Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng... Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ SỐ PHỨC
(TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM) A MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ
1 Môđun số phức:Số phức z a bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b2
Tính chất
z a2b2 zz OM z 0, z , z 0 z 0
'z z z z ' , ' 0
' '
z z
z
z z z z' z z' z z' kz k z k ,
Chú ý: z2 a2b22abi (a2b2 2) 4a b2 a2b2 z2 z2 z z.
Lưu ý:
z1z2 z1 z2 dấu xảy z1kz k2
0
z1z2 z1 z2 dấu xảy z1kz k2
0
z1z2 z1 z2 dấu xảy z1kz k2
0
z1z2 z1 z2 dấu xảy z1kz k2
0
z1z22 z1z22 2
z12 z22
z2 z z z2 z 2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M axby c 0 (1)
z a bi z c di (2)
(1)Đường thẳng :axby c 0 (2) Đường trung trực đoạn AB với
A a b B c d, , ,
x a
2 y b
2 R2z a bi R
Đường tròn tâm I a b
; , bán kính R
2
2 2x a y b R z a bi R
Hình trịn tâm I a b
; , bán kính R
2
22
r x a y b R r z a bi R
Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồng tâm I a b
; , bán kính r R,
2
2
y ax bx c c x ay by c
Parabol
2
2
2 1
x a y c
b d
1 2
z a b i z a b i a
1 Elip
2 Elip 2a AB A a b,
1, 1
,B a b2, 2
(2)Trang
2
22
x a y c
b d
Hypebol
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm zMin Khi ta có
Quỹ tích điểm M x y
; biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a b
;
2
1
2
2 Min
z z a b
a b
z i
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm zmin Ta có
Quỹ tích điểm M x y
; biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A a b B c d
; , ;
2 2
2
,
2 Min
a b c d
z d O AB
a c b d
Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng
Ví dụ 1:
Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Khi ta biến đổi
z a bi z c di z a bi z c di
Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di Khi ta biến đổi
a bi c di
iz a bi iz c di z z z b z d ci
i i
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn
TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R 0
z z 0 R
Tìm zMax, zMin Ta có Quỹ tích điểm M x y
; biểu diễn số phức z đường tròn tâm I a b
; bán kính R
2
0 2
0
Max
Min
z OI R a b R z R
z OI R a b R z R
Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R
i i
(Chia hai vế cho i) z b R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R(Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
2
a bi R R
c di z a bi R z
c di c di c d
Hay viết gọn
0
0
z R
z z z R z
z z
(Chia hai vế cho z0 )
(3)TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c ,a a c
Khi ta có Quỹ tích điểm M x y
; biểu diễn số phức z Elip:2
2 2
x y
a a c
2
Max
Min
z a
z a c
TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1 z z2 2a Thỏa mãn 2a z1z2
Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có
Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z z 1 z z2 2 ,a
z1z2 2a
và z z1, c ci, ) TìmMax, Min P z z0 Đặt
2 2
2
z z c
b a c
Nếu
0
2 z z
z Max
Min P a P b
(dạng tắc) Nếu
1
0
2 z z
z a
z z k z z
2 2 Max Min z z
P z a
z z
P z a
Nếu
0
2 z z
z a
z z k z z
2 Max z z P z a
Nếu z0z1 z0z2 1 2
0 2
Min
z z P z b C BÀI TẬP ÁP DỤNG
Câu 1: Cho số phức zthoả mãn z 2 3i 1 Tìm giá trị lớn z 1 i
A 13 3 B 13 5 C 13 1 D 13 6
Lờigiải ChọnC
Ta có 1 z 3i2
z 2 i
z 2 3i
z 2 3i z
2 3i
1 z 3i z 3i z 3i z i 2i 1(*)
+Đặt w z i, w 2 i 1
(4)Trang Tập hợp điểm biểu diễn số phức w z i đường tròn
I;1 w khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đường trịn Do giá trị lớn w đoạn OQ2 max
w 13
Nhận xét: Ở ta sử dụng kiến thức sau: z z z2, z z1 2 z z1 2
Câu 2: (ChuyênHạLong2019) Cho số phức z thỏa mãn z 6 z 20 Gọi M , n mơđun lớn nhỏ z Tính M n
A M n 2 B M n C
M n
7
D M n 14 LờigiảiGọi , Theo giả thiết, ta có z 6 z 20
6 20
x yi x yi
x6
2y2
x6
2 y2 20
Gọi M x y
;
, F1
6;0 F2
6;0
Khi
MF1MF220F F1 2 12 nên tập hợp điểm E đường elip có hai tiêu điểm F1 F2 Và độ dài trục lớn 20Ta có c6; 2a20 a 10 b2a2 c2 64 b Do đó, phương trình tắc
2
1 100 64
x y
Suy max z OA OA ' 10 z 10 min z OB OB ' 8 z 8i
Vậy M n
* Nhận xét: Ở ta sử dụng định nghĩa (E) để nhận dạng phưng trình elip
Câu 3: (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z a bi
a b
,
thỏa mãn z 4 3i TínhP a b z 1 3i z i đạt giá trị lớn
A P 8 B P10 C P4 D P 6
Lờigiải ChọnB
Gọi M a b
; điểm biểu diễn số phức zTheo giả thiết ta có: z 4 3i 5
a4
2 b3
2 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâmI
4;3
bán kính RGọi:
1;31
1; A
Q z i z i MA MB
B
z x yi
x y,
E (5)Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường trịn D Ta có: Q2MA2MB22MA MB.
2 2 2 2 2
Q MA MB MA MB MA MB
Vì MElà trung tuyến MAB
2 2
2 2 2
2
MA MB AB AB
ME MA MB ME
2
2 2 2 4 2
2 AB
Q ME ME AB
Mặt khác ME DE EI ID 2 5 5
22 4 5 20 200 Q
10 10
4 2( 4)
2 6; 10
2 2( 3)
max D D D D MA MB Q Q M D x x
EI ID M P a b
y y
Cách2:Đặtz a bi Theo giả thiết ta có:
a4
2 b5
2 5Đặt sin
3 cos
a t b t
Khi đó:
2
2
2
21 1 1
Q z i z i a b a b
2 2
2
25 sint 5cos t sint cost
30 10 sint 30 3sint cost
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
2 60 2sin cos 60 5 200 10
Q t t
10 max 10
Q Q
Dấu xảy
2 sin 10 cos t a
P a b b t
Câu 4: (Đề ThamKhảo2017) Xét số phức z thỏa mãn z 2 i z 7i 6 Gọi , m M giá trị nhỏ giá trị lớn z 1 i Tính P m M
A 2 73
2
P B P5 2 73 C 73
P D P 13 73 Lờigiải
(6)Trang Gọi
A
điểm biểu diễn số phức z, E
2;1 ,
F 4;7 N
1;
Từ AE A F z i z 7i 6 EF 6 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi H hình chiếu N lên EF, ta có 3;
2 H
Suy
5 2 73 P NH NF
Câu 5: (THPTCẩmGiàng22019) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ là:
A 2 B 1 C 1 D 2
Lờigiải
Cách1:
Đặt w z i z w i
Gọi M x y
; điểm biểu diễn hình học số phức w Từ giả thiết z 2 2i 1 ta được:2
w i i w i 1
x 2
y1
i 1
2
22 1
x y
Suy tập hợp điểm M x y
; biểu diễn cho số phức w đường trịn
C có tâm
2;1I bán kính R1
Giả sử OI cắt đường tròn
C hai điểm A B, với A nằm đoạn thẳng OI Ta có w OMMà OM MI OI OM MI OA AI OM OA
8
6
4
2
2
H
E
N
D
(7)Nên w nhỏ OA OI IA 1 M A
Cách2:
Từ z 2 2i 1
2
22
a b
với z a bi a b
,
sin ; cosa x b x a sin , x b 2 cosx
Khi đó: z i 2 sinx
2 cos x i i
2
22 sinx cosx
6 4sinx 2cosx
2
2
6 sin x cos x
5
1
2 1Nên z i nhỏ 1 cos 2sin
4sin 2cos
x x
x x
2 sin
5 cos
5 x
x
Ta 2 5
5
z i
Cách3:
Sử dụng bất đẳng thức z1 z2 z1z2 z1 z2
2
2
2z i z i i z i i
Câu 6: (THPTGiaLộcHảiDương2019) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ P 2z i
z
với z số phức khác thỏa mãn z 2 Tính tỉ số M m
A M
m B
4 M
m C
5 M
m D
M m Lờigiải
Ta có 2 2 2
2
z i z i z i
z i
P P P P
z z z z z z
Vậy
3 M
m
Câu 7: Xét tất số phức z thỏa mãn z 3i Giá trị nhỏ z2 7 24i nằm
khoảng nào?
A
0;1009
B
1009;2018
C
2018;4036
D
4036;
LờigiảiChọn B
Ta có 1 z 3i z 3i z 5 z z 6
Đặt
0 5, 24
z i z z i
Ta có 7 24 2 22
2
2
o o o
A z i z z z z z z 4
2
o o o o
z z z z z z z z
(8)Trang Mà
z z o
z z o
1 z z oz zo 1 z2 zo2Suy
2
4 2
1 2 1201
o o o
A z z z z z z z z
Hàm số y2t42t21201 đồng biến
4;6 nên A2.442.421201 1681Dấu xảy
4
z
z i
Do z2 7 24i nằm khoảng
1009;2018
Câu 8: (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Cho số phức z thỏa mãn z z z z Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ P z 2i Đặt A M m Mệnh đề sau đúng?
A A
34;6
B A
6; 42
C A
2 7; 33
D A
4;3 3
LờigiảiChọn A
Giả sử: z x yi x y , ,
N x y
; : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ OxyTa có:
• z z z z x y 2 N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ)
• P z 2i P
x2
2 y2
2 P d I N
;
với I
2;2 Từ hình ta có: E
1;12
max 2
M P ID m P min IE
2 1
2 2 1
2 Vậy, A M m 2 5
34;6
Câu 9: (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2và w 2 z 1 i Khi wcó giá trị lớn
x y
1
-2
-2
O
D
F C
I B
(9)A 4 74 B 2 130 C 4 130 D 16 74 Lờigiải
Chọn C
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
w 2z 1 i 2z 6 8i 9 i 2z 6 8i 7 9i 4 130 Vậy giá trị lớn w
4
130
Câu 10: (THPTQuangTrungĐốngĐa HàNội2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn
M
M
Số phức z
4 3 i
số phức liên hợp có điểm biểu diễnN
N
Biết
M
,M
,N
,N
bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ
4 z i
A
5
34
B2
5
C1
2
D4
13
LờigiảiChọn C
Gọi z x yi, ,x y Khi
z x yi
, M x y
; , M x y
;
Ta đặt w z
4 3 i
x yi
4 3 i
4x3y
3x4y i
N
4x3 ;3y x4y
Khi
4
4
3
4 ;
wz i x y x y iN x y x y
Ta có
M
M
;N
N
cặp đối xứng qua trục
Ox
Do đó, để chúng tạo thành hình chữ nhậty
M
y
Ny
M
y
N Suy y3x4y y 3x4y Vậy tậphợp điểm
M
hai đường thẳng:d x y
1:
0
d
2:3
x
5
y
0
Đặt P z 4i
x5
2 y4
2 Ta cóP MA
với A
5; 4
min ;
P MA MA d A d MA d A d
; 2
Mà
1
1
;
2
d A d
,
2
5
;
34
d A d
,vậy
1
1
;
2
P
d A d
Câu 11: Biết số phức z thỏa mãn
iz
3
z
2
i
z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z bằng:A
5 B
1
5 C
2
D
5 Lờigiải
(10)Trang 10 Đặt z x yi (
x
,y
)Khi
3
2
iz
z
i
2
2
2
23
x y x y
x 2y 1 0 x 2y 1
1
Lại có z x2y2
2
Thay
1
vào
2
ta được: 2z x y
22y y
5
y
2
4
y
1
2
2
1
5
5
5
5
5
y
Dấu đẳng thức xảy
2
0
5
y
2
5
y
Thay
2
5
y
vào
1
suy x Vậy phần thực số phức z
Câu 12: (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương-2019) Xét số phức z thỏa mãn z 1 3i 2 Số phức
z mà z1 nhỏ
A z 1 5i B z 1 i C z 1 3i D z 1 i Lờigiải
Gọi z x yi , ,x y Khi M x y
; điểm biểu diễn số phức z Theo ta có z 1 3i 2
x1
2 y3
24Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I
1; bán kính R2 Khi z 1
x1
2y2 I M với I
1; 01
(11)Phương trình đường thẳng II x1
Tọa độ giao điểm đường thẳng II với đường trịn tâm I bán kính R2 M1
1;
1 1;
M
Thử lại ta thấy M1
1; thỏa mãn Vậy z 1 iCâu 13: (Chuyên PhanBội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn z z z z Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ P z 2 i Đặt A M m Mệnh đề sau đúng?
A A
34;6
B A
6; 42
C A
2 7; 33
D A 4;3 3
LờigiảiChọn A
Đặt z x iyvà gọi M x y
; điểm biểu diễn z x iy ta có: z z z z x y 2Gọi A
2;2 PMA* Theo hình vẽ, minP d A
,
, với : x y 2 2 22
P
2
maxP AE 4 2 5, với E
0; 2
Vậy M m 2 5,88 Câu 14: (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Trong số phức z thỏa mãn z 1 i z 2i , số phức z có mơ đun nhỏ có phần ảo
A
10 B
3
5 C
3
D
10 Lờigiải
Gọi z x yi,
x y,
biểu diễn điểm M x y
;
1 1
z i z i x y i x y i
2
2
2
21 1
2
x y x y x y y x
(12)Trang 12
2
2 2 2 5 6 5 5,
2 20 10
z x y x x x x x x
Suy
10
min z 3;
5 10
x y
Vậy phần ảo số phức z có mơ đun nhỏ 10 Cách2:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường thẳng :
d x y
Ta có z OM z nhỏ OM nhỏ Mlà hình chiếu O d Phương trình đường thẳng OM qua O vng góc với d là: x2y0
Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:
3
4 5
2
10 x x y x y y 3 ; 10
M
Hay
3
5 10 z i
Vậy phần ảo số phức z có mơ đun nhỏ 10
Nhậnxét: Ta tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z sau:
1 1
z i z i z i z i
*Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A
1; 1
biểu diễn số phức 1i, điểm B
1; 2
biểu diễn số phức 2 iKhi
* MA MB Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà đường trung trực đoạn thẳng ABcó phương trình d: 4x2y 3Câu 15: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn
1
1;
2
z i z i
z i z i
Giá trị nhỏ z1z2
A 2 B C D 1
Lờigiải Chọn A
Giả sử z1 x1 y i1 với x y1; 1 Khi đó:
1
1 1 1
1
1 3
2 z i
z i z i x y i x y i
z i
2 2
2
1 1 3
x y x y x y
Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 đường thẳng :x y 3 Giả sử z2x2y i2 với x y2; 2 Ta có:
2
2 2 2
2
2 1 1
1 z i
z i z i x y i x y i
z i
(13)
2
2
22 2
2 2 2 2 2
x y x y x y x y
Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 đường tròn
C x: 2y24x2y 3 0 có tâm
2; 1
I bán kính R 22
1 2 3 2Khoảng cách từ I đến là:
22
;
1
d I R
đường thẳng đường
tròn C khơng có điểm chung
Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z1z2 đoạn thẳng MN z1z2 nhỏ MN nhỏ
Dễ thấy MNmin 3 2 2 2
Câu 16: (Sở Bình Phước 2019) Gọi S tập hợp số phức
z
thỏa mãn z 1 341
z mi z m i, (trong m) Gọi z1, z2 hai số phức thuộc S cho z1z2 lớn nhất, giá trị z1z2
A B 10 C D 130
Lờigiải ChọnA
Đặt z x yi ,
x y,
Khi 34z
21 34
x y
; z 1 mi z m 2i 2
m1
x2 2
m y
3 Do tập hợp điểm M biểu diễn số phứcz
giao điểm đường tròn
2: 34
C x y đường thẳng d: 2
m1
x2 2
m y
3 Gọi A, B hai điểm biểu diễn z1 z2 Suy
C d
A B,Mặt khác z1z2 AB2R2 34 max z1z2 2 34 AB2RI
1;0 dTừ ta có
m nên d x:3 5y 3
6
z i
z i
Vậy z1z2 2
N
M I
N'
(14)Trang 14
Câu 17: Cho hai số phức ,z w thỏa mãn z3 2, w4 2i 2 Biết z w đạt giá trị nhỏ z z 0, w w Tính 3z0w0
A 2 B C D
Lờigiải
Ta có: + z3 2, suy tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I
3 ;0
, bán kính r+ w4 2i 2 2, suy tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w đường trịn có tâm
0; 2
J , bán kính R2 Ta có minz w minMN
+ IJ 5 2;IM r 2;NJ R 2
Mặt khác IM MN NJ IJ MN IJ IM NJ hay MN5 2 2 2 2 Suy minMN2 , , ,I M N J thẳng hàng M N, nằm ,I J (Hình vẽ) Cách1:
Khi ta có: 3z0w0 3OM ON IN 3 ;
5
IM IJ IN IJ Mặt khác ON OI IN
5 OI IJ
; 3OM3
OI IM
35
OI IJ OI IJ
Suy 3z0w0 3OM ON 3
5
OI IJ OI IJ OI
6
Cách2:
Ta có IN3IM3IM IN 0
Do 3z0w0 3OM ON 3
OI IM
OI IN
2OI 2.OI2.3 2.Cách3:
+)
12
1 12
5 4 2 5
5 M
M x IM
IM IJ IM IJ z i
IJ
y
(15)+) 0
3 12
5 12 2 5
5 N
N x IN
IN IJ IN IJ w i
IJ
y
Suy 3z0w0 6
Câu 18: Cho hai số phức z w thỏa mãn z2w 8 6i z w 4 Giá trị lớn biểu thức z w
A B 26 C 66 D
Lờigiải ChọnC
Giả sử M N, điểm biểu diễn cho z w Suy OM ON OF 2OI,
z w MN OF2OI 10
Đặt ;
2 a
z ON w OM b Dựng hình bình hành OMFE
Ta có
2 2
2
2 2
25
264
2 2
3 16
2
a b ME
a b
b ME a
2
2 2
12 66
2
a
z w b a b
Suy a b 66, dấu “=” xảy 66 a b Vậy
a b
max 66Câu 19: Cho số phức
z
thoả mãn z 1 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z 1 z2 z 1 Tính M m.A 13
4 B
39
4 C 3 D
13 Lờigiải
Chọn A
Thay z21 vào P ta có
a
b I
F E
N
(16)Trang 16
2
1
P z z z z 1 z2 z z2 z 1 z2 z z z. z 1 z z z 1
1
z z z
Mặt khác z12
z1
z 1 z z Đặt t z z z 1 nên điều kiện t
2; 2
Suy P t 2 tXét hàm số f t
t 2 t với t
2; 2
12
f t
t
với t1 Suy f t
0 với t1
12
f t
t
với t1 Suy f x
07 x Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy 13
M
4
t m t2
Vậy 13
4 M m
Câu 20: (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức z
a bi thỏa mãn5
z z ; 5a4b20 0 Giá trị nhỏ z
A41 B
5
41 C
4
41 D
3 41 Lờigiải
Chọn A
Đặt F1
; 0
, F2
;0
, 3 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thuộc elipcó 2 4
5 a
b a c
c
suy
2
:
9
x y
E
(17)Đường thẳng d song song với có dạng : 5d x4y c 0,
c 20
d tiếp xúc với
E 5 92
4 2892 1717 c c
c
Với c17
220 17 37
,
41
5
d d
Với c 17
220 17
,
41
5
d d
Vậy min
41MN
Câu 21: (KTNLGVTHPTLýTháiTổ2019) Gọi z a bi
a b,
số phức thỏa mãn điều kiện1 2 10
z i z i có mơ đun nhỏ Tính S 7a b ?
A B C D 12
Lờigiải ChọnA
Gọi M a b
; điểm biểu diễn số phức z a bi
1;2A điểm biểu diễn số phức
1 2 i
2;3
B điểm biểu diễn số phức
2 3i
, AB 102
2
4
O M
H B
(18)Trang 18 2 10
z i z i trở thành MA MB AB
, , M A B
thẳng hàng M A B
Gọi H điểm chiếu O lên AB, phương trình
AB x: 3y 7 0,
OH : 3x y 0 Tọa độ điểm 21;10 10 H
, Có
3 1;
10 10 AH
, 27;
10 10 BH
BH 9AH Nên H thuộc đoạn AB
z nhỏ OM nhỏ nhât, màMthuộc đoạn AB
7 21; 10 10
M H
Lúc 49 21
10 10 S a b
Câu 22: (KTNLGVThuậnThành2BắcNinh2019) Cho số phức thỏa mãn
Gọi giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Tính
A B C D
Giải: ChọnD
Gọi z x yi x y , , , ta có 4
2
x
z z z z x y
y
, tập hợp
;K x y biểu diễn số phức z thuộc cạnh cạnh hình thoi ABCD hình vẽ đạt giá trị lớn KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn K D hay K
4;0
suy M 49 9 58đạt giá trị nhỏ KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ K F (F hình chiếu E AB
Suy F
2;1 AE AB nên F trung điểm AB Suy m 4 Vậy M m 58Câu 23: (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức
2
1 P z z z z
z z z 2z z 8
,
M m P z 3i M m
10 34 10 10 58 5 58
3
P z i
3
(19)A 13
4 B C D
11 Lờigiải
ChọnA
2 1 1 1 1 1
P z z z z z z z z z z z Do z 1 nên ta đặt zcosx i sinx Khi
2
2 2 2
2
1 cos sin cos sin cos sin
cos sin cos cos sin sin
2 2cos 4cos 2cos
2 2cos cos 4cos
2 2cos 2cos
P z z z x i x x i x x i x
x x x x x x
x x x
x x x
x x
Đặt tcos ,x t
1;1
Xét hàm y 2 t 1tVới
2
t 2 1, '
2
y t t y
t
1
'
8 2
y t
t
1 3; 138
y y
;
1 3
2 y
Với
2
t 2 1, '
2
y t t y
t
1
' 2
2 2
y t
t
(phương trình vơ nghiệm)
1y ;
2 y
Vậy
1;1
13 max
4 y
Do giá trị lớn
2 1
P z z z z 13
Câu 24: (ChuyênĐạiHọcVinh-2019) Giả sửz z1, 2là hai số phức thỏa mãn
z6 8
zi
là số thực Biết z1z2 4, giá trị nhỏ z13z2A 5 21 B 20 21 C 20 22 D 5 22 Lờigiải
(20)Trang 20 Giả sửz x yi, x y, .Gọi A B, điểm biểu diễn cho số phức z z1, Suy
1
AB z z
* Ta có
z6 8
zi
x 6
yi 8
y
xi
8x6y48
x2y26x8y i
Theo giả thiết
z6 8
zi
là số thực nên ta suyx
2
y
26
x
8
y
0
Tức điểm ,A B thuộc đường tròn
C tâm I
3; , bán kính R5* Xét điểm M thuộc đoạn ABthỏa MA 3MB 0 OA 3OB4OM.Gọi Hlà trung điểm AB Ta tính đượcHI2R2HB2 21;IM HI2HM2 22, suy điểm M thuộc đường tròn
C tâm I
3; , bán kính r 22* Ta có z13z2 OA 3OB 4OM 4OM, z13z2 nhỏ OMnhỏ Ta có
OM
min OM0 OI r 5 22Vậy z13z2min 4OM0 20 22
Câu 25: Trong số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 có hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 1 Giá trị nhỏ z12 z22
A 10 B 4 C 5 D 6
Lờigiải ChọnA
Đặt z1 x1 y i x y1,
1, 1
z2 x2 y i x y2,
2, 2
Khi
2
1
2
2
3 4
3 4
x y
x y
2
1 2
x x y y
Ta có
x13
2 y14
2 x23
2 y23
2
2 2
1 2
x y x y x x y y
Suy 2
2
2
21 2 2 2 10
z z x x y y x x y y
Do 2
1
10 z z 10
(21)Câu 26: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z z1, 2 thoả mãn
1
z i z i iz2 1 2i 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T z1z2
A 1 B 1 C 2 1 D 2 1
Lờigiải
Gọi M điểm biểu diễn số phức z1 A
2;1
; B
4;7 hai điểm biểu diễn hai số phức 2 i, 7 i Ta có AB6 Phương trình đường thẳng AB d x y: 3 +) z1 2 i z1 4 7i 6 MA MB 6 MA MB AB Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 đoạn thẳng AB+) iz2 1 2i 1 iz2 1 2i i 1 z2 i
Gọi N điểm biểu diễn số phức z2 I
2;1 điểm biểu diễn số phức 2i Ta có IN 1 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường trịn
C có phương trình:
2
22 1
x y
,
2d I AB , suy AB không cắt đường trịn
Gọi K hình chiếu I
2;1 lên AB Dễ thấy K nằm đoạn thẳng AB Gọi H giao điểm đoạn IK với đường trịn
CTa có z1z2 MN KH d I AB
,
R 2 1 Suy z1z2 2 1.Câu 27: (ChuyênNguyễnTất ThànhYênBái2019) Cho z số phức thỏa mãn z z 2i Giá trị nhỏ z 1 2i z 3i
A B
13
C29
D5
(22)Trang 22 Ta có: z z 2i a2b2 a2
b 2
2 4b 4 0 b 1z a i
Xét: z 1 2i z 3i a i a 2i
1a
2 12
1a
222Áp dụng BĐT Mincôpxki:
2 2
2 2
2
21a 1 1a 2 1 a a 1
4 9
13
Suy ra: z 1 2i z 3i đạt GTNN13
1
13
a a a
Nhậnxét: Bài tốn giải cách đưa tốn hình học phẳng Câu 28: (ChuyênHạLong-2018) Cho số phức z1 2 i, z2 2 i số phức z thay đổi thỏa
mãn z z 12 z z2216 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2m2
A 15 B C 11 D
Lờigiải Giả sử z x yi x y
,
Ta có: z z 12 z z2216 2
2 16
x yi i x yi i
2
21
x y
Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm số phức I
0;1 bán kính R2Do m1, M 3 Vậy M2m28
Câu 29: (ChuyênQuangTrung-2018) Cho số phức z thỏa mãn z2i z 4i z 3 3i 1 Giá trị lớn biểu thức P z là:
A 13 1 B 10 1 C 13 D 10
(23)Gọi M x y
; điểm biểu diễn số phức z ta có: z2i z 4i
2
22 2 4
x y x y
3 y
; z 3 3i 1 điểm M nằm đường trịn tâm I
3;3 bán kính Biểu thức P z AM A
2;0 , theo hình vẽ giá trị lớn P z đạt M
4;3 nên maxP
4 2
2 3 0
2 13Câu 30: Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 Giá trị nhỏ biểu thức P z i z 2i
A 1 10 B C 17 D
Lờigiải
Gọi M x y
;
điểm biểu diễn số phức z Do z 2 2i 2 nên tập hợp điểm M đường tròn
C : x2
2 y2
2 4Các điểm A
1;1 , B
5;2 điểm biểu diễn số phức 1i 2 i Khi đó, P MA MB Nhận thấy, điểm A nằm đường trịn
C cịn điểm B nằm ngồi đường tròn
C , mà17
MA MB AB Đẳng thức xảy M giao điểm đoạn AB với
C Ta có, phương trình đường thẳng AB x: 4y 3 (24)Trang 24
2
2
2
22 4
4
x y y y
x y x y
Ta có
2 2
22 59
17
4 17 44 25
22 59
17
y N
y y y y
y L
Vậy minP 17 37 59 22 59
17 17
z i
Câu 31: (SGDCầnThơ-2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z 22 z i2 Môđun số phức w M mi
A w 3 137 B w 1258 C w 2 309 D w 2 314 Lờigiải
Chọn B
- Đặt z x yi , với x y,
Ta có: z 3 4i
x 3
y4
i
2
23
x y
, hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn
C có tâm I
3; , bán kính r- Khi : P z 22 z i2
2 2 2
22
x y x y
4x2y3 4x 2y P
, kí hiệu đường thẳng
- Số phức z tồn đường thẳng cắt đường tròn
C
;
d I r
23
2 P
P23 10 13 P 33 Suy M 33 m13 w 33 13 i
Vậy w 1258
Câu 32: (THPTHậuLộc2-2018) Cho hai số phức z z1, thỏa mãn z1 1 i z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức z1z2 ?
A m 1 B m2 C m2 D m2 2 Lờigiải
ChọnD
Đặt z1 a bi a b; , z2 b
1
z z a b b a i
Nên z1z2
a b
2 b a
2 2.z1 Ta lại có 2 z1 1 i z1 1 i z1 1 2
z
Suy z1z2 2.z1 2 2
Dấu " " xảy
1
a b
(25)Vậy mmin z1z2 2 2
Câu 33: (SGDBắcGiang-2018) Hcho hai số phức z, w thỏa mãn
w w
z i
i i
Tìm giá trị
nhỏ Pmin biểu thức P z w
A min 2
P B Pmin 1 C min 2
P D min 2
P
Lờigiải Chọn C
Giả sử z a bi
a b,
, w x yi
x y,
3
z i
2
23
a b
(1)
w 2 i w 2 i
2
2
2
21 2
x y x y
Suy x y 0
2
2
2
2w
P z a x b y a x b x
Từ (1) ta có I
3; , bán kính r1 Gọi H hình chiếu I d y: x Đường thẳng HI có PTTS2
x t
y t
3 ;
MHIM t t
2 1M C t
1
1 t t
1
2 ;
2
t M
,
5
2 MH
1
3 ;2
2
t M
,
5
2 MH Vậy
5 2
P
Câu 34: (ChuyênLêHồngPhong-TPHCM-2018) Cho số phức z thỏa z 1 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P z5z36z 2 z41 Tính M m
A m 4, n3 B m4, n3 C m 4, n4 D m4, n 4 Lờigiải
Vì z 1 z z z2 nên ta có z z
(26)Trang 26 Từ đó, P z5z36z 2 z41 z z4z4 6 2 z41 z4z4 6 2z41
Đặt z4 x iy, với x y, Do z 1 nên z4 x2y2 1 1 x y, 1
Khi P x iy x iy x iy 1 2x 6 2
x1
2y22x 2x
2x 2 1
23Do P3 Lại có 1 x 1 0 2x 2 2 1 2x 2 1 P Vậy M 4 z4 1 m3
z4 12 23i Suy M m 1
Câu 35: (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho số phức w , z thỏa mãn w i 5
5w i z4 Giá trị lớn biểu thức P z 2i z 2i A B 13 C 53 D 13
Lờigiải Chọn C
Gọi z x y i, với x y, Khi M x y
; điểm biểu diễn cho số phức zTheo giả thiết, 5w
2 i
z4
5 w i
2 i
z 4
5i
2 i w i
z 2i 2iz
Suy M x y
; thuộc đường tròn
C : x3
2 y2
29 Ta có P z 2i z 2i MA MB , với A
1; B
5;2Gọi H trung điểm AB, ta có H
3;2 đó: P MA MB 2
MA2MB2
hay P 4MH2AB2Mặt khác, MH KH với M
C nên P 4KH2AB2
2 24 IH R AB
2 53
Vậy Pmax 2 53 M K MA MB
hay z 3 5i
3 11
w i
5
Câu 36: (KimLiên -Hà Nội - 2018) Xét số phức z a bi (a b, ) thỏa mãn z 3 2i 2 Tính a b z 1 2i 2 z 2 5i đạt giá trị nhỏ
(27)A 4 B 2 C D 4 Lờigiải
Cách 1:
Đặt z 3 2i w với w x yi
x y,
Theo ta có w 2 x2y24Ta có P z 1 2i 2 z 2 5i w 4 2w 1 3i
x4
2y2 2
x1
2 y3
2
2
2
2
220 8x x y 2x x y
2 2 2
2 2
2
2
2 x y 2x x y x y x y
2 y y y y
2
1
1
6
3
x
x
P y y
y x y
Vậy GTNN P đạt z 2
2 3
i Cách 2:3 2
z i MI2M
I;2 với I
3;1 2
P z i z i MA MB với A
1; , B
2;5Ta có IM 2; IA4 Chọn K
2; IK 1 Do ta có IA IK. IM2 IA IMIM IK
IAM
IMK đồng dạng với AM IM
MK IK
AM 2MK
Từ P MA 2MB 2
MK MB
2BKDấu xảy M , K, B thẳng hàng M thuộc đoạn thẳng BK Từ tìm M
2; 2 3
Cách 3:
Gọi M a b
; điểm biểu diễn số phức z a bi Đặt I
3; , A
1; 2
B
2;5Ta xét tốn: Tìm điểm M thuộc đường trịn
C có tâm I, bán kính R2 cho biểu thứcP MA MB đạt giá trị nhỏ
(28)Trang 28
2 2 . 4 2 2 . 2 4 3 4 2
MI IA MI IA MI IK MI IK MI IA IK R IK IA
*
*
2 20 23
IA IK
M C
R IK IA
4
4
2
4
x x
IA IK
y y
Thử trực tiếp ta thấy K
2; thỏa mãn 3R24IK2IA20Vì BI2 12 3210R2 4 nên B nằm ngồi
CVì KI2 1 R24 nên K nằm
CTa có MA2MB2MK2MB2
MK MB
2KBDấu bất đẳng thức xảy M thuộc đoạn thẳng BK Do MA2MB nhỏ M giao điểm
C đoạn thẳng BK Phương trình đường thẳng BK x: 2Phương trình đường trịn
C : x3
2 y2
24 Tọa độ điểm M nghiệm hệ
2
22
3
x x
x y y
2
2
x y
Thử lại thấy M
2; 2 3
thuộc đoạn BK Vậy a2, b 2 a bCâu 37: (Liên Trường -Nghệ An - 2018) Biết hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 3 4i 1
1 4i
2
z Số phức z có phần thực a phần ảo b thỏa mãn 3a2b12 Giá trị nhỏ P z z1 z 2z2 2 bằng:
A min 9945 11
P B Pmin 5 C min 9945 13
P D Pmin 5 Lờigiải
Chọn C
Gọi M1, M2, M điểm biểu diễn cho số phức z1, 2z2, z hệ trục tọa độ Oxy Khi quỹ tích điểm M1 đường trịn
C1 tâm I
3; , bán kính R1;quỹ tích điểm M2 đường
C2 trịn tâm I
6;8 , bán kính R1; quỹ tích điểm M đường thẳng d: 3x2y12 0 (29)Gọi
C3 có tâm 3 138 64; 13 13 I , R1 đường tròn đối xứng với
C2 qua d Khi
min MM MM 2 min MM MM 2 với M3
C3Gọi A, B giao điểm đoạn thẳng I I1 3 với
C1 ,
C3 Khi với điểm
1
M C , M3
C3 , Md ta có MM1MM3 2 AB2, dấu "=" xảy1 ,
M A M B Do Pmin AB 2 I I1 3 2
9945 13 I I
Câu 38: (ChuyênLêQuýĐôn–ĐiệnBiên-2019) Trong số phức thỏa mãn: z 1 i z 1 2i
, số phức z có mơ đun nhỏ có phần ảo
A
3
10
B3
5
C3
5
D3
10
LờigiảiChọnD
+ Gọi số phức cần tìm z a bi a b, ( , )
z ab i
+ z 1 i z 1 2i
1
1 2
a bi
i
a bi
i
1 1
a b i a b i
2
2
2
21
1
1
2
a
b
a
b
4
3
3
4
2
3 0
2
2
2
a
b
b
a
a
+2
2 2
2
3
5
6
9
5
6
9
9
2
4
5
25
20
z
a
b
a
a
a
a
a
a
2
3 9 5
5 20 20 10
a
z
nhỏ3 5
10
3
3
5
10
a
b
Câu 39: (ChuyênBắcGiang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị lớn P z5z36z 2z41 Tính M m
I3 I2
I1 M
8
6
3
O y
(30)Trang 30
A M m 1 B M m 7 C M m 6 D M m 3 Lờigiải
ChọnA
Ta có: zz z2 z z
Suy 4 4
3
1
6 1 6
P z z z z z z z z z
z z
Đặt w z 4 w 1, ta P w26w 1 2w2 Gọi w x yi , 1 2 1
1 x
w x y
y
2 6 1 2 3 2 1 2 6 2 3 2 1
P x x y y x i x yi x x y x i x yi
2 2
2 x x yi x y x x yi 2x
2 x 2x
Xét hàm số f x
2 x 3
2x2 đoạn
1;1
2 ;
2 2 12
2 2
f x f x x x
x x
Ta có:
1 4; 3;
1f f f
Vậy M 4,m 3 M m 1
Câu 40: (BìnhGiang-HảiDương2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn biểu thức
1
P z z
A B C D
Lờigiải ChọnC
Gọi z x yi ; ;
x y
2 2
1 1 1;1
z x y y x x
Ta có: P 1 z 3 1 z
1x
2y2 3 1
x
2y2 2 1
x
2 1
x
Xét hàm số f x
1
x
2 1
x
; x
1;1
Hàm số liên tục
1;1 với x
1;1
ta có:
1
2
f x
x x
1
0 1;1
5
2
f x x
x x
1 2;
1 4; 5
f f f
1;1
max
(31)Vậy giá trị lớn biểu thức P 1 z 1z
x ,
5
y
Câu 41: (SGDHưngYên 2019) Cho số phức z thoả mãn z 1 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
1
P z z z Tính M m A 13
4 B
39
4 C 3 D
13 Lờigiải
ChọnA
Thay z2 1 vào P ta có
2
1
P z z z z 1 z2 z z2 z 1 z2 z z z. z 1 z z z 1
1
z z z
Mặt khác z12
z1
z 1 z z Đặt t z z z 1 nên điều kiện t
2; 2
Suy P t 2 tXét hàm số f t
t 2 t với t
2; 2
12
f t
t
với t1 Suy f t
0 với t1
12
f t
t
với t1 Suy f x
07 x
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy 13
M
4
t m t2
Vậy 13
4 M m
Câu 42: (Chuyên-KHTN-HàNội-2019) Cho số phức
z
thỏa mãn : z z 2i Giá trị nhỏ biểu thức P z i zA B C 3 D
(32)Trang 32 Gọi M x y( ; ) điểm biểu diễn số phức z Ta có z z 2i y 0,tức biểu diễn hình học số phức thỏa mãn giả thiết đường thẳng y 1 Xét điểm A(0;1) B(4;0)
4
P z i z MA MB Dễ thấy A B, phía với đường thẳng y 1 nên MA MB nhỏ BA A (0; 3) đối xứng với A qua đường thẳng y 1
Do MA MB nhỏ BA 5
Câu 43: (SGDBến Tre2019) Cho số phức z1 1 3i, z2 5 3i Tìm điểm M x y
;
biểu diễnsố phức z3, biết mặt phẳng phức điểm M nằm đường thẳng x2y 1 mô đun số phức w3z3 z2 2z1 đạt gí trị nhỏ
A 1;
5 M
B
3 ; 5 M
C
3
;
5
M
D
3
;
5
M Lờigiải
ChọnA
Trắcnghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết thỏa ta đáp án A
Tựluận:
Ta có w3z3 z2 2z13z3 3 3i 3
z3 1 i
w 3z3 1 i 3AMvới A
1;3
;
M x y biểu diễn số phức z3 nằm đường thẳng d x: 2y 1 A
1;3
d Khi w 3 z3 1 i 3AMđạt giá trị nhỏ AM ngắn AM dAM d nên AM có phương trình: 2x y 1 Khi M AMd nên 1;
5 M
Câu 44: (SGDCầnThơ2019) Cho số phức
z
thoả mãn z 1 2i Giá trị lớn z 1 iA B C 20 D
Lờigiải ChọnD
Cách1
Ta có z 1 i z 2i i z 2i 2 i Đẳng thức xảy z 3 3i
Vậy max z 1 i Cách2
M' A
B
A'
(33)Đặt z x yi x y , ,
từ điều kiện ta có:
x1
2 y2
2 5Gọi M x y
; điểm biểu diễn cho z A
1; 1
điểm biểu diễn cho số phức 1 i, z 1 i AM với M thuộc đường trịn
C tâm I
1; 2
bán kính RDễ thấy A
C , AM 2R2Suy max z 1 i 5, đẳng thức xảy M K Cách3
1
z i
*Đặt z x yi
x y,
, ấy, ta có
* x yi 2i
x 1
y2
i
2
21
x y Đặt sin
2 cos x a
y a Ta có z 1 i
x 1
y1
i
2
1
x y
2
25 sin cos
a a 10 sin a2 cosa
2 5
10 10 sin cos
5
a a 10 10sin
a
với2 cos 5 sin
Vì 1 sin
a
1vớia
;
10 10 z i 10 100
z i
Vậy giá trị lớn z 1 i Dấu " " xảy sin
a
1 2 a k cos cos sin
2
2
sin sin cos
2 a k a k
1 sin cos x a y a 2 x y 3 x y 3
z i
(34)Trang 34
A B
5 C D
5 Lờigiải
ChọnD
Giả sử z x yi
x y,
Ta có
2i z
2 i z
2i
2i x yi
2 i x yi
2i
2x y
2y x i
2x y
2y x i
2i
4y2x i
2i 4y2x22
x y
Do
2
2 2 2 1 2 5 4 1 5 1, .
5
5
z x y y y y y y y
Suy
5
z
5
y , x
Câu 46: (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Số phức z có mơđun nhỏ thoả mãn 3i z z i
A
5 5 i B
3
5 5 i C
3
5 5 i D
6 5 i Lờigiải
ChọnC
Đặt z x yi x y , ;
z x yiKhi 2 3i z z i
x 2
y3
i x
y1
i
x 2
2 y 3
2 x2
y 1
2 x 2y 3 0
Do tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng :x 2y 3
Ta có z d
O,
Gọi d đường thẳng qua O vng góc với d: 2x y 0Gọi : 3;
2 5
x y
H d H H
x y
Khi z có mơđun nhỏ thoả mãn có điểm biểu diễn H, tức 5 z i
Câu 47: (SởGDNamĐịnh-2019) Trong số phức z thỏa mãn
12
17 13i z i
z i
Tìm giá
trị nhỏ z
A 13
26 B
5
5 C
1
2 D
Lờigiải ChọnA
Điều kiện: z 2 i
Phương trình cho 12 17 13 2
12 i
i z z i z i z i
i
(35)Gọi M x y
;
điểm biểu diễn số phức z x yi Vì z 2 i nên M N
2;1 Khi đó,
1 x1
2 y1
2 x2
2 y1
2 6x4y 3Ta thấy đường thẳng : 6d x4y 3 không qua điểm N
2;1 nên tập hợp điểm M đường thẳng dNgoài ra, z OM nên z nhỏ OM nhỏ nhất, tức
23 2 13d ,
26
6
OM O d
Vậy 13 26
z
Câu 48: (ChuyênNguyễnHuệ-HN-2019) Cho số phức z thỏa mãn z22z 5
z 1 2i z
3 1i
Tính w, với w z 2 2i
A
2
w B minw 1 C
w D w2 Lờigiải
ChọnB
Theo giả thiết, z22z 5
z 1 2i z
3 1i
z 2i z
2i
z 2i z
1i
1
z i z i z i
1
z i
z i z i
1 z 2i z 2i Khi đó, w 1 2i 2i 1
3Đặt z x yi ( , x y) Khi đó,
2
x 1
y2
i
x 1
y3
i
2
2
2
2
2
2 11 3
2
x y x y y y y z x i
2 92
2 4
w x i x
x
4Từ
3
4 min w1Câu 49: (KimLiên-HàNội2019) Xét số phức z thỏa mãn z 3 2i z i Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z z 3i Tìm M , m
A M 17 5; m3 B M 26 5 ; m C M 26 5 ; m3 D M 17 5; m
(36)Trang 36 Gọi M điểm biểu diễn số phức z, F1
3;2
, F2
3; 1
, A
2;0
B
1;3Ta có z 3 2i z i F F1 23 MF1MF2F F1
Do tập hợp điểm M đoạn thẳng F F1
Dựa vào hình vẽ, ta thấy:
+ M Pmax M A M B2 26 5 + m P M A M B AB1 3 Vậy M 26 5 ; m3
Câu 50: (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương2019) Xét số phức
z
thỏa mãn z 1 3i 2 Số phức z mà z1 nhỏA z 1 5i B z 1 i C z 1 3i D z 1 i Lờigiải
ChọnB
Giả sử z x yi x y ;
Ta có z 1 3i 2
2
21
x y
x1
2 y26y5Vì
x1
2 0 y26y 5 0 1 y 5
21
z x y y
Vì 1 y 6y 5 25 1 z Vậy z1 nhỏ
1 x y
z 1 i
Câu 51: (Chuyên NgữHàNội 2019) Cho số phức z z z, ,1 2 thay đổi thỏa mãn điều kiện sau: iz 2 3i , phần thực z1 2, phần ảo z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T z z12 z z22
A B C 5 D
Lờigiải ChọnD
Đặt z x yi x y, , , ta có M z
M x y
; (37)
x
y
2 2 4 29
Suy tập hợp điểm M đường tròn
C tâm I
2 4;
, bán kính R3Mặt khác: z1 2 bi A z
1 A
2;b Tập hợp điểm A đường thẳng d1: x2
;z2 a i B z2 B a1 Tập hợp điểm B đường thẳng d2: y1 Giao điểm d1 d2 P
2 1;Gọi H K hình chiếu M d1 d2
Ta có: T z z12 z z22MA2MB2MH2MK2MP2
T đạt giá trị nhỏ A H B , K I M P, , thẳng hàng (theo thứ tự đó) Phương trình đường thẳng IP: x t M
t; t
y t
2 2 3
1 (vì M IP)
Mà M
C nên ta có
t
t t t
t
2 2
2
9
4 3
8 25
5
- Với t M ;
8 22 29
5 5 (loại)
- Với t M ; z i z i z, i
2 11 11 2 11
5 5 5 5
Suy MPmin IP IM IP R 42
32 3 2 Vậy Tmin 22 z 2 11i z, 1 2 11i z, 2 2 i5 5
Câu 52: (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i biểu thức
2
2
P z z i đạt giá trị lớn Tính z i
A B 41 C 61 D
Lờigiải ChọnC
(38)Trang 38 +) Ta có: z 3 4i 5
x3
2 y4
2 5
1+) P z 22 z i2
x2
2y2 x2
y1
24x2y3
2 2
2
24 x y 23 x y 23 33
3
33
4
x y
P x y
Từ
1
2 suy 5 x y
3 x y
Với 33
5 x
P y
; Với
1
13
x
P y
Vậy số phức z thỏa mãn z 3 4i biểu thức P z 22 z i2 đạt giá trị lớn 5
z i Khi z i 61
Câu 53: (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa –2019) Cho số phức z a bi a b
,
thỏa mãn1
z i Giá trị nhỏ biểu thức P a b
A
3
2
B 2 C3 2
D2
2
LờigiảiChọnA Cách1:
Theo giả thiết ta có z 1 i
a1
2 b1
2 1 Đặt a 1 sin ,t b 1 cos 0t
t 2
Khi sin cos sin 3 sin
4
P a b t t t
t
Ta có: sin 2 sin 3
4
t t P
Do giá trị nhỏ P 3 Cách2:
Theo giả thiết ta có z 1 i
a1
2 b1
2 1 a b,
0; Khi P a b 5 a b
a 1
b1
Theo BĐT Bunhia ta có:
a 1
b 1
121 2
a1
2 b 1
2 2
Do P 3
Câu 54: (ĐạihọcHồng Đức–ThanhHóa 2019) Cho số phức z a bi (a, b) thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A z 2 z2
(39)Lờigiải ChọnB
Ta có: z22
a2
2b2; z22
a2
2b2Suy ra: z22 z 22 2
a2b2
8 2 z2810Ta có: A2
z 2 2 z2
2
1222
z22 z 22
50Vì A0 nên từ suy A 50 2 Vậy giá trị lớn A
Câu 55: (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho số thực a thay đổi số phức z thỏa mãn
2 1 1 2
z i a
a a i a
Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M điểm biểu diễn số phức z Khoảng cách nhỏ hai điểm M I
3;4
(khi a thay đổi)A B C D
3
Lờigiải ChọnC
Ta có:
2
2 2
1
1
1 1
i a a
z i a z
a a i
a a a
3
2
2 2
1
1
1 1
a a a i
z a i
z z
a a a
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm O bán kính R1
Ta có: OI 5 Do đó: OMmin OM1OI R 5
Câu 56: (ChuyênLêHồngPhong-NamĐịnh- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z 2 4i Gọi a b giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức a2b2 bằng
A
40
B C 20 D (40)Trang 40 ChọnA
Gọi M x y
;
điểm biểu diễn số phức z x yi với ,x yTa có z 2 4i 5
x2
2 y4
2 5 tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I
2;4 bán kính RKẻ đường thẳng qua điểm O I cắt đường tròn điểm M N hình vẽ 2
2
OI ; IM IN R Từ hình vẽ ta thấy:
min 5
z OM OI IM b
max 5
z ON OI IN a Vậy a2b2 40.
Câu 57: (HậuLộc2-ThanhHóa- 2019) Cho z z1, 2 hai số phức thỏa mãn z 3 3i 2 z1z2 4 Giá trị lớn z1 z2
A B C D 2 3
Lờigiải ChọnA
GọiM N, điểm biểu diễn hai số phức z z1,
Do
1
3 3
4
z i z i
z z
nên
2
2 2, N : 3
4 2.2
M C x y
MN
(41)
Ta có
2
2 2
1 1 2O
2 MN z z OM ON OM ON I
Dấu " " xảy OM ON MN đường kính
C vng góc với OI Câu 58: (ChuyênĐạihọc Vinh-2019) Giả sử z z1, hai số phức thỏa mãn
z6 8
zi
là số thực Biết z1z2 4 Giá trị nhỏ z13z2
A 5 21 B 20 21 C 20 22 D 5 22 Lờigiải
ChọnC
Giả sử số phức z x yi thỏa mãn
z6 8
zi
số thực Ta có:
z6 8
zi
x yi 6 (8
x yi i
)
x6 8
y
8xy 8x x
6
y
8y i
Để
z6 8
zi
số thực 8x x
6
y
8y
0
x3
2 y4
252Vậy điểm biểu diễn số phức z z1, 2 thuộc đường tròn tâm I
3, , bán kính R5Giả sử z1 x1 y i1 có điểm biểu diễn A x y
1, 1
; z2 x2 y i2 có điểm biểu diễn B x y
2, 2
Vì z1z2 4
x1x2
2 y1y2
2 4 AB4 Ta xét z13z2 OA3OBGọi H trung điểm AB, K trung điểmHB, ta có:
1 3 4
z z OA OB OH OB OK OK
(42)Trang 42 Suy z13z2 4OK 20 22
Câu 59: (ChunHồngVănThụ-HịaBình-2019)Trong số phức z thỏa mãn z2 1 2 z gọi
z z2 số phức có mơđun nhỏ lớn Giá trị biểu thức z12 z22
A B 2 C D 2
Lờigiải ChọnA
Áp dụng bất đẳng thức mô đun : z1z2 z1 z2 Dấu xảy z1kz2,
k0
Ta có: z z2 1 z2 1 z z2 1 zVới z2 1 2 z z2 2 z 1 0 z 1 2
Dấu xảy khi:
max2
3 2
1
1
1
k z
z z
z i
z k
Với z2 1 2 z z2 2 z 1 0 z 1 2
Dấu xảy khi:
2
3 2
2
m z
z z
z i
z m
Vậy z12 z22
1
2 1
2 6Câu 60: (SGDĐàNẵng 2119) Gọi z số phức có mơđun nhỏ thỏa mãn điều kiện z 2 8i 17 Biết
z a bi a b
,
, tính m2a23bA m 18 B m54 C m 10 D m14
Lờigiải ChọnC
Gọi
M a b
;
điểm biểu diễn số phứcz a bi a b
,
Ta có: z 2 8i 17
a2
2 b8
2 17 IM 17vớiI
2;8
Suy ra: M thuộc đường trịn
C
có tâm I bán kính R 17Lại có:
OI
2
2
8
2
2 17
R
nên O nằm
C
GTNN môđun zz
min
OM
min OI R 17
1
Đẳng thức xảyM OI
C
M nằm O I
2
Từ
1
2
ta có M trung điểm OI nênM
1;4
Suy a1;b4 Khi đó: m2a23b 2 12 10.
Câu 61: (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Xét số phức z a bi a b
,
thỏa mãn 2 (43)A P3 B P 3 C P1 D P7 Lờigiải
ChọnB
Đặt A
1; ,
B 7; AB
8;8 trung điểm AB K
3; 2
Gọi M a b
; điểm biểu diễn số phứcz
ta có:
a2
2 b 3
2 8M
thuộc đường trịn
C có tâm I
2;3
, bán kính RTa thấy IK
5; 5
IK AB 0 I nằm đường thẳng trung trực AB Xét tam giác2
2 2
2 AB MABMA MB MK
2 2
2 2
2 2 22 MA MB 4MK AB MA MB MA MB 4MK AB
Ta có z 1 6i z 2i tổng khoảng cách từ điểm M đường tròn
C tới hai điểm A BVậy MA MB lớn khi:
max MA MB MK
Điều xảy M giao điểm IK với đường tròn
C M nằm ngồi đoạn IKTa có phương trình đường thẳng :
x t
IK
y t
Tọa độ giao điểm IK với đường tròn
C nghiệm hệ:
2
2
2
3
2
x t
y t t t
x y
Vậy điểm M cần tìm ứng với t 2
4;5
5 a
M P a b
b
Câu 62: (SGDBắcNinh2019) Cho số phức zthỏa mãn
1i z
1 3i 3 Giá trị lớn biểu thức P z i z 2 3iA B 15 1
6
C D 10 15 LờigiảiChọnC
(C)
A
B I
N
(44)Trang 44 Cách1
1i z
1 3i 3 1 3i i z
i
z
1 2i
3 1
Gọi OM
x y;
, OI
1; vec-tơ biểu diễn cho số phức z x iy, w 2 i Từ
1 có OM OI 3MI3Suy M thuộc đường trịn
C tâm I
1;2 bán kính R3,
C : x1
2 y2
39 Gọi OA
2; 1
, OB
2;3 vec-tơ biểu diễn cho số phức a 2 i, b 2 3i Có IA
3; 3
, IB
1;1 Suy IA 3IBIA 3IB0Lúc P MA 6MB MA 3MB 3
MA23MB2
Có MA23MB2
IA IM
23 IB IM
2 4IM2IA23IB2Có IM29, IA2 18, IB22, nên MA23MB2 60
Suy P 3.60 5
Có P6
1
MA MB
Vậy giá trị lớn P P6 Cách2
Giả sử M x y
; điểm biểu diễn số phức z
1i z
1 3i 3 2 x y 1
x y 3
i 3 2x2y22x4y 4 0
2
21
x y
Do M thuộc đường trịn tâm I
1;2 , bán kính R3Đặt
2 a x b y
Ta có
2 9
a b Gọi A
2; 1
, B
2;3
2
2
2
22 6
P z i z i MA MB x y x y
2
2
2
2
3 1 27 11
a b a b a b a b
6 a b 27 a b 33 27 33
(45)Câu 63: (Lômônôxốp-HàNội2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 1 i Giá trị nhỏ biểu thức A2z 4 5i z 7i a b (với a b, số nguyên tố) Tính
S a b?
A 20 B 18 C 24 D 17
Lờigiải ChọnB
Gọi z x yi x y ,
,
Ta có:
2
2
1 1
z i x y C ;
Suy ra, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn
C , có tâm I
1;1
bán kính R3Ta có:
2
2
2
22 7
A z i z i x y x y
2
2
2
2
2
2
2 x y x y x y
2
2 2 22 x y 4x 8x 4y 20y 29
2
2 2 292 2 10
4
x y x x y y
2
2
22
2
x y x y
Gọi M x y
;
C
2 , 4; ; 1;7
A z i z i MA MB A B
(46)Trang 46
2 , 1;
2
A MA MB MA MC C
Ta có: 0;3
2 C
IC IC R
Suy ra, điểm C nằm đường tròn
CVậy, đường thẳng AC cắt đường tròn
C hai điểmDo đó, để A2
MA MC
đạt giá trị nhỏ Mphải nằm hai điểm A C
132 ,
2
A MA MC AC AC
5 13
A a b
Vậy, a b 18
Câu 64: (NguyễnHuệ-Ninh Bình- 2019)Cho z z1, 2 nghiệm phương trình 3 i iz 2z 6 9i thỏa mãn 1 2
5
z z Giá trị lớn z1z2
A 56
5 B
28
5 C D
Lờigiải ChọnA
Gọi z1 x1 y i z1, 2 x2 y i2 , với x y x y1, , ,1 2 2
Do 1 2
5
z z
2
2
8
x x y y i
2
21 2
8
x x y y
Gọi M x y1
1; 1
, M2
x y2; 2
2
2 2
28
M M x x y y
Mà z1 nghiệm phương trình 3 i iz 2z 6 9i
6 y1
x1 3
i
2x1 6
2y1 9
i
2
2
2
21 1
6 y x 2x 2y
2
1 24
x y x y
1;M x y
đường tròn ( ) :C x2y26x8y24 0
Tương tự M2
x y2; 2
CĐường tròn ( )C có tâm I
3; , bán kính R1 Goị M trung điểm M M1 2 IM M M1 2,2
2
1
4
5
IM R M M
,
1 2
z z OM
Mà OM OI IM , dấu xảy O I M, , thẳng hàng Khi OM M M1 2, 28
5
(47) z1z2 đạt giá trị lớn 2
OI IM
, 56Hoặcđánhgiáchọnđápánnhưsau:
Gọi N
x2;y2
NM1
x1x2
2 y1y2
2 z1z2Và Nđối xứng với M2qua gốc tọa độ O, Nđường tròn 2
( ) :C x y 6x8y24 0
1
( )C có tâm I1
3; 4
, bán kính R11, ( )C1 đối xứng với
C qua gốc tọa độ OCó I I1 10 I I R R1 18
Nhận xét: với điểm M1
C , N
C1 M N I I R R1 Loại đáp án B,C,D z1z2 M N1 đạt giá trị lớn 565
Câu 65: Cho số phức z w thỏa mãn
3
1 zi z i
w
(48)Trang 48
A
2 B
3
2 C D
1 Lờigiải
ChọnB
3
1 z
i z i
w
1
z
z z i
w
2
3 1
1 z
z z
w
Đặt t z ; t0 (vì z 0 khơng thỏa phương trình trên) (1) trở thành:
3 1
2
21 t
t t
w 10 8 2
t w
t t
2
1 1
1 ;
8 1
10 2 2 2
w t
t t t
Ta ln có: 1
2
w i w i
2 w i
Dấu = xảy
1
1
3 2 t z
w k i
w i
1
3 2 z i
w i
Vậy: Giá trị lớn 2 T
Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn z z 2 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 3 3
P z i z i z i
A 12 B C D 10
Lờigiải
(49)Gọi M x y
; , F1
2;0
, F2
2;0 , điểm biểu diễn cho số phức z x yi ,2 ,
Có z z 2 3 MF MF1 2 2 3, có 3F F1 2 2
Suy M x y
; chạy
E có tiêu cự 2c2 2, độ dài trục lớn 2a2 3, độ dài trục nhỏ2b2 phương trình tắc
E 23
x y
Có
; 31
x M x y E
y
Có P z 2 3 i z 3 2 i z 3i
2
2
2
2
22
2 3 3
x y x y x y
x2 2 y12 3x 2 y2 y3
2
2
2 3 3
x x y y
(Bất đẳng thức tam giác)
2
4y 12y 84 y
Đặt f y
2 y23y21 3 y, với 1 y 1 Có
2
2 1 21 y f y y y
f y y23y21 2 y3 1
,Cĩ 1 y
1 3y29 12 0y
nhận loại y y Có f
1 19, f
1 12Suy
1;1 12
yMin f y P12
Đẳng thức
1 xảy0,
2 1 0 3 x y x y y x 0, x y Thử lại: Khi x0,y1 có P12
Vậy MinP12 x0,y1
Câu 67: Cho số phức z x yi, x y, thỏa mãn z23y216 Biểu thức P z i z 2 đạt giá trị lớn
x y0; 0
với x0 0,y00 Khi đó:2 0 x y
A 20
B 20
2
C 20
2
D 20
2
(50)Trang 50 ChọnD
Ta có: z23y2 16x24y216
2
2
2
22 1 2 2 1 2
P x y x y x y x y
2
22
x x y y
2max 2 2
2
2
2
2 2 16
1
1
5
4 16
4 16 0 0 0 x y
x y x y x y
x x y y
x x
y y x x
y y
P
x y y y
x y x x x y y y 2 0 7
20
2 1 7
2
1 2
x y x y y x Nhậnxét: Bài ta dùng bất đẳng thức véc tơ sau Cho a
a a1; 2
,b
b b1; 2
a b
a1b a1; 2b2
, ta có:
2
2 2 21 2 2
a b a b a b a b a a b b Dấu “ = ” xãy a b , ngược hướng
1 2 1 2
0 a b a b a b a b
Câu 68: Cho số phức z a bi
a b,
thỏa mãn z 4 z 10 z6 lớn Tính S a b A S11 B S 5 C S 3 D S5
Lờigiải ChọnB
Trong mp tọa độ Oxy, Ta gọi điểm biểu diễn số phức: z x yi M x y
;
; z 4 0i F1
4;0
; z 4 0i F2
4;0 Ta có: z 4 z 10MF1MF2 10 (1)
2
2
1 2
1 2
2 2 8 16
MF x y x
MF MF x MF MF
MF x y
(2)
Từ (1) (2), suy 1 5
x MF
Mặt khác
21
MF x y
2 2
2 2
4
5
5 25
x x y
x y
Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z 4 z 10 Elip có phương trình
2
:
(51)Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc
E sau cho z6 lớnTa gọi điểm biểu diễn số phức: z 6 0i A
6;0 ; z a bi M a b
; E ;z i C
5;0
Do đó, z6 lớn MA lớn
Dựa, vào hình vẽ ta thấy để MA lớn M C
5;0
a 5;b 0 S Câu 69: Cho số phức z a bi a b ,
thỏa z 4 z 10 z6 lớn Tính S a b ?A S 3 B S5 C S 5 D S11
Lờigiải ChọnC
Gọi M a b
; điểm biểu diễn số phức z a bi a b
,
2
2
4 10 4 10
4 10 *
z z a bi a bi
a b a b
Xét F1
4;0
F2
4;0 Khi
* MF MF1 10Suy M thuộc Elip có 2
2 10
c
b a c
a a
Ta có: z 6
a6
2b2 IM I,
6; 0 , suy max z 6 IA hay điểm
5;0
5MA z i S
Câu 70: Cho số phức z thỏa mãn z 1, M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A 1 z 1z Giá trị biểu thức M m
A 2 B C 4 D
(52)Trang 52 ChọnA
Gọi z x yi với x y, z 1 x2y2 1 x2y21
2
21 1 2 2 2
A z z x y x y x x
Xét hàm số f x
2 x2 2 x với x
1;1
Hàm số f x
liên tục đoạn
1;1
2
1 2
2 2 2 1
x x
f x
x x x
1;1
f x x x x Khi f
1 4;5 f
; f
1 2 Do1;1
1;1
3
max ;
5
M f x f m f x f
Suy M m 2 2
Câu 71: Xét tập hợp S số phức z x yi x y
,
thỏa mãn điều kiện 3z z
1i
2 2 i
Biểu thức Q z z
2x
đạt giá trị lớn Mvà đạt z0 x0y i0 ( z thay đổi tập S ) Tính giá trị0
T M x y
A
2
T B
4
T C
2
T D
4 T Lờigiải
ChọnD
Ta có: 3z z
1i
2 2 i
4x216y216 x24y2 4 4y2 4 x2Do đó, Q z z
2x
4y2
2x
4x2
2x
f x
, 2 x 2
2
2 4, 2 2
4
0
2 ;
x x
f x x
x x
f x x
x
Mặt khác, f
2 0, 2f
0, f
1 3 Suy M 3 30
3
1,
4 x y
Vậy
4 T
Câu 72: (THPT Hậu Lộc 2019) Cho z z1, 2 hai số phức thỏa mãn z 3 3i 2
1
z z Giá trị lớn z1 z2
(53)Lờigiải ChọnA
GọiM N, điểm biểu diễn hai số phức z z1, 2
Do
1
3 3
4
z i z i
z z
nên
2
2 2, N : 3
4 2.2
M C x y
MN
Như MN đường kính đường trịn
C với tâm I
3; 3
, bán kính R2, I trung điểm MN, OI 12Ta có
2
2 2
1 1 2O
2 MN z z OM ON OM ON I
Dấu " " xảy OM ON MN đường kính
C vng góc với OI Câu 73: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn1
z i z i iz2 1 2i 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T z1z2 A 2 1 B 1 C 2 1 D 1
Lờigiải ChọnC
Trên mặt phẳng Oxy, gọi M a b
; điểm biểu diễn cho số phức z1; A
2;1
, B
4;7 điểm biểu cho số phức 2 i 7 i AB6Từ ta MA MB 6 2AB nên tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z1 đoạn
(54)Trang 54
2 3
iz i iz i z i Gọi N c d
; điểm biểu diễn cho z3;
2;1I điểm biểu diễn cho số phức 2i, IN 1 nên tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z3 đường tròn
C : x2
2 y1
2 11
z z z z MN
Dễ thấy hình chiếu vng góc điểm I
2;1 đường thẳng
d điểm K
0;3 thuộc đoạn AB suy MN KH với H giao điểm IK với
C thuộc đoạn IKDo minMN KHd I AB
,
R 2 1 Vậy z1z2 2 1Câu 74: (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) Cho số phức z z z, ,1 2 thỏa mãn z1 4 5i z2 1
z i z i Tính z1z2 P z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ
A B C
41
D2 5
Lờigiải ChọnD
Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 Suy A thuộc đường tròn
C1 tâm
1 4;5 ,
I R
Gọi B điểm biểu diễn số phức z2 Suy B thuộc đường tròn
C2 tâm I2
1;0 ,R1Gọi M x y
; điểm biểu diễn số phức z x yiTheo giả thiết z4i z 4i x y Suy M thuộc đường thẳng
d x y 4 Gọi
C2' có tâm I2' 4; ,
R1 đường tròn đối xứng với đường tròn
C2 tâm
2 1; ,
(55)Dấu = xảy A B I I M, ', , ',1 2 thẳng hàng Khi 1
' I A I I
suy A
4;42
1
' '
8 I B I I
suy B' 4; 2
B
2;0 AB2 Vậy z1z2 2Câu 75: (ChuyênĐHVinh- 2019) Cho số phức zvà
thỏa mãn
2 i z
z i Tìm giá trị lớn T 1 i
A
3 B
2
3 C
2
3 D
Lờigiải ChọnA
2
2
2
2
2 2
2
2 1 1
5 2
2
0 ' ' 0
5 2 5 2 2
z z
i z i i z i
z
z z
z z i z z
z z
t t t
f t t f t f t t t
t t t t
Bảng biến thiên
Ta có 1 2
9
T i z i
Câu 76: Cho số phức
z
gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z2 8i 0(1
z có phần thực
dương) Giá trị nhỏ biểu thức
1 2
2 z
P z z z z z z viết dạng m np q (trong n p, ; m,
q
số nguyên tố) Tổng m n p q A B C D
Lờigiải ChọnA
2 8 0
(56)Trang 56
1 2 2
2 2
P z z z z z z z z z z z z z z MA MB M C
Trong , A
2; 2
, B
2;2
, C
3; 3
điểm biểu diễn cho số phứcz
, z1, z2,
1
2 3
2 i
z z
Gọi H hình chiếu vng góc M OC
Ta có MA MB HA HB MA MB MC HA HB HC
Do Pmin
MA MB MC
min HA HB HC M H
M OC y x : Gỉa sử M x x
;
x
3;0
P MA MB MC 2
x 3
2 2
x24
2 2
4 x P
x
P 0
2
3;0
x
Vậy
2
2 3
2 2
3
P
Suy m2, n6, p3, q2 m n p q 3 Câu 77: Trong số phức z thỏa mãn z2 1 2 z gọi
1
z z2 số phức có mơđun nhỏ lớn Giá trị biểu thức z12 z2
A B 2 C D
Lờigiải ChọnA
Đặt z a bi a b ; ,
22 1 2 1 2 2 1 4 2
z a b abi a b a b ; 2 z 2 a2b2
Ta có z2 1 2 z
a2b21
24a b2 4
a2b2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 24
a b a b a b a b a b a b
2 2
2 2 2
26
a b a b a
Vì 4a2 0, a nên
a2b2
26 a2b2
1 0 3 2a2b2 3 2M
(57)Suy 2 1 2 2 1 2 6.
2 m
a b m M
M
2 02
1
3 2 a a M b a b
2 02
2 2
a a m b a b
Câu 78: (SởNamĐịnh-2019) Xét số phức w, z thỏa mãn w 5 i
5w
2 i z
4
Tìm giá trị lớn biểu thức P z 2i z 2iA B 53 C 58 D
4 13
Lờigiải ChọnC
Cách1
Ta có: 5w
2 i z
4
5w 5i
2 i z
4
5i
5w 5i i z 5i 5w i 2i z 2i z 2i
3
5 3
5 z i z i
Ta có:
2 2
1 ; ,
z z z z z z z z (1)
22
1 ; ,
2 z z
z z z z (2)
Ta có: P z 2i z 2i z 2i z 3i Áp dụng (1) (2), ta có:
2 2
3 3 3
z i z i z i
2
22 3 3
3 3
2
z i z i z i z i
z i z i
Vậy, ta có:
2
2
2
2
2 9
2
z i z i
z i z i z i z i
2 4 3 2 9
P z i
(58)Trang 58
2 4 72 9 232 2 58
P P
Cách2
Ta có: 5w
2 i z
4
thay w 5 i
3
z i
Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn
C : x3
2 y2
29 Gọi M
CTa có: P z 2i z 2i AM BM A ;
0;2 ,B 6;2 Suy P 2
AM2BM2
Gọi H trung điểm cạnh AB
Ta có:
2
2 2 2
2 2
2 AB
P AM BM MH MH AB
Vậy, P z 2i z 2i đạt giá trị lớn MH2 đạt giá trị lớn
Dựa vào hình vẽ sau
Suy ra, MH2 đạt giá trị lớn M M'P2232 P 2 58
Câu 79: Cho số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1 z2 z3 1 Tính giá trị lớn biểu thức
2 2
1 2 3
P z z z z z z
A P9 B P10 C P8 D P 12
Lờigiải ChọnA
(59)vì z1 z2 z3 1 suy A; B; C thuộc đường tròn tâm O bán kính Ta có z1z2 AB; z2z3 BC z3z1 AC
Suy P z1z22 z2z32 z3z12 AB2BC2AC2
2
2
2AO OB BO OC AO OC
6 2
OA OB OB OC OA OC
29 OA OB OC
9
3OG 2 9 OG29( với G trọng tâm tam giácABC)Dấu “ = “ xảy G O , hay ABC
Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn 3z z 2z z 12.Gọi M m, giá trị lớn nhất, nhỏ
z
4
i
Giá trịM m
.
bằng:A 28 B 24 C 26 D 20
Lờigiải ChọnB
Gọi
z x yi
;
x y
;
.
Xét z z 2 z z 123 x 2 y 6 (1) Ta có:
P
z
4 3
i
x
4
2
y
3
2
2
(60)Trang 60 P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi
.
ABCD
Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường trịn tiếp xúc cạnh CD: 3x2y 6 0tương ứng có
2