1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

Bai tap thi Cao hoc cua DHC nganh He thong thong tin

7 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 26,09 KB

Nội dung

Giả sử đồ thị không liên thông, nó được phân tích thành ít nhất hai thành phần liên thông, do tổng số các đỉnh của các thành phần liên thông = 2n nên phải có thành phần có số đỉnh ≤ n, [r]

(1)

Logic, phương pháp chứng minh, đại số Bool

1. Tìm giá trị biến mệnh đề x, y, z, u, v để biểu thức sau nhận giá trị sai (y  (x  z))  (x  u)  (y  v)

Giải

(y  (x  z))  (x  u)  (y  v) = F  y  (x  z) = F & x  u = F & y  v = F  y = T & x  z = F & (x = F  u = F) & (y = F  v = F)

 y = T & x = T & z = F & (x = F  u = F) & (y = F  v = F)  y = T & x = T & z = F & u = T & v = F

2. Sử dụng biến đổi đồng chứng minh ¬xy  ¬yz  ¬zx tương đương ¬yx  ¬xz  ¬zy Giải

xyyzzx

 xy(zz)yz(xx)zx(yy)

 xyz xyz yzx yz xzxyzxy  yx(zz)  xz(yy)  zy(xx)

 yx  xz  zy

3. Bằng phương pháp Karnaugh, Consensus, Quine-Mc Cluskey, tìm cơng thức tối tiểu dạng đa thức hàm

f=xyz∨xyz∨x y z∨xyz∨x y z

f = 1001 1010 1101 1011

4. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với n  phương trình 3x + 5y = n có nghiệm ngun khơng âm

Giải

Với n = phương trình có dạng 3x + 5y = có nghiệm ngun khơng âm (x=1, y=1) Giả sử với n=k ≥ phương trình 3x + 5y = k có nghiệm ngun khơng âm (x0, y0)

3x0 + 5y0 = k (*)

Ta phải chứng minh với n=k+1, phương trình 3x + 5y = k+1 (**) có nghiệm ngun khơng âm

Thật vậy, từ (*) suy 3x0 + 5y0 + = k+1

Nếu y0 =  x0 ≥ 3x0 + 5y0 + = k+1  3(x0 – 3) + 5.2 = k+1: phương trình (**) có nghiệm ngun khơng âm (x0 – 3, 2)

Nếu y0 ≥ 1, 3x0 + 5y0 = k+1  3(x0 + 2) + 5(y0 – 1) = k+1: phương trình (**) có nghiệm ngun khơng âm (x0 + 2, y0 – 1)

5. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với n  phương trình 2x + 5y = n có nghiệm ngun không âm

Giải

Với n = phương trình có dạng 2x + 5y = có nghiệm nguyên không âm (x=1, y=1) Giả sử với n=k ≥ phương trình 2x + 5y = k có nghiệm nguyên không âm (x0, y0)

2x0 + 5y0 = k (*)

Ta phải chứng minh với n=k+1, phương trình 2x + 5y = k+1 (**) có nghiệm nguyên không âm

Thật vậy, từ (*) suy 2x0 + 5y0 + = k+1

Nếu y0 =  x0 ≥ 2x0 + 5y0 + = k+1  2(x0 – 2) + 5.1 = k+1: phương trình (**) có nghiệm ngun không âm (x0 – 2, 1)

Nếu y0 ≥ 1, 2x0 + 5y0 +1 = k+1  2(x0 + 3) + 5(y0 – 1) = k+1: phương trình (**) có nghiệm ngun khơng âm (x0 + 3, y0 – 1)

(2)

a Có cách xếp

b Có cách xếp với yêu cầu cậu bé ngồi kề bé ngồi kề

c Có cách với yêu cầu cậu bé cô bé ngồi đan xen

d Cùng câu hỏi với cậu bé cô bé

7. Cũng với câu hỏi xếp bé cậu bé thành vịng trịn 8. Một từ chuỗi chữ bảng 26 chữ (tiếng anh)

a Có từ độ dài 

b Có từ độ dài bắt đầu nguyên âm/phụ âm

c Có từ độ dài bắt đầu phụ âm kết thúc nguyên âm 9. Sắp xếp n bóng vào m hộp (n  m)

a Giả sử bóng giống Có cách xếp

b Giả sử bóng giống Có cách xếp với yêu cầu hộp chứa bóng

c Giả sử bóng giống Có cách xếp với yêu cầu hộp thứ i chứa mi bóng (mi  mi = n)

d Giả sử bóng mang màu Có cách xếp với yêu cầu hộp chứa bóng

10. Phân hoạch tập hợp: chia tập hợp n phần tử thành tập rời Gọi số cách phân hoạch B(n)

a Tìm cơng thức tính B(n)

b Chứng minh công thức B(n+1)=∑

i=0

n

(ni)B(n− i) B(0) định nghĩa

11. Có đồ thị đơn n đỉnh

12. Sắp xếp số 1, 2, 3, , 11, 12 ngẫu nhiên đường tròn, chứng minh chọn số kề tổng chúng ≥ 20

Giải

Số ba số kề = 12

Giả sử tổng ba < 20  tổng ≤ 19  Tổng tất ba ≤ 228 Tổng tất ba = 3(1 + + + 12) = 3.12.13/2 = 234 mâu thuẫn

13. Các số 1, 2, , n xếp ngẫu nhiên đường tròn, chứng minh chọn hai ba số, tổng số hai ba

14. Có cách chia (chia hết) 10 phần quà (giống nhau) cho đứa trẻ cho đứa trẻ chia phần quà

Giải

Có n phần quà chia hết cho m đứa trẻ đứa phần quà (m ≤ n)

Đứa trẻ thứ chia k phần quà (1 ≤ k ≤ n - m+1), n – k phần quà lại chia cho m – đứa trẻ lại Gọi số cách chia n phần quà cho m đứa trẻ đứa phần quà D(n, m), ta có cơng thức:

D(n, m) = D(n-1, m-1) + D(n-2, m-1) + … + D(m-1, m-1) = D(n-1, m-1) + D(n-1, m) D(k, k) = 1; D(k, 1) =

Ta có bảng tính D(n, m): m

(3)

1

2 1

3

4 3

5

6 10 10

7 15 20 15

8 21 35 35 21

9 28 56 70 56

10 36 84 126 126

D(n, m) = (n −m1)

15. Rút số tập số có ba chữ số tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Tính xác suất để rút số chia hết cho

16. Trong mặt phẳng, n đưởng thẳng đơi cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy chia mặt phẳng thành miền?

Giải

Một đường thẳng chia mặt phẳng thành miền: D(1) = + = + 1.(1+1)/2 Hai đường thẳng chia mặt phẳng thành miền: D(2) = + = + 2(2+3)/2 …

N đường thẳng chia mặt phẳng thành D(n) = + n(n+1)/2 CM: quy nạp

17. Có chuỗi n bít chứa k bít (n-k) bít Giải

Số chuỗi n bít chứa k bit (n-k) bit = số cách chọn k vị trí n vị trí cho bit = (nk) 18. Có chuỗi bít độ dài n (n > 4) có hai bít đầu khác 10 đồng thời hai bit cuối khác 01

Giải

A = tập chuỗi bít độ dài n

B = tập chuỗi bít độ dài n có hai bit đầu 10 C = tập chuỗi bit độ dài n có hai bít cuối 01

Tập chuỗi bit độ dài n có hai bit đầu khác 10 hai bit cuối khác 01 = A - BC  Số chuỗi bit độ dài n có hai bit đầu khác 10 hai bit cuối khác 01 = |A| - |BC| = |A| - (|B| + |C| - |BC|) = |A| + |BC| - |B| - |C| = 2n-4(24 + – 22 – 22)

= 9.2n-4 |A| = 2n |B| = |C| = 2n-2 |BC| = 2n-4

19. Năm điểm nằm hình vng đơn vị (hình vng có cạnh độ dài 1) Chứng minh tồn cặp điểm khoảng cách chúng <

√2 Giải

(4)

cách hai đỉnh < đường chéo hình vng =

√2

20. Năm điểm nằm tam giác cạnh Chứng minh tồn hai điểm khoảng cách chúng <

Chia tam giác thành tam giác cạnh

5 điểm nằm tam giác phải có điểm nằm tam giác  khoảng cách hai điểm <

21. Bảy điểm nằm hình lục giác có độ dài cạnh Chứng minh tồn cặp điểm, khoảng cách chúng <

Giải

Chia lục giác thành tam giác cạnh

Bảy điểm nằm lục giác, phải có điểm nằm tam giác: khoảng cách hai điểm <

22. Cho đồ thị đầy đủ 20 đỉnh, cạnh tô ba màu xanh, đỏ vàng Chứng minh tồn ba đỉnh đồ thị, cạnh nối chúng có màu

Giải

Có 19 cạnh xuất phát từ đỉnh (A) nhận màu  phải có cạnh màu (giả sử đỏ) gọi đỉnh đầu mút cạnh màu B, C, D, E, F, G, H, cạnh nối đỉnh B, C, D, E, F, G, H có cạnh đỏ ta tìm tam giác cạnh màu (đỏ), khơng, cạnh nối B với đỉnh tương C, D, E, F, G, H mang hai màu xanh vàng phải có cạnh màu (giả sử xanh) giả sử đầu mút tương ứng C, D, E Nếu cạnh nối C, D, E có cạnh màu xanh ta tìm tam giác có cạnh màu (xanh), khơng C, D, E tam giác có cạnh màu (vàng)

23. Chứng minh đồ thị (đơn, không định hướng) hữu hạn với số đỉnh  có hai đỉnh có bậc

Giải

Nếu có đỉnh bậc 0, ta điều phải chứng minh, không, ta xét đồ thị G’ nhận từ G bỏ đỉnh bậc

Đồ thị có n đỉnh, di = bậc đỉnh i: ≤ di ≤ n – 1, i = 1, 2, …, n có n bậc, nhận n – giá trị nên phải có hai bậc giá trị

(5)

Giải

i=1, 2, , 100: = 7pi + ri ,  ri 

100 số dư nhận giá trị  tồn 15 số dư nhận giá trị, 15 số có số dư số chọn

Arithmetics

25. CM n hợp số 2n – hợp số

Giải

n=n1n2 (n1, n2 ≥ 2), 2n – = 2n1n2 – = (2n1 – 1)(2n1(n2-1) + … + 1)

26. Số hoàn hảo số mà tổng ước số thực nó CM p ngun tố 2p(2p – 1) số hồn hảo

27. Tìm tất số nguyên tố p cho p-2 p+2 nguyên tố Giải

p, p – nguyên tố  p – ≥ đặt p – = + 2k  p = +2(k+1), p + = + 2(k + 2)

nếu k > số nguyên dương k, k+1, k+2 có số chia hết cho  ba số p –

2, p, p + chia hết cho k=0, ta p=5 (p – = 3, p + = 7)

28. CM n số tự nhiên √n số nguyên số vơ tỷ

29. Tìm tất số nguyên dương n cho n2 + 2n – số nguyên tố

Giải

n2 + 2n – = (n – 1)(n + 3)

Nếu n – > 1, n2 + 2n – hợp số

 n – =  n =

Với n = 2, n2 + 2n – =

30. CM p, q số nguyên tố phân biệt logp q số vơ tỷ 31. tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình xy = z2

Giải

Đặt d = (x, z)  x=dx’, z=dz’, (x’, z’) = phương trình trở thành x’y = dz’2 , (x’, z’) = 

(x’, z’2) = x’\d  d = tx’  x=tx’2, z=tx’z’ y = tz’2 , (x’, z’) =1

Ngược lại với x=tx’2, z=tx’z’ y = tz’2 , (x’, z’) =1 x, y, z nghiệm phương trình

Vậy nghiệm phương trình là: x=tx’2, y= tz’2, z=tx’z’ với (x’, z’) =

32. Chứng minh dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố

Giải

Xét p = 30q + r (1≤ r ≤ 29), r không chia hết cho 2, 3, r nhận giá trị: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

33. Chứng minh phương trình 4x3 + 2y3 = z3 khơng có nghiệm ngun dương

Giải

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương, gọi (x0, y0, z0) nghiệm nguyên dương với x0

nhỏ nhất: 4x03 + 2y03 = z03 (*)

Ta có 2\ z03, nguyên tố  2\z0: z0 = 2z’ vào (*) ta được: 2x03 + y03 = 4z’3 (**)  2\y03 ,

nguyên tố  2\y0 : y0 = 2y’ vào (**) ta được: x03 + 4y’3 = 2z’3 (***)  2\x03 , nguyên tố 

2\x0 : x0 = 2x’ (x’ nhỏ x0) vào (***) ta 4x’3 + 2y’3 = z’3 (x’, y’, z’)

nghiệm phương trình với x’ < x0 (mâu thuẫn với tính nhỏ x0) 34. Tìm tất nghiệm ngun khơng âm phương trình: x + y + z = xyz

Giải

(6)

Nếu x ≥ 1, đặt x = + x’, y = + y’, z = + z’ (0 ≤ x’ ≤ y’ ≤ z’) vào phương trình ta được: + x’ + y’ + z’ = + x’ + y’ + z’ + x’y’ + y’z’ + z’x’ + x’y’z’  = x’y’ + y’z’ + z’x’ + x’y’z’

Nếu x’ ≥ vế phải ≥ x’ = phương trình = y’z’  y’ = 1, z’ =

Ta tìm nghiệm x=1, y=2, z=3

Thay đổi vai trị x, y, z ta tìm tất nghiệm phương trình: (0, 0, 0), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

35. Tìm tất nghiệm ngun khơng âm phương trình: x + y + z + = xyz Giải

Vai trò x, y, z phương trình, ta giả sử x  y  z >  x  y  z 

1 Đặt x = + x1, y = + y1, z = + z1 (x1 y1 z1 0)

ta : 11 = x1y1 + y1z1 + z1x1 + x1y1z1

° z1 = : x1y1 = 11  x1 = 11, y1 = (x = 12, y = 2, z = 1)

° z1 :

z1 >  vế phải > 11  z1 = 1, phương trình trở thành : 11 = 2x1y1 + x1 + y1 ;

y1 > :vế phải > 11  y1 =  10 = 3x1 (không có nghiệm ngun)

Vậy nghiệm phương trình : (1, 2, 12), (1, 12, 2), (2, 1, 12), (2, 12, 1), (12, 1, 2), (12, 2, 1)

36. Chứng minh 20122013 + 20152014 chia hết cho 7

Giải 2013 = 3*671

2012 = 287*7 + = (mod 7)  20123 = 33 (mod 7) = -1 (mod 7)  20123*671 = (-1)671 (mod 7)

= -1 (mod 7)

2015 = 288*7 - = -1 (mod 7)  20152014 = (-1)2014 (mod 7) = (mod 7)  20122013 + 20152014 chia hết cho

Graph

37. Xét đồ thị cho ma trận trọng số sau:

A B C D E F G H K

A 1

B

C

D

E

F

G

H

K

a. Dùng giải thuật Kruskal, Prime tìm khung có trọng lượng nhỏ

(7)

38. Chứng minh đồ thị đơn liên thơng có n đỉnh, m cạnh m  n có chu trình 39. Cho đồ thị đơn liên thông, bậc đỉnh  Chứng minh tồn hai đỉnh

cho có đường dẫn (path) nối chúng chứa tất đỉnh đồ thị

40. Cho đồ thị đơn liên thông, bậc đỉnh Chứng minh đồ thị có chu trình chứa tất đỉnh đồ thị

41. Chứng minh số mặt có số đỉnh lẻ khối đa diện số chẵn

42. Xét T với tập đỉnh V, ký hiệu d(v) bậc đỉnh v  V

a CM ∑

v∈V

(2− d(v))=2 Giải

Chứng minh quy nạp theo số nút

với có nút, điều phải chứng minh hiển nhiên Giả sử điều phải chứng minh với có số nút  n

Ta chứng minh với với số nút n+1 điều phải chứng minh

Gọi r nút gốc , d(r) = k, k với gốc k gốc, có số nút  n, theo

giả thiết quy nạp ta có: ∑

v∈Vc

(2− d(v))+1=2⇔ ∑

v∈Vc

(2−d(v))=1 với c = 1, 2, , k

 ∑ v∈V

(2− d(v))=2−d(r)+∑

c=1

k

v∈Vc

(2− d(v))=2− k+∑

c=1

k

1=2− k+k=2 b CM T có đỉnh bậc m  T có m đỉnh bậc

43. Chứng minh đồ thị (đơn, khơng có khun) có 2n đỉnh, bậc đỉnh không nhỏ

hơn n đồ thị liên thông Giải

Giả sử đồ thị không liên thông, phân tích thành hai thành phần liên thông, tổng số đỉnh thành phần liên thơng = 2n nên phải có thành phần có số đỉnh ≤ n, bậc đỉnh thành phần liên thông không vượt n – mâu thuẫn

44. Tìm luồng cực đại mạng

x2 x3

s=x1 t=x6

x4 x5

12

5 14

4 10

16 10

Ngày đăng: 30/05/2021, 10:57

w