DeHD thi lop 10 THPT Dai hoc SPHN 1213

[r]

TRờng Đại học s phạm Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012_2013 Hà nội Môn thi : Toán Vòng

Trờng THPT Chuyên Ngày thi 06/06/2012

Thi gian làm 120 phút ( không kể thời gian giao ) chớnh thc

Bài (2.0 điểm) : Cho biÓu thøc

2

2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b

      

    

        

  víi a > b > 0

1/ Rót gän biĨu thøc P

2/ BiÕt a – b = Tìm giá trị nhỏ P

Bi (2.0 điểm ) : Trên quãng đờng AB dài 210km, thời điểm xe máy khởi hành từ A B ôtô khởi hành từ B A Sau gặp xe máy tiếp nửa đến B ôtô tiếp 15 phút đến A Biết xe máy ơtơ khơng thay đổi vận tốc suốt chặng đờng Tính vận tốc xe máy ôtô

Bài 3(2.0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) : y = mx – m –

a/ Chứng minh m thay đổi (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hnh độ x1 ; x2

b/ Tìm m để : x1 x2  20

Bài (3.0điểm) : Cho tam giác ABC đờng trịn ( ) có tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB, AC tơng ứng K, L Tiếp tuyến (d) đờng tròn ( ) E thuộc cung nhỏ KL cắt đờng thẳng AL, AK tơng ứng M, N Đờng thẳng KL cắt OM P cắt ON Q

a/ Chøng minh :

 900 1

2

MON   BAC

b/ Chứng minh đờng thẳng MQ, NP OE qua điểm c/ Chng minh KQ.PL = EM.EN

Bài (1.0 điểm ) : Cho số thực dơng x, y thoả m·n ®iỊu kiƯn :  

x y  x y xy

Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc P = x + y HÕt

-Híng dÉn häc sinh lµm bµi Bµi (2.0 ®iĨm)

1/ Rót gän biĨu thøc P

2

2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b

      

    

    

     

 

2 2

a b a b a b

P

a b a b a b a b a b a b

   

  

 

   

          

 

     

   

2 2

a b a b a b a b a b a b a b

P

a b a b a b a b a b a b

           

  

         

  2 2

2 2

2

a b a b a b a b

P

b

b a b a b

 

   

   

   

2/ Biết a – b = Tìm giá trị nhỏ P Từ a – b = => a = b + Khi

 

2

2 2

2

b b

P b P b

b

 

     

(1).Coi (1) phơng trình bậc hai b, Ta cã

2

(2 P) P 4P

      

Để có b,

2 2

0 4

2 2

P

P P

P

  

       

  

Do P > => P 2 2 => P(min) = 2 2

Khi

2 2 2

(2 )

4

P

b     

=> a =

2 2

Bài (2.0 điểm ) :

Gäi vËn tèc cđa xe m¸y x(km/h) vận tốc ôtô y(km/h) Điều kiƯn : y > x > (*)

§ỉi 2h 15 =

1 ( )

44 h

Chỗ gặp cách A

9 ( )

4y km cách B 4x Vì quãng đờng AB 210km,

nên ta có phơng trình :

9

4 210 y x (1)

Thời gian xe máy từ A đến B

210

x (h)

Thời gian ôtô từ B đến A

210

y (h)

Thời gian ôtô từ B đến A nhanh thời gian xe máy từ A đến B

9

4

 

(h) Vậy ta có phơng trình :

210 210

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình :

9

4 210

210 210

y x

x y



 

  

  

 

Giải hệ ta đợc :

30 40

x y

  



 (t/m) vµ

x y

  



 (lo¹i)

Vậy vận tốc xe máy 30(km/h) vận tốc ôtô 40(km/h)

Bi 3(2.0 im ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) : y = mx – m –

a/ Chứng minh m thay đổi (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2

b/ Tìm m để : x1 x2  20

a/ Hoành độ giao điểm đờng thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phơng trình : -x2 = mx – m – <=> x2 + mx – (m + 2) = 0

Cã    

2

2 4 2 4 8 2 4 0

m m m m m

          

víi mäi m => Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

=> ng thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hành độ x1 ; x2

b/ Theo viÐt ta cã :

1

1 2

x x m

x x m

 

 

 



§Ĩ x1 x2  20 <=>    

2

2

1 20 20 20

x  x   x  x   x x  x x 

, thay vµo ta cã : (-m)2 – 4(-m – 2) = 20 => m2 + 4m – 12 = cã ’ = 16 > 0

Vậy phơng trình có hai nghiƯm : m1 = vµ m2 = -6 VËy với m = m = -6 thoả mÃn điều kiện toán

Bi (3.0im) : Cho tam giác ABC đờng trịn ( ) có tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB, AC tơng ứng K, L Tiếp tuyến (d) đờng tròn ( ) E thuộc cung nhỏ KL cắt đờng thẳng AL, AK tơng ứng M, N Đờng thẳng KL cắt OM P cắt ON Q

a/ Chøng minh :

 900 1

2

MON   BAC

b/ Chứng minh đờng thẳng MQ, NP OE qua điểm c/ Chứng minh KQ.PL = EM.EN

3

1

3

1 Q

P

O

M N

E

C B

L K

A

a/ Chøng minh :

 900 1

2

MON   BAC

Do tÝnh chÊt hai tiếp tuyến cắt nên ta có O1O O 2; O 4 (1)

Tø gi¸c ALOK cã : AKO ALO 900900 1800 Suy

            

1 4

1

180 180 90

2

BAC KOL  BAC O O O O   BAC O O O O 

(2) Tõ (1) vµ (2) =>

   

2

90 2BAC O O  Hay

   

1

90 90

2BAC MON  MON  2BAC (§PCM)

b/ Chứng minh đờng thẳng MQ, NP OE qua điểm

  

1

L E K => tø gi¸c OKEB néi tiÕp

Mặt khác OKNE nội tiếp đờng tròn đờng kính ON

 năm điểm O, K, N, E, P nằnm đờng trịn đờng kính ON  NPO900 (Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn)

 NP  OM (1)

Từ (1), (2) , (3) => ba đờng cao MQ, NP OE tam giác OMN đồng quy c/ Chứng minh KQ.PL = EM.EN

Tõ c©u b => KQ = QE PL = PE (a)

Từ câu b : Tø gi¸c ONEP néi tiÕp => QNE EPM (b) Tø gi¸c OMEQ néi tiÕp => NQE PEM  (c)

Tõ (b) vµ (c) => NQE PEM (g.g) =>

NE EQ

EM EN EQ EP

EP EM   (d)

Tõ (a) (d) => KQ.PL = EM.EN (ĐPCM) Bài (1.0 ®iĨm ) :

Vì x, y > mà x y x y  xy => x > y, Cả hai vế dơng bình phơng hai vế ta

cã :    

2

x y xy x y

=>    

2

4

x y xy x y   xy

  Đặt xy = X , thay P = x + y ta

cã

P2 = X(P2 – 4X) <=> 4X2 – P2X + P2 = , coi phơng trình bậc hai X =>  = P4 – 8P2 = P2(P2 – 8) §Ĩ cã nghiƯm X, th×

 => P2 ( P > ) => P (min) = 2

Khi

2

1

1 2

8

2 2

2

P xy

X x x

Hoac

x y y y

P



 

 

     

   

 

   

 

      



   



Do x > y =>

2

x y

  

 

 

 

VËy P(min) = 2

2

x y

  

 

 

 

HÕt