i M ⇒ OA ⊥ EF (**) BT11 “Bài toán liên quan đến trung điểm đường cao” Đề: ( O; R ) có đường kính AB C ∈ ( O ) , E CH ⊥ AB H Tiếp tuyến B, C cắt D C/m: AD qua trung điểm I C CH Giải D I Cách 1: Gọi I giao điểm CH AD IH AH AH 1 IH //DB ⇒ = = (1) B A DB AB R O H OC = OB = R ⇒ OD đường tt cat DB = DC t c ( ) trung trực BC ⇒ OD ⊥ BC mà AC ⊥ BC (vì ACB = 90o (gnt chắn nửa đường AD qua trung điểm I CH tròn)) nên OD //AC ⇒ A1 = O1 (đồng vị) * Xét ∆AHC ∆OBD có: H = B = 90o A1 = O1 Vậy ∆AHC ∽ ∆OBD ( g g ) CH AH AH ⇒ = = (2) DB OB R Từ (1),(2) ⇒ CH = IH ⇒ đpcm Cách 2: (thường sử dụng) Kéo dài AC cắt BD E Chứng minh D trung điểm BE ( ∆BCE vng có DB = DC ⇒ DB = DE ∆ABE có O trung điểm AB, OD //AC ⇒ D trung điểm BE (1) IH AI IH //DB ⇒ = (2) DB AD IC AI IC //DE ⇒ = (3) DE AD Từ (1),(2),(3) ⇒ IH = IC ⇒ đpcm Chú ý: 1) I trung điểm CH C/m: A, I , D thẳng hàng 2) AI cắt tiếp tuyến B D C/m: DC tiếp tuyến ( O ) BT12 “Bình phương khoảng cách đến cạnh đáy tích khoảng cách đến cạnh bên” Đề: AB, AC hai tiếp tuyến cắt A B H 1 I M A O 1 C K M ∈ BC nhỏ; H , I , K hình chiếu lên AB, BC , AC C/m: MI = MH MK Giải HMI + HBI = 180o ( MIBH nội tiếp) KMI + KCI = 180o (CKMI nội tiếp) HBI = KCI ( ∆ABC cân A ) Từ (1),(2),(3) ⇒ HMI = KMI I1 = B1 ( MIBH nội tiếp) (1) (2) (3) (*) (4) K1 = C1 ( MICK nội tiếp) (5) B1 = C1 (cùng chắn BM ) (6) Từ (4),(5),(6) ⇒ I1 = K1 Từ (*),(**) ⇒ ∆MIH ∽ ∆MKI ( g g ) MI MH ⇒ = ⇒ MI = MH MK MK MI Chú ý: Gọi P giao điểm MB IH , Q giao điểm MC IK 2) PQ //BC 3) PQ tiếp tuyến ( MQK ) C/m: 1) MPIQ nội tiếp M (**) BT13 “Tính chất đường phân giác trong/ngồi tam giác” Đề: ( O ) , đường kính AB, CD ⊥ AB H C Tiếp tuyến C cắt AB M C/m: 21 BM AM = ⇒ BM AH = BH AM M BH AH A B H O Giải AB vuông góc CD H ⇒ BC = BD (định lí quan hệ vng góc đường kính dây cung) D ⇒ C1 = C2 ⇒ CB phân giác ∆MCH BM AM BM CM = ⇒ BM.AH = BH.AM ⇒ = (1) BH AH BH CH ACB = 90o (gnt chắn nửa đường tròn) ⇒ CA ⊥ CB ⇒ CA p/giác ∆MCH AM CM ⇒ = (2) AH CH Từ BM AM (1),(2) ⇒ = ⇒ BM AH = BH AM BH AH BT14 “Đường tròn qua năm điểm” Đề: AB, AC hai tiếp tuyến cắt A ADE cát tuyến, F trung điểm dây DE C/m: A, B, O, C , F thuộc đường tròn Giải F trung điểm DE ⇒ OF ⊥ DE (định lí quan hệ vng góc đường kính dây) ⇒ OFA = 90o mà OBA = OCA = 90o ( AB, AC hai tiếp tuyến ( O ) ) ⇒ F , B, C thuộc đường trịn đường kính OA Vậy A, B, O, C , F thuộc đường tròn E O F B C D A A,B,O,C,F thuộc đường tròn Chú ý: 1) FA tia phân giác BFC 2) Hai tia OF , BC cắt I C/m: IE , ID hai tiếp tuyến ( O ) 3) Tiếp tuyến E , D cắt I C/m: điểm O, F , I thẳng hàng BT15 “Bất đẳng thức hình học” B H I 60o K C C/m: BH.CK≤ BC HIK = 60 C/m: BH CK ≤ Giải AB = AC ; A1 = A2 (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) OB R ∆ABO vuông B ⇒ sin A1 = = = OA R ⇒ A1 = 30o ⇒ BAC = 60o o O Đề: AB, AC hai tiếp tuyến ( O ) OA = R H , I , K thuộc AB, BC , CA cho BC2 BC Giả sử BI CI ≤ ⇔ BI CI ≤ ( BI + CI ) ⇔ BI CI ≤ BI + CI + 2.BI CI ⇔ ≤ BI + CI − BI CI ⇔ ( BI − CI ) ≥ (luôn đúng) BC Từ (a),(b) ⇒ BH CK ≤ A ∆ABC có AB = AC BAC = 60o nên (b) ∆ABC ⇒ B = C = 60o (1) 0 I + K1 = 120 (2) ⇒ K1 = I1 I + I1 = 1200 Từ (1),(2) ⇒ ∆BIH ∽ ∆CKI ( g g ) BH BI ⇒ = ⇒ BH CK = CI BI (a) CI CK ...BT11 ? ?Bài toán liên quan đến trung điểm đường cao” Đề: ( O; R ) có đường kính AB C ∈ ( O ) , E CH ⊥ AB H... I C/m: IE , ID hai tiếp tuyến ( O ) 3) Tiếp tuyến E , D cắt I C/m: điểm O, F , I thẳng hàng BT15 “Bất đẳng thức hình học” B H I 60o K C C/m: BH.CK≤ BC HIK = 60 C/m: BH CK ≤ Giải AB = AC ; A1