Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu (2,0 điểm) Cho hàm số
y = x3 − 3mx2 + 3m3
( 1 ),
m là tham số thực.
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích 48.
Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2(cos x +
3 sin x) cos
x = cos x − sin x + Câu (1,0 điểm)
Giải bất phương trình
x + 1 + x
x2 − x + ≥ x.
Câu (1,0 điểm). Tính tích phân
I = ∫
x4 + 3x2 + dx. Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC với
SA = 2a,
AB = a. Gọi chiếuH là hình vng góc A trên cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.
Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = x
2 + y2 + z = 1. Tìm giá trị lớn
nhất biểu thức P = x
5 + y5 + z5.
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm trong hai phần riêng (phần A phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
(C 1):
x2 + y2 = 4,
(C2 ): x2 + y2 − 12x + 18 = 0
và đường thẳng
d : x − y
− = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2 ), tiếp xúc
với d và cắt (C1)
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vng góc với d.
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x − = y = z
2 −2
và hai
điểm A(2;1; 0), B(−2; 3; 2) Viết phương trình mặt cầu qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
(2)Câu 9.a (1,0 điểm) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có cả nam nữ.
B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc
với cạnh hình thoi có phương trình
x2 + y2 = Viết phương trình chính tắc
của elip (E) đi qua các đỉn h A, B, C, D của hìn h thoi . Biết A thu ộc Ox.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 0; 3), M (1; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và cắt trục Ox, Oy lần lượt B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Câu 9.b (1,0 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình lượng giác z1 và z2.
(3)- HẾT
-BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(4)ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối B
(Đápán - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
1 a) (1,0 điểm) (2,0 điểm)
Khi m = 1, ta có: y = x3 − 3x2 + 3 • Tập xác định: D = \
• Sự biến thiên:
− Chiều biến thiên: y ' = 3x
2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
0,25
Các khoảng đồng biến: (− ∞; 0) (2; + ∞) , khoảng nghịch biến: (0; 2)
− Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 3; đạt cực tiểu x = 2, yCT = −1 0,25
− Giới hạn: lim
x →− ∞ y = − ∞ limx → + ∞y = + ∞
− Bảng biến thiên: x − ∞
y '
y
0 + ∞
+ – +
3 + ∞
0,25
• Đồ thị:
−∞ –1
y 0,25 O x −1
b) (1,0 điểm)
y ' = 3x2 − 6mx; y ' = 0 ⇔x = 0 x = 2m. 0,25
Đồ thị hàm số có điểm cực trị m ≠ (*)
Các
điểm cực trị đồ thị A(0; 3m3 ) B(2m; − m3 ) Suy OA = | m3 | d (B, (OA)) = | m |
0,25
(5)thỏa mãn (*)
Trang 1/4
0,25 0,25
2 (1,0
(6)Phương trình cho tương đương với: cos 2x +
⇔ cos(2x − π )= cos(x + π )
⇔ 2x − π = ± x + π + k 2π (k ∈])
3 sin 2x = cos x −
3 sin x 0,25 0,25 0,25
⇔
x =
2π
+ k
2π
hoặc
( )
(7)x = k 2π (k ∈]) 0,25
3
3 Điều kiện: ≤ x ≤ 2 − x ≥ 2 + 3 (*). (1,0 điểm) Nhận xét:
x =
nghiệm bất phương trình cho 0,25
Với x > 0, bất phương trình cho tương đương với: x + +
x x +
1
− ≥ (1)
x
Đặt t = x + (2), bất phương trình (1) trở thành x
⎡3−t <
t 2 − ≥ − t ⇔⎢ 3− t ≥
⎣⎢⎩t 2 − ≥ (3−
t )2
0,25
⇔t ≥ Thay vào (2) ta được
2 x +
1
x ≥
5
⇔
2 x ≥ x ≤
1
2 0,25
⇔0 < x ≤
4
x ≥ Kết hợp (*) nghiệm x = 0, ta tập nghiệm bất phương 0,25
trình cho là: ⎡0; =1⎤ ∪[4; +∞)
4
(1,0 điểm) Đặt t = x2 , suy dt = xdx Với x = t = 0; với x =1 t =1
0,25
1 x2 2xdx 11 tdt
Khi I = =
2 ( x +1)( x + 2) (t +1)(t + 2)
1
0,25
= ∫( 2 − )dt = (ln|t + 2|− ln|t +1|) 0,25
20t + t +1
= ln3 − ln 2
5 S Gọi D là trung điểm cạnh AB và O là tâm ∆ABC Ta
có
0,25
(1,0 điểm) AB ⊥CD
và AB ⊥
SO nên
AB ⊥(SCD),
đó
AB ⊥SC 0,25
Mặt khác SC ⊥AH , suy SC ⊥( ABH
)
0,25
H Ta có: CD= a ,OC = a 3
2
nên SO =
SC 2 −OC = a 33
3 0,25
Do DH = SO.CD = a
SC
A C
11
Suy S
4
(8)∆ABH 1 1a
2
= AB.DH =
2
O Ta có SH = SC −HC = SC −
D CD
2
−DH 2 = 7a
4 0,25
Do V = SH .S =
B S ABH
3 ∆ABH
11a3
96 Trang 2/4
(9)Với
x + y + z =
(10)ta có:
0 = ( x + y + z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2 x( y + z)+ 2 yz =1− 2 x2 + 2 yz, nên
yz = x2 −
(11)0,25
y 2 + z 2 1 − x2
2 1 − x2 6
Mặt khác yz ≤ = , suy ra: x − ≤ , − ≤ x ≤ (*)
2 2 3
Khi đó: P = =
x5 + ( y 2 + z 2 )( y3 + z3 ) − y 2 z 2 ( y + z)
x5 +(1− x2 )⎣⎡( y2 + z 2 )( y + z)− yz( y + z)⎤⎦ +(x2 −
1) x
0,25 = x5 +(1− x2 )⎡− x(1− x2 )+ x(x2 − 1)⎤ +(x2 − 1) x =
5
(2x3 − x)
2
Xét hàm
f ( x) = x3 − x trên ⎡−
6
; ⎤
, suy f '( x) = x
2 −
1;
f '( x) = ⇔ x = ±
⎣⎢⎢3 ⎥⎦
⎛ Ta
f 6 ⎞⎞= f ⎛
= −
6
, f ⎛ ⎞= f ⎛−
6 ⎞
=
6
Do đóf ( x) ≤
0,25
⎜ 3 ⎟ ⎜
6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 9
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Suy P ≤ 36
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Khi x = , y = z = − dấu xảy Vậy giá trị lớn P là
0,25
7.a
3 36
(C1) có tâm gốc tọa độ O Gọi I là tâm đường tròn (C)
(1,0 điểm)
(C) cầnviết
phương trình, ta có
AB ⊥OI
Mà AB ⊥d và 0,25
A I d O ∉d nên OI//d, OI có phương trình y = x
Mặt khác I ∈(C2 ), nên tọa độ I thỏa mãn hệ:
B ⎧⎪y =
x
⎧x =3 0,25
⎨ ⇔⎨ ⇒I (3;3)
x + y −12x+18= y =3
⎩
(C1)
(C2)
Do (C)
tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R = d (I , d ) = 2
Vậy phương trình (C) ( x − 3)2 + ( y − 3)2 = 0,25
0,25
8.a (1,0 điểm)
Gọi (S) mặt cầu cần viết phương trình I là tâm (S)
Do I ∈d nên tọa độ điểm I có dạng I (1+ 2t;t;− 2t ) 0,25
Do A,B∈(S
)
nên
AI =BI , suy (2t −1)
2 +(t −1)2 + 4t 2 = (2t +3)2 + (t −3)2 + (2t + 2)2 ⇒t = −1. 0,25
Do I (−1; − 1; 2) bán kính mặt cầu IA = 17 0,25
9.a
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm ( x + 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2)2 = 17 0,25
(1,0 điểm) Số cách chọn học sinh lớp C 4 =12650 0,25
Số cách chọn học sinh có nam nữ 2
15 10 15 10 15 10 0,25
2
2
(12)= 11075 0,25
Xác suất cần tính P = 11075 = 443
12650 506
0,25
Trang 3/4
7.b y
(13)(14)(15)2 y 2
(16)Hình thoi ABCD có
(17)0,25
H AC = 2BD A, B, C, D thuộc (E) suy OA = 2OB
Khơng tính tổng quát, ta xem
C A(a; 0)
O x B (0; a ) Gọi H là hình chiếu vng góc O trên AB,
suy OH là bán kính đường trịn (C ) : x2 + y 2 =
D
0,25
Ta có: = = + = +
4 OH 2 OA2 OB2 a2 a2 0,25
Suy a2 = 20, b2 = Vậy phương trình tắc (E)
x2 y2
+ = 1. 0,25
8.b (1,0 điểm)
Do B ∈Ox,
C ∈Oy
20
nên tọa độ B và C có dạng: B(b; 0; 0) C (0; c; 0) 0,25
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra: G b ; c ; 3
JJJJG x y z −3
0,25
Ta có
AM = (1; 2; −3) nên đường thẳng AM có phương trình = = −3 0,25
Do G thuộc đường thẳng AM nên b = c = −2 Suy b = c =
3
Do phương trình mặt phẳng (P)
−3
x
+ y + z = 1,
2 nghĩa (P) : 6x + y + 4z − 12 =
0,25
9.b
(1,0 điểm) Phương trình bậc hai z 2 − i z − = có biệt thức ∆ = 0,25
Suy phương trình có hai nghiệm:
⎛
z1 = +
=
π
3i và
=π ⎞
z2 = −1 + 3i 0,25
• Dạng lượng giác z1 là z1 = 2⎜cos
3 +isin ⎟ 0,25
⎛ = 2π = 2π ⎞
• Dạng lượng giác
z2 là z2 = 2⎜cos
3 +isin ⎟
0,25
2
( )
A
(18)HẾT