Dạng 3: Phương pháp đổi biến số để tính tích phân:.. Lập bảng biến thiên để kiểm lại.[r]
(1)ƠN TẬP TỐN 12 I.Các cơng thức đạo hàm:
1) (c)'=0 (C số) 2) (xα)'=α.xα −1
3) (1x)'=−
x2(x ≠0)
4) (√x)'=
2√x(x>0) 5) (sinx)'=cosx 6) (cosx)'=−sinx 7) (tgx)'=
cosx2
8) (cot gx)'=−
sinx2
9) (ex)'=ex
10) (ax)'=ax lnx 11) (ln|x|)'=1
x 12) (loga|x|)'=
1
xlna
1) (uα)'=α.xα−1.u
2) (1u)'=−u '
u2(x ≠0)
3) (√u)'= u '
2√u(x>0) 4) (sinu)'=u ' cosu 5) (cosu)'=−sinu.u ' 6) (tgu)'= u '
cosu2
7) (cot gu)'=− u'
sinu2
8) (eu)'=eu.u ' 9) (au)'=au lnx.u ' 10) (loga|u|)'=
u ' ulna
II/Các quy tắc tính đạo hàm:
1) (u ± v ± w)'=u ' ± v ' ± w' 2) (k.u)’ =k.u’ 3) (u.v)’ =u’.v + u.v’ 4) (uv)'=u '.v −u.v '
v2 (v )
5) (1v)'=− v '
v2 (v ) 6) y '=y 'u.u 'x 7)
cx+d¿2 ¿ (axcx+b+d )
'
=a.d − b.c
¿
*Ý nghĩa hình học đạo hàm:
Một điểm M0(x0,y0) (C):y=f(x) Ta có f’(x0)=k:là hệ số góc tiếp tuyến tiếp
điểm M0
III/ Nguyên hàm:
1) Định nghĩa:F(x) gọi nguyên hàm hàm số y=f(x) (a;b) F’(x) =f(x) ,
∀x∈(a , b)
2) Bảng nguyên hàm: 3)
(2)1) ∫dx=x+c 2) ∫xαdx=x
α+1
α+1
❑ +c
3) ∫1xdx=ln|x|+c 4) ∫cosx dx=sinx+c 5) ∫sinx dx=−cosx+c
6) ∫
cos2x dx=tgx+c
7) ∫
sin2x dx=−cot gx+c 8) ∫exdx=ex
+c 9) ∫axdx
= a x
lna+c
1)
ax+b¿ ¿ ¿
(ax+b)dx=1 a¿
∫¿
2) ∫ax1+b dx=1
aln|ax+b|+c 3) ∫cos(ax+b)dx=1
asin(ax+b)+c 4) ∫sin(ax+b)dx=−1
acos(ax+b)+c 5) ∫cos2
(ax+b)dx=
1
atg(ax+b)+c
6) ∫
sin2(ax+b) dx=−
1
acotg x+c 7) ∫eax+bdx
=1 ae
ax+b+c 8) ∫amx+ndx=1
m amx+n
lna +c
3)Các phương pháp tích phân: Dạng 1:
Tích phân tích , thương phải đưa tích phân tổng hiệu cách nhân phân phối chia đa thức
*Chú ý: n
√am
=a
m n
Dạng 2:Phương pháp tính tích phân phần:
a/ Loại : Có dạng: A= ∫
a b
P(x).[ ex
sinx
cosx eax+b]
dx
Trong P(x) hàm đa thức Phương pháp:
Đặt u=P(x) ⇒du=P '(x) dx dv = [
ex
sinx
cosx eax+b]
dx⇒V=¿
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần
A= [u.v]a b
−∫ a b
v du
b/Loại 2:có dạng : B= ∫
a b
P(x) ln(ax+b) dx Phương pháp :
Đặt u = ln(ax+b) => du = axa
+b dx
dv = P(x)dx => V = Áp dụng công thức B = [u.v]a
b −∫
a b
v du
(3)A= ∫
a b
f[ϕ(x)].ϕ'.(x) dx
Phương pháp :
Đặt t = ϕ.(x)=> dt=ϕ'(x).dx Đổi cận: {xx=b=a=>=>tt=ϕ(b)
=ϕ(a) Do A = ϕ(b)
F(t).dt= [F(t)]ϕ(a)
ϕ(b)
Dạng 4:Các dạng đặc biệt bản:
a/Loại 1: I= ∫
0
a
dx
a2+x2
Phương pháp:Đặt x=a.tgt (−π
2<t<
π
2)
=> dx= a
cos2x dt=a(1+tg
2t
)dt . Đổi cận:
b/Loại 2: J= ∫
0
a
√a2− x2 dx
Phương pháp: Đặt x=asint (−π
2≤ t ≤
π
2)
=> dx = acost.dt Đổi cận
Dạng 5: I = ∫
a b
dx
ax+bx+c
Nếu Δ>0 :ax2+bx+c=a(x − x1)(x − x2)
Do :
ax2
+bx+c=
1
a(x − x1)[
1
x1− x2−
1
x1− x2] Nếu Δ=0 :
1 ax2+bx+c =
1
a[(x+ b
2a)
2
− Δ
4a2] Để tính I= ∫
a b
❑
1
a[(x+ b
2a)
2
− Δ
4a2]
Phương pháp : Đặt x+ b
2a=√ Δ
2a tgt (làm giống dạng 4)
*Dùng phương pháp đồng thức để tính tích phân hàm số hữu tỉ:
1)Trường hợp 1:Mẫu số có nghiệm đơn P(x)
(x − a)(x − b)(x − c)=
A x − a+
B x − b+
C x −c
2)Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm đơn vô nghiệm P(x)
(x − a)(ax2+bx+c)= A x − a+
Bx+C
(4)x −b¿ ¿
x −a¿2 ¿
x −b¿3 ¿
x −b¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
x − a¿2¿ ¿
P(x)
¿
VD:Tính tích phân sau: A= ∫
2
dx
3x2−2x+1 ; B= ∫2
3 dx
x2−6x+9 ; C= ∫2
dx
x2+x+1
Dạng 6: A= ∫sinn.x dx hay
∫cosn.x dx Nếu n chẵn :
Áp dụng công thức Sin2a= 1−cos 2a
2
Cos2a= 1+cos 2a
Nếu n lẽ:
A= ∫sinn−1.x sinx
Đặt t= cosx (biến đổi sinx thành cosx)
Dạng 7: A= ∫tgmx dx hayB
=∫cotgmx dx Đặt tg2x làm thừa số
Thay tg2x = cos2x −1
4.Các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng
1) Cos2a= 1+cos 2a
2 1.1) Sin2a=
1−cos 2a
2
2) 2sina.cosa = sin2a 2.1) Cosa.cosb =
1
2[cos(a+b)+cos(a −b)]
3) Sina.sinb = −1
2[cos(a+b)−cos(a − b)] 3.1) Sina.cosb =
2[sin(a+b)+sin(a − b)]
*Các công thức lượng giác cần nhớ:
1) Sin2a+cos2a = 1.1) 1+tg2a = cos2a 2) 1+cotg2a =
sin2a 2.1) Cos2a = cos
2a – sin2a = 2cos2a -1
= 1- 2sin2a
3) Tg2a = tga
1−tg2a 3.1) Sin 3a = 3sina – 4sin
(5)4) Cos 3a = 4cos3a – 3cosa
*Các giá trị lựơng giác góc đặc biệt:
IV: Diện tích hình phẳng
1) Diện tích hình phẳng giới hạn (c):y=f(x) hai đường thẳng x=a; x=b
Phương pháp:
+ dthp cần tìm là: S=∫ a b
|f(x)| dx(a<b)
+ Hoành độ giao điểm (C) trục Ox nghiệm phương trình:
Nếu phương trình f(x) = o vơ nghiệm Hoặc có nghiệm khơng thuộc đoạn [a;b]
S=|∫ a b
f(x) dx|
Nếu f(x) = có nghiệm thuộc [a;b] Giả sử x=α ; x=β |f(x)|dx+∫
α β
|f(x)|dx+¿∫
β b
|f(x)|dx
S=∫ a α
¿S=|∫
a α
|f(x)| dx|+|∫ α β
|f(x)| dx|+|∫ β b
|f(x)| dx|
2) Diện tích hình phẳng giới hạn (c):y=f(x) và trục hoành
Phương pháp:
Hđgđ (C) trục Ox nghiệm phương trình : f(x) =
x=a x=b
⇔¿
S=∫ a b
|f(x)| dx=|∫ a b
f(x) dx|
0
1
2
2 /
1 /
2 /
2
2
si n
co s
1
2 /
-1
-1
2 3
(6)3) Diện tích hình phẳng giởi hạn đường (C1): y=f(x) (C2): y=g(x) đường x=a; x=b
Phương pháp:
Dthp cần tìm là: S=∫
a b
|f(x)− g(x)|dx
Hđgđ đường (C1) (C2) nghiệm phương trình f(x) – g(x) =
Lập luận giống phần số
V) Thể tích vật thể
1) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục ox y=f(x) liên tục [a;b] Khi (H) quay quanh trục ox tạo vật thể tích:
V=π∫ a b
[f(x)]2dx
2) Một hình phẳng (H) giới hạn y=a; y=b, trục oy x=g(y) liên tục [a;b] Khi (H) quay quanh trục oy tạo vật thể tích: V=π∫
a b
[g(y)]2dy
VI) Đại số tổ hợp
1) Giai thừa
n! = 1.2.3.4… n 2) Ngắt giai thừa
n!=(n-3)!(n-2).(n-1).n 7!=1.2.3.4.5.6.7 7!=5!.6.7
K!K=(K+1)! Qui ước: 0!=1 1!=1
3) Số hoán vị n phần tử Pn! = n! n ≥1, n∈N
4) Số chỉnh hợp chập K n phần tử Ank= n !
(n −k)!1≤ k ≤ n❑ ❑
, n∈N 5) Số tổ hợp chập K n phần tử
Cnk
= n !
k !(n − k)!0≤ k ≤ n❑ ❑
;n∈N * Tính chất Tổ Hợp:
Cn0=Cnn=1
Cn
10
=n
Cn k
=Cn n− k
Cn k
+Cn k+1
=Cn+1
k+1
6) Nhị thức Newtơn
a+b¿n=Cn0an+C1nan−1b+Cn2an−2b2+ +Cnkan− kbk+ +Cnnbn
¿
Số hạng tổng quát thứ k+1 khai triển (a+b)x là T
k+1=Cnkan − kbk(k=o ,1, ., n) 7) Khai triển theo tam giác Pascal
n = 3: 3
n = 4:
n = 5: 10 10
n = 6: 15 20 15
n = 7: 21 35 35 21
VII) Các vấn đề có liên quan đến toán
Vấn đề 1: Đường lối chung khảo sát hàm số
Phương pháp:
(7)2) Tính y’
¿
x=⇒y=¿x=⇒y=¿
y'=0⇔¿
3) Tìm giới hạn tiệm cận (nếu hàm số hữu tỷ) 4) Bảng biến thiên
5) Tính y’’ Lập bảng xét dấu y’’.
6) Điểm đặc biệt 7) Vẽ đồ thị
Vấn đề 2: Biện luận phương trình f(x,m)=0 (1) đồ thị (C)
Phương pháp:
Chuyển m sang 1vế để đưa dạng : f(x)=m Đặt y=f(x) có đồ thị (C)
y=m đường thẳng d phương với trục ox
Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) d
Dựa vào đồ thị kết luận
Vấn đề 3: Biện luận theo m số giao điểm đường (C1): y = f(x)và (C2): y = g(x)
Phương pháp:
+ Hoành độ giao điểm (C1) (C2)là nghiệm phương trình:
f(x)=g(x)⇔f(x)− g(x)=0(1) + Biện luận:
Nếu (1) có n nghiệm =>(C1) (C2) có n điểm chung (Hay n giao điểm)
Nếu (1) vô nghiệm => (C1) (C2) khơng có điểm chung (Hay khơng có giao điểm)
Chú ý:
Nếu pt (1) có dạng ax + b = biện luận phải xét trường hợp 1) Nếu a=0
2) Nếu a ≠0
Nếu pt (1) có dạng ax2 + bx + c = xét trường hợp
1) Nếu a=0
2) Nếu a ≠0 Tính Δ Xét dấu Δ Dựa vào Δ lập luận Nếu pt (1): ax3 + bx2 + cx + d = Ta đưa dạng :
(x − α)(a ' x2+b ' x+c ')=0 x=α
a ' x2
+b ' x+c '=0(2)
⇔¿
Thế x=αvào(1) Tìmm Xét pt(2) TínhΔ
Đưa vào Δ biện luận theo m để tìm số nghiệm (1) => Số giao điểm đường (C1)
(C2)
Vấn đề 4: Tiếp tuyến với (C); y = f(x)
1) Trường hợp 1: Tại tiếp điểm M0(x0,y0)
Phương pháp: + Tính y’ => y’(x0)
+ phương trình tiếp tuyến với (C) Tại M0 có dạng: y – y0 = y’(x0).(x-x0)
2) Trường hợp 2: Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b (d) Phương pháp:
(8)+ Phương trình tiếp tuyến với (C) M0 có dạng y – y0 = y’(x0).(x-x0)
+ Vì tiếp tuyến song song với d nên: y’(x0).= a (1)
+ Giải (1) tìm x0 => y0
+ Kết luận
* Chú ý:
Biết tiếp tuyến vng góc Vng góc với đường thẳng d: y=ax + b
⇔y '
(x0).a=−1
y '(x0)=−1 a
3) Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến qua điểm A(xA,yA)
Phương pháp:
+ Gọi Δ đường thẳng qua A có hệ số góc k có phương trình: y - yA = k(x – xA)
<=> y = kx – kxA + yA
+ Δ tiếp xúc với đường cong (C) <=> Hệ phương trình sau có nghiệm
1
f(x)=kx−kxA+yA(¿) f '(x)=k(2)
+ Thế (1) vào giải tìm x
+ Thế x vừa tìm vào (2) Suy k + Kết luận
Vấn đề 5: Tìm m để Hàm số có cực đại cực tiểu
1) Trường hợp 1: Hàm số ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Phương pháp.
+ Tập xác định : D = R
+ Tính y’ Để hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt
⇔{a≠0
Δ>0
2) Trường hợp 2: Hàm số : y=ax
2
+bx+c a ' x+b '
Phương pháp:
+ Tập xác định D = R\{-b’/a’) + Tính
a' x+b¿2 ¿
y '=g(x)
¿
Để hàm số có cực đại cực tiểu y’ = có hai nghiệm phân biệt
⇔{ Δ' g>0
g(−b ' a ')≠0
Vấn đề 6: Tìm m để Hàm số đạt cực đại x0 (hoặc cực tiểu, cực trị)
Phương pháp:
+ Tập xác định + Tính y’
Thuận: Hàm số đạt cực đại x0
¿
(9)Đảo: Thế m vào y’ Lập bảng biến thiên để kiểm lại + Kết luận
Chú ý:
Nếu hàm số đạt cực trị x0 y’ cần đổi dấu x qua x0
Vấn đề 7: Tìm m (hoặc a, b) để hàm số: ax3 + bx2 + cx + d = nhận điểm I(x
0;y0) làm điểm
uốn
Phương pháp:
3) Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Logarit - Cơng Thức.
LogaN=b (A>0; A ≠1; N>0) alogaN
=N
logaa=1 loga1=0
loga(A.B)=logaA+logaB
loga(A
B)=logaA −logaB
logabα=αlogab logaαb=
1
αlogab
logaαb
β =β
α logab
logab=
1 logba
logab logbc=logac logab=logcb
loga
- Phương Trình – Bất Phương Trình Cơ Bản
logaα1=logaα2⇔{
a>0
a ≠1
α1=α2>0
Nếu a >
logaα1≥logaα2⇔α1≥ α2>0
Nếu < a <
logax1≥logax2⇔a<x1<x2 - Cách Giải:
Đưa cùnng số Đưa pt bpt Đặt ẩn số phụ
Phân khoảng Giải pp đặt biệt
(10)cosa ±sina¿ =1±sin 2a
¿
*cot ga+tga=
sin2a
¿ ¿ ¿
Cos đối [−α] : đối α
Sin bù (π − α) : Bù α
Khác π tg cotg (π+α)
Lưu ý:
Hàm số lượng giác (α+k2π) = hslg α
tg
cotg(α+kπ)=
tg cotg(α)
hs lg(a − b)→hs lg(b − a)
Hàm cos không đổi dấu giá trị Hàm sin, tg, cotg đổi
(α+β) : bù nhau
⇔α+β=1800(π)
⇒sinβ=sinα
cosβ=−cosα
tgβ=−tgα
cotgβ=−cotgα ΔABC=A+B+C=π
⇒sin(A+B)=sinC
cos(A+B)=−cosC
tg(A+B)=−tgC
cotg(A+B)=−cot gC
αvàβ: phụ nhau
α+β=π
2
⇔sin(này)=cos(kia)
tg(này)=cotg(kia)
sin2α+sin2β=cos2α+cos2β
tgα tgβ=cotgα cotgβ
Khác π/2
+tg(π
2+α)=−cotgα
+cotg(π
2+α)=−tgα
Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Căn
Các tính chất:
-
√a¿2=a ¿ ¿ ¿
−√A ,đka≥0⇔¿