ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI CAO HỌC MÔN TOÁN pot

Chuỗi đan dấu và Chuỗi có dấu bất kỳ a.. Chuỗi số có dấu bất kỳ Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 6.2.. Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa a.. Các tính chất cơ bản của tích phân bất

«n tËp To¸n häc

§Ò c¬ng «n tËp thi cao häc

M«n to¸n

1

I ôn tập về hàm một biến số

1.1.Đạo hàm và vi phân

1.2 Tích phân bất định 1.3 Tích phân xác định

II hàm nhiều biến

2.I Đạo hàm riêng

c Nguyên lý chồng chất nghiệm:

VI.Lý thuyết chuỗi

b Tiêu chuẩn Dalambe

c Tiêu chuẩn Cauchy

3 Chuỗi đan dấu và Chuỗi có dấu bất kỳ

a Chuỗi đan dấu

b Chuỗi số có dấu bất kỳ

Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

6.2 Chuỗi lũy thừa

1 Tiêu chuẩn hội tụ

2 Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

a Tiêu chuẩn Dalambe

b Tiêu chuẩn Côsi

Tài liệu tham khảo

1 G.M.Fichtengon, Cơ sở giải tích toán Tập 1, 2,

3

Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt.

2 Lª Ngäc L¨ng (chñ biªn) vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, ¤n thi häc kú vµ thi vµo giai ®o¹n 2,

Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1997.

3 Liasko, Boiartruc, Gi¶i tÝch to¸n häc víi c¸c vÝ dô vµ bµi tËp, Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt 1995.

4 NguyÔn §×nh TrÝ vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, To¸n häc cao cÊp TËp 1,2,3,

Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1999.

5 NguyÔn §×nh TrÝ vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, Bµi tËp to¸n häc cao cÊp,

Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1999

6 Bïi Minh TrÝ (Chñ biªn) Gi¶i tÝch to¸n häc,

Nhµ xuÊt b¶n Thèng kª 2009.

1 1

Cho hàm số f x hàm số   F x đợc gọi là nguyên hàm 

của f x  nếu F x'  f x  hay dF x  f x dx 

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f x đợc gọi là tích  

phân bất định của f x ,   xa b,  và ký hiệu là:

2 2

x arcsin

22)  

1 2

Muốn tính tích phân bất định của một hàm số f x  ta thực hiện các biến đổi thích hợp để đa nó về dạng các tích phân cơ bản.

3 Các tính chất cơ bản của tích phân bất định

§Æt u  P x   , dv lµ phÇn cßn l¹i; du  P x dx '   gi¶m bËc vµ v dÔ tÝnh.

x

dv xdx v

11

m n

* Đối với một phân thức thực sự ngời ta lại tìm cách phân tích thành tổng các phân thức đơn giản gồm 4 loại sau:

k

A x a A

4

p x

p q

13

vµ

11

d x

x x

t t

* Nếu m lẻ thì đặt t cosx * Nếu n lẻ thì đặt t  sinx

* Nếu m n đều chẵn và ít nhất một trong hai số là âm thì,

t t

Sau khi đổi biến không cần quay về biến cũ nhng phải

đổi cận cho biến mới.

I Đạo hàm riêng

1) Hàm 2 biến z  f x y ( , ).Khi tính đạo hàm riêng

đối với biến nào thì biến khác là hằng số => trở về trờng hợp đạo hàm của hàm một biến.

Đạo hàm riêng theo biến x ( , ) '

y x

y

1 ( )1



' '

y x

F F

4

z x

z z

y

z z

IV Cực trị của hàm số nhiều biến số

1 Định nghĩa : Hàm số gọi là đạt cực đại tại điểm

2 Điều kiện cần của cực trị

Định lý 1: Hàm số z  f x y ( , ) khả vi đạt cực trị (cực tiểu,

(cực đại) tại điểm ( x y0, 0) thì:

0

1 0

1

1 -1

x

y

z

§å thÞ 8

I f x y dxdy D lµ miÒn lÊy tÝch ph©n

2 C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n hai líp

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

0

607

x x

y D

y x

1

y = 2

y = 1

y = x

§å thÞ 4

y d

dx f x y dy

 

D {0 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2x Đồ thị 5 (xem đồ thị 5)

2 2

0 1

( , )

y y

Chia D thành các miền nhỏ bởi các vòng tròn đồng tâm

const và các tia = const

2 0

3 2 2

1

24

43

21

4 4 cos 43

2 2 0

2 2

0

3 22

2 2 0

Đồ thị 10

Bài 4 Tích phân đờng loại 2

Cho các hàm số P x y ,  và Q x y ,  liên tục trên đờng cong

AB trơn (hay trơn từng khúc), ta có tích phân đờng loại

Tích phân đờng loại hai có tính chất nh tích phân xác

định Để tính tích phân đờng loại hai, ta đa về tích phân

Nếu L là đờng cong phẳng kín, ta quy ớc chọn chiều dơng

trên L là chiều sao cho một ngời đi dọc theo chiều ấy sẽ

thấy miền D giới hạn bởi L gần nhất về phía tay trái.

Trên D D L cho các hàm P x y Q x y , ,  ,  xác định và liên

tục cùng với đạo hàm cấp 1, ta có công thức Green liên hệ

giữa tích phân đờng loại hai và tích phân hai lớp

Do tính đối xứng của miền và tính lẻ của hàm lấy tích phân nên

2 2

2 2 2

4 2

2 2

0

0

2 0

III điều kiện không phụ thuộc đờng đi

Nếu D là miền đóng đơn liên thỏa mãn hệ thức P Q

 



  , thì dạng vi phân Pdx  Qdy là vi phân toàn phần của

phụ thuộc vào đờng đi từ A đến và nằm trong ; B D

Bµi 5 Ph¬ng tr×nh vi ph©n

(2) lµ ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt t¬ng øng cña (1).

C¸ch gi¶i (2): y'p x y( ) 0 ta cãy  Cep x dx( )

C¸ch gi¶i(1): T×m nghiÖm díi d¹ng nghiÖm tæng qu¸t cña

1 1

§Æt y '   p y ''  p ' vµ cã ' p  f x y ( , ) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 cña p.

là phơng trình biến số phân li đã biết cách giải.

1 1 2 2

0( )

x C

x C

Tæng qu¸t cã:

*

*

: tæng qu¸t cña (1) : tæng qu¸t cña (2)

y : nghiÖm riªng cña (1)

y

y   y y y

'' ' ( )

y  py  qy  f x

nghiệm tổng quát y của phơng trình không có vế phải là:

1 1 2 2

yC y C y

Dạng phơng pháp biến thiên Lagrange coi C C1 , 2là hàm

Ta tìm đợc nghiệm tổng quát của phơng trình có vế phải (Đã trình bày ở phần trớc).

Đây có thể coi là phơng pháp tổng quát để giải loại phơng trình này.

Với một số trờng hợp đặc biệt ta có những phơng pháp riêng.

Có dạng y , tính y*', y*'' đem thay vào phơng trình đã cho

ta có điều kiện để tìm đợc hằng số A Nếu có A thì có:

ờng hợp 2: f x( ) ex P x n( ) cosx Q x m( )sinx

Nếu l  max( , ) n m thì y* có dạng sau:

a) nếu   i  khác nghiệm phức a  ib của phơng trình đặc trng

Vậy chuỗi số đã cho hội tụ và có tổng S 1.

2 Các định lý về chuỗi hội tụ

Nếu chuỗi số (1) hội tụ thì lim n 0

Vậy chuỗi phân kỳ.

Định lý .2: Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên.

1

n n

b

61

Giả sử an   bn n Khi đó:

- Nếu chuỗi (4) hội tụ thì chuỗi (3) hội tụ.

- Nếu chuỗi (3) phân kỳ thì chuỗi (4) phân kỳ.

Trong phép so sánh, ngời ta hay sử dụng chuỗi

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim n 0

n n

a k b

b cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi số

 phân kỳ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

b Tiêu chuẩn Dalambe

3

1 2

n

n n

n n

n n

c Tiªu chuÈn Cauchy

VËy chuçi héi tô.

4 Chuçi ®an dÊu – Chuçi cã dÊu bÊt kú Chuçi cã dÊu bÊt kú

a Chuçi ®an dÊu

* §Þnh nghÜa 2: Chuçi ®an dÊu lµ chuçi cã d¹ng

* Tiªu chuÈn héi tô (Tiªu chuÈn Lepnit)

NÕu chuçi ®an dÊu (6) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn:

b Chuỗi số có dấu bất kỳ

 1

, trong đó có dấu bất kỳ 7

a







tụ và đợc gọi là hội tụ tuyệt đối.

n n

n n

II Chuçi lòy thõa

Định lý Abel: Nếu chuỗi lũy thừa (3) hội tụ tại

thì nó phân kỳ tại mọi x thỏa mãn x  x1 .

3 Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Tiêu chuẩn Dalambe: Chuỗi (3) hội tụ tuyệt đối nếu

n n

n n

Vậy theo tiêu chuẩn Lepnit chuỗi đan dấu hội tụ.

Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là

n n

 

1 nÕu 0, nÕu 0

1

1 1 3

1 1

Chuçi ph©n kú v× sè h¹ng tæng qu¸t kh«ng dÇn tíi 0 khi

x n

Tµi liÖu tham kh¶o

1 G.M.Fichtengon, C¬ së gi¶i tÝch to¸n TËp 1, 2, Nhµ

xuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt.

2 Lª Ngäc L¨ng (chñ biªn) vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, ¤n thi

3 Liasko, Boiartruc, Gi¶i tÝch to¸n häc víi c¸c vÝ dô vµ

4 NguyÔn §×nh TrÝ vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, To¸n häc cao cÊp

5 NguyÔn §×nh TrÝ vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, Bµi tËp to¸n häc

6 Bïi Minh TrÝ (chñ biªn)

Gi¶i tÝch to¸n häc, Nhµ xuÊt b¶n Thèng kª 2005.

73