Chuyên đề số phức luyện thi tốt nghiệp thpt năm 2021

Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng... Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK..[r]

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC

(TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM) A MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ

1 Môđun số phức:Số phức z a bi  biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b2

 Tính chất

 z  a2b2  zz  OM  z   0, z , z   0 z 0

 'z z  z z '  , ' 0 

' '

z z

z

z  z   z z'  z z'  z z'  kz  k z k , 

 Chú ý: z2  a2b22abi  (a2b2 2) 4a b2 a2b2 z2  z2 z z.

Lưu ý:

 z1z2  z1  z2 dấu xảy z1kz k2 0  z1z2  z1  z2 dấu xảy z1kz k2 0

 z1z2  z1  z2 dấu xảy z1kz k2 0

 z1z2  z1  z2 dấu xảy z1kz k2 0

 z1z22 z1z22 2z12 z22  z2  z z  z2  z 

2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M axby c 0 (1)

z a bi    z c di (2)

(1)Đường thẳng :axby c 0 (2) Đường trung trực đoạn AB với

   

A a b B c d, , ,  x a  2 y b 2 R2

z a bi  R

Đường tròn tâm I a b ; , bán kính R

  2 2 2

x a  y b R z a bi  R

Hình trịn tâm I a b ; , bán kính R

  2 2

2

r  x a  y b R r  z a bi R

Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm I a b ; , bán kính r R,

 

2

2

y ax bx c c x ay by c

   



   



Parabol

  2 2  

2 1

x a y c

b d

 

 

1 2

z a b i z a b i  a

 1 Elip

 2 Elip 2a AB A a b,  1, 1 ,B a b2, 2

Trang

  2 2

2

x a y c

b d

 

  Hypebol

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z , tìm zMin Khi ta có

 Quỹ tích điểm M x y ; biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a b ;



2

1

2

2 Min

z z a b

a b

z i

   

     

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi    z c di Tìm zmin Ta có

 Quỹ tích điểm M x y ; biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A a b B c d   ; , ;

  

   

2 2

2

,

2 Min

a b c d

z d O AB

a c b d

  

 

  

Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng

Ví dụ 1:

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi    z c di Khi ta biến đổi

z a bi    z c di   z a bi   z c di

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi    z c di Khi ta biến đổi

a bi c di

iz a bi iz c di z z z b z d ci

i i

   

              

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0z z 0 R Tìm zMax, zMin Ta có  Quỹ tích điểm M x y ; biểu diễn số phức z đường tròn tâm I a b ; bán kính R



2

0 2

0

Max

Min

z OI R a b R z R

z OI R a b R z R

       

 

      



Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

i i

 

      (Chia hai vế cho i) z b R

   

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi     R z a bi R(Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  

2

a bi R R

c di z a bi R z

c di c di c d

 

       

  

Hay viết gọn

0

0

z R

z z z R z

z z

     (Chia hai vế cho z0 )

TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c   z c ,a a c   Khi ta có  Quỹ tích điểm M x y ; biểu diễn số phức z Elip:

2

2 2

x y

a a c  

2

Max

Min

z a

z a c

 

 

 



TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1  z z2 2a Thỏa mãn 2a z1z2

Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có

Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z z 1  z z2 2 ,a z1z2 2avà z z1,   c ci, ) Tìm

Max, Min P z z0 Đặt

2 2

2

z z c

b a c

  

 

 



Nếu

0

2 z z

z    Max

Min P a P b    

 (dạng tắc) Nếu

 

1

0

2 z z

z a

z z k z z

           2 2 Max Min z z

P z a

z z

P z a

             Nếu  

0

2 z z

z a

z z k z z

           2 Max z z P  z   a

Nếu z0z1  z0z2 1 2

0 2

Min

z z P  z   b C BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho số phức zthoả mãn z 2 3i 1 Tìm giá trị lớn z 1 i

A 13 3 B 13 5 C 13 1 D 13 6

Lờigiải ChọnC

Ta có 1  z 3i2z 2 i z 2 3i  z 2 3i z  2 3i

  

1 z 3i z 3i z 3i z i 2i 1(*)

               

+Đặt w  z i,  w 2  i 1

Trang Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z i đường tròn  I;1 w khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đường trịn Do giá trị lớn w đoạn OQ

2 max

w 13

     

Nhận xét: Ở ta sử dụng kiến thức sau: z z  z2, z z1 2  z z1 2

Câu 2: (ChuyênHạLong2019) Cho số phức z thỏa mãn z   6 z 20 Gọi M , n mơđun lớn nhỏ z Tính M n

A M n 2 B M  n C M n 7 D M n 14 Lờigiải

Gọi , Theo giả thiết, ta có z   6 z 20

6 20

x yi x yi

        x62y2  x62 y2 20   Gọi M x y ; , F1 6;0 F26;0

Khi   MF1MF220F F1 2 12 nên tập hợp điểm E đường elip có hai tiêu điểm F1 F2 Và độ dài trục lớn 20

Ta có c6; 2a20 a 10 b2a2 c2 64 b Do đó, phương trình tắc

2

1 100 64

x  y 

Suy max z OA OA ' 10 z  10 min z OB OB ' 8 z 8i

Vậy M  n

* Nhận xét: Ở ta sử dụng định nghĩa (E) để nhận dạng phưng trình elip

Câu 3: (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z a bi a b,  thỏa mãn z 4 3i  Tính

P a b z    1 3i z i đạt giá trị lớn

A P 8 B P10 C P4 D P 6

Lờigiải ChọnB

Gọi M a b ; điểm biểu diễn số phức z

Theo giả thiết ta có: z 4 3i  5a4 2 b32 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 4;3 bán kính R

Gọi:  

  1;3

1

1; A

Q z i z i MA MB

B  

         

 



z x yi  x y, 

 E

Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường trịn D Ta có: Q2MA2MB22MA MB.

 

2 2 2 2 2

Q MA MB MA MB MA MB

      

Vì MElà trung tuyến MAB

2 2

2 2 2

2

MA MB AB AB

ME  MA MB ME

      

2

2 2 2 4 2

2 AB

Q  ME  ME AB

     

  Mặt khác ME DE EI ID   2 5 5

 2

2 4 5 20 200 Q

   

 

10 10

4 2( 4)

2 6; 10

2 2( 3)

max D D D D MA MB Q Q M D x x

EI ID M P a b

y y                               

Cách2:Đặtz a bi  Theo giả thiết ta có: a4 2 b52 5

Đặt sin

3 cos

a t b t       

 Khi đó:

  2 2   2 2

1 1 1

Q      z i z i a  b  a  b

 2 2   2 2

5 sint 5cos t sint cost

      

 

30 10 sint 30 3sint cost

    

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

 

   

2 60 2sin cos 60 5 200 10

Q  t t    

10 max 10

Q Q

   

Dấu xảy

2 sin 10 cos t a

P a b b t                  

Câu 4: (Đề ThamKhảo2017) Xét số phức z thỏa mãn z    2 i z 7i 6 Gọi , m M giá trị nhỏ giá trị lớn z 1 i Tính P m M 

A 2 73

2

P  B P5 2 73 C 73

P  D P 13 73 Lờigiải

Trang Gọi A điểm biểu diễn số phức z, E2;1 ,   F 4;7 N1;  

Từ AE A F      z i z 7i 6 EF 6 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi H hình chiếu N lên EF, ta có 3;

2 H 

  Suy

5 2 73 P NH NF   

Câu 5: (THPTCẩmGiàng22019) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ là:

A 2 B 1 C 1 D 2

Lờigiải

Cách1:

Đặt w z i    z w i

Gọi M x y ; điểm biểu diễn hình học số phức w Từ giả thiết z 2 2i 1 ta được:

2

w i   i     w i 1 x 2 y1i 1   2 2

2 1

x y

    

Suy tập hợp điểm M x y ; biểu diễn cho số phức w đường trịn  C có tâm  2;1

I bán kính R1

Giả sử OI cắt đường tròn  C hai điểm A B, với A nằm đoạn thẳng OI Ta có w OM

Mà OM MI OI  OM MI OA AI   OM OA

8

6

4

2

2 H E

N

D

Nên w nhỏ OA OI IA   1 M A

Cách2:

Từ z 2 2i 1   2 2

2

a b

     với z a bi a b   ,  sin ; cos

a  x b  x   a sin , x b 2 cosx

Khi đó: z i  2 sinx2 cos x i i    2 2

2 sinx cosx

   

 

6 4sinx 2cosx

  

 2 2 

6 sin x cos x

     5   1 2  1

Nên z i nhỏ 1 cos 2sin

4sin 2cos

x x

x x

 



  



2 sin

5 cos

5 x

x 

  

 



 



Ta 2 5

5

z       i

   

Cách3:

Sử dụng bất đẳng thức z1  z2  z1z2  z1  z2

 2  2  2

z i  z  i     i z i   i 

Câu 6: (THPTGiaLộcHảiDương2019) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ P 2z i

z



 với z số phức khác thỏa mãn z 2 Tính tỉ số M m

A M

m  B

4 M

m  C

5 M

m  D

M m  Lờigiải

Ta có 2 2 2

2

z i z i z i

z i

P P P P

z z z z z z

  



            

Vậy

3 M

m 

Câu 7: Xét tất số phức z thỏa mãn z  3i Giá trị nhỏ z2 7 24i nằm

khoảng nào?

A 0;1009 B 1009;2018 C 2018;4036 D 4036; Lờigiải

Chọn B

Ta có 1   z 3i z   3i z       5 z z 6

Đặt

0 5, 24

z   i z  z   i

Ta có 7 24 2 22  2 2

o o o

A z   i  z z  z z z z 4  2

o o o o

z z z z z z z z

Trang Mà z z oz z o 1 z z oz zo  1 z2 zo2

Suy  

2

4 2

1 2 1201

o o o

A z  z   z  z  z z  z  z 

Hàm số y2t42t21201 đồng biến  4;6 nên A2.442.421201 1681

Dấu xảy

4

z

z i

   

  



Do z2 7 24i nằm khoảng 1009;2018

Câu 8: (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Cho số phức z thỏa mãn z z   z z Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ P  z 2i Đặt A M m  Mệnh đề sau đúng?

A A 34;6 B A6; 42 C A2 7; 33 D A4;3 3 Lờigiải

Chọn A

Giả sử: z x yi x y  , , N x y ; : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy

Ta có:

• z z     z z x y  2 N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ)

• P  z 2i  P x2 2 y22  P d I N ;  với I 2;2 Từ hình ta có: E 1;1

2

max 2

M P ID   m P min IE 2 1  2 2 12  Vậy, A M m   2 5 34;6

Câu 9: (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2và w 2 z 1 i Khi wcó giá trị lớn

x y

1

-2

-2

O

D

F C

I B

A 4 74 B 2 130 C 4 130 D 16 74 Lờigiải

Chọn C

Theo bất đẳng thức tam giác ta có

   

w  2z  1 i 2z 6 8i  9 i  2z 6 8i 7 9i  4 130 Vậy giá trị lớn w 4 130

Câu 10: (THPTQuangTrungĐốngĐa HàNội2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M Số phức z4 3 i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Biết M, M, N, N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ

4 z i

A 5

34 B

2

5 C

1

2 D

4 13 Lờigiải

Chọn C

Gọi z x yi, ,x y Khi z x yi  , M x y ; , M x y ; 

Ta đặt w z 4 3 i  x yi 4 3 i  4x3y  3x4y i N4x3 ;3y x4y Khi

4  4  3  4 ; 

wz  i  x y  x y iN x y  x y

Ta có M M; N N cặp đối xứng qua trục Ox Do đó, để chúng tạo thành hình chữ nhật yM yN yM yN Suy y3x4y y 3x4y Vậy tập

hợp điểm M hai đường thẳng: d x y1:  0 d2:3x5y0 Đặt P   z 4i x5 2 y42 Ta có P MA với A5; 4 

 

min ;

P MA MA d A d MA d A d  ; 2 Mà  1 1 ;

2

d A d  ,  2 5 ;

34 d A d  ,

vậy  1 1 ;

2 P d A d 

Câu 11: Biết số phức z thỏa mãn iz   3 z 2 i z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z bằng:

A

5 B

1

5 C

2

 D

5  Lờigiải

Trang 10 Đặt z x yi  (x, y)

Khi

3 2

iz   z i 2  2   2 2

3

x y x y

         x 2y 1 0   x 2y 1 1 Lại có z  x2y2  2

Thay  1 vào  2 ta được: 2

z  x y  2

2y y

     5y24y1

2

2 1 5

5

5 5 5

y

 

     

 

Dấu đẳng thức xảy 2 0 5

y  2

5 y   

Thay 2

5

y  vào  1 suy x 

Vậy phần thực số phức z 

Câu 12: (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương-2019) Xét số phức z thỏa mãn z 1 3i 2 Số phức

z mà z1 nhỏ

A z 1 5i B z 1 i C z 1 3i D z 1 i Lờigiải

Gọi z x yi  , ,x y Khi M x y ; điểm biểu diễn số phức z Theo ta có z 1 3i  2 x1 2 y324

Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I 1; bán kính R2 Khi z 1 x12y2 I M với I 1; 0

1

Phương trình đường thẳng II x1

Tọa độ giao điểm đường thẳng II với đường trịn tâm I bán kính R2 M1 1;  

1 1;

M

Thử lại ta thấy M1 1; thỏa mãn Vậy z 1 i

Câu 13: (Chuyên PhanBội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn z z   z z Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ P  z 2 i Đặt A M m  Mệnh đề sau đúng?

A A 34;6 B A6; 42 C A2 7; 33 D A 4;3 3 Lờigiải

Chọn A

Đặt z x iyvà gọi M x y ; điểm biểu diễn z x iy ta có: z z    z z x  y 2

Gọi A 2;2 PMA

* Theo hình vẽ, minP d A  ,, với : x y 2 2 2

2

P   

2

maxP AE  4 2 5, với E0; 2  Vậy M m  2 5,88 

Câu 14: (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Trong số phức z thỏa mãn z    1 i z 2i , số phức z có mơ đun nhỏ có phần ảo

A

10 B

3

5 C

3

 D

10  Lờigiải

Gọi z x yi, x y,  biểu diễn điểm M x y ; 

       

1 1

z    i z i  x  y i  x  y i

  2 2   2 2

1 1

2

x y x y x y y x

               

Trang 12

2

2 2 2 5 6 5 5,

2 20 10

z  x y  x    x   x  x  x    x

   

Suy

10

min z  3;

5 10

x  y 

Vậy phần ảo số phức z có mơ đun nhỏ 10  Cách2:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng :

d x y 

Ta có z OM z nhỏ OM nhỏ  Mlà hình chiếu O d Phương trình đường thẳng OM qua O vng góc với d là: x2y0

Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:

3

4 5

2

10 x x y x y y                   3 ; 10

M 

   

  Hay

3

5 10 z   i

Vậy phần ảo số phức z có mơ đun nhỏ 10 

Nhậnxét: Ta tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z sau:

   

1 1

z    i z i   z i    z i  *

Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A1; 1  biểu diễn số phức 1i, điểm B 1; 2 biểu diễn số phức 2  i

Khi  * MA MB Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trung trực đoạn thẳng ABcó phương trình d: 4x2y 3

Câu 15: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn

1

1;

2

z i z i

z i z i

 

 

    Giá trị nhỏ z1z2

A 2 B C D 1

Lờigiải Chọn A

Giả sử z1 x1 y i1 với x y1; 1 Khi đó:

     

1

1 1 1

1

1 3

2 z i

z i z i x y i x y i

z i                      

2 2

2

1 1 3

x y x y x y

          

 Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 đường thẳng :x y  3 Giả sử z2x2y i2 với x y2; 2 Ta có:

     

2

2 2 2

2

2 1 1

1 z i

z i z i x y i x y i

z i



            

 2   2 2

2 2

2 2 2 2 2

x y x y x y x y

            

 Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 đường tròn  C x: 2y24x2y 3 0 có tâm

2; 1

I  bán kính R 22  1 2 3 2

Khoảng cách từ I đến  là:      2

2

;

1

d I       R

   đường thẳng  đường

tròn C khơng có điểm chung

Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z1z2 đoạn thẳng MN  z1z2 nhỏ MN nhỏ

Dễ thấy MNmin 3 2 2 2

Câu 16: (Sở Bình Phước 2019) Gọi S tập hợp số phức z thỏa mãn z 1 34

1

z mi   z m i, (trong m) Gọi z1, z2 hai số phức thuộc S cho z1z2 lớn nhất, giá trị z1z2

A B 10 C D 130

Lờigiải ChọnA

Đặt z x yi  , x y,  Khi 34

z   2

1 34

x y

    ; z 1 mi   z m 2i 2m1x2 2 m y  3 Do tập hợp điểm M biểu diễn số phức z giao điểm đường tròn

   2

: 34

C x y  đường thẳng d: 2m1x2 2 m y  3 Gọi A, B hai điểm biểu diễn z1 z2 Suy  C  d  A B,

Mặt khác z1z2  AB2R2 34 max z1z2 2 34 AB2RI 1;0 d

Từ ta có

m  nên d x:3 5y 3

6

z i

z i

  

    



Vậy z1z2 2

N

M I

N'

Trang 14

Câu 17: Cho hai số phức ,z w thỏa mãn z3  2, w4 2i 2 Biết z w đạt giá trị nhỏ z z 0, w w Tính 3z0w0

A 2 B C D

Lờigiải

Ta có: + z3  2, suy tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I3 ;0, bán kính r

+ w4 2i 2 2, suy tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w đường trịn có tâm 0; 2

J , bán kính R2 Ta có minz w minMN

+ IJ 5 2;IM  r 2;NJ  R 2

Mặt khác IM MN NJ IJ   MN IJ IM NJ   hay MN5 2 2 2 2  Suy minMN2 , , ,I M N J thẳng hàng M N, nằm ,I J (Hình vẽ) Cách1:

Khi ta có: 3z0w0  3OM ON  IN 3 ;

5

IM IJ IN IJ     Mặt khác ON OI IN   

5 OI IJ

  ; 3OM3OI IM   3

5

OI IJ OI IJ

   

 

 

   

Suy 3z0w0  3OM ON  3

5

OI IJ OI IJ OI

     

 

    

6



Cách2:

Ta có IN3IM3IM IN   0

Do 3z0w0  3OM ON   3OI IM    OI IN    2OI 2.OI2.3 2.

Cách3:

+)

12

1 12

5 4 2 5

5 M

M x IM

IM IJ IM IJ z i

IJ

y

  

      

 



   

+) 0

3 12

5 12 2 5

5 N

N x IN

IN IJ IN IJ w i

IJ

y

  

      

 



   

Suy 3z0w0  6

Câu 18: Cho hai số phức z w thỏa mãn z2w 8 6i z w 4 Giá trị lớn biểu thức z w

A B 26 C 66 D

Lờigiải ChọnC

Giả sử M N, điểm biểu diễn cho z w Suy OM ON   OF 2OI,

z w MN   OF2OI 10

Đặt ;

2 a

z ON  w OM b Dựng hình bình hành OMFE

Ta có

2 2

2

2 2

25

264

2 2

3 16

2

a b ME

a b

b ME a

   

   

 

  



 2  2 2 1

2 66

2

a

z  w  b  a  b   

   

Suy a b  66, dấu “=” xảy 66 a b  Vậy a b max  66

Câu 19: Cho số phức z thoả mãn z 1 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z 1 z2 z 1 Tính M m.

A 13

4 B

39

4 C 3 D

13 Lờigiải

Chọn A

Thay z21 vào P ta có

a

b I

F E

N

Trang 16

2

1

P  z z  z   z 1 z2 z z2   z 1 z2 z z z.   z 1 z z z 1

1

z z z

    

Mặt khác z12 z1 z   1 z z Đặt t z z  z 1 nên điều kiện t  2; 2 Suy P t  2 t

Xét hàm số f t  t  2 t với t  2; 2

  1

2

f t

t

  

 với t1 Suy f t 0 với t1

  1

2

f t

t

  

 với t1 Suy f x 0

7 x    Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy 13

M 

4

t  m t2

Vậy 13

4 M m

Câu 20: (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức z  a bi thỏa mãn

5

z  z  ; 5a4b20 0 Giá trị nhỏ z A

41 B

5

41 C

4

41 D

3 41 Lờigiải

Chọn A

Đặt F1 ; 0, F2 ;0, 3 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thuộc elip

có 2 4

5 a

b a c

c



    

 

 suy  

2

:

9

x y

E  

Đường thẳng d song song với  có dạng : 5d x4y c 0, c 20 d tiếp xúc với  E 5 92  4 2892 17

17 c c

c

 

     

 



Với c17  

 2

20 17 37

,

41

5

d d  

   

 

Với c 17  

 2

20 17

,

41

5

d d  

   

 

Vậy min  41

MN 

Câu 21: (KTNLGVTHPTLýTháiTổ2019) Gọi z a bi  a b,  số phức thỏa mãn điều kiện

1 2 10

z    i z i  có mơ đun nhỏ Tính S 7a b ?

A B C D 12

Lờigiải ChọnA

Gọi M a b ; điểm biểu diễn số phức z a bi   1;2

A điểm biểu diễn số phức 1 2 i  2;3

B  điểm biểu diễn số phức  2 3i, AB 10

2

2

4

O M

H B

Trang 18 2 10

z  i z   i  trở thành MA MB AB 

, , M A B

 thẳng hàng M A B

Gọi H điểm chiếu O lên AB, phương trình  AB x: 3y 7 0,  OH : 3x y 0 Tọa độ điểm 21;

10 10 H 

 , Có

3 1;

10 10 AH   

 



, 27;

10 10 BH   

 



BH 9AH Nên H thuộc đoạn AB

z nhỏ OM nhỏ nhât, màMthuộc đoạn AB

7 21; 10 10

M H 

   

 

Lúc 49 21

10 10 S a b   

Câu 22: (KTNLGVThuậnThành2BắcNinh2019) Cho số phức thỏa mãn

Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Tính

A B C D

Giải: ChọnD

Gọi z x yi x y  , , , ta có 4

2

x

z z z z x y

y

  

         

 , tập hợp  ;

K x y biểu diễn số phức z thuộc cạnh cạnh hình thoi ABCD hình vẽ đạt giá trị lớn KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn K  D hay K4;0 suy M  49 9  58

đạt giá trị nhỏ KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ K F (F hình chiếu E AB

Suy F 2;1 AE AB nên F trung điểm AB Suy m 4  Vậy M m  58

Câu 23: (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức

2

1 P z  z z  z

z z z 2z z 8

,

M m P   z 3i M m

10 34 10 10 58 5 58

3

P   z i

3

A 13

4 B C D

11 Lờigiải

ChọnA

2 1 1 1 1 1

P z  z z   z z z  z     z z z  z Do z 1 nên ta đặt zcosx i sinx Khi

     

2

2 2 2

2

1 cos sin cos sin cos sin

cos sin cos cos sin sin

2 2cos 4cos 2cos

2 2cos cos 4cos

2 2cos 2cos

P z z z x i x x i x x i x

x x x x x x

x x x

x x x

x x

            

       

    

    

   

Đặt tcos ,x t  1;1 Xét hàm y 2 t 1t

Với

2

t  2 1, '

2

y t t y

t 

     



1

'

8 2

y t

t



     

  1 3; 13

8

y  y  

  ;

1 3

2 y 

 

Với

2

t  2 1, '

2

y t t y

t 

     



1

' 2

2 2

y t

t

 

      

 (phương trình vơ nghiệm)

 1

y   ;

2 y 

  Vậy

 1;1

13 max

4 y

  Do giá trị lớn

2 1

P z  z z  z 13

Câu 24: (ChuyênĐạiHọcVinh-2019) Giả sửz z1, 2là hai số phức thỏa mãnz6 8 zilà số thực Biết z1z2 4, giá trị nhỏ z13z2

A 5 21 B 20 21 C 20 22 D 5 22 Lờigiải

Trang 20 Giả sửz x yi, x y, .Gọi A B, điểm biểu diễn cho số phức z z1, Suy

1

AB z z 

* Ta có z6 8 zix 6 yi   8 yxi 8x6y48x2y26x8y i

Theo giả thiết z6 8 zilà số thực nên ta suy x2  y2 6x 8y0 Tức điểm ,

A B thuộc đường tròn  C tâm I 3; , bán kính R5

* Xét điểm M thuộc đoạn ABthỏa MA  3MB 0 OA 3OB4OM.Gọi Hlà trung điểm AB Ta tính đượcHI2R2HB2 21;IM  HI2HM2  22, suy điểm M thuộc đường tròn  C tâm I 3; , bán kính r 22

* Ta có z13z2  OA 3OB  4OM 4OM, z13z2 nhỏ OMnhỏ Ta có OMmin OM0 OI r  5 22

Vậy z13z2min 4OM0 20 22

Câu 25: Trong số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 có hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 1 Giá trị nhỏ z12 z22

A 10 B  4 C 5 D  6

Lờigiải ChọnA

Đặt z1 x1 y i x y1, 1, 1 z2  x2 y i x y2, 2, 2

Khi    

   

2

1

2

2

3 4

3 4

x y

x y

    

 

   

    

2

1 2

x x  y y 

Ta có x13 2 y14 2 x23 2 y232      

2 2

1 2

x y x y x x y y

       

Suy 2      2   2 2

1 2 2 2 10

z  z  x x  y y    x x  y y  

Do 2

1

10 z z 10

Câu 26: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z z1, 2 thoả mãn

1

z   i z   i  iz2 1 2i 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T z1z2

A 1 B 1 C 2 1 D 2 1

Lờigiải

Gọi M điểm biểu diễn số phức z1 A2;1; B 4;7 hai điểm biểu diễn hai số phức 2 i, 7 i Ta có AB6 Phương trình đường thẳng AB d x y:   3 +) z1  2 i z1 4 7i 6 MA MB 6 MA MB  AB Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 đoạn thẳng AB

+) iz2 1 2i  1 iz2 1 2i i      1 z2 i

Gọi N điểm biểu diễn số phức z2 I 2;1 điểm biểu diễn số phức 2i Ta có IN 1 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường trịn  C có phương trình:

  2 2

2 1

x  y 

 ,  2

d I AB   , suy AB không cắt đường trịn

Gọi K hình chiếu I 2;1 lên AB Dễ thấy K nằm đoạn thẳng AB Gọi H giao điểm đoạn IK với đường trịn  C

Ta có z1z2 MN KH d I AB ,  R 2 1 Suy z1z2 2 1.

Câu 27: (ChuyênNguyễnTất ThànhYênBái2019) Cho z số phức thỏa mãn z  z 2i Giá trị nhỏ z 1 2i   z 3i

A B 13 C 29 D 5

Trang 22 Ta có: z  z 2i  a2b2  a2 b 22 4b    4 0 b 1

z a i

  

Xét: z 1 2i   z 3i      a i a 2i  1a2 12 1a222

Áp dụng BĐT Mincôpxki:

 2 2  2 2   2 2

1a  1 1a 2  1  a a  1  4 9  13 Suy ra: z 1 2i   z 3i đạt GTNN 13 1  1

3

a a a

    

Nhậnxét: Bài tốn giải cách đưa tốn hình học phẳng Câu 28: (ChuyênHạLong-2018) Cho số phức z1  2 i, z2 2 i số phức z thay đổi thỏa

mãn z z 12 z z2216 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2m2

A 15 B C 11 D

Lờigiải Giả sử z x yi x y   , 

Ta có: z z 12 z z2216 2

2 16

x yi i x yi i

         2  2

1

x y

   

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm số phức I 0;1 bán kính R2

Do m1, M 3 Vậy M2m28

Câu 29: (ChuyênQuangTrung-2018) Cho số phức z thỏa mãn z2i  z 4i z 3 3i 1 Giá trị lớn biểu thức P z là:

A 13 1 B 10 1 C 13 D 10

Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z ta có: z2i  z 4i

 2  2

2 2 4

x y x y

     

3 y

  ; z 3 3i  1 điểm M nằm đường trịn tâm I 3;3 bán kính Biểu thức P  z AM A 2;0 , theo hình vẽ giá trị lớn P z đạt M 4;3 nên maxP 4 2  2 3 02  13

Câu 30: Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 Giá trị nhỏ biểu thức P     z i z 2i

A 1 10 B C 17 D

Lờigiải

Gọi M x y ;  điểm biểu diễn số phức z Do z 2 2i 2 nên tập hợp điểm M đường tròn   C : x2 2 y22 4

Các điểm A 1;1 , B 5;2 điểm biểu diễn số phức 1i 2 i Khi đó, P MA MB  Nhận thấy, điểm A nằm đường trịn  C cịn điểm B nằm ngồi đường tròn  C , mà

17

MA MB AB   Đẳng thức xảy M giao điểm đoạn AB với  C Ta có, phương trình đường thẳng AB x: 4y 3

Trang 24

  2 2   2 2

2 4

4

x y y y

x y x y

         

 

 

    

 

 

Ta có    

   

2 2

22 59

17

4 17 44 25

22 59

17

y N

y y y y

y L

   



        

 

   Vậy minP 17 37 59 22 59

17 17

z    i

Câu 31: (SGDCầnThơ-2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z 22 z i2 Môđun số phức w M mi 

A w 3 137 B w  1258 C w 2 309 D w 2 314 Lờigiải

Chọn B

- Đặt z x yi  , với x y, 

Ta có: z 3 4i   x 3 y4i    2 2

3

x y

     , hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn  C có tâm I 3; , bán kính r

- Khi : P z 22 z i2  2 2 2  2

2

x y x y

      4x2y3 4x 2y P

     , kí hiệu đường thẳng 

- Số phức z tồn đường thẳng  cắt đường tròn  C  ; 

d I r

   23

2 P 

   P23 10 13 P 33 Suy M 33 m13  w 33 13 i

Vậy w  1258

Câu 32: (THPTHậuLộc2-2018) Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1  1 i z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức z1z2 ?

A m 1 B m2 C m2 D m2 2 Lờigiải

ChọnD

Đặt z1 a bi a b; ,     z2 b

   

1

z z a b b a i

     

Nên z1z2  a b  2 b a2  2.z1 Ta lại có 2 z1  1 i z1   1 i z1 

1 2

z

   Suy z1z2  2.z1 2 2

Dấu " " xảy

1

a b 

Vậy mmin z1z2 2 2

Câu 33: (SGDBắcGiang-2018) Hcho hai số phức z, w thỏa mãn

w w

z i

i i

    



    

 Tìm giá trị

nhỏ Pmin biểu thức P z w

A min 2

P   B Pmin  1 C min 2

P   D min 2

P  

Lờigiải Chọn C

Giả sử z a bi  a b, , w x yi x y, 

3

z  i    2 2

3

a b

     (1)

w 2  i  w 2 i   2  2  2 2

1 2

x y x y

       

Suy x y 0

  2 2   2 2

w

P z  a x  b y  a x  b x

Từ (1) ta có I 3; , bán kính r1 Gọi H hình chiếu I d y:  x Đường thẳng HI có PTTS

2

x t

y t

     



3 ;  MHIM t t

  2 1

M C  t 

1

1 t t     

   

1

2 ;

2

t M   

 ,

5

2 MH  

1

3 ;2

2

t M   

 ,

5

2 MH   Vậy

5 2

P  

Câu 34: (ChuyênLêHồngPhong-TPHCM-2018) Cho số phức z thỏa z 1 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P z5z36z 2 z41 Tính M m

A m 4, n3 B m4, n3 C m 4, n4 D m4, n 4 Lờigiải

Vì z 1 z z  z2 nên ta có z z

Trang 26 Từ đó, P z5z36z 2 z41  z z4z4 6 2 z41  z4z4 6 2z41

Đặt z4  x iy, với x y,  Do z 1 nên z4  x2y2 1  1 x y, 1

Khi P     x iy x iy x iy 1  2x 6 2 x12y2

2x 2x

     2x 2 123

Do P3 Lại có 1  x 1 0 2x 2 2  1 2x  2 1 P Vậy M 4 z4 1 m3

z4  12 23i Suy M m 1

Câu 35: (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho số phức w , z thỏa mãn w i 5

 

  

5w i z4 Giá trị lớn biểu thức P  z 2i   z 2i A B 13 C 53 D 13

Lờigiải Chọn C

Gọi z x y  i, với x y,  Khi M x y ; điểm biểu diễn cho số phức z

Theo giả thiết, 5w2 i z45 w i   2 i z 4 5i2 i w i      z 2i 2i

z

    Suy M x y ; thuộc đường tròn   C : x3 2 y229 Ta có P  z 2i  z 2i MA MB , với A 1; B 5;2

Gọi H trung điểm AB, ta có H 3;2 đó: P MA MB   2MA2MB2 hay P 4MH2AB2

Mặt khác, MH KH với M C nên P 4KH2AB2  2 2

4 IH R AB

  

2 53



Vậy Pmax 2 53 M K MA MB

 

 

 hay z  3 5i

3 11

w i

5

 

Câu 36: (KimLiên -Hà Nội - 2018) Xét số phức z a bi  (a b, ) thỏa mãn z 3 2i 2 Tính a b z 1 2i 2 z 2 5i đạt giá trị nhỏ

A 4 B 2 C D 4 Lờigiải

Cách 1:

Đặt z  3 2i w với w x yi  x y,  Theo ta có w  2 x2y24

Ta có P  z 1 2i 2 z 2 5i  w 4 2w 1 3i  x42y2 2 x1 2 y32

  2 2   2 2

20 8x x y 2x x y

           

   

 2 2 2   2 2   2 2

2 x y 2x x y x y x y

              

 

2 y y y y

      

 

2

1

1

6

3

x

x

P y y

y x y

  

  

 

    

    



Vậy GTNN P đạt z  2 2 3i Cách 2:

3 2

z  i  MI2M I;2 với I 3;

1 2

P  z i z  i MA MB với A 1; , B 2;5

Ta có IM 2; IA4 Chọn K 2; IK 1 Do ta có IA IK. IM2 IA IM

IM IK

 

IAM

  IMK đồng dạng với AM IM

MK IK

    AM 2MK

Từ P MA 2MB 2MK MB 2BK

Dấu xảy M , K, B thẳng hàng M thuộc đoạn thẳng BK Từ tìm M 2; 2 3

Cách 3:

Gọi M a b ; điểm biểu diễn số phức z a bi  Đặt I  3; , A1; 2 B 2;5

Ta xét tốn: Tìm điểm M thuộc đường trịn  C có tâm I, bán kính R2 cho biểu thức

P MA  MB đạt giá trị nhỏ

Trang 28

   

2 2 . 4 2 2 . 2 4 3 4 2

MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA

                 *  *   2 20 2

3

IA IK

M C

R IK IA

  



   

  



  

 

 

4

4

2

4

x x

IA IK

y y

  

  



    

  



  

Thử trực tiếp ta thấy K 2; thỏa mãn 3R24IK2IA20

Vì BI2 12 3210R2 4 nên B nằm ngồi  C

Vì KI2  1 R24 nên K nằm  C

Ta có MA2MB2MK2MB2MK MB 2KB

Dấu bất đẳng thức xảy M thuộc đoạn thẳng BK Do MA2MB nhỏ M giao điểm  C đoạn thẳng BK Phương trình đường thẳng BK x: 2

Phương trình đường trịn   C : x3 2 y224 Tọa độ điểm M nghiệm hệ

  2 2

2

3

x x

x y y



  

 

       



 



2

2

x y

  

 



Thử lại thấy M2; 2 3 thuộc đoạn BK Vậy a2, b 2    a b

Câu 37: (Liên Trường -Nghệ An - 2018) Biết hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3 4i 1

1 4i

2

z    Số phức z có phần thực a phần ảo b thỏa mãn 3a2b12 Giá trị nhỏ P z z1  z 2z2 2 bằng:

A min 9945 11

P  B Pmin  5 C min 9945 13

P  D Pmin  5 Lờigiải

Chọn C

Gọi M1, M2, M điểm biểu diễn cho số phức z1, 2z2, z hệ trục tọa độ Oxy Khi quỹ tích điểm M1 đường trịn  C1 tâm I 3; , bán kính R1;

quỹ tích điểm M2 đường  C2 trịn tâm I 6;8 , bán kính R1; quỹ tích điểm M đường thẳng d: 3x2y12 0

Gọi  C3 có tâm 3 138 64; 13 13 I  

 , R1 đường tròn đối xứng với  C2 qua d Khi

   

min MM MM 2 min MM MM 2 với M3 C3

Gọi A, B giao điểm đoạn thẳng I I1 3 với  C1 ,  C3 Khi với điểm  

1

M  C , M3 C3 , Md ta có MM1MM3 2 AB2, dấu "=" xảy

1 ,

M A M B Do Pmin  AB 2 I I1 3 2

9945 13 I I

 

Câu 38: (ChuyênLêQuýĐôn–ĐiệnBiên-2019) Trong số phức thỏa mãn: z  1 i z 1 2i

, số phức z có mơ đun nhỏ có phần ảo

A 3

10 B

3

5 C

3 5

 D 3

10

 Lờigiải

ChọnD

+ Gọi số phức cần tìm z a bi a b, ( , )

 z  ab i

+ z  1 i z 1 2i

1 1 2

       a bi i a bi i

   

1 1

 a  b i   a b i

  2 2   2 2

1 1 1 2

 a  b  a  b

4 3 3

4 2 3 0 2

2 2



      a b b a   a +

2

2 2 2 3 5 6 9 5 6 9 9

2 4 5 25 20

   

             

   

z a b a a a a a a

2

3 9 5

5 20 20 10

 

      

a 

z nhỏ 3 5 10

3 3

5 10

    a b

Câu 39: (ChuyênBắcGiang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị lớn P z5z36z 2z41 Tính M m

I3 I2

I1 M

8

6

3

O y

Trang 30

A M m 1 B M m 7 C M m 6 D M m 3 Lờigiải

ChọnA

Ta có: zz z2 z z

   

Suy 4 4

3

1

6 1 6

P z z z z z z z z z

z z

              

Đặt w z 4 w 1, ta P w26w 1 2w2 Gọi w x yi  , 1 2 1

1 x

w x y

y   

     

 

   

2 6 1 2 3 2 1 2 6 2 3 2 1

P x  x y  y x i  x yi  x  x y x i  x yi

    2 2  

2 x x yi x y x x yi 2x

          

 

2 x 2x

   

Xét hàm số f x  2 x 3 2x2 đoạn  1;1

  2 ;   2 2 1

2

2 2

f x f x x x

x x

             

 

Ta có:  1 4; 3;  1

f   f  f 

 

Vậy M 4,m 3 M m 1

Câu 40: (BìnhGiang-HảiDương2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn biểu thức

1

   

P z z

A B C D

Lờigiải ChọnC

Gọi z x yi  ; ;x y

 

2 2

1 1 1;1

         

z x y y x x

Ta có: P  1 z 3 1 z 1x2y2 3 1 x2y2  2 1 x2 1 x

Xét hàm số f x  1 x2 1 x; x  1;1  Hàm số liên tục  1;1 với x  1;1 ta có:  

   

1

2

  

 

f x

x x

 

     

1

0 1;1

5

2

         

 

f x x

x x

 1 2;  1 4; 5

 

    

 

f f f

 1;1  

max

 

 

Vậy giá trị lớn biểu thức P  1 z 1z  

x ,

5  

y

Câu 41: (SGDHưngYên 2019) Cho số phức z thoả mãn z 1 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1

P  z z  z Tính M m A 13

4 B

39

4 C 3 D

13 Lờigiải

ChọnA

Thay z2 1 vào P ta có

2

1

P  z z  z   z 1 z2 z z2   z 1 z2 z z z.   z 1 z z z 1

1

z z z

    

Mặt khác z12 z1 z   1 z z Đặt t z z  z 1 nên điều kiện t  2; 2 Suy P t  2 t

Xét hàm số f t  t  2 t với t  2; 2

  1

2

f t

t

  

 với t1 Suy f t 0 với t1

  1

2

f t

t

  

 với t1 Suy f x 0

7 x 

 

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy 13

M 

4

t m t2

Vậy 13

4 M m

Câu 42: (Chuyên-KHTN-HàNội-2019) Cho số phức z thỏa mãn : z  z 2i Giá trị nhỏ biểu thức P   z i z

A B C 3 D

Trang 32 Gọi M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z Ta có z  z 2i   y 0,tức biểu diễn hình học số phức thỏa mãn giả thiết đường thẳng y 1 Xét điểm A(0;1) B(4;0)

4

P    z i z MA MB Dễ thấy A B, phía với đường thẳng y 1 nên MA MB nhỏ BA A (0; 3) đối xứng với A qua đường thẳng y 1

Do MA MB nhỏ BA 5

Câu 43: (SGDBến Tre2019) Cho số phức z1 1 3i, z2  5 3i Tìm điểm M x y ;  biểu diễn

số phức z3, biết mặt phẳng phức điểm M nằm đường thẳng x2y 1 mô đun số phức w3z3 z2 2z1 đạt gí trị nhỏ

A 1;

5 M 

  B

3 ; 5 M 

  C

3

;

5

M  

  D

3

;

5

M     Lờigiải

ChọnA

Trắcnghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết thỏa ta đáp án A

Tựluận:

Ta có w3z3 z2 2z13z3  3 3i 3z3  1 i w 3z3  1 i 3AMvới A1;3  ; 

M x y biểu diễn số phức z3 nằm đường thẳng d x: 2y 1 A1;3d Khi w 3 z3  1 i 3AMđạt giá trị nhỏ AM ngắn  AM d

AM d nên AM có phương trình: 2x y  1 Khi M  AMd nên 1;

5 M 

 

Câu 44: (SGDCầnThơ2019) Cho số phức z thoả mãn z 1 2i  Giá trị lớn z 1 i

A B C 20 D

Lờigiải ChọnD

Cách1

Ta có z         1 i z 2i i z 2i   2 i Đẳng thức xảy z 3 3i

Vậy max z  1 i Cách2

M' A

B

A'

Đặt z x yi x y  , ,  từ điều kiện ta có: x1 2 y22 5

Gọi M x y ; điểm biểu diễn cho z A 1; 1 điểm biểu diễn cho số phức  1 i, z  1 i AM với M thuộc đường trịn  C tâm I1; 2  bán kính R

Dễ thấy A C , AM 2R2

Suy max z  1 i 5, đẳng thức xảy M K Cách3

1

   z i  *

Đặt z x yi  x y, , ấy, ta có  *    x yi 2i   x 1 y2i    2 2

1

 x  y  Đặt sin

2 cos         x a

y a Ta có z  1 i x 1 y1i    

2

1

 x  y

  2 2

5 sin cos

 a  a  10 sin a2 cosa

2 5

10 10 sin cos

5

 

    

 a a  10 10sin a với

2 cos 5 sin         

Vì  1 sina1với a; 10 10    z i 10 10

0

    z i

Vậy giá trị lớn z 1 i Dấu " " xảy sina1 2    a   k 

cos cos sin

2

2

sin sin cos

2                                 a k a k        

1 sin cos         x a y a 2          x y 3        x y 3

  z i

Trang 34

A B

5 C D

5 Lờigiải

ChọnD

Giả sử z x yi x y,  Ta có

2i z  2 i z 2i 2i x yi    2 i x yi  2i 2x y 2y x i 2x y  2y x i 2i

          4y2x i 2i 4y2x2

2

x y   

Do  

2

2 2 2 1 2 5 4 1 5 1, .

5

5

z x y  y y  y  y  y     y

  

Suy

5

z  

5

y , x 

Câu 46: (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Số phức z có mơđun nhỏ thoả mãn 3i z z i

     A

5 5 i B

3

5 5 i C

3

5 5 i D

6 5 i Lờigiải

ChọnC

Đặt z x yi x y  , ;   z x yi

Khi      2 3i z z i x 2 y3i  x y1i x 2 2 y 32 x2 y 12 x 2y 3 0

          

Do tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng  :x 2y 3

Ta có z dO, Gọi d đường thẳng qua O vng góc với d: 2x y 0

Gọi : 3;

2 5

x y

H d H H

x y

 

  

        

    



Khi z có mơđun nhỏ thoả mãn có điểm biểu diễn H, tức 5 z  i

Câu 47: (SởGDNamĐịnh-2019) Trong số phức z thỏa mãn 12  17 13

i z i

z i

  



  Tìm giá

trị nhỏ z

A 13

26 B

5

5 C

1

2 D

Lờigiải ChọnA

Điều kiện: z 2 i

Phương trình cho 12 17 13 2

12 i

i z z i z i z i

i



           

Gọi M x y ;  điểm biểu diễn số phức z x yi  Vì z 2 i nên M N 2;1 Khi đó,   1  x1 2 y1 2  x2 2 y12 6x4y 3

Ta thấy đường thẳng : 6d x4y 3 không qua điểm N 2;1 nên tập hợp điểm M đường thẳng d

Ngoài ra, z OM nên z nhỏ OM nhỏ nhất, tức   23 2 13

d ,

26

6

OM  O d  



Vậy 13 26

z 

Câu 48: (ChuyênNguyễnHuệ-HN-2019) Cho số phức z thỏa mãn z22z 5 z 1 2i z  3 1i 

Tính w, với w z  2 2i

A

2

w  B minw 1 C

w  D w2 Lờigiải

ChọnB

Theo giả thiết, z22z 5 z 1 2i z  3 1i 

z 2i z 2i z 2i z 1i 

         

 

1

z i z i z i

        

   

1

z i

z i z i

     

    



 1       z 2i z 2i Khi đó, w    1 2i 2i 1  3

Đặt z x yi  ( , x y) Khi đó,  2  x 1 y2i  x 1 y3i   2  2  2 2   2 2 1

1 3

2

x y x y y y y z x i

                 

   2 9

2

2 4

w x i x

          x   4

Từ  3  4 min w1

Câu 49: (KimLiên-HàNội2019) Xét số phức z thỏa mãn z 3 2i   z i Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P    z z 3i Tìm M , m

A M  17 5; m3 B M  26 5 ; m C M  26 5 ; m3 D M  17 5; m

Trang 36 Gọi M điểm biểu diễn số phức z, F13;2, F23; 1 , A2;0 B 1;3

Ta có z 3 2i    z i F F1 23 MF1MF2F F1

Do tập hợp điểm M đoạn thẳng F F1

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

+ M Pmax M A M B2   26 5 + m P M A M B AB1   3 Vậy M  26 5 ; m3

Câu 50: (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương2019) Xét số phức z thỏa mãn z 1 3i 2 Số phức z mà z1 nhỏ

A z 1 5i B z 1 i C z 1 3i D z 1 i Lờigiải

ChọnB

Giả sử z x yi x y  ; 

Ta có z 1 3i 2   2 2

1

x y

     x12  y26y5

Vì x12  0 y26y    5 0 1 y 5

 2

1

z  x y  y

Vì 1   y 6y 5 25   1 z Vậy z1 nhỏ

1 x y

   

 z 1 i

Câu 51: (Chuyên NgữHàNội 2019) Cho số phức z z z, ,1 2 thay đổi thỏa mãn điều kiện sau: iz  2 3i , phần thực z1 2, phần ảo z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  z z12 z z22

A B C 5 D

Lờigiải ChọnD

Đặt z x yi x y, , , ta có M z M x y ;

x  y 

 2 2 4 29

Suy tập hợp điểm M đường tròn  C tâm I2 4; , bán kính R3

Mặt khác: z1  2 bi A z 1 A 2;b  Tập hợp điểm A đường thẳng d1: x2    ;

z2  a i B z2 B a1  Tập hợp điểm B đường thẳng d2: y1 Giao điểm d1 d2 P 2 1;

Gọi H K hình chiếu M d1 d2

Ta có: T  z z12 z z22MA2MB2MH2MK2MP2

T đạt giá trị nhỏ A H B , K I M P, , thẳng hàng (theo thứ tự đó) Phương trình đường thẳng IP: x t M t; t

y t

  

   

   

2 2 3

1 (vì M IP)

Mà M  C nên ta có      

t

t t t

t   

         

  

2 2

2

9

4 3

8 25

5

- Với t  M ; 

 

8 22 29

5 5 (loại)

- Với t  M ;   z i  z i z,  i

 

2 11 11 2 11

5 5 5 5

Suy MPmin  IP IM   IP R 42  32 3 2 Vậy Tmin 22 z 2 11i z, 1 2 11i z, 2 2 i

5 5

Câu 52: (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  biểu thức

2

2

P z  z i đạt giá trị lớn Tính z i

A B 41 C 61 D

Lờigiải ChọnC

Trang 38 +) Ta có: z 3 4i  5x3 2 y42 5  1

+) P z 22 z i2 x22y2  x2y124x2y3

   

     2 2   2 2

4 x y 23  x y  23 33

            

   

3

33

4

x y

P       x y

Từ  1  2 suy 5 x y

   



3 x y

   



Với 33

5 x

P y



  

 

 ; Với

1

13

x

P y



  

 



Vậy số phức z thỏa mãn z 3 4i  biểu thức P z 22 z i2 đạt giá trị lớn 5

z  i Khi z i  61

Câu 53: (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa –2019) Cho số phức z a bi a b   ,  thỏa mãn

1

z  i Giá trị nhỏ biểu thức P  a b

A 3 2 B 2 C 3 2 D 2 2 Lờigiải

ChọnA Cách1:

Theo giả thiết ta có z   1 i a1 2 b12 1 Đặt a 1 sin ,t b 1 cos 0t  t 2

Khi sin cos sin 3 sin

4

P   a b t t  t    t 

   

Ta có: sin 2 sin 3

4

t  t  P

   

                

   

Do giá trị nhỏ P 3 Cách2:

Theo giả thiết ta có z   1 i a1 2 b12 1 a b,  0; Khi P       a b 5 a b a 1 b1

Theo BĐT Bunhia ta có:

a   1 b 1 121 2 a1 2 b 12  2

 

Do P 3

Câu 54: (ĐạihọcHồng Đức–ThanhHóa 2019) Cho số phức z a bi  (a, b) thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A  z 2 z2

Lờigiải ChọnB

Ta có: z22 a22b2; z22 a22b2

Suy ra: z22 z 22 2a2b28 2 z2810

Ta có: A2 z 2 2 z221222z22 z 2250

Vì A0 nên từ suy A 50 2 Vậy giá trị lớn A

Câu 55: (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho số thực a thay đổi số phức z thỏa mãn

 

2 1 1 2

z i a

a a i a

 

 

 Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M điểm biểu diễn số phức z Khoảng cách nhỏ hai điểm M I3;4 (khi a thay đổi)

A B C D 3

Lờigiải ChọnC

Ta có:

     

2

2 2

1

1

1 1

i a a

z i a z

a a i

a a a

  



  

 

  

 

 

3

2

2 2

1

1

1 1

a a a i

z a i

z z

a a a

   

     

  

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm O bán kính R1

Ta có: OI 5 Do đó: OMmin OM1OI R   5

Câu 56: (ChuyênLêHồngPhong-NamĐịnh- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z 2 4i  Gọi a b giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức a2b2 bằng

A 40 B C 20 D

Trang 40 ChọnA

Gọi M x y ;  điểm biểu diễn số phức z x yi  với ,x y

Ta có z 2 4i  5x2 2 y42 5 tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I 2;4 bán kính R

Kẻ đường thẳng qua điểm O I cắt đường tròn điểm M N hình vẽ 2

2

OI   ; IM IN  R Từ hình vẽ ta thấy:

min 5

z OM OI IM     b

max 5

z ON OI IN     a Vậy a2b2 40.

Câu 57: (HậuLộc2-ThanhHóa- 2019) Cho z z1, 2 hai số phức thỏa mãn z 3 3i 2 z1z2 4 Giá trị lớn z1  z2

A B C D 2 3

Lờigiải ChọnA

GọiM N, điểm biểu diễn hai số phức z z1,

Do

1

3 3

4

z i z i

z z

      

 

 

 nên

   2  2 2

, N : 3

4 2.2

M C x y

MN

     

 

  



Ta có   

2

2 2

1 1 2O

2 MN z  z OM ON   OM ON   I  

 

Dấu " " xảy OM ON MN đường kính  C vng góc với OI Câu 58: (ChuyênĐạihọc Vinh-2019) Giả sử z z1, hai số phức thỏa mãn z6 8 zi

là số thực Biết z1z2 4 Giá trị nhỏ z13z2

A 5 21 B 20 21 C 20 22 D 5 22 Lờigiải

ChọnC

Giả sử số phức z x yi  thỏa mãn z6 8 zi số thực Ta có:

z6 8 zix yi 6 (8 x yi i  )x6 8 y8xy  8x x 6y8y i Để z6 8 zisố thực 8x x 6y8y 0 x3 2 y4252

Vậy điểm biểu diễn số phức z z1, 2 thuộc đường tròn tâm I 3, , bán kính R5

Giả sử z1 x1 y i1 có điểm biểu diễn A x y 1, 1; z2 x2 y i2 có điểm biểu diễn B x y 2, 2

Vì z1z2  4 x1x2 2 y1y22  4 AB4 Ta xét z13z2  OA3OB

Gọi H trung điểm AB, K trung điểmHB, ta có:

 

1 3 4

z  z  OA  OB  OH OB   OK  OK

Trang 42 Suy z13z2 4OK 20 22

Câu 59: (ChunHồngVănThụ-HịaBình-2019)Trong số phức z thỏa mãn z2 1 2 z gọi

z z2 số phức có mơđun nhỏ lớn Giá trị biểu thức z12 z22

A B 2 C D 2

Lờigiải ChọnA

Áp dụng bất đẳng thức mô đun : z1z2  z1  z2 Dấu xảy z1kz2,k0  Ta có: z  z2 1 z2   1 z  z2  1 z

Với z2  1 2 z  z2 2 z   1 0 z  1 2

Dấu xảy khi:

  max

2

3 2

1

1

1

k z

z z

z i

z k

      

     

    



 

 

Với z2   1 2 z  z2 2 z  1 0 z   1 2

Dấu xảy khi:

 

2

3 2

2

m z

z z

z i

z m

   

  

     

    



 

 

Vậy z12 z22  1  2 1 2 6

Câu 60: (SGDĐàNẵng 2119) Gọi z số phức có mơđun nhỏ thỏa mãn điều kiện z 2 8i  17 Biết z a bi a b   , , tính m2a23b

A m 18 B m54 C m 10 D m14

Lờigiải ChọnC

Gọi M a b ; điểm biểu diễn số phức z a bi a b   , 

Ta có: z 2 8i  17  a2 2 b82  17 IM  17với I 2;8 Suy ra: M thuộc đường trịn  C có tâm I bán kính R 17

Lại có: OI  2282 2 17R nên O nằm  C GTNN môđun z zmin OMmin OI R  17  1 Đẳng thức xảy M OI  C M nằm O I  2 Từ  1  2 ta có M trung điểm OI nên M 1;4

Suy a1;b4 Khi đó: m2a23b 2 12 10.

Câu 61: (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Xét số phức z a bi a b   ,  thỏa mãn 2

A P3 B P 3 C P1 D P7 Lờigiải

ChọnB

Đặt A 1; ,  B 7; AB 8;8 trung điểm AB K3; 2  Gọi M a b ; điểm biểu diễn số phức z ta có: a2 2 b 32 8

M

 thuộc đường trịn  C có tâm I2;3, bán kính R

Ta thấy IK5; 5   IK AB  0 I nằm đường thẳng trung trực AB Xét tam giác

2

2 2

2 AB MABMA MB  MK 

 2 2 2 2  2 2 2

2 MA MB 4MK AB MA MB MA MB 4MK AB

         

Ta có z 1 6i   z 2i tổng khoảng cách từ điểm M đường tròn  C tới hai điểm A B

Vậy MA MB lớn khi:

max MA MB MK

  

 Điều xảy M giao điểm IK với đường tròn  C M nằm ngồi đoạn IK

Ta có phương trình đường thẳng :

x t

IK

y t

   

  



Tọa độ giao điểm IK với đường tròn  C nghiệm hệ:

   

2

2

2

3

2

x t

y t t t

x y

   

       



    



Vậy điểm M cần tìm ứng với t 2

 4;5

5 a

M P a b

b

  

          



Câu 62: (SGDBắcNinh2019) Cho số phức zthỏa mãn 1i z  1 3i 3 Giá trị lớn biểu thức P   z i z 2 3i

A B 15 1  6 C D 10 15 Lờigiải

ChọnC

(C)

A

B I

N

Trang 44 Cách1

1i z  1 3i 3 1 3

i i z

i 

   

   z 1 2i 3 1 

Gọi OMx y; , OI 1; vec-tơ biểu diễn cho số phức z x iy, w 2  i Từ  1 có OM OI  3MI3

Suy M thuộc đường trịn  C tâm I 1;2 bán kính R3,   C : x1 2 y239 Gọi OA   2; 1, OB 2;3 vec-tơ biểu diễn cho số phức a  2 i, b 2 3i Có IA   3; 3, IB 1;1 Suy IA 3IBIA  3IB0

Lúc P MA  6MB MA  3MB  3MA23MB2

Có MA23MB2 IA IM  23  IB IM 2 4IM2IA23IB2

Có IM29, IA2 18, IB22, nên MA23MB2 60

Suy P 3.60 5

Có P6

1

MA MB

 

Vậy giá trị lớn P P6 Cách2

Giả sử M x y ; điểm biểu diễn số phức z

1i z  1 3i 3 2   x y 1 x y 3i 3 2x2y22x4y 4 0

  2 2

1

x y

     Do M thuộc đường trịn tâm I 1;2 , bán kính R3

Đặt

2 a x b y

     

 Ta có

2 9

a b  Gọi A   2; 1, B 2;3

  2 2   2 2

2 6

P   z i z  i MA MB x  y   x  y 

  2 2   2 2     

3 1 27 11

a b  a b  a b a b

                

       

6 a b 27 a b 33 27 33

Câu 63: (Lômônôxốp-HàNội2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1 i Giá trị nhỏ biểu thức A2z    4 5i z 7i a b (với a b, số nguyên tố) Tính

S a b?

A 20 B 18 C 24 D 17

Lờigiải ChọnB

Gọi z x yi x y  , ,  Ta có:

  2 2  

1 1

z   i x  y  C ;

Suy ra, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn  C , có tâm I1;1 bán kính R3

Ta có:

  2 2   2 2

2 7

A z  i   z i  x  y  x  y   2 2   2 2   2 2 

2 x y x y x y

            

  2 2 2 2

2 x y 4x 8x 4y 20y 29

        

  2 2 2 29

2 2 10

4

x y x x y y

        

  2 2  2

2

2

x y x y

   

 

        

   

 

Gọi M x y ;    C

   

2 , 4; ; 1;7

A z i z i MA MB A B

Trang 46

 

2 , 1;

2

A MA MB MA MC C 

      

 

Ta có: 0;3  

2 C

IC  IC  R

 

 

Suy ra, điểm C nằm đường tròn  C

Vậy, đường thẳng AC cắt đường tròn  C hai điểm

Do đó, để A2MA MC  đạt giá trị nhỏ Mphải nằm hai điểm A C

  13

2 ,

2

A MA MC AC AC

    

5 13

A a b

  

Vậy, a b 18

Câu 64: (NguyễnHuệ-Ninh Bình- 2019)Cho z z1, 2 nghiệm phương trình 3 i iz  2z 6 9i thỏa mãn 1 2

5

z z  Giá trị lớn z1z2

A 56

5 B

28

5 C D

Lờigiải ChọnA

Gọi z1 x1 y i z1, 2 x2 y i2 , với x y x y1, , ,1 2 2

Do 1 2

5

z z   2  2

8

x x y y i

       2 2

1 2

8

x x y y

    

Gọi M x y1 1; 1, M2x y2; 2  2 2 22

8

M M x x y y

     

Mà z1 nghiệm phương trình 3 i iz  2z 6 9i 6 y1 x1 3i 2x1 6 2y1 9i

       

  2 2   2 2

1 1

6 y x 2x 2y

        2

1 24

x y x y

     

  1;

M x y

  đường tròn ( ) :C x2y26x8y24 0

Tương tự M2x y2; 2   C

Đường tròn ( )C có tâm I 3; , bán kính R1 Goị M trung điểm M M1 2 IM M M1 2,

2

2

1

4

5

IM  R M M     

  ,

1 2

z z  OM

Mà OM OI IM , dấu xảy O I M, , thẳng hàng Khi OM  M M1 2, 28

5

 z1z2 đạt giá trị lớn 2OI IM , 56

Hoặcđánhgiáchọnđápánnhưsau:

Gọi Nx2;y2NM1 x1x2 2 y1y22  z1z2

Và Nđối xứng với M2qua gốc tọa độ O, Nđường tròn 2

( ) :C x y 6x8y24 0

1

( )C có tâm I1 3; 4, bán kính R11, ( )C1 đối xứng với  C qua gốc tọa độ O

Có I I1 10 I I R R1   18

Nhận xét: với điểm M1 C , N C1 M N I I R R1    Loại đáp án B,C,D  z1z2 M N1 đạt giá trị lớn 56

5

Câu 65: Cho số phức z w thỏa mãn 3  1 z

i z i

w

   

Trang 48

A

2 B

3

2 C D

1 Lờigiải

ChọnB

3 

1 z

i z i

w

   

 1 

z

z z i

w

    

    

2

3 1

1 z

z z

w

    



Đặt t z ; t0 (vì z 0 khơng thỏa phương trình trên) (1) trở thành: 3 1 2 2

1 t

t t

w     10 8 2

t w

t t

  

 

2

1 1

1 ;

8 1

10 2 2 2

w t

t t t

      

 

     

 

Ta ln có: 1

2

w i     w i 

2 w i

  

Dấu = xảy  

1

1

3 2 t z

w k i

w i 

   

   



   

1

3 2 z i

w i

    

   

Vậy: Giá trị lớn 2 T 

Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn z  z 2 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 3 3

P z    i z  i  z i

A 12 B C D 10

Lờigiải

Gọi M x y ; , F1 2;0, F2 2;0 , điểm biểu diễn cho số phức z x yi  ,

2  ,

Có z  z 2 3 MF MF1 2 2 3, có 3F F1 2 2

Suy M x y ; chạy  E có tiêu cự 2c2 2, độ dài trục lớn 2a2 3, độ dài trục nhỏ

2b2 phương trình tắc  E 2

3

x y 

Có    ; 3

1

x M x y E

y   

  

  



Có P z 2 3  i z 3 2 i  z 3i

 2  2  2  2  2

2

2 3 3

x y x y x y

          

         

 x2 2 y12  3x 2 y2  y3

 2  2  

2 3 3

x x y y

        (Bất đẳng thức tam giác)

2

4y 12y 84 y

    

Đặt f y 2 y23y21 3 y, với   1 y 1 Có  

2

2 1 21 y f y y y      

 

f y   y23y21 2 y3 1 ,

Cĩ    1 y  1 3y29 12 0y      nhận loại y y       

Có f   1 19, f 1 12

Suy  

 

 1;1 12

yMin f y P12

Đẳng thức  1 xảy

0,

2 1 0 3 x y x y y x              0, x y    Thử lại: Khi x0,y1 có P12

Vậy MinP12 x0,y1

Câu 67: Cho số phức z x yi, x y,  thỏa mãn z23y216 Biểu thức P   z i z 2 đạt giá trị lớn x y0; 0 với x0 0,y00 Khi đó:

2 0 x y

A 20 

B 20

2 

C 20

2 

D 20

2 

Trang 50 ChọnD

Ta có: z23y2 16x24y216

 2  2  2    2

2 1 2 2 1 2

P x  y  x y  x  y  x  y   2 2

2

x x y y

                                2

max 2 2

2

2

2

2 2 16

1

1

5

4 16

4 16 0 0 0 x y

x y x y x y

x x y y

x x

y y x x

y y

P

x y y y

x y x x x y y y                                                                        2 0 7

20

2 1 7

2

1 2

x y x y y x                       Nhậnxét: Bài ta dùng bất đẳng thức véc tơ sau Cho aa a1; 2,bb b1; 2  a b  a1b a1; 2b2, ta có:

  2 2 2 2

1 2 2

a b   a  b  a b  a b  a a  b b Dấu “ = ” xãy a b , ngược hướng

1 2 1 2

0 a b a b a b a b        

Câu 68: Cho số phức z a bi  a b,  thỏa mãn z   4 z 10 z6 lớn Tính S a b 

A S11 B S 5 C S 3 D S5

Lờigiải ChọnB

Trong mp tọa độ Oxy, Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z x yi  M x y ; ; z  4 0i F14;0; z 4 0i F2 4;0 Ta có: z   4 z 10MF1MF2 10 (1)

   

2

2

1 2

1 2

2 2 8 16

MF x y x

MF MF x MF MF

MF x y

   

      



  

 (2)

Từ (1) (2), suy 1 5

x MF  

Mặt khác  2

1

MF  x y  

2 2

2 2

4

5

5 25

x x y

x y

 

        

 

Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z   4 z 10 Elip có phương trình  

2

:

Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc  E sau cho z6 lớn

Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z 6 0i A 6;0 ; z a bi  M a b   ;  E ;

z   i C5;0

Do đó, z6 lớn MA lớn

Dựa, vào hình vẽ ta thấy để MA lớn M C 5;0  a 5;b   0 S Câu 69: Cho số phức z a bi a b  ,  thỏa z   4 z 10 z6 lớn Tính S a b  ?

A S 3 B S5 C S 5 D S11

Lờigiải ChọnC

Gọi M a b ; điểm biểu diễn số phức z a bi a b   , 

   

 2  2  

4 10 4 10

4 10 *

z z a bi a bi

a b a b

          

      

Xét F14;0 F2 4;0 Khi  * MF MF1 10

Suy M thuộc Elip có 2

2 10

c

b a c

a a

 

   

   



Ta có: z 6 a62b2 IM I,  6; 0 , suy max z 6 IA hay điểm

 5;0 5

MA        z i S

Câu 70: Cho số phức z thỏa mãn z 1, M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  1 z 1z Giá trị biểu thức M m

A 2 B C 4 D

Trang 52 ChọnA

Gọi z x yi  với x y,  z  1 x2y2  1 x2y21

 2  2

1 1 2 2 2

A z z x y x y x x

              

Xét hàm số f x  2 x2 2 x với x  1;1 Hàm số f x  liên tục đoạn 1;1  

 2

1 2

2 2 2 1

x x

f x

x x x

  

   

  

   1;1

f x    x       x x Khi f  1 4;

5 f 

  ; f 1 2 Do

1;1    1;1    

3

max ;

5

M f x f m f x f

 

 

      

  Suy M m 2 2

Câu 71: Xét tập hợp S số phức z x yi x y   ,  thỏa mãn điều kiện 3z z  1i2 2 i Biểu thức Q z z 2x đạt giá trị lớn Mvà đạt z0 x0y i0 ( z thay đổi tập S ) Tính giá trị

0

T M x y

A

2

T   B

4

T  C

2

T  D

4 T  Lờigiải

ChọnD

Ta có: 3z z  1i2 2 i 4x216y216 x24y2 4 4y2  4 x2

Do đó, Q z z 2x 4y22x 4x22x f x  ,   2 x 2 

   

   

2

2 4, 2 2

4

0

2 ;

x x

f x x

x x

f x x

x

 

    

   

        



Mặt khác, f   2 0, 2f 0, f  1 3 Suy M 3 3

0

3

1,

4 x   y 

Vậy

4 T 

Câu 72: (THPT Hậu Lộc 2019) Cho z z1, 2 hai số phức thỏa mãn z 3 3i 2

1

z z  Giá trị lớn z1  z2

Lờigiải ChọnA

GọiM N, điểm biểu diễn hai số phức z z1, 2

Do

1

3 3

4

z i z i

z z

      

 

 

 nên

   2  2 2

, N : 3

4 2.2

M C x y

MN

     

 

  



Như MN đường kính đường trịn  C với tâm I3; 3, bán kính R2, I trung điểm MN, OI  12

Ta có   

2

2 2

1 1 2O

2 MN z  z OM ON   OM ON   I  

 

Dấu " " xảy OM ON MN đường kính  C vng góc với OI Câu 73: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn

1

z   i z   i  iz2 1 2i 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  z1z2 A 2 1 B 1 C 2 1 D 1

Lờigiải ChọnC

Trên mặt phẳng Oxy, gọi M a b ; điểm biểu diễn cho số phức z1; A2;1, B 4;7 điểm biểu cho số phức  2 i 7 i AB6

Từ ta MA MB 6 2AB nên tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z1 đoạn

Trang 54

2 3

iz   i     iz i   z   i Gọi N c d ; điểm biểu diễn cho z3;  2;1

I điểm biểu diễn cho số phức 2i, IN 1 nên tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z3 đường tròn   C : x2 2 y12 1

1

z z  z z MN

Dễ thấy hình chiếu vng góc điểm I 2;1 đường thẳng  d điểm K 0;3 thuộc đoạn AB suy MN KH với H giao điểm IK với  C thuộc đoạn IK

Do minMN KHd I AB ,  R 2 1 Vậy z1z2 2 1

Câu 74: (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z z z, ,1 2 thỏa mãn z1 4 5i  z2 1

z i   z i Tính z1z2 P   z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ

A B C 41 D 2 5

Lờigiải ChọnD

Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 Suy A thuộc đường tròn  C1 tâm  

1 4;5 ,

I R

Gọi B điểm biểu diễn số phức z2 Suy B thuộc đường tròn  C2 tâm I2 1;0 ,R1

Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z x yi

Theo giả thiết z4i   z 4i   x y Suy M thuộc đường thẳng  d x y  4 Gọi  C2' có tâm I2' 4; ,   R1 đường tròn đối xứng với đường tròn  C2 tâm

 

2 1; ,

Dấu = xảy A B I I M, ', , ',1 2 thẳng hàng Khi 1

' I A I I

 

suy A 4;4

2

1

' '

8 I B  I I

 

suy B' 4; 2   B 2;0 AB2 Vậy z1z2 2

Câu 75: (ChuyênĐHVinh- 2019) Cho số phức zvà thỏa mãn 2 i z z i 

    Tìm giá trị lớn T   1 i

A

3 B

2

3 C

2

3 D

Lờigiải ChọnA

   

       

     

   

2

2

2

2

2 2

2

2 1 1

5 2

2

0 ' ' 0

5 2 5 2 2

z z

i z i i z i

z

z z

z z i z z

z z

t t t

f t t f t f t t t

t t t t

 



 

        

           

 

 

         

   

Bảng biến thiên

Ta có 1 2

9

T    i z   i  

Câu 76: Cho số phức z gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z2 8i 0(

1

z có phần thực

dương) Giá trị nhỏ biểu thức

1 2

2 z

P  z z z   z z z  viết dạng m np q (trong n p, ; m, q số nguyên tố) Tổng m n p q  

A B C D

Lờigiải ChọnA

2 8 0

Trang 56

1 2 2

2 2

P z z  z  z z  z  z  z z  z z  z z z MA MB M  C

Trong , A2; 2 , B2;2, C 3; 3 điểm biểu diễn cho số phức z, z1

, z2,

1

2 3

2 i

z z

     

Gọi H hình chiếu vng góc M OC

Ta có MA MB HA HB    MA MB MC  HA HB HC 

Do Pmin MA MB MC  min HA HB HC  M H  M OC y x :  Gỉa sử M x x ; x  3;0 P MA MB MC    2x 3 2 2x24



2 2

4 x P

x

  

  P  0  

2

3;0

x   

Vậy

2

2 3

2 2

3

P          

 

    

Suy m2, n6, p3, q2 m n p q   3 Câu 77: Trong số phức z thỏa mãn z2 1 2 z gọi

1

z z2 số phức có mơđun nhỏ lớn Giá trị biểu thức z12 z2

A B 2 C D

Lờigiải ChọnA

Đặt z a bi a b  ; , 

 2

2 1 2 1 2 2 1 4 2

z   a b   abi  a b   a b ; 2 z 2 a2b2

Ta có z2 1 2 z a2b2124a b2 4a2b2

 2 22 2 2  2 2  2 2  2 22 2 2

4

a b a b a b a b a b a b

              

 2 2 2 2 2 2

6

a b a b a

      

Vì 4a2  0, a  nên a2b2 26 a2b2   1 0 3 2a2b2  3 2

M

Suy 2 1 2 2 1 2 6.

2 m

a b m M

M                   2 0

2

1

3 2 a a M b a b                    2 0

2

2 2

a a m b a b                 

Câu 78: (SởNamĐịnh-2019) Xét số phức w, z thỏa mãn w 5 i

  5w 2 i z 4 Tìm giá trị lớn biểu thức P    z 2i z 2i

A B 53 C 58 D 4 13

Lờigiải ChọnC

Cách1

Ta có: 5w 2 i z  4 5w  5i 2 i z  4 5i

     

5w 5i i z 5i 5w i 2i z 2i z 2i

               

3

5 3

5 z i z i

       

Ta có:

 

2 2

1 ; ,

z z  z z  z  z z z (1)

 2

2

1 ; ,

2 z z

z  z   z z (2)

Ta có: P z 2i   z 2i        z 2i z 3i Áp dụng (1) (2), ta có:

 

2 2

3 3 3

z  i    z i  z  i 

  2 2

2 3 3

3 3

2

z i z i z i z i

z  i    z i             

Vậy, ta có:

 2      

2

2

2

2 9

2

z i z i

z i z i z i z i

   

            

 

2 4 3 2 9

P z i

    

Trang 58

 

2 4 72 9 232 2 58

P P

     

Cách2

Ta có: 5w 2 i z 4 thay w 5 i

 

3

z i

   

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn   C : x3 2 y229 Gọi M C

Ta có: P z 2i   z 2i AM BM A ;    0;2 ,B 6;2 Suy P 2AM2BM2

Gọi H trung điểm cạnh AB

Ta có:  

2

2 2 2

2 2

2 AB

P AM BM   MH   MH AB

 

Vậy, P    z 2i z 2i đạt giá trị lớn MH2 đạt giá trị lớn

Dựa vào hình vẽ sau

Suy ra, MH2 đạt giá trị lớn M M'P2232 P 2 58

Câu 79: Cho số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1  z2  z3 1 Tính giá trị lớn biểu thức

2 2

1 2 3

P z z  z z  z z

A P9 B P10 C P8 D P 12

Lờigiải ChọnA

vì z1  z2  z3 1 suy A; B; C thuộc đường tròn tâm O bán kính Ta có z1z2 AB; z2z3 BC z3z1 AC

Suy P z1z22 z2z32 z3z12 AB2BC2AC2

  2  2 2

AO OB BO OC AO OC

          6 2OA OB OB OC OA OC        

 2

9 OA OB OC

       9  3OG 2 9 OG29( với G trọng tâm tam giácABC)

Dấu “ = “ xảy G O , hay ABC

Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn 3z z 2z z 12.Gọi M m, giá trị lớn nhất, nhỏ z 4 i Giá trị M m. bằng:

A 28 B 24 C 26 D 20

Lờigiải ChọnB

Gọi z x yi  ; x y; .

Xét z z 2 z z 123 x 2 y 6 (1) Ta có: P  z 4 3i  x4 2 y32  2

Trang 60 P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi

. ABCD

Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường trịn tiếp xúc cạnh CD: 3x2y 6 0tương ứng có

2

3.4 2.3 6 12 . 13 3 2

m   

 Điểm giao xa đỉnh A 0;3 hình thoi Do M  42 62 2 13.

. 24. M m