cac phuong phap giai nhanh bai tap trac nghiem mon toan thpt

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NHANH ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MƠN TỐN KỲ THI THPT PHẦN I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ GIỮA TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Kiến thức Điều kiện hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f ( x ) xác đinh khoảng I thì: a Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng I với x  I ta có f ( x + x ) − f ( x )  x b Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng I với x  I ta có f ( x + x ) − f ( x ) 0 x Từ kết ta có : Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng liên thơng I : + Nếu hàm số f ( x ) đồng biến khoảng I f  ( x )  0; x  I + Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng I f  ( x )  0; x  I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lý : Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b có đạo hàm khoảng ( a; b ) tồn số c  ( a; b ) cho : f ( b ) − f ( a ) = f  ( c )( b − a ) hay f  ( c ) = f (b) − f ( a ) b−a Ý nghĩa định lý: Xét cung AB đồ thị hàm số y = f ( x ) với A ( a; f ( a ) ) B ( b; f ( b ) ) Khi ta có: - Hệ số góc tiếp tuyến với cát tuyến AB k = f (b) − f ( a ) b−a f (b) − f ( a ) có nghĩa hệ số góc tiếp tuyến cung AB điểm b−a hệ số góc cát tuyến AB Vậy giả thiết định lý Đẳng thức f  ( c ) = - C ( a; f ( c ) ) Lagrange được thỏa mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB Định lí 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng I a Nếu f  ( x )  0, x  I thì f ( x ) đồng biến khoảng I b Nếu f  ( x )  0, x  I thì f ( x ) nghịch biến khoảng I c Nếu f  ( x ) = 0, x  I thì f ( x ) không đổi khoảng I Ta có mở rộng của định lí sau: Định lí 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm khoảng I a Nếu f  ( x )  0, x  I , và đẳng thức chỉ xảy tại một số hữu hạn điểm khoảng I thì f ( x ) đồng biến khoảng I b Nếu f  ( x )  0, x  I , và đẳng thức chỉ xảy tại một số hữu hạn điểm khoảng I thì f ( x ) nghịch biến khoảng I Ta tóm tắt định lí các bảng biến thiên sau: x − y a b + + y x − y a b − y II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Hàm số nào sau là hàm số đồng biến ( ) A y = x + − 3x B y = x x2 + ? C y = x − x Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải): Ta lần lượt: D y = − cot x + ▪ ( ) Với hàm số y = x2 + − 3x xác định ( thì: ) y = 4x x2 + − = 4x3 + 4x − Hàm số không thể đồng biến ▪ bởi y ( ) = −3  , đó đáp án A bị loại Với hàm số y = x x2 + xác định y = x + + x2 x2 + thì:  , x  Do đó đáp án B là đúng, tới ta dừng lại ➢ Lời giải tự luận 2: (Thực hiện từ phải qua trái): Ta lần lượt: \k , k  ▪ Với hàm số y = − cot x xác định ▪ Với hàm số y = x − ▪ Với hàm số y = x x2 + xác định y = x + + x2 x2 + 1 xác định x  nên đáp án D bị loại \0 nên đáp án C bị loại thì:  , x  Do đó đáp án B là đúng, tới ta dừng lại ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Ta lần lượt đánh giá: ▪ Trước tiên, hàm sớ đờng biến phải xác định D bị loại Tới ta chỉ phải lựa chọn A B Do đó, các đáp án C ▪ Vì A hàm sớ bậc bớn nên có đạo hàm một đa thức bậc ba, mợt đa thức bậc ba khơng thể ln dương (do phương trình bậc ba ln có mợt nghiệm), suy đáp án A không thỏa mãn Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán thì: ▪ Trong cách giải tự luận lần lượt thử từ trái qua phải cho hàm số việc thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Đánh giá y để xét tính đờng biến của Tới hàm sớ B thấy thỏa mãn nên dừng lại ở đó Trong trường hợp trái lại, tiếp tục hàm số ở C, tại nếu C thỏa mãn lựa chọn đáp án C cịn không khẳng định D là đúng ▪ Trong cách giải tự luận lần lượt thử từ phải qua trái cho hàm số ▪ Trong cách lựa chọn đáp án phép thử loại trừ dần việc thực hiện theo hai bước: Bước 1: Sử dụng điều kiện cần để hàm số đơn điệu D phải xác định D, loại bỏ được các đáp án c và D bởi hàm số này không xác định Bước 2: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc ba, để loại bỏ được đáp án A Câu Hàm số nào sau là hàm số nghịch biến ? A y = −x3 + 2x2 − x + B y = −x4 + 2x2 + C y = cos 2x − 2x + D y = − x2 Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận 1: (Thực hiện từ trái qua phải): Ta lần lượt: ▪ Với hàm số y = −x3 + 2x2 − x + xác định thì: y = −3x2 + 4x − , y   −3x2 + x −   x  hoặc x  Do đó, đáp án A bị loại ▪ Với hàm số y = − x4 + x2 + xác định thì: y = −4x3 + 4x , ( ) y   −4x3 + 4x   −4x x2 −   −1  x  hoặc x  Do đó, đáp án B bị loại ▪ Với hàm số y = cos 2x − 2x + xác định thì: y = −2 sin 2x − = −2 ( sin x + 1)  x  Do đó, đáp án C là đúng, tới chúng ta dừng lại ➢ Lời giải tự luận 2: (Thực hiện từ phải qua trái): Ta lần lượt: ▪ Với hàm số y = − x2 xác định −  1;1 nên đáp án D bị loại ▪ Với hàm số y = cos 2x − 2x + xác định thì: y = −2 sin 2x − = −2 ( sin x + 1)  x  Do đó, đáp án C là đúng, tới chúng ta dừng lại ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Ta lần lượt đánh giá: ▪ Trước tiên, hàm số nghịch biến thì phải xác định loại Tới ta chỉ còn phải lựa chọn A, B và C Do đó, đáp án D bị ▪ Vì B là hàm số bậc bốn nên có đạo hàm là một đa thức bậc ba, và một đa thức bậc ba thì không thể âm (do phương trình bậc ba có ít một nghiệm), suy đáp án B không thỏa mãn ▪ Với hàm số y = −x3 + 2x2 − x + xác định thì: y = −3x2 + 4x − 1, y   −3x2 + x −   x  hoặc x  Do đó, đáp án A bị loại Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn Câu Hàm số y = x − x2 + 3x + đồng biến các khoảng: A ( −;1) và 3; + ) B ( −;1 và 3; + ) C ( −;1 và ( 3; + ) D ( −;1) và ( 3; + ) Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y = x − x + ▪ x  Hàm số đồng biến khi: y   x − x +    x   Vậy, hàm số đồng biến các khoảng ( −;1 và 3; + ) ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đồng biến nửa đoạn (dấu ngoặc vuông “[, ]”) nên các đáp án A, C D bị loại y’  đó có hai Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán thì: ▪ Trong cách giải tự luận thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Thiết lập điều kiện để hàm số đồng biến, từ đó rút được khoảng cần tìm ▪ Trong cách lựa chọn đáp án phép thử loại trừ được các đáp án A, C D thông qua việc đánh giá sự tồn tại của dấu ngoặc vuông Trong trường hợp đáp án được cho dưới dạng khác, có thể đánh giá thông qua tính chất của hàm đa thức bậc ba - Bài toán sau minh họa cho nhận xét Câu Hàm số y = x + x + nghịch biến các khoảng: A ( −; −1 và 0; + ) B ( −;  và 1; + ) C −  1;  D ( 0;1) Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y ' = x2 + x ▪ Hàm số nghịch biến khi: y '   x + x   −1  x  Vậy hàm số nghịch biến  −1; 0 ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét rằng: ▪ Hàm số nghịch biến y '  đó có hai nửa đoạn ( dấu ngoặc vuông “  ,  ”) nên đáp án D bị loại ▪ Hàm đa thức bậc ba với a  nghịch niến đoạn nằm giữa hai nghiệm của phương trình y = nên các đáp án A và B bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn  Chú ý: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng phép thử em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất của hàm đa thức bậc ba dấu tam thức bậc hai 1 Câu Hàm số y = x4 − x2 − đồng biến khoảng: A ( −;1 1; + ) B  −1; 0 1; + ) C ( −; −1 0;1 D  −1;1 Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận 1: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ x = Đạo hàm: y ' = x − x , y ' =  x − x =    x = 1 ▪ Bảng biến thiên: Từ đó suy hàm số đồng biến  −1; 0 1; + ) ➢ Lời giải tự luận 2: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y ' = x3 − x, y '   x3 − x   x  −  1; )  1; + ) Dựa việc xét dấu cách vẽ trục số sau: Từ đó, suy hàm số đồng biến  −1; 0 1; + ) ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương với a  thì: ▪ Có khoảng đờng biến chứa + nên các đáp án C và D bị loại ▪ Có khoảng đờng biến chứa − nên các đáp án A bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn  Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn đáp án đúng cho bài toán thì: ▪ Trong cách giải tự luận thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm sớ Bước 2: Thay thiết lập điều kiện y '  chúng ta giải phương trình y ' = rồi lập bảng biến thiên cho trực quan (bởi việc giải bất phương trình bậc ba dễ gây nhầm dấu) ▪ Trong cách giải tự luận thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Bước 2: Thiết lập điều kiện y '  chúng ta xác định được nghiệm của bất phương trình việc xét dấu trục sớ ( miền ngồi dấu hệ số a và sau đó đan dấu) ▪ Trong lựa chọn đáp án phép thử, em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất của hàm bậc bớn dạng trùng phương Câu Hàm số y = x − x − nghịch biến khoảng: A ( −; −1 1; + ) B ( −; −1 0;1 C  −1; 0 1; + ) D  −1;1 Lời giải Chọn B ➢ Lời giải tự luận 1: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = x = ▪ Đạo hàm: y ' = x − x , y ' =  x − x =    x = 1 ▪ Bảng biến thiên: Từ đó suy hàm số nghịch biến ( −; −1 0;1 ➢ Lời giải tự luận 2: Ta lần lượt có: ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y ' = x3 − x , y '   x3 − x   x  ( −; −1 0;1 Dựa việc xét dấu cách vẽ trục số sau: Từ đó suy hàm số nghịch biến ( −; −1  0;1 ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương với a  thì: ▪ Có khoảng nghịch biến chứa − nên các đáp án C và D bị loại ▪ Có khoảng nghịch biến không chứa + nên các đáp án A bị loại Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn Câu Hàm số y = A ( −;1 2x nghịch biến khoảng: x−2 B 1; + C \1 D Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận: Ta lần lượt có : ▪ Tập xác định D = ▪ Đạo hàm: y ' = \1 −2 ( x − 1)2   hàm số nghịch biến D Vậy hàm số nghịch biến \1 ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm phân thức bậc bậc đơn điệu (luôn đồng biến ln nghịch biến) tập xác định nó, ta lựa chọn đáp án C cho toán Chú ý: Như vậy, để lựa chọn đáp án phép thử em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất hàm phân thức bậc bậc Câu 8: Hàm số y = x −1 đồng biến khoảng: x +1 A ( −; −1 B  −1; + ) C ( −; −1) ( −1; + ) D Lời giải Chọn C ➢ Lời giải tự luận: Ta có: ▪ Tập xác định D = \ −1 ▪ Đạo hàm y = ( x + 1)  0, x  −1  hàm số đồng biến khoảng TXĐ D Vậy hàm số đồng biến ( −; −1) ( −1; + ) ➢ Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm phân thức bậc bậc đơn điệu (luôn đồng biến nghịch biến) tập xác định nó, ta lựa chọn đáp án C cho toán Câu 9: Hàm số y = x2 nghịch biến khoảng (nửa khoảng): x −1