Chuyen de bat dang thuc

Vì vậy để việc chứng minh bất đẳng thức được thực hiện dễ dàng đòi hỏi giáo viên khi dạy cần lưu ý học sinh phải nắm được các phương pháp chứng minh, các phép biến đổi cơ bản, một số bất[r]

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRÀ VINH TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ.

CHUYÊN ĐỀ:

GIÁO VIÊN: CAO VĂN SÓC

I Mở đầu:

Mơn Tốn mơn khoa học địi hỏi kiến thức chương trình phải có từ lớp sở Dạng tốn đa dạng, dạng có nhiều cách giải Tuy nhiên khơng nắm vững kiến thức, phương pháp khó tìm cách giải hợp lý

Bất đẳng thức vấn đề quan trọng chương trình tốn học phổ thơng mà cách chứng minh địi hỏi vận dụng khéo léo nhiều kiến thức liên quan

II Nội Dung.

Tóm tắt lý thuyết:

1. Định nghĩa

Bất đẳng thức hệ thức có dạng sau:

a b  a b  a b  a b 

0 a b  a b 

0 a b  a b 

0 a b  a b 

2. Tính chất bất đẳng thức: a a b  b a

b a b b c    a c (tính chất bắc cầu) c a b  a c b c  

d

ac>bc, c>0 ac<bc, c<0

a b   

Hệ quả: a b  a b

e

0 a b

ac bd c d

  

 



  

f

a b

a c b d c d

 

    

 

g

1

,

1

,

ab a b a b

ab a b 

 

   

   

h

0

n n n n

a b

a b

a b

 

    

  

3 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức: * Dùng biến đổi tương đương

* Dùng tính chất bất đẳng thức (tỉ số) * Dùng bất đẳng thức tam giác * Dùng phương pháp trội

Phương pháp 1: Dùng biến đổi tương đương.

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh

Chú ý đẳng thức sau:

a b 2 a22ab b

a b c  2 a2b2c22ab2bc2ca

  

3 3 3 2

a b c  abc a b c a  b c  ab bc ca 

Ví dụ: Chứng minh BĐT:

1

2

4

b a  ab

2 a2 b2 1 ab a b     

3  

1 1

2 , , ,

a b c

a b c bc ca ab a b c

 

       

 

Giải:

1. Ta có:

2

2 4 4 0

4

b

a  ab a  ab b 

 2a b 2 0

Bất đẳng thức cuối ln nên ta có

2

4

b a  ab Dấu xảy 2a b

2 Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh cho chuyển sang vế trái ta bất đẳng thức tương đương:

   

     

     

2

2 2

2 2

2

2 2

1

a b ab a b

a ab b a a b b a b b c

     

                

Bất đẳng thức cuối nên ta có đpcm dấu đẳng thức xảy chi a b 1

3. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức:

 

2 2

2 2

0

a b c bc ac ab a b c

         

Bất đẳng thức cuối ln nên ta có đpcm

Ví dụ 2: Chứng minh 0 y z ta có:

   

1 1 1

y x z x z

x z y x z

   

     

   

   

Giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

   2

y x z x z x z xz y xz

  

 

2

0

y xz x z y xyz

  

 

(Vì x' z 0)

x y z y   0

xyz  

 

Bất đẳng thức cuối 0x y z  Nên ta có ĐPCM

Dấu xảy xyhoặc zy Bài Tập Tương Tự:

1. Chứng minh bất đẳng thức sau: a a2b2 4 ab2a b 

b a b c   ab bc ca a b c; , , 0 c

2 2

3

a b c a b c  

 

 

d ac bd 2 a2b2 c2d2

2.Chứng minh rằng:

a  

3 3 3

0;

a b c abc

a b c a b c

  

     

b a2b2c2d2e2 a b c d e    

c a4b4 a8b8  a8b8 a10b10

3.Với a b 0và m n m n  ,   Chứng minh:

m m n n

m m n n

a b a b a b a b

 



 

4. Cho a b 2 Chứng minh: a3b3 a4b4

5. Cho ba số dương a, b, c

a Chứng minh rằng: a3b3 a b ab2 

b Chứng minh rằng: 3 3 3

1 1

a b abc b c abc c a abcabc

Phương pháp 2: Dùng tính chất bất đẳng thức(Tỷ số).

Với a, b, c dương, ta có:

 Nếu

1

a

b  thì

a a c b b c  



 Nếu

a

b 

a a c b b c  



Chứng minh:

* Ta có

a a c b b c  

a ac bc

b    

* Tương tự

Ví dụ 1: Cho a, b, c dương, chứng minh rằng:

1 a b c

a b b c c a

   

  

Giải:

Ta ln có

a a

a b c  a b (1) (Vì c>0) Theo tính chất nêu từ

a

a b  suy ra a a c

a b a b c  

   (2)

Từ (1) (2) ta có bất đẳng thức kép

a a a c

a b c a b a b c 

 

     Tương tự:

b b b c

a b c b c b c a   

    

c c c b

a b c b c c a b   

    

Cộng vế với ba bất đẳng thức kép lại ta được:

1 a b c

a b b c c a

   

   (Đpcm)

Ví dụ 2: Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác, chứng minh

1

a b b c c a a b b c c a

  

  

  

Giải:

Áp dụng tính chất:

1

1 1

1

x

x x

x         

  

Vì a, b, c số đo ba cạnh tam giác nên a b a b  

1

a b a b a b c a b a b a b c

   

   

   

Tương tự:

b c b c a b c b c a   



  

c a c a b c a c a b   



  

Cộng vế với ba bất đẳng thức lại ta được:

a b b c c a a b b c c a

  

  

  

Tương tự ta có:

b a c b a c b a c b a c

  

  

Từ suy a b b c c a a b b c c a

  

  

   (Đpcm).

Bài tập tương tự:

1. Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác

Chứng minh rằng:

a b c

b c c a a b

   

  

2. Cho a, b, c, d >0 Chứng minh rằng:

a

a b c d

a b c b c a c d b d a b

    

       

b

a b b c c d d a a b c b c d c d a d a b

   

    

       

Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức tam giác.

Nếu a, b, c số đo ba cạnh tam giác a b c, , 0và

, ,

b c a b c a c     b a c a b   c a b.

Ví dụ 1: Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác, chứng minh rằng:

a a2b2c2 2ab cb ca  

b abca b c b c a c a b           Giải:

a. Do a, b, c số đo ba cạnh tam giác nên ta có:

     

2 2

0 0

a b c a a b c b a c b b a c c a b c c a b       

 

     

 

       



Cộng vế với vế ba bất đẳng thức lại ta được:

 

2 2 2

a b c  ab cb ca  (Đpcm). b Cách giải 1:

 Ta có  

2

2 0

ab c  a  b c 

Tương tự:  

2

2 0

b b  c a 

c2 c2 a b 2 0

Nhân vế với vế bất đẳng thức lại với ta

 2  2  2

2 2 2

a b c a  b c  b  c a  c  a b 

     

a b c a c b b a c b c a c a b c b a        

            

a b c 2 b c a 2 c a b2

      

     

abc a b c b c a c a b

        (

Đpcm)

Dấu đẳng thức xảy khi: a b c  Cách giải 2:

2

2

x y xy  

  (Có thể áp dụng BĐT Cauchy)

Ta có:    

    2

2

a b c b c a

a b c b c a           b

 

       

2

2

b c a c a b

b c a c a b           c

 

       

2

2

c a b a b c

c a b a b c          a

 

Các vế ba bất đẳng thức dương nên ta nhân vế với vế chúng lại được:

a b c 2 b c a 2 c a b2 a b c2 2       

     

abc a b c b c a c a b

        (

Đpcm)

Bài Tập Tương Tự:

1 Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác, chứng minh rằng:

a.

a b c

b c a a c b a b c        

b

1 1 1

2

p a p b p c a b c

 

      

    

2 Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

 2  2  2 3 a b c b c a c a b a b c

Phương Pháp 4: Phương pháp làm trội.

Phương pháp thường sử dụng để chứng minh bất đẳng thức có vế tổng tích hữu hạn Tổng tích hữu hạn ước lượng qua tổng tích khác mà việc tính tổng tích thực thuận lợi

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau với n1(n )

a  

1 1

1.2 2.3   n1 n 

b

1 1

1 2

n n   n

c 2

1 1

1 2  n   n

Giải:

a. Ta coù:  

   

1

1 1

1 1

k k

k k k k k k  

  

   với k2 Với

1

2 :

1.2

k  

Với

1 1

3:

2.3

………

Với  

1 1

:

1

n k

n n n n

  

 

Cộng vế với vế bất đẳng thức lại ta

 

1 1 1 1 1

1

1.2 2.3 n n 2 n n n

     

            

        .

b. Ta có:

1 1

2

n k  n p  n với k1, 2,3 ,n1

Do đó:

1 1 1 1

1 2 2 2

n n n  n n  n n  n  n Vậy:

1 1

1 2

n n   n  (Đpcm)

c.Với k 1 ta có:

 

2

1 1

1

k  k k k  k

Với

1

2 :

2

k  

Với

1 1

3:

3

k  

………

Với

1 1

:

1

k n

n n n

  



Do đó: 2

1 1 1 1 1

1 n 2 n n n

     

            

     

Suy ra: 2

1 1

1 2  n   n (Đpcm).

Bài tập tương tự:

1. Chứng minh bất đẳng thức :

 

1 1

2 3    n1 n  với n1

2. Với số tự nhiên n1 Chứng minh rằng:

1 1

2 2

n

n n

 



3. Chứng minh với n1, ta có:

a.    

1 1

3.1 3.5   2n1 2n1 2

b. 2

1 1

1

n   n    n n 

c.

1 1

1

1.2 1.2.3 1.2.3 n

4. Chứng minh rằng:

a  

2

1 1

9 25   2n1 4, n1

b

1 99

152 100 10 .

Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Bernoulli.

1. Bất đẳng thức Cauchy

Cho số không âm a1, a2, a3,….an ta có bất đẳng thức 2 n n n

a a a

a a a n

   

Dấu đẳng thức xảy a1 a2   an

2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho n cặp số a a a b b b1, ; , n n

Ta có bất đẳng thức:

 2  2 2  2 2

1 2 n n n n

a b a b  a b  a a  a b b  b

Dấu xảy khi:  

1 2

n , 0, 1, 2,3

i n

a a a

b i n

b b  b   .

3. Bất đẳng thức Bernoulli

Với a1 n  ta có: 1 

n

a na   

Dấu xảy a0 n1

Ví dụ 1: a. Cho a b 0, chứng minh:  

1

3

a

b a b

 



b.Cho a1;b1, Chứng minh rằng: a b1b a1ab

c. Cho a b c, , 0 a b c  1, chứng minh rằng:

1 1

1 1 64

a b c

     

   

           

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương:  

1

; ;

b a b

b a b 

 ta có:

     

   

3

1

3 b a b

a b a b

b a b b a b b a b 

      

  

Đẳng thức xảy  

1

b a b

b a b     hay 2 1 a b a b b b             

b. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

1 1

1

a b b a b a

ab b a

    

   

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a1 và ta được:

 

 1 1

1 1

2 2

a a a

a a

a

  

      

Tương tự ta có

1

2

b b

 

Từ suy ra:

1 1

1 2

a b

a b

 

   

(Đpcm) Dấu xảy a b 2

c. Theo giả thiết a b c  1 và áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta được:

2

1

1 a b c 1 b c bc

a a a a a

 

       

Tương tự:

4

1

1 ac

b b  

1

1 ab

c c  

Nhân vế với vế bất đẳng thức ta (Đpcm) Dấu đẳng thức xảy

1

a b c  

Ví dụ 2: Chứng minh a0, b0 thì ta ln có: 3a37b39ab2

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm , ,3a3 b3 b3 ta có: 3

3 3 3 2 3

3

3 36 3

3

a b b

a b b ab ab a b ab  

     

(Đpcm)

Ví dụ 3:a Cho 2x3y5, chứng minh 2x23y2 5

b Cho a c 0;b c 0 Chứng minh rằng: c b c    c a c    ab

c.Cho a b c, , 0, chứng minh rằng: a b b c c a abc a b c3        Giải:

a. Áp dụng bất đẳng Bunhiacopki cho số 2; ; 3; 3x y ta có:

        2  2 2

52x3y  2x  3y   2x  3y

2 2

5

2

x y x y

  

  

Dấu xảy khi:

2

2

x y 

hay x y

b. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta có:

 c b c   c a c  2   c 2 b c    2  c 2 a c 2

   

   

c b c c a c       ab

 c b c    c a c    ab (Đpcm)

c.BĐT cần chứng minh tương đương với:

2 2 a b c

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki cho số ; ; ; ; ; a b c

c b a

c b a ta

được:

 

2 2

a b c a b c

c a b c a b

c a b c a b

                     a b c   



2 2 a b c

a b c

c  a  b    (Đpcm).

Ví dụ 4: Chứng minh bất đẳng thức:

a. 710810910

b. 1 1 1 n n n n             

    ; n1 Giải:

a.Ta có:

10 10 10 10 10

7

8

                Áp dụng bất đẳng thức Bernouli ta có:

10 10 10

9 10

1 1

8 8

     

     

     

      (Đpcm).

b. Ta có:

1 1

1

1

1 1

n n n n

n n n

n n n n n

                                         1 n

n n n

n n            

  (1)

Áp dụng bất đẳng thức Bernouli ta có:

 

     

1

2

2 1

1 1

1 1 1 1

n n

n n n n

n n n n n

                              

 (1)  (Đpcm). Bài tập tương tự:

1. Chứng minh bất đẳng thức sau: a

2 2

2

a b c a b c b c c a a b

 

  

   , với a, b, c >0

b  

1 1

a b c

a b c

 

     

 

c

a b b c c a

c a b

  

  

d 2 2 2

1 1

a b b c c a

a b b c c a a b c

  

    

  

b a3b3c3a2 bc b ca c ab

c 2

1 1

2

a b c a bc b ac c ab abc

 

  

  

3. Cho x y z  0, chứng minh rằng: 2

2 2 x y y z z x

x y z z  x  y    III Kết Luận:

Chứng minh bất đẳng thức có nhiều phương pháp, phương pháp có cách chứng minh riêng cuối điều đưa phương pháp Vì để việc chứng minh bất đẳng thức thực dễ dàng đòi hỏi giáo viên dạy cần lưu ý học sinh phải nắm phương pháp chứng minh, phép biến đổi bản, số bất đẳng thức học: Cauchy, Bunhiacopki, Bernouli…

Trên số cách chứng minh bất đẳng thức cần ý học sinh chứng minh bất đẳng thức mà tơi đúc kết q trình giảng dạy Phương pháp chứng minh bất đẳng thức đa dạng phong phú; Vì cịn nhiều điều cần lưu ý mà tơi chưa tìm Mong đóng góp chân thân thành đồng nghiệp để chất lượng giảng dạy ngày nâng cao

Trà cú, ngày 10 tháng 03 năm 2008