Cau5TrongdethiDHlay10diem

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.[r]

CÂU V TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Câu V (1 điểm): Cho x,y,z ba số thực dương có tổng 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P3(x2y2z2) 2 xyz. Ta có:





2

3 ( ) 2( )

3 2( )

27 ( ) ( 3)

P x y z xy yz zx xyz

xy yz zx xyz x y z yz x

 

        

    

    

2

3

( )

27 (3 ) ( 3)

2

( 15 27 27)

2

y z

x x x

x x x



    

    

Xét hàm số f x( )x315x2 27x27 , với 0<x<3 ,( ) 3 30 27 0

9 x

f x x x

x  

     

 

Từ bảng biến thiên suy MinP=7  x  y z 1.

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng:

abcd

a4 b4 c4 abcd b4 c4 d4 abcd c4 d4 a4 abcd d4 a4 b4 abcd

1 1 1

   

           

a4b42a b (1); b2 4c42b c (2); c2 a42c a (3)2

 a4b4c4abc a b c(   ) a4b4c4abcd abc a b c d (    ) (4)

abc a b c d a4 b4 c4 abcd

1

( )

 

  

    đpcm.

Câu V (1đ): Biết ( ; )x y nghiệm bất phương trình:5x25y2 5x15y 8 0 Hãy tìm giá

trị lớn biểu thức F x 3y.

Thay x=F −3y vào bpt ta được: 50y2 30Fy5F2 5F 8

Vì bpt ln tồn y nên Δy≥0 ⇔ −25F2

+250F −400≥0 ⇔ 2≤ F ≤8 Vậy GTLN F=x+3y

Câu V (1.0 điểm) Cho x, y, z số dương Chứng minh:

x y z xy yz zx

3 2 4  3 5

Áp dụng BĐT Cô–si:













1

; ;

2 x y  xy y z  xy z x  xy  đpcm

Câu VIIa (1 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng:

3 3

4 4

3 (1 )(1 ) (1  )(1 ) (1  )(1 )

a b c

b c c a a b (4)

Câu VII.a: Áp dụng BĐT Cơ–si ta có:

3 1 1 3 1 1 3 1 1 3

; ;

(1 )(1 ) 8 (1 )(1 ) 8 (1 )(1 ) 8

     

        

     

a b c a b c a b c a b c

b c c a a b



3 3 3 33 3 3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4

 

      

     

a b c a b c abc

b c c a a b

Dấu "=" xảy  a = b = c =

Câu V (1 điểm) Cho x,y số thực thỏa mãn điều kiện x2+xy+y2

 Chứng minh

rằng:

–4 3– x2– –xy 3y24 3

 Nếu y = B = x2   B   Nếu y  đặt t =

x

y ta B = A

2 2

2 2

3 .

1

   



   

x xy y At t

x xy y t t

Xét phương trình:

2

3

    

t t m

t t  (m–1)t2 + (m+1)t + m + = (1)

(1) có nghiệm  m =  = (m+1)2 – 4(m–1)(m+3)  

3 3

 

 m 

3 3

 

Vì  A  nên –3–4 3 B  –3+4

Câu V (2.0 điểm). Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng:

3 3

 

  

     

ab bc ca a b c

a b c b c a c a b Câu V: Sử dụng BĐT:

1 1 1

(   )    9     

 

x y z

x y z x y z x y z

Ta có:

1 1 1

3 ( ) ( )

 

     

         

ab

ab ab

a b c a c b c b a c b c b

Tương tự biểu thức cịn lại Sau cộng vế với vế ta được:

1

3 3

      

 

       

          

ab bc ca a b c bc ca ca ab ab bc a b c

a b c b c a c a b a b b c a c

Câu V.(1 điểm) Chox y, số thực thỏa mãn x2y2 xy1.Tìm GTLN, GTNN 6 2 2

F x y  x y  xy

Giải: Chox y, số thực thỏa mãn x2 y2  xy1.Tìm GTLN, GTNN F x 6 y62x y2 2xy

Ta có









3

2 3 2 2 2 2 F  x y  x y x y  x y  xy

=









3

2 xy xy 2xy

   

Đặt xy t Ta có f t

 

2t3 2t22t1





2

2 1 3 1

x y  xy  x y  xy

1 xy 

 





2

2 1 1

x y  xy  x y xy  xy1

suy

1 ;1

t  

 

Câu V(1 điểm). Xét ba số thực không âm a, b, c tháa m·n a2009 + b2009 + c2009 = Tìm giá trị lớn của

biểu thức P = a4 + b4 + c4

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số số a2009 ta có 1+1+ +1

⏟

2005

+a2009+a2009+a2009+a2009≥2009.2009

√

a2009.a2009.a2009.a2009=2009 a4(1) T¬ng tù ta cã

1+1+ +1

⏟

2005

+b2009+b2009+b2009+b2009≥2009 2009

√

b2009.b2009.b2009.b2009=2009.b4(2) 1+1+ +1

⏟

2005

+c2009+c2009+c2009+c2009≥2009.2009

√

c2009.c2009.c2009.c2009=2009 c4(3) Cộng theo vế (1), (2), (3) ta đợc

6015+4(a2009+b2009+c2009)≥2009(a4+b4+c4) ⇔6027≥2009(a4+b4+c4)

Từ suy P=a4

+b4+c43

Mặt khác a = b = c = P = nên giá trÞ lín nhÊt cđa P =

9 9 9

6 3 6 3 6 3

x y y z z x

P

x x y y y y z z z z x x

  

  

     

Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc :

3 3 3

2 2 2

a b b c c a

P

a ab b b bc c c ca a

  

  

     

3 2

2 ( ) 2

a b a ab b

a b

a ab b a ab b

  

 

    mà

2

2

1 a ab b a ab b

 



  (Biến đổi tương đương)

2

2

1

( ) ( )

3 a ab b

a b a b

a ab b

 

   

 

Tương tự:

3 3

2 2

1

( ); ( )

3

b c c a

b c c a

b bc c c ca a

 

   

   

=>

3

( ) 2

3

P a b c   abc 

(BĐT Côsi) => P2,P2 a = b = c = 1 x = y = z = Vậy: minP = x = y =z =1

Câu IV (1.0 điểm)

Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz

Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) Ta có

1 1

2

xy yz xz xyz

x y z

      

nên

1 1 1 ( 1)( 1)

1 y z y z (1)

x y z y z yz

   

      

Tương tự ta có

1 1 1 ( 1)( 1)

1 x z x z (2)

y x z x z xz

   

      

1 1 1 ( 1)( 1)

1 x y x y (3)

y x y x y xy

   

      

Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta

1 ( 1)( 1)( 1)

8 x y z 

vậy Amax =

1

8 x  y z

V

(1 điểm)

Câu V (1 điểm)

Chứng minh với số tự nhiên n ( với n  2), ta có: ln2n >

ln(n-1).ln(n+1)

 Với n = BĐT cần chứng minh

0.25

 Xét n > ln(n – 1) > BĐT tương đương với:

ln ln( 1) ln( 1) ln

n n

n n

 

 (1)

0.25

 Hàm số f(x) =

ln ln( 1)

x

x , với x > hàm nghịch biến, nên với n >

2 f(n) > f(n+1) 

ln ln( 1) ln( 1) ln

n n

n n

 

 BĐT (1) chứng

minh

Câu V Câu V (1 điểm): Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5x 5y5z1 Chứng

minh r ng : ằ

x y z

x y z y z x z x y

25 25 25

5  5  5 

   

x y z

5 5

4

 

: Đặt 5x a; 5y b; 5z c Từ giả thiết ta có: a, b, c > ab bc ca abc  

BĐT 

 

  

  

2 2

4

a b c a b c

a bc b ca c ab (*)

Ta có: (*) 

 

  

  

3 3

2 2 4

a b c a b c

a abc b abc c abc 

 

  

     

3 3

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c a b c

a b a c b c b a c a c b

Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có:

 

  

 

3 3

( )( ) 8

a a b a c a

a b a c (1)

 

  

 

3 3

( )( ) 8

b b c b a b

b c b a ( 2)

 

  

 

3 3

( )( ) 8

c c a c b c

c a c b ( 3)

Cộng vế với vế bất đẳng thức (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh

Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ hàm số:

x x x x

f x

x x

4

2

4 8

( )

2

   



 

Tập xác định: D = R

Ta có: f x x x x x

2

2

1

( ) 2

2

    

  ( BĐT Cô–si)

Dấu "=" xảy  x2–2x  2 1  x1.

Vậy: f(x) = đạt x =

Câu V (1 điểm): Cho số thực không âm a, b Chứng minh rằng:

a2 b b2 a   2a  1 2b

4 2

       

      

       

       

Ta có: a b a a b a a a b a b

2

2 1 1

2 2

3

4

 

        

 

       

Tương tự: b a a b

2

2

4

    

Ta chứng minh a b a b

2

1 2 (2

2 2

     

    

     

     

(*)

Thật vậy, (*)  a b ab a b ab a b

2 4

4

2 

       

 (a b )20

Dấu "=" xảy  a b

1

 

Câu V (1,0 điểm) Cho số thực không âm x , y , z thoả mãn x2+y2+z2=3 Tìm giá

trị lớn biểu thức A=xy+yz+zx+ x+y+z

Đặt t=x+y+z t2=3+2(xy+yz+zx)xy+yz+zx=t

2

−3

2

Ta cã 0≤xy+yz+zx≤ x2+y2+z2=3 nên 3t293t 3 t>0

Khi ú A=t

2−3

2 + t

XÐt hµm sè f(t)=t

2

2+

t −

2,√3≤t ≤3

Ta cã f '(t)=t −5

t2= t3−5

t2 >0 v× t ≥√3

Suy f(t) đồng biến [√3,3] Do f(t)≤ f(3)=14

3

Dấu đẳng thức xảy t=3⇔x=y=z=1

VËy GTLN cña A lµ 14

3 , đạt đợc x=y=z=1

Câu V (1 điểm) Cho ba số a, b, c sao cho

{

a , b , c>0

abc=1

Tìm giá trị nhỏ biểu thứcA =

a3(b+c)+¿

1

b3(a+c)+¿

1

c3(b+a)

Đặt x =

a, y= b, z=

1

c Khi đó:

A= x

3

1 y+

1 z

+ y

3

1 x+

1 z

+ z

3

1 y+

1 x

=¿ x3yz y+z+

y3xz z+x +

z3xy x+y ≥

3

2 (*)

Do abc=1⇒xyz=1 nªn ta cã A= x

2

y+z+ y2

z+x+ z2

x+y (1)

Ta chứng minh bất đẳng thức a+b+c

2

a2

b+c+ b2

c+a+ c2

b+a ThËt vËy

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dơng ta có:

a2 b+c+

b+c ≥ a ,

b2 c+a+

c+a ≥ b ,

c2 a+b+

a+b ≥ c

Cộng ba bất đẳng thức chiều ta có :

a+b+c

a2

b+c+ b2

c+a+ c2

b+a

Bạn đọc tự đánh giá dấu “=” xảy khi a = b = c.

VËy A= x2

y+z+ y2

z+x+ z2

x+y≥

x+y+z

2 ≥

3

3

√xyz=3

DÊu “=” x¶y x = y = z = VËy minA =

2 a = b = c =

CâuV :( 1, điểm) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh bất đẳng thức sau : 3 2 2

2 y

2 x z 1

x y + y z + z x x + y + z

CM bất đẳng thức 3 2 2

2 y

2 x z 1

x y + y z + z x x + y + z với x > ; y > ; z > 0

+ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x3 y2 ta có :

3

3

2 x

x y x y xxy

x y xy

    

Tương tự :

2 y

y z yz , dấu đẳng thức xảy y3 = z2

(2)

2 z

z x zx, dấu đẳng thức xảy z3 = x2

(3)

+ Áp dụng BĐT(dễ CM ) ab bc ca a   2b2c2(dấu đẳng thức xảy

a = b = c )

ta có : 2

1 1 1

xy + yz+ zx x + y + z , dấu đẳng thức xảy x = y = z (4)

+ Từ (1), (2), (3) (4) ta có BĐT cần C/minh Dấu đẳng thức xảy x = y = z >

b/.Cho a, b, c>0; abc=1 Ch ng minh r ng ă

3 3 3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

a b c

b c  c a  a b 

      .

Ap d ng b t u â đăng th c côsi cho ba s , ta coư ô

 

  

 

3 1 1 3

(1 )(1 ) 8

a c b a

b c

 

  

 

3 1 1 3

(1 )(1 ) 8

b c a b

c a





 

  

 

    

3 1 1 3

(1 )(1 ) 8

3 (1)

4

c a b c

a b

VT a b c

D u b ng x y â ă a

1 1

1

8 8

1

a c b

a b c abc

   

 



   



 



V y â

3 3

(1) (1)

2 4

VT   VT  

pcm

đ

Câu 5: ( điểm) Cho a b c, , số thực không âm, đôi khác Chứng minh rằng:

ab bc ca a b c

a b b c c a

 

  

   Hỏi dấu “=” xảy nào? áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số a b c, , ta đợc:

 

 

 

2

2

2

2

2

2

ab ab ab ab

a b ab

a b ab a b

bc bc bc bc

b c bc

b c bc b c

ca ca ca ca

c a ca

c a ca c a

     

 

     

 

     

 

2

2 2

2

ab bc ca ab bc ca

a b b c c a

ab bc ca a b b c c a

a b b c c a

ab bc ca a b c

dpcm a b b c c a

 

  

  

  

 

       

    

 

    

  

DÊu = xảy a b c  .

2) Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: x2+y2+z2≤xyz Hãy tìm giá trị

lớn biểu thức: P= x x2+yz+

y y2+zx+

z z2+xy

Vì x ; y ; z>0 , Áp dụng BĐT Cơsi ta có: P≤ x

2

√

x2yz+

y

2

√

y2zx+

z

2

√

z2xy =

¿1

4

(

√yz+

√zx+

√xy

)

4

(

y+

1

z+

1

z+

1

x+

1

x+

1

y

)

=

1 2

(

yz+zx+xy

xyz

)

≤ 2

(

x2

+y2+z2

xyz

)

1 2

(

xyz xyz

)

=

1

Dấu xảy ⇔x=y=z=3 Vậy MaxP = 12

Câu V (1 điểm) Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Chứng minh r»ng

1 1

1

1 1

x y  y z z x

Đặt x=a3 y=b3 z=c3 x, y, z >0 abc=1.Ta có

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)(a+b)ab, a+b>0 vµ a2+b2-abab

 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0

 3





1

a  b 1 ab a b c  

Tương tự ta có





3

1

c bc a b c

b     

,





3

1

a ca a b c

c     

Céng theo vÕ ta cã

1 1

1 1

x y   y z   z x  = 3

1

a  b 1+ 3 c

b   + 3

1 a

c  







1 1

a b c ab bc ca

 

 

 

   =









1

1 a b c  c a b  

DÊu b»ng x¶y x=y=z=1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = log22x 1 log22 y 1 l go 22 z4

trong x, y, z số dương thoả mãn đièu kiện xyz =

Theo bất đẳng thức Minkowski: a12b12  a22b22  a32b32  (a1a2a3)2(b1b2b3)2

Dấu đẳng thức xảy khi:

3 2

a

a a

b b b

Ta có P  log (22 xyz) 4 = ( xyz = 8)

Vậy minP =

2 2

log log log log ( )

1 4

x y z xyz

    x y 48;z 2 2

   

Câu V (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

2 4 6 y x xy x y P    

Ta có 5

) ( ) ( ) ( 2 2 2 2             y x y x y x y x y xy x P  

 MinP 

            0 2 y y x y x y x

2, Cho số thực dơng a, b, c tho¶ m·n ab+bc+ca=abc Chøng minh r»ng:

a4

+b4 ab(a3+b3)+

b4

+c4 bc(b3+c3)+

c4

+a4 ca(c3+a3)≥1

Tõ a4

+b4≥ a3b+ab3⇒2(a4+b4)≥ a4+a3b+b4+ab3=(a3+b3)(a+b)

VËy a

4

+b4 ab(a3+b3) ≥

a+b 2ab= 2

(

a+ b

)

Tơng tự cho bất đẳng thức lại, suy đpcm

Câu V: ( 1,0 điểm)

Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn

[

−1

2;1

]

: 3

√

1− x2−2

√

x3+2x2+1=m ( m∈R )

Đặt f x

 

3 1 x2  x32x21, suy f x

 

xác định liên tục trênđoạn 12;

      .

 

'

2 2

3 3

1 1

x x x x

f x x

x x x x x x

                 . ; 1

x  

   

  ta có

4 3 4 0 3 0

3 1 2 1

x

x x

x x x



       

   .

Vậy: f x'

 

 0 x0 Bảng biến thiên:

 

 

' || ||

1 0 1

2

0 CÑ

3 22

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình cho có nghiệm thuộc 12;

 



 

 

3 22

4

2

m 

   