11 ung dung casio trong giai he pt BG 2016

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 11 ỨNG DỤNG CASIO TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN ( x + y ) xy + = xy − y + Ví dụ Giải hệ phương trình  ( x + y ) xy + = xy + x − y − ( x ∈ ℝ) xy + , đồng thời lại PHÂN TÍCH CASIO Nhận thấy, hệ phương trình có chứa thức xuất 2xy phương trình Nên để đơn giản ta đặt t = xy + ⇔ xy = t − , hệ phương trình cho trở thành 2 ( x + y ) t = ( t − ) − y + (1)  ( x + y ) t = 2t − y − ⇔ ( ∗)  2 + = + − − x y t t x y 21 ( ) ( ) x + y t = t − + x − y − ( ) ( )   Chú ý nghiệm t nghiệm chung hai phương trình (1) ( ) Do ta xét phương trình: • Phương trình (1) ⇔ 2t − ( x + y ) t − y − = ⇒ ∆ (1) = ( x + y ) + ( y + ) Suy t = • x + y ± ∆(1) x+ y± = ( x + y) + (3 y + 9) 4 Phương trình (1) ⇔ 3t − ( x + y ) t + x − y − 21 = ⇒ ∆ ( 2) = ( x + y ) − 12 ( x − y − 21) Suy t = x + y ± ∆ ( 2) = x + 2y ± ( x + 2y) − 12 ( x − y − 21) 6 Ta chọn nghiệm t chung bất kỳ, ta xét phương trình: x+ y+ ( x + y) + (3 y + 9) Gán y = 100 ta x + 100 + = ( x + 100 ) x + 2y + ( x + 2y) − 12 ( x − y − 21) + 2472 = x + 200 + ( x + 200 ) − 12 ( x − 721) Dùng chức SHIFT SOLVE, máy yêu cầu gán giá trị biến, ta nhập X kết thu nghiệm x = 100 Gán y = 50 ta x + 50 + ( x + 50 ) + 1272 = x + 100 + ( x + 100 ) − 12 ( x − 371) Tương tự ta có x = 53 Từ hai điều trên, ta có nhân tử chung x − y − = ⇔ y = x − Khi ta được: ( x + y ) t = 2t − y − ( x − 3) t = 2t − ( x − ) − 2t − x = xt − 3t ⇔ ⇔ ⇔t=x  2 ( x + y ) t = 3t + x − y − 21 ( x − ) t = 3t + x − ( x − 3) − 21 3t − x = ( x − ) t Còn x = y + vào hệ phương trình ( ∗) ta được: ( x + y ) t = 2t − y − ( y + 3) t = 2t − y − ⇔ ⇔ t = y +3   2 x + y t = t + x − y − 21 y + t = t + y + − y − 21 ( ) ( )   t = x x = t x = t ⇔ Bây quan sát, với kết  ta thấy hệ Hay nói cách khác ( ∗) ⇔  t = y + y = t − y = t − phương trình ( ∗) thực chất hệ phương trình bậc hai ẩn x, y với coi t tham số Do đó, dạng hệ phương trình ta xét đến cách giải định thức học sau: Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC a1 x + b1 y = c1 Bài toán Cho hệ phương trình  , giải biện luận hệ phương trình cho a2 x + b2 y = c2 Lời giải Thiết lập định thức: a b c b a c D = 1 = a1b2 − a2b1 ; Dx = 1 = c1b2 − c2 b1 ; Dy = 1 = a1c2 − a2 c1 a2 b2 c2 b2 a2 c2 Nếu D = a1b2 − a2b1 ≠ hệ phương trình cho có nghiệm là: x = Nếu D = a1b2 − a2b1 = có hai trường hợp xảy là: Dy Dx ; y= D D  Dx ≠ Với  hệ phương trình cho vô nghiệm  Dy ≠ Với Dx = Dy = hệ phương trình cho có vô số nghiệm t.x + ( t + 3) y = 2t − Dựa vào lý thuyết trên, xét hệ phương trình ( ∗) ta có: ( ∗) ⇔  ( t − 1) x + ( 2t + ) y = 3t − 21 t t +3 2t − t + = t + 5t + ≠ = t ( t + 5t + 3) Ta xét định thức: D = Dx = t − 2t + 3t − 21 2t + Dy = t 2t − = ( t − 3) ( t + 5t + 3) nên t − 3t − 21 Dx   x = D = t  x = xy + ⇔ ⇔ ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )}   D y y xy + = + y =  =t −3  D Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )} LỜI GIẢI Điều kiện: xy + ≥ Cách Đặt t = xy + ≥ ⇔ xy = t − Khi hệ phương trình cho tương đương với: 2 ( x + y ) t = ( t − ) − y +  ( x + y ) t = 2t − y − t.x + ( t + 3) y = 2t − ⇔ ⇔    2 ( x + y ) t = ( t − ) + x − y − ( x + y ) t = 3t + x − y − 21 ( t − 1) x + ( 2t + ) y = 3t − 21 t t +3 2t − t + Ta xét định thức: D = = t + 5t + ≠ Dx = = t ( t + 5t + 3) t − 2t + 3t − 21 2t + t 2t − = ( t − 3) ( t + 5t + 3) nên Dy = t − 3t − 21 Dx   x = D = t  x = xy + ⇔ ⇔ ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )}   y = Dy = t −  y + = xy +  D Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )} Cách Lấy pt (1) − pt ( ) ta được: x − y − = ( xy + ) − x xy + = xy + Lấy pt (1) − pt ( ) ta được: ( x − y) xy + = y − x + 15 ⇔ ( x − y − 3) ( ) ( ( ) xy + − x ) xy + + = x − xy + Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Từ suy ra:  x − xy + = xy + xy + − x xy + + = x − xy + ⇔  3 + xy + xy + + =  Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )} ( )( ) ( ) ( ( ) ( x − y + ) x + y + x = y ( − x )  Ví dụ Giải hệ phương trình   x − + x + y + + x3 + x − = y  ) ( x, y ∈ ℝ ) PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện: x ≥ 1; x + y + ≥ Phương trình hệ tương đương với: ( x − y + ) x + y + x − xy + x = y ( − x ) Đặt t = x + y , giả sử tồn số thực α cho α ( x + y ) + ( x − y + ) x + y − (α − 1) x − 2α y + xy + x − y = ⇔ α t + ( x − y + ) t − (α − 1) x − 2α y + xy + x − y = ( ∗) Coi phương trình ( ∗) phương trình bậc hai ẩn t với tham số x, y Ta cần tìm hệ số α cho đenta phương trình ( ∗) số phương, hay nói cách khác biệt thức: ∆ = ( x − y + ) − 4α  − (α − 1) x − 2α y + xy + x − y  Là đẳng thức biểu diễn theo hai biến x, y Để làm điều ta gán giá trị sau: α2 20096  10199  , ∆ =  + 40000 α α − + − α ( )  100 1250 25  100  Đặt x = 100; y = α 20096  10199  ∆=  − α số hữu tỷ dương  + 40000α (α − 1) + 1250 25  100  Và ta sử dụng công cụ TABLE ( Mode ) để tìm α , là: 2 Khi tìm giá trị α cho X2 20096  10199  Xét công cụ Mode cho hàm số F ( X ) =  + 40000 X X − + − X ( )  1250 25  100  Với giá trị START = −9 , END = STEP = F(X ) X Khi ta tìm X F ( X ) nhận giá trị hữu tỷ đồng thời X ≠ 902 −4 Dựa vào bảng bên, ta thấy với X = thì: −3 702 502 −2 F ( X ) = 97.97 = 100 − − = x − 3y − 302 − 100 101.99 Do lựa chọn α = ∆ = x − y − 97.97 Khi phương trình có hai nghiệm là: 297.98  −x + y − + x − 3y − 497.98 = −y −  x2 + y2 + y + = t =  697.98 ⇔  2 − x + y − − x + y +  t = 897.98 = −x + y  x + 2y + x − 2y =  ) ( Từ phương trình thứ hai hệ ta có y = x − 1 + x + x + + x + y + ≥ ⇒ y ≥ Phương trình hệ tương đương với: x + y + ( x − y + ) x + y + xy + x − y − y = Có ∆ = ( x − y + ) − ( xy + x − y − y ) = ( x − y − ) , suy ra: x2 + y 2 Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC −x + y − + x − 3y −  2 = −y −  x2 + y + y + =  x + 2y =  ⇔   x2 + y + x − y =  x2 + y = − x + y − − x + y + = − x + y   x + y + y + = vơ nghiệm y ≥ TH1 Với 2 y ≥ x 2 y ≥ x x2 + y + x − y = ⇔ x2 + y2 = y − x ⇔  ⇔  2  y = 2x  x + y = y − xy + x Thế y = x xuống phương trình thứ hai hệ ta được: TH2 Với x − + 3x + + x3 + x − = x ⇔ x − + ( x − 1) ⇔ x −1 + 3x + + + ( ) ) ( 3x + − + ( x − 1) ( x − x + ) x3 + x2 − − x + = x − ( x2 − x + )  =0 x3 + x − + x −   x −1 = ⇔ x − 1 + + 3x + +  x3 + x − + x − ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = x = ⇒ ( x; y ) = (1; ) nghiệm hệ phương trình  x − 2y − y − − x +1 =  y +1 2x + Ví dụ Giải hệ phương trình   3 ( x + )( x − y + ) = ( y + ) − y ( y − x ) − Lời giải Điều kiện: x ≥ −1; y ≠ −1 TƯ DUY CASIO Xét phương trình thứ hai hệ, ta có ( x + )( x − y + ) = • ( y + 2) ( x, y ∈ ℝ ) − 3y (2 y − x) − Với y = ta phương trình: ( x + )( x + 3) = 3 x + 14 , từ dùng máy tính CASIO với chức SHIFT SOLVE ta x = −2 • Với y = 100 ta phương trình: ( x + )( x − 96 ) = 1023 − 300 ( 200 − x ) − , từ dùng máy tính CASIO với chức SHIFT SOLVE ta x = 97 Với hai cặp nghiệm tìm ta có nhân tử y = x + đồng thời xét vế trái phương trình hai hệ có xuất x + nên ta chuyển ( x + ) − y − = nhân tử cần tìm Mặt khác ( y + 2) − 3y (2 y − x) − = y + 3xy + 12 y + = 3 y3 + y ( x + ) + Nên đặt t = x + phương trình hai hệ trở thành: t − ty = Với nhân tử t = y + thay vào y + 3ty + ta có 3 y + 3ty + = ( ∗) y + 3ty + ( y + 1) ⇒ y + 3ty + = y + = t Do lượng liên hợp với bậc ba t Vậy nên ta được: ( ∗) ⇔ ( t ( ) − ty − t ) + t − y + 3ty + = ⇔ t ( t − y − 1) + 3 t − y − 3ty − t + t y + 3ty + + ( y + 3ty + ) =0 Chú ý a + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = Do t + ( − y ) + ( −1) − 3ty = 3 2 ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  2 2 ( t − y − 1) ( t + y ) + ( y − 1) + (1 + t )  , hay nói cách khác: Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ( t − y − 1) ( t + y ) 2 + ( y − 1) + (1 + t )   =0 ( ∗) ⇔ 2t ( t − y − 1) + t + t y + 3ty + + y + 3ty + ( )   2 t + y ) + ( y − 1) + (1 + t )   ( ⇔ ( t − y − 1)  2t + = ⇔ t = y +1 2 3 3 t + t y + 3ty + + y + 3ty +     Với t = y + ⇔ x + = y + ⇔ y = x + vào phương trình hệ, ta có: ) ( x − 2x + x − x + = ⇔ ( 2x + 4) x − x + = ( x + 4) x − x + x+4 2x + ( ) ( ) ⇔ x2 + x − ( x + 4) x + = x2 + x − ( x + 4) x + ⇔ x2 + ( x + 4) x + = ( x + ) x + ≥ ⇒ x ≥ ⇔ x2 + x + + ( x + 4) x + = x + + ( x + 4) x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) x + + x + = ( x + 1) x + + x + + 3 x + (i ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + 3t với t ≥ , có f ' ( t ) = 4t + 3t + > 0; ∀t ≥ Nên suy f ( t ) hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) , thu được: (i ) ⇔ f ( ) x +1 = f (  x = ⇒ y = x ≥ −  2x + ⇔ x + = 2x + ⇔  ⇔ x = 1+ ⇒ y = + ( x + 1)3 = ( x + 1)  2  )   + +   Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = ( 0;3) ,  ;       x − y +1 + x2 + = ( xy − 1) 2x + Ví dụ Giải hệ phương trình  4 y − 10 = ( y + x − ) x − ( y + ) x +  ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Ta thấy phương trình hai hệ phức tạp chưa khai thác nhiều, ta chuyển hướng lên phương trình Cái đích việc giải hệ tìm mối liên hệ x , y sau vào phương trình cịn lại tìm nghiệm Phương trình có chứa thức nên để đơn giản ta đặt x−y +1 , mục đích ta muốn t = k = const để từ biểu diễn x , y Với phép đặt ta 2x + dễ dàng rút y theo x , t sau: t= t= x−y +1 x−y +1 ⇔ t2 = ⇔ y = x + − (2 x + 1)t 2x + 2x + Khi pt (1) ⇔ ( x  x + − (2 x + 1)t  − 1)t + x + = ⇔ xt ( x + 1) − (2 x + x)t − t + x + = (∗) Bây ta đưa phương trình (∗) dạng phương trình bậc hai ẩn x để xét đenta nhóm nhân tử chung, ta có: (∗) ⇔ x2 t + xt − (2 x2 + x)t − t + x2 + = ⇔ x2 (t + − 2t ) + x(t − t ) − t + = ⇔ x (2t − t − 1) + x (t − t) + t − = Và thấy nhân tử t − = 2t − t − = (t − 1)(2t + t + 1) với t − t = (t − 1)(t + t ) , (∗) ⇔ x2 (t − 1)(2t + t + 1) + x(t − 1)(t + t) + t − = ⇔ (t − 1)  x2 (2t + t + 1) + x(t + t) + 1 = Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 −1 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Với x , t ≥ suy x (2t + t + 1) + x (t + t) + > , nên (∗) ⇔ t = Hay nói cách khác x − y + = x + ⇔ x + y = Tuy nhiên, với cơng cụ máy móc phát triển, ta xử lý phương trình hệ CASIO đơn giản sau: Xét phương trình ( xy − 1) x−y +1 + x2 + = 2x + x − 99 + x2 + = 2x + Dùng SHIFT SOLVE ta nghiệm x = −100 ⇒ x + y = • Gán y = 100 ta (100 x − 1) • x − 499 + x2 + = 2x + Dùng SHIFT SOLVE ta nghiệm x = −500 ⇒ x + y = Gán y = 500 ta (500 x − 1) x−y +1 = nên ta lựa chọn phương pháp liên hợp để tìm nhân tử chung, là: 2x +  x−y +1   x−y +1 x + − (1 − xy) = ⇔ x + xy − (1 − xy) − 1 =  x + 2x +    x ≥   − xy  = ⇔ x + y =  ⇔ ( x + y)  x +  1 − xy ≥ x + x − y + + x +    Với x + y = ⇒ ( ) Với x + y = vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x − 10 = ( x + x − 5) x − (4 − x) x + Tiếp tục, phương trình chứa hai thức, có lẽ hướng tối ưu liên hợp, để tìm nhân tử chung ta cần tìm nghiệm tốn trước Vẫn máy tính CASIO ( thực chất khơng dùng tới máy ) ta tìm phương trình có hai nghiệm x = x = Mặt khác, x chứa biểu thức x + x − = ( x − 1)( x + 5) nên ta liên hợp x với , tương tự phải liên hợp x + với , ta được: x − 10 = ( x + x − 5) x − (4 − x) x + ( ⇔ ( x − x + 4) = ( x − 1)( x + 5) ⇔ ( x − x + 4) = (x + 5)( x ) ( x − + ( x − 4) − x + 4) x +2 + x+3−2 ) x − 5x + x+3 +2    x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − 4) = ⇔  x =   x = ⇔  2 = x + + (i )  x+2 x+3 +2  Với điều kiện x ≥ ta thấy (i) ( ⇔ x −1 ) x +2 + x+3 +2 = vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y) = {(1; −1) ,(4; −4)} Ví dụ Các ví dụ phân tích nhân tử hai ẩn xuất tốn HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu Phương trình y x − y = x + Lời giải Dùng chức SHIFT CALC ta sau: Y −2 −1 − 2 Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC X −1 Can’t − −1 13 10  0 = − a + b + c a =  2   = − a + b + c ⇔ b = −1 suy nhân tử 3 c =  13 6 = − a − b + c  10 Khi y x − y = x + ⇔ y 2 2 −1 Can’t x − y = ax + by + c = x − y + ) ( x2 − y − x + y − + y ( x − y + 2) = x + ( x − y − x + y − 2) + xy − x − + y − y = ⇔ y ( x − y − x + y − ) + ( x − y − x + y − )( x ⇔ ( x − y − x + y − )( x − y + x + y + ) = x − y = ax + by + c nên ta có hệ phương trình: Do ta dự đốn quan hệ ⇔y − 2 2 Câu Giải phương trình 2 ) − y2 + x + = 8x − y + + x + y − = x + Lời giải Xét phương trình với x = 100 ta 805 − y + y + 99 = 32 , dùng SHIFT CALC ta thu 805 − y + y + 99 − 32 = , tiếp tục với SHIFT CALC với y + 95 nghiệm y = −95 Xét phương trình y = 100 ta nghiệm y = 801  y = −95 = − 100 = − x Vậy phương trình có hai nghiệm   y = 801 = + 800 = + x  x − y + = x Thay y = − x vào phương trình cho, ta thấy  nên ta chọn giải pháp liên hợp  x + y − = sau: 5− x− y x + y −5 8x − y + − x + x + y − − = ⇔ + =0 8x − y + + x x + y −1 + ( ) ( )   1 ⇔ ( x + y − 5)  −  = ⇔ ( x + y − 5) x − y + + x − x + y − − =  x + y −1 + x − y + + x   y = 5− x ⇔ ( ∗)  x − y + + x − x + y − − =  x − y + = Tiếp tục với y = x + , thay vào phương trình ( ∗) ta thấy  , ta tiếp tục liên x = x + y −  hợp biểu thức sau: 8x − y + 8x − y + 8x − y + − + x − x + y − = ⇔ + =0 8x − y + + x + x + y − ( ( ) ( )   1 +  = ⇔ y = x +  8x − y + + x + x + y −  1 + > 8x − y + + x + x + y − ( x − y + 1)  Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 ) Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Câu Giải phương trình ( x + y − 3) x + y = y − x − y − xy Lời giải Nhập phương trình ( x + y − 3) x + y = y − x − y − xy vào máy tính, sau thực thao tác sau: Máy tính tiếp Solve for X ta nhập x = • SHIFT CALC, nhập y = 100 • Màn hình máy tính lên nghiệm x = 0.98 • x + y = 0.98 + 0.012 = 0.99 = − y Ta thấy với x = 0.98; y = 0.01 nên suy x + y + y − Tiếp tục tìm nhân tử cịn lại sau: Do phương trình có nhân tử ( x + y − 3) = x + y − y + x + y + xy • Nhập máy tính phép chia f ( x; y ) • Nhập x = y = ta f (1;1) = + = + x + y = x + y + x + y • Ta ( x + y − 3) x + y − y + x + y + xy x + y + y −1 Khi phương trình cho ⇔ ( x + y2 + y − = x + y2 + x + y )( ) x + y2 + y − x + y2 + x + y =  y x − + x − y = x + y Câu Giải hệ phương trình  tập số thực ( x + y − ) x − y = xy − y Lời giải Điều kiện: x ≥ 1; x ≥ y Phương trình thứ hai hệ ( x + y − ) x − y = xy − y , ta giải theo hai hướng sau: Cách Đặt t = x − y ⇔ x = t + y nên phương trình hai hệ trở thành: (t + y + y − ) t = y ( t + y − 1) ⇔ t − yt + ( y + y − ) t − y + y = • • Máy tính tiếp Solve for X ta nhập t = 100 Màn hình máy tính lên nghiệm t = −1.98 Ta thấy với t = −1.98; y = 0.01 nên suy t − y + = • Thực phép chia • ( ∗) SHIFT CALC, nhập y = t − yt + ( y + y − ) t − y + y t − 2y + Do ( ∗) ⇔ ( t − y + ) ( t − 2t + y + y ) = ⇔ ( = t − 2t + y + y )( ) x − y2 − y + x + y − x − y2 = Cách Ẩn phụ khơng hồn tồn Xét phương trình hai hệ, ta có α ( x − y ) − ( x + y − ) x − y + xy − y − α ( x − y ) = Có ∆ x− y 2 = ( x + y − ) − 4α  xy − y − α ( x − y )  Và với mong muốn ∆ x− y số , ta ∆ = 9225.6025 − 4α (1.98 − 99.9999α ) x− y 100 Đặt F ( X ) = 9225.6025 − X (1.98 − 99.9999 X ) khảo sát TABLE với giá trị: phương nên ta gán giá trị x = 100; y = • • • Start = −10 End = Step = 10 Và thấy giá trị X = F ( X ) = 103.97 = x − y + ⇒ ∆ = ( x − y + 4) x− y2 Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  ( x + y − ) + ∆ x− y x + y − + x − y + x + y  x − y2 = = =  2α Do đó, ta có  ( x + y − ) − ∆ x− y2 x + y − − x + y −  = = 2y −  x− y = 2α   y ≥ TH1 Với x − y = y − ⇔   x − y = ( y − 1) y + x − (1 + x − y ) −1 + Ta có y x − + x − y ≤ + ⇒ 2x + y ≤ 2x − y2 + ⇔ y ≤  2 2 2 x + y + = x + xy + y 2 xy = x + Với xy = x + vào phương trình thứ hai hệ, ta được: ( x + 1) x + + x + ( x + 1) − x = x + + x + ⇔ ( x + 1) x + + x + = x + x + ( ) ( ) ⇔ ( x + 1) x + − x + + x + − x + = ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) + x2 − x − =0 x + + 6x + x + + 8x + −1  x +1   x ≥ ⇔ ( x − x − 1)  + ⇔ x = 2± =0⇔  x + + 8x + x + + x +   x2 − x − =  Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Vậy hệ phương trình cho có nghiệm kể  x − y + + x + x − = y − Ví dụ Giải hệ phương trình   x ( y − 1) + x = ( y + 1) y − A Phân tích CASIO Cho y = 100 (1) thành x − 99 + x + x − = 1002 − Nhập vào máy tính X − 99 + X + X − = 1002 − Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 99 = y − ⇒ x − y + = ⇒ (1) có nhân tử x − y + B Lời giải  x + x ≥ ĐK:   y ≥ (*) Khi (1) ⇔ x − y + + x + x − − y − = ⇒ x − y +1+ x2 + x − − ( y − ) ( x + 1) ⇔ x − y +1+ ⇔ x − y +1+ =0 x2 + 2x −1 + y2 − 2 − y2 x2 + x − + y − ( x + − y )( x + + y ) x2 + x − + y − =0 =0   x + y +1  ⇔ ( x − y + 1) 1 + 2   x + x − + y −   (3) Ta có (2) ⇔ x ( y − 1) + 2 = ( y + 1) y − ≥ ⇒ x ≥   x + y +1 Kết hợp với (*) ⇒ + > nên (3) ⇔ x − y + = ⇔ y = x + x + 2x −1 + y2 − Thế vào (2) ta x ( x + − 1) + x = ( ( x + 1) + 1) ( x + 1) − ⇔ x3 + x = ( x + 3) x + = ( x + 1) x + + 2 x + ⇔ x3 + x = ( ) 2x +1 + 2x +1 ⇔ f ( x) = f Xét hàm số f ( t ) = t + t với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = 3t + > ( 2x + ) (4) ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ nên (4) ⇔ x = x + ( x ≥ ⇔ ⇔ x = + ⇒ y = + thỏa mãn (*) x = 2x +1 Đ/s: ( x; y ) = + 2; + ) C Nhận xét Ta biến đổi (1) ⇔ x + + ( x + 1) − = y + y − ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) Sau xét hàm số f ( t ) = t + t − với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = + (5) t t2 − Phương trình f ' ( t ) = vô nghiệm ⇒ f ( t ) đơn điệu ℝ nên (5) ⇔ x + = y Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Từ vào (2) giải  x − y + + x + x + = Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x − y + x − x + = A Phân tích CASIO y2 − y +1 y2 − 3y + Cho y = 100 (1) thành x − 99 + x + x + = 1002 − 99 Nhập vào máy tính X − 99 + X + X + − 1002 − 99 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 99 = y − ⇒ x − y + = ⇒ (1) có nhân tử x − y + ) ( Nhập vào máy tính X − 99 + X + X + − 1002 − 99 : ( X − 99 ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính thơng báo hết nghiệm Dựa phân tích đó, ta có lời giải tốn sau: B Lời giải ĐK: x, y ∈ ℝ (*) Quan sát phương (1) ta biến đổi bên có biến x bên có biến y Điều gợi mở cho ta nghĩ đến phương pháp hàm số, xét hàm đặc trưng Từ (1) biết x − y + = hay y = x + Đặt x = u , y = v + ⇒ (1) thành u − ( v + 1) + + u + u + = ( v + 1) − ( v + 1) + ⇔ u + u + u + = v + v2 + v + ⇔ f (u ) = f ( v ) (3) Xét hàm số f ( t ) = t + t + t + với t ∈ ℝ có f '(t ) = + Ta có A = ( t + t + 1) + 2t + = 2t + t2 + t +1 ( 2t + 1) = ( t + t + 1) + 2t + t2 + t +1 ( 2t + 1) + + 2t + > + 2t + ⇒ A > 2t + + 2t + ≥ − ( 2t + 1) + 2t + = ⇒ f ' ( t ) > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ nên (3) ⇔ u = v ⇒ x = y − ⇔ y = x + Thế vào (2) ta x − ( x + 1) + x − x + = ( x + 1) − ( x + 1) + ⇔ x − = x − x + − x − x + Đặt a = x − x + ≥ 0, b = x − x + ≥ ⇒ a − b = x − ⇒ a − b = a − b ⇔ ( a − b )( a + b − 1) = 1  Ta có a =  x −  + > 0, b = 2  ( x − 1) (3) + ≥ ⇒ a + b > ⇒ a + b − > Do (3) ⇔ a = b ⇒ x − x + = x − x + ⇒ x − x + = x − x + ⇔ x = ⇒ y = Thử lại ( x; y ) = (1; ) thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = (1; ) ( x − 1) x − y + + ( x − y ) x = x − y − Ví dụ Giải hệ phương trình   x − x − y − + y x + + xy − x + = Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC A Phân tích CASIO Cho y = 100 (1) thành ( x − 1) x − 99 + ( x − 100 ) x = x − 101 Nhập vào máy tính 101 − X + ( X − 1) X − 99 + ( X − 100 ) X = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 100 = y ⇒ (1) có nhân tử x − y ( ) Nhập vào máy tính 101 − X + ( X − 1) X − 99 + ( X − 100 ) X : ( X − 100 ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thơng báo hết nghiệm Dựa phân tích đó, ta có lời giải tốn sau: B Lời giải x ≥  ĐK:  x − y + ≥  xy − x + ≥  Khi (1) ⇔ ( x − 1) • (*) ( ) x − y + − + ( x − 1) + ( x − y ) x + y − x + = ⇔ ( x − 1)( x − y + − 1) + ⇔ ( x − 1)( x − y ) + ⇔ ( x − 1)( x − y ) + ( x − y )( x − 1) = x − y +1 +1 1+ x − y +1 ( x − y)( 1+ x − y +1 x + y−x=0 ) x −1 = x +1  x = 1  ⇔ ( x − 1)( x − y )  + =0⇔     x = y  1+ x − y +1 1+ x  TH1 x = vào (2) ta − − y − 22 + y + y − + = ⇔ y+ y −2 = ⇔ • ( x − y) ( )( y −1 ) y + = ⇔ y = thỏa mãn (*) TH2 x = y vào (2) ta x − x − + x x + + x − x + = ⇔x ) ( x+3 −2 + x ( x + − 4) ) x − x + − + ( x − 1) = x2 − x + −1 + ( x − 1)( x + 1) = x+3+2 x2 − x + +1 x ( x − 1) x ( x − 1) ⇔ + + ( x − 1)( x + 1) = + x + + x2 − x +   x x ⇔ ( x − 1)  + + x + 1 =  + x + 1+ x − x +1  ⇔ x = ( x ≥ ) ⇒ y = thỏa mãn (*) ⇔ Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ( + C Nhận xét Tại bấm máy CASIO ta thu x = y lời giải lại có thêm x = Câu trả lời đơn giản Khi ta gán y = 100 điều kiện x x ≥ 99 mà bấm máy tìm nghiệm khơng X = Việc tìm nhân tử x − nảy sinh lời giải Trong số tốn khác, ta gán y = 100 tìm nhân tử x − a ( a số) Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 2 x + x + y + = ( x + 1) x + y +  Ví dụ Giải hệ phương trình  x + y − x + = x + + 2 y +1  y −1  A Phân tích CASIO Cho y = 100 (1) thành x + x + 201 = ( x + 1) x + 201 Nhập vào máy tính X + X + 201 − ( X + 1) X + 201 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 100 = y  x + y + − ( x + 1)  ⇒ x − y = ⇒ (1) có nhân tử x − y ⇒ ta nhóm  x + y + − ( y + 1)  Nếu nhóm x + y + − ( y + 1) ta làm sau: Phương trình (1) ⇔ ( x + 1) ( ⇒ ( x + 1) ⇒ ⇒ ) x + y + − y − = x + x + y + − ( x + 1)( y + 1) x + y + − ( y + 1) x + y +1 + y +1 ( x + 1) ( x − y ) y + + x2 + y + = x − xy + y − x = 2x ( x − y ) − ( x − y ) ( x + 1)( x − y )( x + y ) = y + + x2 + y +1 ( x − y )( x − 1) x = y  ⇒  ( x + 1)( x + y ) = 2x −1  y + + x2 + y +1  (3) Từ (3) ⇒ ( x + 1)( x + y ) = ( x − 1)( y + 1) + ( x − 1) x + y + ⇒ x + xy + x + y = xy + x − y − + ( x − 1) x + y + ⇒ x − x + y + = ( x − 1) x + y + Phương trình có dạng (1) ta kết hợp với (1) Ta có ( x + x + y + 1) − ( x − x + y + 1) = ( x + 1) − ( x − 1)  x + y + 1 ⇒ x = x2 + y + ⇒ x2 = x2 + y + ⇒ y = − Cách nhóm B x + y + − ( x + 1) thể lời giải sau Lời giải x + ≥  ĐK: 2 y + ≥ 0, y ≠  x + y +1 ≥ Khi (1) ⇔ ( x + 1) (*) ( ) x + y + − x − = x + x + y + − ( x + 1)( x + 1) ⇒ ( x + 1) x + y + − ( x + 1) x2 + y + + x + = y − 2x ⇒ ( x + 1)( y − x ) x2 + y + + x + = y − 2x Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Tham gia nhóm Đề thi thử Hocmai,Moon,Uschool để nhận giảng miễn phí trao đổi kiến thức Groups : http://facebook.com/groups/dethithu Fanpage : https://www.facebook.com/dethithu20162017/ Website: Tailieubaigiang.com 2 y − x = x = y ⇒ ⇒  x + y + + x + = x +  x + y + = x x = y x = y ⇒ ⇒ y = − x + y + = x   2 x2 + − x + 1  • TH1 y = − vào (2) ta = x + ⇔  x −  + + x + = 2  − −1 Phương trình vơ nghiệm 2x2 − x + • TH2 x = y vào (2) ta = x + + 2x +1 x −1 ⇔ x − x + = ( x − 1) x + + ( x − 1) x + ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) x + + ( x + ) + ( x − 1) − ( x − 1) x + + ( x + 1) = ( ⇔ ( x −1 − ) + ( x −1− x + ) = ( x −1 − ⇔ x −1 − x + 2 ) =0 2x +1) = 2x +1 2  x − = x + ( x − 1) = x + ⇔ ⇒ x − = x +  ( x − 1) = x +   x = −1   x − x − =  x = ⇒ ⇒ ⇒ x = ⇒ y =  x − x =  x =  x =  Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = ( 4; ) C Nhận xét Ví dụ này, tác giả bố trí nhân tử y + , việc gán y = 100 khơng thể tìm ln Việc tìm nhân tử y + nảy sinh lời giải Tài liệu copy Lễ Tân Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 ... cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )} Cách Lấy pt (1) − pt ( ) ta được: x − y − = ( xy + ) − x xy + = xy + Lấy pt (1) − pt ( ) ta được: ( x − y) xy + = y − x + 15 ⇔ ( x − y − 3) (... thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC A Phân tích CASIO Cho y = 100 (1) thành ( x − 1) x − 99... ra: x2 + y 2 Tham gia khóa Luyện thi mơn TỐN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC −x + y − + x − 3y − 