Đang tải... (xem toàn văn)
Giả sử đồ thị không liên thông, nó được phân tích thành ít nhất hai thành phần liên thông, do tổng số các đỉnh của các thành phần liên thông = 2n nên phải có thành phần có số đỉnh ≤ n, [r]
(1)Logic, phương pháp chứng minh, đại số Bool
1. Tìm giá trị biến mệnh đề x, y, z, u, v để biểu thức sau nhận giá trị sai (y (x z)) (x u) (y v)
Giải
(y (x z)) (x u) (y v) = F y (x z) = F & x u = F & y v = F y = T & x z = F & (x = F u = F) & (y = F v = F)
y = T & x = T & z = F & (x = F u = F) & (y = F v = F) y = T & x = T & z = F & u = T & v = F
2. Sử dụng biến đổi đồng chứng minh ¬xy ¬yz ¬zx tương đương ¬yx ¬xz ¬zy Giải
xyyzzx
xy(zz)yz(xx)zx(yy)
xyz xyz yzx yz xzxyzxy yx(zz) xz(yy) zy(xx)
yx xz zy
3. Bằng phương pháp Karnaugh, Consensus, Quine-Mc Cluskey, tìm cơng thức tối tiểu dạng đa thức hàm
f=xyz∨xyz∨x y z∨xyz∨x y z
f = 1001 1010 1101 1011
4. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với n phương trình 3x + 5y = n có nghiệm ngun khơng âm
Giải
Với n = phương trình có dạng 3x + 5y = có nghiệm ngun khơng âm (x=1, y=1) Giả sử với n=k ≥ phương trình 3x + 5y = k có nghiệm ngun khơng âm (x0, y0)
3x0 + 5y0 = k (*)
Ta phải chứng minh với n=k+1, phương trình 3x + 5y = k+1 (**) có nghiệm ngun khơng âm
Thật vậy, từ (*) suy 3x0 + 5y0 + = k+1
Nếu y0 = x0 ≥ 3x0 + 5y0 + = k+1 3(x0 – 3) + 5.2 = k+1: phương trình (**) có nghiệm ngun khơng âm (x0 – 3, 2)
Nếu y0 ≥ 1, 3x0 + 5y0 = k+1 3(x0 + 2) + 5(y0 – 1) = k+1: phương trình (**) có nghiệm ngun khơng âm (x0 + 2, y0 – 1)
5. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với n phương trình 2x + 5y = n có nghiệm ngun không âm
Giải
Với n = phương trình có dạng 2x + 5y = có nghiệm nguyên không âm (x=1, y=1) Giả sử với n=k ≥ phương trình 2x + 5y = k có nghiệm nguyên không âm (x0, y0)
2x0 + 5y0 = k (*)
Ta phải chứng minh với n=k+1, phương trình 2x + 5y = k+1 (**) có nghiệm nguyên không âm
Thật vậy, từ (*) suy 2x0 + 5y0 + = k+1
Nếu y0 = x0 ≥ 2x0 + 5y0 + = k+1 2(x0 – 2) + 5.1 = k+1: phương trình (**) có nghiệm ngun không âm (x0 – 2, 1)
Nếu y0 ≥ 1, 2x0 + 5y0 +1 = k+1 2(x0 + 3) + 5(y0 – 1) = k+1: phương trình (**) có nghiệm ngun khơng âm (x0 + 3, y0 – 1)
(2)a Có cách xếp
b Có cách xếp với yêu cầu cậu bé ngồi kề bé ngồi kề
c Có cách với yêu cầu cậu bé cô bé ngồi đan xen
d Cùng câu hỏi với cậu bé cô bé
7. Cũng với câu hỏi xếp bé cậu bé thành vịng trịn 8. Một từ chuỗi chữ bảng 26 chữ (tiếng anh)
a Có từ độ dài
b Có từ độ dài bắt đầu nguyên âm/phụ âm
c Có từ độ dài bắt đầu phụ âm kết thúc nguyên âm 9. Sắp xếp n bóng vào m hộp (n m)
a Giả sử bóng giống Có cách xếp
b Giả sử bóng giống Có cách xếp với yêu cầu hộp chứa bóng
c Giả sử bóng giống Có cách xếp với yêu cầu hộp thứ i chứa mi bóng (mi mi = n)
d Giả sử bóng mang màu Có cách xếp với yêu cầu hộp chứa bóng
10. Phân hoạch tập hợp: chia tập hợp n phần tử thành tập rời Gọi số cách phân hoạch B(n)
a Tìm cơng thức tính B(n)
b Chứng minh công thức B(n+1)=∑
i=0
n
(ni)B(n− i) B(0) định nghĩa
11. Có đồ thị đơn n đỉnh
12. Sắp xếp số 1, 2, 3, , 11, 12 ngẫu nhiên đường tròn, chứng minh chọn số kề tổng chúng ≥ 20
Giải
Số ba số kề = 12
Giả sử tổng ba < 20 tổng ≤ 19 Tổng tất ba ≤ 228 Tổng tất ba = 3(1 + + + 12) = 3.12.13/2 = 234 mâu thuẫn
13. Các số 1, 2, , n xếp ngẫu nhiên đường tròn, chứng minh chọn hai ba số, tổng số hai ba
14. Có cách chia (chia hết) 10 phần quà (giống nhau) cho đứa trẻ cho đứa trẻ chia phần quà
Giải
Có n phần quà chia hết cho m đứa trẻ đứa phần quà (m ≤ n)
Đứa trẻ thứ chia k phần quà (1 ≤ k ≤ n - m+1), n – k phần quà lại chia cho m – đứa trẻ lại Gọi số cách chia n phần quà cho m đứa trẻ đứa phần quà D(n, m), ta có cơng thức:
D(n, m) = D(n-1, m-1) + D(n-2, m-1) + … + D(m-1, m-1) = D(n-1, m-1) + D(n-1, m) D(k, k) = 1; D(k, 1) =
Ta có bảng tính D(n, m): m
(3)1
2 1
3
4 3
5
6 10 10
7 15 20 15
8 21 35 35 21
9 28 56 70 56
10 36 84 126 126
D(n, m) = (n −m1)
15. Rút số tập số có ba chữ số tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Tính xác suất để rút số chia hết cho
16. Trong mặt phẳng, n đưởng thẳng đơi cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy chia mặt phẳng thành miền?
Giải
Một đường thẳng chia mặt phẳng thành miền: D(1) = + = + 1.(1+1)/2 Hai đường thẳng chia mặt phẳng thành miền: D(2) = + = + 2(2+3)/2 …
N đường thẳng chia mặt phẳng thành D(n) = + n(n+1)/2 CM: quy nạp
17. Có chuỗi n bít chứa k bít (n-k) bít Giải
Số chuỗi n bít chứa k bit (n-k) bit = số cách chọn k vị trí n vị trí cho bit = (nk) 18. Có chuỗi bít độ dài n (n > 4) có hai bít đầu khác 10 đồng thời hai bit cuối khác 01
Giải
A = tập chuỗi bít độ dài n
B = tập chuỗi bít độ dài n có hai bit đầu 10 C = tập chuỗi bit độ dài n có hai bít cuối 01
Tập chuỗi bit độ dài n có hai bit đầu khác 10 hai bit cuối khác 01 = A - BC Số chuỗi bit độ dài n có hai bit đầu khác 10 hai bit cuối khác 01 = |A| - |BC| = |A| - (|B| + |C| - |BC|) = |A| + |BC| - |B| - |C| = 2n-4(24 + – 22 – 22)
= 9.2n-4 |A| = 2n |B| = |C| = 2n-2 |BC| = 2n-4
19. Năm điểm nằm hình vng đơn vị (hình vng có cạnh độ dài 1) Chứng minh tồn cặp điểm khoảng cách chúng <
√2 Giải
(4)cách hai đỉnh < đường chéo hình vng =
√2
20. Năm điểm nằm tam giác cạnh Chứng minh tồn hai điểm khoảng cách chúng <
Chia tam giác thành tam giác cạnh
5 điểm nằm tam giác phải có điểm nằm tam giác khoảng cách hai điểm <
21. Bảy điểm nằm hình lục giác có độ dài cạnh Chứng minh tồn cặp điểm, khoảng cách chúng <
Giải
Chia lục giác thành tam giác cạnh
Bảy điểm nằm lục giác, phải có điểm nằm tam giác: khoảng cách hai điểm <
22. Cho đồ thị đầy đủ 20 đỉnh, cạnh tô ba màu xanh, đỏ vàng Chứng minh tồn ba đỉnh đồ thị, cạnh nối chúng có màu
Giải
Có 19 cạnh xuất phát từ đỉnh (A) nhận màu phải có cạnh màu (giả sử đỏ) gọi đỉnh đầu mút cạnh màu B, C, D, E, F, G, H, cạnh nối đỉnh B, C, D, E, F, G, H có cạnh đỏ ta tìm tam giác cạnh màu (đỏ), khơng, cạnh nối B với đỉnh tương C, D, E, F, G, H mang hai màu xanh vàng phải có cạnh màu (giả sử xanh) giả sử đầu mút tương ứng C, D, E Nếu cạnh nối C, D, E có cạnh màu xanh ta tìm tam giác có cạnh màu (xanh), khơng C, D, E tam giác có cạnh màu (vàng)
23. Chứng minh đồ thị (đơn, không định hướng) hữu hạn với số đỉnh có hai đỉnh có bậc
Giải
Nếu có đỉnh bậc 0, ta điều phải chứng minh, không, ta xét đồ thị G’ nhận từ G bỏ đỉnh bậc
Đồ thị có n đỉnh, di = bậc đỉnh i: ≤ di ≤ n – 1, i = 1, 2, …, n có n bậc, nhận n – giá trị nên phải có hai bậc giá trị
(5)Giải
i=1, 2, , 100: = 7pi + ri , ri
100 số dư nhận giá trị tồn 15 số dư nhận giá trị, 15 số có số dư số chọn
Arithmetics
25. CM n hợp số 2n – hợp số
Giải
n=n1n2 (n1, n2 ≥ 2), 2n – = 2n1n2 – = (2n1 – 1)(2n1(n2-1) + … + 1)
26. Số hoàn hảo số mà tổng ước số thực nó CM p ngun tố 2p(2p – 1) số hồn hảo
27. Tìm tất số nguyên tố p cho p-2 p+2 nguyên tố Giải
p, p – nguyên tố p – ≥ đặt p – = + 2k p = +2(k+1), p + = + 2(k + 2)
nếu k > số nguyên dương k, k+1, k+2 có số chia hết cho ba số p –
2, p, p + chia hết cho k=0, ta p=5 (p – = 3, p + = 7)
28. CM n số tự nhiên √n số nguyên số vơ tỷ
29. Tìm tất số nguyên dương n cho n2 + 2n – số nguyên tố
Giải
n2 + 2n – = (n – 1)(n + 3)
Nếu n – > 1, n2 + 2n – hợp số
n – = n =
Với n = 2, n2 + 2n – =
30. CM p, q số nguyên tố phân biệt logp q số vơ tỷ 31. tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình xy = z2
Giải
Đặt d = (x, z) x=dx’, z=dz’, (x’, z’) = phương trình trở thành x’y = dz’2 , (x’, z’) =
(x’, z’2) = x’\d d = tx’ x=tx’2, z=tx’z’ y = tz’2 , (x’, z’) =1
Ngược lại với x=tx’2, z=tx’z’ y = tz’2 , (x’, z’) =1 x, y, z nghiệm phương trình
Vậy nghiệm phương trình là: x=tx’2, y= tz’2, z=tx’z’ với (x’, z’) =
32. Chứng minh dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố
Giải
Xét p = 30q + r (1≤ r ≤ 29), r không chia hết cho 2, 3, r nhận giá trị: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
33. Chứng minh phương trình 4x3 + 2y3 = z3 khơng có nghiệm ngun dương
Giải
Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương, gọi (x0, y0, z0) nghiệm nguyên dương với x0
nhỏ nhất: 4x03 + 2y03 = z03 (*)
Ta có 2\ z03, nguyên tố 2\z0: z0 = 2z’ vào (*) ta được: 2x03 + y03 = 4z’3 (**) 2\y03 ,
nguyên tố 2\y0 : y0 = 2y’ vào (**) ta được: x03 + 4y’3 = 2z’3 (***) 2\x03 , nguyên tố
2\x0 : x0 = 2x’ (x’ nhỏ x0) vào (***) ta 4x’3 + 2y’3 = z’3 (x’, y’, z’)
nghiệm phương trình với x’ < x0 (mâu thuẫn với tính nhỏ x0) 34. Tìm tất nghiệm ngun khơng âm phương trình: x + y + z = xyz
Giải
(6)Nếu x ≥ 1, đặt x = + x’, y = + y’, z = + z’ (0 ≤ x’ ≤ y’ ≤ z’) vào phương trình ta được: + x’ + y’ + z’ = + x’ + y’ + z’ + x’y’ + y’z’ + z’x’ + x’y’z’ = x’y’ + y’z’ + z’x’ + x’y’z’
Nếu x’ ≥ vế phải ≥ x’ = phương trình = y’z’ y’ = 1, z’ =
Ta tìm nghiệm x=1, y=2, z=3
Thay đổi vai trị x, y, z ta tìm tất nghiệm phương trình: (0, 0, 0), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
35. Tìm tất nghiệm ngun khơng âm phương trình: x + y + z + = xyz Giải
Vai trò x, y, z phương trình, ta giả sử x y z > x y z
1 Đặt x = + x1, y = + y1, z = + z1 (x1 y1 z1 0)
ta : 11 = x1y1 + y1z1 + z1x1 + x1y1z1
° z1 = : x1y1 = 11 x1 = 11, y1 = (x = 12, y = 2, z = 1)
° z1 :
z1 > vế phải > 11 z1 = 1, phương trình trở thành : 11 = 2x1y1 + x1 + y1 ;
y1 > :vế phải > 11 y1 = 10 = 3x1 (không có nghiệm ngun)
Vậy nghiệm phương trình : (1, 2, 12), (1, 12, 2), (2, 1, 12), (2, 12, 1), (12, 1, 2), (12, 2, 1)
36. Chứng minh 20122013 + 20152014 chia hết cho 7
Giải 2013 = 3*671
2012 = 287*7 + = (mod 7) 20123 = 33 (mod 7) = -1 (mod 7) 20123*671 = (-1)671 (mod 7)
= -1 (mod 7)
2015 = 288*7 - = -1 (mod 7) 20152014 = (-1)2014 (mod 7) = (mod 7) 20122013 + 20152014 chia hết cho
Graph
37. Xét đồ thị cho ma trận trọng số sau:
A B C D E F G H K
A 1
B
C
D
E
F
G
H
K
a. Dùng giải thuật Kruskal, Prime tìm khung có trọng lượng nhỏ
(7)38. Chứng minh đồ thị đơn liên thơng có n đỉnh, m cạnh m n có chu trình 39. Cho đồ thị đơn liên thông, bậc đỉnh Chứng minh tồn hai đỉnh
cho có đường dẫn (path) nối chúng chứa tất đỉnh đồ thị
40. Cho đồ thị đơn liên thông, bậc đỉnh Chứng minh đồ thị có chu trình chứa tất đỉnh đồ thị
41. Chứng minh số mặt có số đỉnh lẻ khối đa diện số chẵn
42. Xét T với tập đỉnh V, ký hiệu d(v) bậc đỉnh v V
a CM ∑
v∈V
(2− d(v))=2 Giải
Chứng minh quy nạp theo số nút
với có nút, điều phải chứng minh hiển nhiên Giả sử điều phải chứng minh với có số nút n
Ta chứng minh với với số nút n+1 điều phải chứng minh
Gọi r nút gốc , d(r) = k, k với gốc k gốc, có số nút n, theo
giả thiết quy nạp ta có: ∑
v∈Vc
(2− d(v))+1=2⇔ ∑
v∈Vc
(2−d(v))=1 với c = 1, 2, , k
∑ v∈V
(2− d(v))=2−d(r)+∑
c=1
k
∑
v∈Vc
(2− d(v))=2− k+∑
c=1
k
1=2− k+k=2 b CM T có đỉnh bậc m T có m đỉnh bậc
43. Chứng minh đồ thị (đơn, khơng có khun) có 2n đỉnh, bậc đỉnh không nhỏ
hơn n đồ thị liên thông Giải
Giả sử đồ thị không liên thông, phân tích thành hai thành phần liên thông, tổng số đỉnh thành phần liên thơng = 2n nên phải có thành phần có số đỉnh ≤ n, bậc đỉnh thành phần liên thông không vượt n – mâu thuẫn
44. Tìm luồng cực đại mạng
x2 x3
s=x1 t=x6
x4 x5
12
5 14
4 10
16 10