa S lµ 2k+1−1

k+1 . ¿

xk+1

k+1− 1k+1

k+1(2)

- Ta phải tìm phép biến đổi từ xk→2

k+1−1

k+1 .

nhận xét số mũ k x ❑k nâng lên mũ (k+1) có đơc nh phộp ly

nguyên hàm hàm xk

Phép biến đổi 1: ∫

a b

xkdx=

k+1x k+1

∨b

a= bk+1

k+1−

ak+1

k+1 (3)

Phép tính 2: So sánh (3) (2) ta suy : b = a = tích phân cần lấy phép biến đổi có cận xác định.

Lêi gi¶i

Ta cã :

(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn ⇒ 1+x¿ndx=(Cn

0

x+x

2

2 Cn

1

+x

3

3 Cn

2

+ +

n+1x n+1C

n n

)

¿ ¿

∫

¿

(1+x)n+1

n+1 ∨

1=(2Cn

0

+2

2

2 Cn

1

+2

3

2Cn

2+ +2n+1

2 Cn n

)−(Cn0+1 2Cn

1

+1 3Cn

2

+ +

n+1Cn n

)⇒

3n+12n+1

n+1 =S

Bài toán 3 XÐt tæng S =

2C20n+2 3c2n

2

+2 5C2n

4

+2 7C2n

6

+ + 2n −1C2n

2n−2

+ 2n+1C2n

2n

Víi n > TÝnh n biÕt: S = 8192

13

Phân tích: - số hạng tổng quát (*) là: xkC2n k

Để lấp đầy số hạng tổng đầy đủ sử dụng (*) ta xét:“ ”

P=2 1C2n

0

+2 2C2n

1

+2 3C2n

2

+2 4C2n

3

+2 5C2n

4

+ + 2n+1C2n

2n

- Sè h¹ng tỉng quát P là:

k+1C2n k .=2

(k1+1C2n k

- Từ ta có phép biến đổi từ số hạng tổng quát (*) đến số hạng tổng quát P nh sau:

1 ∫

xkdx=

k+1x k+1

∨1 0=

1

k+1

2 Nh©n víi 2.

3 Tìm Mối liên hệ P S từ suy S tìm đơc n.

Lêi gi¶i.

Ta cã : (1+x)2n=C20n+C21nx+C22nx2+ +C22nnx2n ⇒

∫

(1+x)2ndx=(C20nx+1 2C2n

1

x2+1 3C2n

2

x3+ + 2n+1C2n

2n )∨1

0⇒ 1+x¿2n+1

¿ ¿ ¿

2(22n+1−1)

2n+1 =2C2n

0

+2 2C2n

1

+2 3C2n

2

+ + 2n+1C2n

2n

(1)

Mặt khác:

1+x2n

∫

−1

¿ −2

2n+1=−2C2n

0

+2 2C2n

1

−2

3C2n

2

+2 4C2n

3

+ + 2n+1C2n

2n (2).

Trõ vÕ cđa (1) vµ (2) ta cã : S =

2n+1

2n+1= 8192

13 ⇔n=6 (dễ dàng chứng minh nghiệm nhất) Bài tốn 4 Tính tổng S=2n −1Cn

1

+2 2n −2Cn

2

+3 2n −3Cn

3

+ +nCn n

Ph©n tÝch: -Sè hạng tổng quát S : k 2n kCn k

= ❑n.(k.xk) cho x=

2 1 .

- số hạng tổng quát (*) là : xkCn k

ta có phép biến đổi sau: 1.lấy đạo hàm (x) ❑k kx

❑k −1

2.nh©n víi 2n .

3.Cho x= ❑−1 . 4.Chia cho

Lêi gi¶i

1+x¿n−1=Cn

1

+2 xCn

2

+3x2Cn

3

+ +nxn 1Cn n

n Nhân 2vế víi

n : 1+x¿n−1=2nCn

1

+2 2nxCn

2

+3 2n.x2Cn

3

+ +n.2nxn −1Cn n

2n.n¿ Cho x=2 ❑

−1 ta cã: n 3n −1=2n.C1n+2n−1Cn2+3 2n −2Cn3+ n 2Cnn Chia vÕ cho ta cã:

S = n.3 ❑n−1 .

B i to¸n 5à T×m hƯ sè cđa x10 trong khai triĨn: (1− x+x3− x4)n biÕt r»ng C2n+1

n+1

+C2n+n+21+ +C22nn+1=28−1 (1)

Lời giải Trớc hết ta tìm n từ đẳng thức (1) Xuất phát từ

(1+x)2n+1=C20n+1+C12n+1x+C22n+1x2+ +C2nn++11xn+1+Cn2+n+21xn+2+ .+C22nn+1x2n+C22nn++11x2n+1

(2)

Tõ (2) cho x =1 ta cã:

22n+1

=C20n+1+(C12n+1+C22n+1+ +C2nn+1).+(C2nn++11+C2nn++21+ +C22nn+1)+C22nn++11 Do

C2kn+1=C22nn++11=k⇒C21n+1=C22nn+1:;C22n+1=C22nn −+11 ;C2nn+1=C2n+n+11⇒

22n+1=2+2(28−1)⇒n=4

Ta cã:

−1¿k∑

i=0

4

C4i (x3)i 1+x3¿4=∑

k=0

C4kxk¿ x −1¿4¿

1+x¿4=¿

(1− x)(1+x3

)¿4=(1− x)4¿

(1− x+x3− x4)n=

Số hạng tổng quát khai triển là:

1k.xk+3iC4k.C4i

với i; k số tự nhiên

0 k ;i 4 Theo ta cần tìm: k + 3i = 10

k

⇒ hƯ sè cđa x10 lµ: C

.C43+C44.C42=22 i

Bài 6 Tìm n biết S=2Cn0+3Cn1+4Cn2+ +(n+2)Cnn=320

số hạng tổng quát S (k+2)Cn k

=kCn k

+2Cn

k ta cần tính tổng.

Lời giải.

XuÊt ph¸t tõ:

(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn (*)

1+x¿

n−1

=xCn

1

+2x2Cn

2

+3x3Cn

3

+ +nxnCn n

nx¿ Cho x = ta cã:

n.2n −1

=C1n+2Cn2+3Cn3+ +nCnn (1)

Trong (*) cho x =1 ta có:

2n

=Cn0+C1n+Cn2+ +Cnn Nhân vÕ víi th× cã: 2n+1

=2Cn0+2Cn1+2Cn2+ +2Cnn (2) Céng (1) vµ (2) ta cã:

n2n −1+2n+1

=2Cn0+(1+2)Cn1+(2+2)C2n+(3+2)Cn3+ +(n+2)Cnn⇒ ⇒2n −1(n+4)+2n=320

n2n −1+2n+1

=S⇒n2n−1+2n+1=320=26.5⇒27− n=n+4

5 Do n > nªn vÕ phải lớn

hơn nên n < n > Thö ta thÊy chØ cã n = tho· m·n VËy n =

Bµi 7 Chøng minh r»ng: S = C2n

0

+32C2n

2

+34C2n

4

+ +32nC2n

2n

=22n −1(22n+1)

Lêi gi¶i: Ta xÐt thªm P=3C21n+33C23n+35C25n+ 32n −1C22nn−1

Ta cã S + P = C20n+3C21n+32C22n+33C23n+34C24n+ +32n −1C22nn −1+32nC22nn

Tõ : (1+x)2n=C02n+C21nx+C22nx2+ +C22nnx2n cho x = ta cã: S +P = 24n

L¹i cho x = - ta cã: S – P = 22n Tõ hƯ trªn ta suy S=2

4n+22n =2

2n −1(22n+1) .

II Kết luận Qua kinh nghiệm phân tích tìm lời giải nhờ việc tìm phép biến đổi phần tử đại diện tốn tính tổng tổ hợp dựa vào khai triển Niu-Ton Ta rút lợc đồ cách giải nh sau:

Gi· sư cÇn tÝnh tỉng S = ∑

k=0

n

f(k)Cnk Ta phải trải qua bíc sau

1 Xt ph¸t tõ khai triĨn: (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn (*)

số hạng tổng quát S uk=f(k)Cn k

Số hạng tổng quát (*) lµ

xkC n k.

2 Tìm dãy phép toán thực số hạng tổng quát (*) để biến thành số hạng tổng quát S theo sơ đồ:

xk→ g

(k)→ → f(k)

( nhiều lúc phải viêt f(k) = h(n).g(k) + v(n) u(k) Khi phép tốn thực xk phải thực theo nhiều bớc ).

3 Trình bày lại lời giải tờng minh theo bớc đa cho lấy x giá trị đặc biêt đợc xác định định hớng tổng S

4 Việc làm giúp ngời học chủ động tự tìm lời giải loại tốn , tiếp thu chủ động gây hứng thú học tâp, đồng thời có khả sáng tạo nhiều tốn khơng phụ thuộc vào tài liệu có sẵn III Một số tốn tự giải theo cách thức

2 TÝnh tæng S = 2n −1Cn

1

+2 2n−2Cn

2

+3 2n −3Cn

3

+ +nCn n

3 TÝnh tæng S = 2009C20080 2008C20081 +2007C20082 + 2C20082007+C20082008 Tìm số hạng chúa x5 khai triÓn:

(1+x+x2+x3)10

5 TÝnh tæng S = Cn0+1 2Cn

1

2+1 3.Cn

2

.22+1 4.Cn

3

.23.+ +

n+1Cn n

2n

6 Cho biÕt Cn0+Cn1+Cn2=211 TÝnh tæng S = Cn0

A11 +

2 Cn1

A21 +

3 Cn2

A31 + +

(n+1)Cnn

An1+1

7.Chøng tá tỉng sau kh«ng chia hÕt cho víi số nguyên dơng n S = 52nC20n+52n 2C22n+52n −4C24n+ .+52C22nn −2+C22nn

8.Gọi a3n −3 hệ số x3n-3trong khai triển (x2+1)n(x+2)n Tìm n để

a3n −3=26n

9 Tìm hệ số x10trong khai triển (1+x)10(x+1)10từ suy giá trị tổng S = (C100

)2+(C101 )2+(C102 )2+ .+(C1010)2

10 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x khai triÓn biÓu thøc: [1x− x − x

2

]n với n số nguyên dơng cho: Cn3+2n=An2+1 11 Tìm số tự nhiên n thoà mÃn: 2.C20n

+2 3C2n

2

+2 5C2n

4 + +

2n+1C2n

2n

=8192 2n+1

Đs: n =6

12 Tìm hệ số x2 trong khai triÓn

(√x+

2√x4 )

n

biÕt n tho· m·n: 2C ❑n0 +

2

2 Cn

1

+2

3

3 Cn

2

+ + n+1

n+1Cn n

=6560

n+1

Đs: Hệ số cần tìm 21

4

13.TÝnh tæng S =

C2010

1 −

21C2010

2 +

22C2010

3 +

22010C2010 2010

2011 2012 (có thể biến đổi

trùc tiÕp (−1)k k

C2010k

(k+1)(k+2) )

§s:

2011

14 TÝnh S = 4C1002 +8C4100+12C1006 + +200C100100 §s: 100 299

15 TÝnh S = C2009

+C2009

+C2009

+ .+C2009 2004

+C2009 2008 .

§s: ❑1003+22007 ( xÐt khai triển số phức (1+i)2009 )

15.Tìm n nguyên d¬ng: Cn0+2 2Cn

1

+2

2

3 Cn

2

+ + n

n+1Cn n

=121

n+1