MỘT số PHƯƠNG PHÁP tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số và ỨNG DỤNG

ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LỜI CẢM ƠN Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Quốc Tuấn - người trực tiếp trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình để em hồn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Bình, tồn thể thầy đặc biệt thầy cô giáo khoa Khoa Học Tự Nhiên tận tình giảng dạy giúp đỡ em năm học vừa qua Em xin chân thành cảm ơn động viên giúp đỡ gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình thực khóa luận Lời cuối em xin chúc sức khỏe tất thầy cơ, chúc thầy ln hồnh thành tốt nhiệm vụ giao Quảng Bình, tháng 06 năm 2014 Sinh viên Dương Thị Lan Hương MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu 5 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài B NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Các tính chất giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số CHƯƠNG II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 15 Phương pháp dùng đạo hàm 15 Phương pháp dùng miền giá trị hàm số 18 Phương pháp đưa dạng bình phương 21 Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô -si 23 Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski 26 Phương pháp dùng tam thức bậc hai 29 Phương pháp dùng vectơ 32 Phương pháp dùng lượng giác 36 Phương pháp dùng tính đối xứng biến 39 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 42 I ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ THAM SỐ 42 II ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CĨ THAM SỐ 46 C KẾT LUẬN 49 D HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO 50 E TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ở trường trung học phổ thơng, mục đích việc giảng dạy mơn toán dạy học sinh kiến thức toán, cách giải tập, rèn luyện kỹ giải toán hình thành tư logic cho học sinh Từ đó, yêu cầu đặt giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp giải dạng toán Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề quan trọng hấp dẫn chương trình giảng dạy học tập mơn tốn trường trung học phổ thơng Các tốn liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số thường xuyên xuất kì thi Tuy nhiên chương trình sách giáo khoa có tập dạng điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại phương pháp giải Do việc cần thiết phải cung cấp cho học sinh phương pháp giải dạng tốn: “Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất’’ Khi giúp học sinh lựa chọn phương pháp thích hợp cho tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ từ đưa ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để giải phương trình, bất phương trình Với lí trên, xin hệ thống lại số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thường gặp thông qua việc nghiên cứu đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG” Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng tốn: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số” để học sinh giải toán tốt Để học sinh thấy ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để giải phương trình, bất phương trình Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hóa số phương pháp giải dạng tốn: “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Giới thiệu ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để giải phương trình, bất phương trình Phạm vi nghiên cứu Các tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ trường Trung học phổ thơng Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ giải phương trình, bất phương trình Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài, sử dụng số phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận: Đọc sách, phân tích, đối chiếu tài liệu tốn học, lý luận dạy học mơn tốn, sách giáo khoa Thực nghiệm sư phạm Cấu trúc khóa luận Lời cảm ơn Mục lục A Mở đầu B Nội dung Chương 1: Cơ sở lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Tính chất giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Phương pháp dùng đạo hàm Phương pháp dùng miền giá trị hàm số Phương pháp đưa dạng bình phương Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Phương pháp dùng tam thức bậc hai Phương pháp dùng véc tơ Phương pháp dùng lượng giác Phương pháp dùng tính đối xứng biến Chương 3: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để giải phương trình, bất phương trình I Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để giải phương trình, bất phương trình có tham số II Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để giải phương trình, bất phương trình khơng có tham số C Kết luận D Hệ thống tập tham khảo E Tài liệu tham khảo B NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Cho hàm số y  f ( x) xác định tập D  * Số M gọi giá trị lớn hàm số y  f ( x) D, kí hiệu: M  max f ( x) hai điều kiện sau thỏa mãn: xD x  D : f ( x)  M  x0  D : f ( x0 )  M * Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y  f ( x) D, kí hiệu: m  f (x ) hai điều kiện sau thỏa mãn: xD x  D : f ( x)  m  x0  D : f ( x0 )  m Các tính chất giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Tính chất Giả sử f ( x) xác định D A, B hai tập D, A  B Giả thiết tồn max f ( x) , max f (x ) , f ( x ) , f ( x ) Khi ta có: xA xB xA xB a, max f ( x)  max f ( x) ; xA b, f ( x)  f ( x) xA xB xB Chứng minh : Chứng minh a: Giả sử max f ( x)  f ( x0 ) , với x0  A Do x0  A mà A  B nên xA x0  B Ta có f ( x0 )  max f ( x) hay max f ( x)  max f ( x)  đpcm xB xA xB Chứng minh b: Giả sử f ( x)  f ( x0 ) , với x0  A Do x0  A mà A  B nên xA x0  B Ta có: f ( x0 )  f ( x) hay f ( x)  f ( x)  đpcm xA xB xB Tính chất Giả sử hàm số f ( x) xác định D tồn max f ( x) f ( x) Khi ta có: xD xD b, f ( x)   max( f ( x)) a, max f ( x)   min( f ( x)) ; xD xD xD xD Chứng minh: a, max f ( x)   min( f ( x)) xD xD Giả sử M  max f ( x) Khi theo định nghĩa giá trị lớn nhất, ta có: xD  f ( x)  M , x  D   f ( x0 )  M , x0  D  f ( x)  M , x  D Từ hệ suy   f ( x0 )  M Theo định nghĩa giá trị nhỏ nhất, suy min( f ( x))  M xD Như ta đến max f ( x)   min( f ( x))  đpcm xD xD Chứng minh tương tự b, f ( x)   max( f ( x)) xD xD Tính chất Giả sử f ( x) g ( x) hai hàm số xác định D thỏa mãn điều kiện f ( x)  g ( x) , x  D Giả sử tồn max f ( x) ; max g ( x) xD xD Khi ta có: max f ( x)  max g ( x) xD xD Chứng minh: Giả sử max g ( x)  g ( x0 ) , với x0  D xD Ta có: f ( x)  g ( x), x  D  f ( x0 )  g ( x0 ) Do max f ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )  max g ( x)  đpcm xD xD Tính chất Giả sử f ( x) hàm số xác định D D  D1  D2 Nếu tồn max f ( x) , xDi f ( x ) với i  1, ta có: xDi  ; b, f ( x)  min f ( x), f ( x) a, max f ( x)  max max f ( x), max f ( x) xD xD1 xD (1) xD2 xD1 (2) xD2 Chứng minh : Ta chứng minh (1) Vì Di  D, i  1,2 nên theo tính chất 3, ta có: max f ( x)  max f ( x) ; max f ( x)  max f ( x) xD1 xD2 xD  (3) xD  Từ (3) suy max max f ( x); max f ( x)  max f ( x) (4) xD1 xD2 xD Giả sử max f ( x)  f ( x0 ) , với x0  D xD Vì D  D1  D2 mà x0  D nên x0  D1  D2 Do x0 phải thuộc hai tập D1, D2 Từ cho (mà khơng làm giảm tổng quát) x0  D1 Từ x0  D1 nên theo định nghĩa giá trị lớn nhất, ta có: f ( x0 )  max f ( x) (5) xD1   Hiển nhiên max f ( x)  max max f ( x); max f ( x) xD1 xD2  (6)  Từ (5), (6) suy f ( x0 )  max f ( x)  max max f ( x); max f ( x) xD xD1 xD2 (7)   Bây từ (4), (7) đến: max f ( x)  max max f ( x); max f ( x)  đpcm xD  xD1 xD2  Chứng minh tương tự f ( x)  min f ( x), f ( x) xD xD1 xD2 Tính chất Cho hàm số f1 ( x), f2 ( x), , f n ( x) xác định miền D Đặt f ( x)  f1 ( x)  f ( x)   f n ( x) Nếu tồn max f ( x) , f ( x ) , max fi ( x ) , xD xD xD fi ( x) với i  1, n ta có: xD a, max f ( x)  max f1 ( x)  max f ( x)  max f n ( x) ; xD xD xD xD (1) Dấu xảy tồn x0  D cho: max fi ( x)  fi ( x0 ), i  1, n xD b, f ( x)  f1 ( x)  f ( x)   f n ( x) xD xD xD xD (2) Dấu xảy tồn x0  D cho: fi ( x)  fi ( xo ), i  1, n xD Chứng minh: Ta chứng minh (1) Lấy tùy ý x  D Theo định nghĩa giá trị lớn ta có: fi ( x)  max fi ( x), i  1, n ( 3) xD Cộng vế n bất đẳng thức (3), ta có: f ( x)  f1 ( x)   f n ( x)  max f1 ( x )   max f n ( x) xi D xi D (4) Vì bất đẳng thức (4) với x  D nên ta có max f ( x)  max fi ( x)   max f n ( x) xD xi D xi D Vậy (1) Bây ta xét khả có dấu (1) Giả sử tồn x0  D mà max fi ( x)  fi ( x0 ), i  1, n xD (5) Khi A  16( xy)2  12( x3  y )  34 xy  16P2  12(1  3P)  34P  16P  2P  12 Suy A '  32P   A '   P  16   191   25 Ta có: A(0)  12 ; A    ; A    16  16 4 Vậy MaxA  MinA  25 x y 2 191 2 2 x , y 16 4 Ví dụ 3: Cho x, y, z  thỏa điều kiện: x( x  y  z )  yz (1) Chứng minh: ( x  y)3  ( x  z )3  3( x  y)( x  z)( y  z )  5( y  z )3 (*) Giải (1)   y z y z  3 x x x x y  a  x Đặt    a  b  3a.b z b   x S  a  b    S  3P Đặt   P  a.b  Điều kiện: S  4P  (1  S )  S  3S  4S    S  Khi đó: (*)  (1  a)3  (1  b)3  3(1  a)(1  b)(a  b)  5(a  b)3  (2  a  b) (2  a  b)2  3(1  a)(1  b)   3(1  a  b  ab)(a  b)  5(a  b)3 S    S 1    (2  S ) (2  S )2  1  S     1  S   S  5.S       4S  6S     3S  4S     S  2S     3S  4S     S    Dấu “=” xảy S   x  y  CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH I ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ Kiến thức Giả sử f ( x) hàm số liên tục miền D, giả sử tồn M  max f ( x) ; xD m  f ( x) xD Mệnh đề Phương trình f ( x)   có nghiệm m    M Mệnh đề (i) Bất phương trình f ( x)   có nghiệm x  D M   (ii) Bất phương trình f ( x)   nghiệm với x  D m   Mệnh đề (i) Bất phương trình f ( x)   có nghiệm x  D m   (ii) Bất phương trình f ( x)   nghiệm với x  D M   Chứng minh: Mệnh đề 1: Giả sử phương trình cho có nghiệm, tức tồn x0  D cho f ( x0 )   Theo định nghĩa ta có: f ( x)  f ( x0 )  max f ( x) , tức xD xD f ( x)    max f ( x) xD xD Đảo lại giả sử f ( x)    max f ( x) xD xD Vì f ( x) hàm liên tục nên nhận giá trị từ f ( x) đến max f ( x) xD xD Nói riêng nhận giá trị  , tức tồn x0  D cho f ( x0 )   Điều có nghĩa phương trình cho có nghiệm D  đpcm Mệnh đề 2: (i) Giả sử bất phương trình cho có nghiệm, tức tồn x0  D cho f ( x0 )   Rõ ràng max f ( x)  f ( x0 )   xD Đảo lại giả sử max f ( x)   (1) xD Giả thiết phản chứng bất phương trình cho vô nghiệm, tức f ( x)   , x  D Từ suy max f ( x)   (2) xD Từ (1) (2) suy vơ lí, giả thiết phản chứng sai, tức phương trình cho có nghiệm  đpcm (ii) Giả sử m   Lấy x0  D Ta có: f ( x0 )  f ( x)  m   xD Vậy f ( x)   , x  D Khi m  f ( x) , nên theo định nghĩa ta có tồn x0  D mà m  f ( x0 ) xD Từ f ( x0 )    m   Như ta có đpcm Mệnh đề 3: (i) Giả sử bất phương trình cho có nghiệm, tức tồn x0  D cho f ( x0 )   Rõ ràng f ( x)  f ( x0 )   xD Đảo lại giả sử f ( x)   (1) xD Giả thiết phản chứng bất phương trình cho vơ nghiệm, tức f ( x)   , x  D Từ suy f ( x)   (2) xD Từ (1) (2) suy vơ lí, giả thiết phản chứng sai, tức phương trình cho có nghiệm  đpcm (ii) Giả sử M   Lấy x0  D Ta có: f ( x0 )  max f ( x)  M   xD Vậy f ( x)   , x  D Khi M  f ( x) , nên theo định nghĩa ta có tồn x0  D mà M  f ( x0 ) xD Từ f ( x0 )    M   Như ta có đpcm LƯU Ý:   biểu thức chứa tham số  Nếu  biểu thức độc lập ta áp dụng mệnh đề trên, với D điều kiện tốn ( khơng phải việc tìm D dễ dàng)  Nếu tham số đồng bậc, ta nhóm phần tử đồng bậc với nhau, có dạng mk h( x)  () g ( x) Nếu h( x) ln dương (+) ln âm (-) dễ dàng đưa mk  g ( x) dạng sử dụng trực tiếp mệnh đề h( x ) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Với giá trị m mx4  x  m  với x Giải Ta có: mx4  x  m  với x  m  Đặt f ( x)  4x với x (1) x 1 4x Từ (1) suy maxf( x)  m x 1  x  4(1  3x ) , f ' ( x)    f ' ( x)  (1  x ) x    4 Bảng biến thiên: x  f '( x) 4 -  + 0 - 27 f ( x)  27 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f ( x)  27 ( x  Vậy m  27 giá trị cần tìm thỏa mãn đề ) Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x    x  ( x  3)(6  x)  m (1) Giải Đặt t  x    x , x   3 ; 6  t  3 ;  Khi đó: t   ( x  3)(6  x)  ( x  3)(6  x)  Ta có: (1)  f (t )  t  t2  t2   m, t  D  3 ;  (2) (2) có nghiệm D khi: f (t )  m  f (t ) tD (3) tD Ta có: f ' (t )  t    t  Dễ thấy f (t ) nghịch biến 1 ; +  , suy ra: max f (t )  f (3) f (t )  f (3 2) (4) tD tD Từ (4) ta có: (3)  f (3 2)  m  f (3)  9 m3 6   Vậy giá trị m cần tìm m   ; 3   Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau x    x  m có nghiệm Giải Điều kiện:  x  Khi bất phương trình x    x  m  m   x    x  1  x ;   1  Xét hàm số f ( x)  x    x  ; 4 2  f ' ( x)  2  x  4x  f '( x)   x    4x  4 x (4 x  2)(4  x) 9 1 Ta có: f    14 ; f    ; f (4)  14  f ( x)  14 1  x ; 4 4 2   Vậy bất phương trình cho có nghiệm m  14 Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x  x  3x   m  x  3x  (1) Giải Ta có: (1)  f ( x)  x  3x   x  3x   m (2) Yêu cầu toán tương đương với : m  f ( x) (3) x3 Ta có:   1 f ' ( x)  (2 x  3)     0, x  2  x  3x  2 x  3x   Do đó: (3)  m  f ( x)  f (3)   x3 Vậy giá trị m cần tìm là: m   II ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CĨ THAM SỐ Kiến thức Mệnh đề 1: Xét phương trình f ( x)  g ( x) , với x  D (1) Nếu với phương trình (1) ta có điều kiện max f ( x)  g ( x) (1) vơ xD nghiệm Mệnh đề 2: Xét phương trình f ( x)  g ( x) , với x  D (2)  f ( x)   Nếu ta có max f ( x)  g ( x)   (2)   xD xD  g ( x)   Ví dụ áp dụng xD Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2  x  15  x2  x  18 (1) x  x  11 Giải x  x  15 4 Xét phương trình  1  1 x  x  11 x  x  11 ( x  3)2  Rõ ràng x  , ta có f ( x)   3 f ( x)   x  Vậy max f (x)  xR Lại có g ( x)  x2  6x  18  ( x  3)2   g ( x)   x  Vậy g ( x)  xR  f ( x)   x    x3 Vì (1)    g ( x)  x  Do x  nghiệm (1) Ví dụ 2: Giải phương trình 22 x1  232 x  log3 (4 x  x  4) Giải Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: f (x)  22 x1  232 x  22 x1.232 x  24  f ( x)   x    x  x  Lại có: x2  x   (2 x  1)2    log3 (4 x2  x  4)  Vì x  R , ta có g ( x)  8 log3 (4 x  x  4) g ( x)   x   x   f ( x)   Do phương trình cho tương đương với hệ    g ( x)  x   Vậy x  nghiệm phương trình cho Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3x  x   x  10 x  14   x  x Giải Xét phương trình 3x  x   x  10 x  14   x  x Ta có: f ( x)  3x  x   5x  10 x  14  3( x  1)2   5( x  1)2  Vậy x  R f ( x)  ; f (5)   x  1 Từ ta có f ( x)   x  1 x Lại có g (x)   x  x   ( x  1)2  g ( x)  5, x  R ; g ( x)   x  1 Do max g (x)   x  1 x  f ( x)   x  1   x  1 Như suy (*)    g ( x)   x  1 Từ ta có x  1 nghiệm (*) (*) C KẾT LUẬN Hệ thống phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh vấn đề cần thiết Đây dạng toán giúp phát triển tư cho học sinh tốt Nội dung sách giáo khoa chưa có phần hệ thống lại phương pháp giải dạng tốn Vì vậy, học sinh cần nắm vững phương pháp để giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số biết ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số để giải phương trình, bất phương trình Khóa luận có đề cập đến số tốn đơn giản, xem ví dụ ban đầu để áp dụng phương pháp Các phương pháp tốn đề cập khóa luận có ý đến tính phổ thơng Ngồi ra, cịn có số tập tham khảo cho học sinh Quá trình hệ thống lại phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong đóng góp thầy, cơ, bạn bè để khóa luận hồn chỉnh D HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Cho x  , y  x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x y z   x 1 y 1 z 1 Bài 2: Cho x  , y  1   4 x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P  1   x  y  z x  y  z x  y  2z Bài 3: Cho bốn số thực dương x, y, z, t Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x t t  y y  z z  x    t  y y z z  x xt Bài 4: Cho a1 ; a2 ; a3 ; b1 ; b2 ; b3 b1 , b2 , b3 ba số dương Chứng minh a12 a22 a32 (a1  a2  a3 )2    b1 b2 b3 b1  b2  b3 Bài 5: Cho x, y, z  thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P   y z x 1 x 1 y 1 z    2    1 x 1 y 1 z x y z Bài 6: Cho x, y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  2 32  3x  z  16  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  xy  yz  zx Bài 7: Cho x, y, z số thực thỏa mãn: x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x5 y  y z  z x5 Bài 8: Cho x, y, z  0 ; 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  xyz  (1  x)(1  y)(1  z ) Bài 9: Cho x, y, z, t  thỏa mãn điều kiện: 1   1 4 1 x 1 y 1 z4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xyzt Bài 10: Cho x, y, z  0 ; 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  (1  x )(1  y )(1  z )  (1  x )(1  y )(1  z ) Bài 11: Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P  x2 y2 z2    x2  y  z Bài 12: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f ( x)  2sin x  cos x  , x sin x  2cos x  Bài 13: Cho x, y số thực tùy ý Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P  x  2y 1 x2  y  Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  sin x  cos x Bài 15: Chứng minh hàm số: y  sin x  14sin x cos x  5cos2 x  33 nhận giá trị dương Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y x   1 x 1 x   1 x 1 Bài 17: Cho x  y   xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ T  x  y  x y Bài 18: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a b4  a b2  a b        với a, b  b4 a  b2 a  b a Bài 19: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: 12 x  6mx  m2   12 0 m2 Với giá trị m x31  x32 a, đạt giá trị lớn nhất? b, đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 20: Cho a  Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  a  cos x  a  sin x Bài 21: Tìm giá trị nhỏ hàm số y   x2  x  21   x2  3x  10 E TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Văn Chương, (1999), Tuyển tập 621 Bài toán lượng giác Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [2] Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Mơn, Bài giảng chuyên sâu toán THPT – Giải toán đại số 10 Nhà xuất Hà Nội [3] Nguyễn Thái Hòe, (2004), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán Nhà xuất Giáo dục [4] Trần Văn Hạo, ( 2010), Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào đại học Nhà xuất Giáo dục [5] Phan Huy Khải, ( 2012), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [6] Phan Văn Phùng, 150 giải toán chứng minh bất đẳng thức Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Nhà xuất đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [7] Trần Đình Thì, ( 2008), Dùng hình học giải tích để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình, bất đẳng thức Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [8] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), (2008), Giải tích 12 Nhà xuất Giáo dục ... thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Tính chất giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị. .. trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Các tính chất giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số CHƯƠNG II : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 15 Phương. .. CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH I ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG