Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời.. khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4..[r]
(1)ĐỀTHI THỬ ĐẠI HỌC - năm 2013( Đề số ) Mơn: Tốn
( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2.0 điểm): Cho hàm số yx3 3x 1, có đồ thị (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Đường thẳng (d) qua A(-2, -3) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho diện tích tam giác OMN
Câu II (2.0 điểm ) :
1 Giải phương trình:
3 2sin
2 2(cotg 1) sin
cos
x
x x
x
Giải phương trình x3 4x2 5x 6 37x29x
Câu III (1.0 điểm ) Tính tích phân:I=
3
7sin 5cos (sin cos )
x x
dx
x x
Câu IV (1.0 điểm ) Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh đề 1, O trọng tâm tam giác ABC I trung điểm SO.Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC
Câu V (1.0 điểm ) Cho x, y, z ba số dương thỏa xyz = Chứng minh
2 2 3
1 1
x y z
y z x
PHầN RIÊNG (Thí sinh chọn hai phần, không bắt buộc chọn phần cả) A Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa (2.0 điểm):
1) Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2, -1), đường cao đường phân giác qua hai đỉnh A C 3x – 4y + 27 = x + 2y – =
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình: (P): 2x 2y + z = 0; (d):
1
1
x y z
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) khoảng cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính
Câu VIIa (1.0 điểm): (1 điểm):Tìm số phức z thoả mãn : z 2 i Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị
B.Theo chương trình nâng cao. Câu VIb (2.0 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề vng góc Oxy cho đường thẳng d:x-y+1=0 đường trịn (C):x2+y2+2x-4y=0 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua kẻ đường
thẳng tiếp xúc với (C ) A,B cho AMB600
2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
1
x y z
điểm
M(0, -2, 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời
(2)Câu VIIb (1.0 điểm): Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 2z + – i, biết
3z i z z 9
ĐÁP ÁN Câu I
1) Tự giải
2) đường thẳng (d): y = m(x + 2) –
+ Pthđgđ (C) (d): (x2)(x2 2x 1 m) 0 (x2) ( ) (1)g x + (d) cắt (C) điểm phân biệt g(x) có nghiệm phân biệt khác -2
0
0
9 ( 2)
g m
m m
g
(1)
+ AB(x2 x m x1, ( 2 x1))
, x1, x2 nghiệm phương trình g(x) + AB (x2 x1)2m x2( 2 x1)2 (m21)(x2 x1)2 (m21)4m
+
2 ( , )
1
m OH d O d
m
+
3
1
12 2 3(2)
2
2 OAB
m
S AB OH m m m m m
m
Kết hợp (1) (2) ta có
1
2
m m
thỏa yêu cầu toán.
Câu II
1) Đk: x k
Phương trình cho tương đương với:
2
2
2
4
3 tg 2cotg sin
2(sin cos )
3tg 2cotg
sin cos 3tg 2tg
x x
x
x x
x x
x x
x x
tg
3
tg
3 6
x k
x
x x k
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x k2
; kZ
2 (1,0 điểm) Giải phương trình x3 4x2 5x 6 37x29x
Giải Đặt y37x29x 4, ta có hệ :
3
3
2
4
1
7
x x x y
y y x x
x x y
(3)Xét hàm số : f t t3 t, hàm đơn điệu tăng Từ phương trình
5
1 1 1 5
2
x
f y f x y x x x x
x Câu III 2
1 3 3
0
sin cos
;
sin cos sin cos
xdx xdx
I I
x x x x
; đặt x=2 t
chứng minh I1=I2
Tính I1+I2=
2
2 2
0
1
tan( )
2
sin cos 2cos ( ) 0
4
dx dx
x
x x x
I1=I2=
1
2 I= 7I
1 -5I2=1
Câu IV)Cho hình chóp SABC có độ dài cạnh đề 1, O trọng tâm tam giác ABC I trung điểm SO.Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM tứ diện SABC Lời giải
1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O gốc tọa độ AOx, SOz, BC//Oy
3 ;0;0
A
;
3; 1;0
6
B
;
3 1; ;0 C
;
6 0;0
3 S
;
6 0;0;
6 I
Ta có: BC (0;1;0)
;
3 1; ;
6
IC
; , ;0; 6
BC IC
Phương trình mặt phẳng (IBC) là: 6( 0) 0( 0) 3( 6) 0
6 x y z
Hay: 6 z
mà ta lại có: 3;0; // (1;0; 2)
3 SA
SA SA u
Phương trình đường thẳng SA:
3 ; 0; 2
3
x t y z t
+ Tọa độ điểm M nghiệm hệ:
3 (1)
3
0 (2)
2 (3)
6
2 (4)
(4)Thay (1), (2), (3) (4):
3; 0; 3;0;
12 12
x y z M
;
3;0; 4
12 12
SM SA SM
M nằm đoạn SA
1 SM
SA
( )
( )
SBCM SABC V V
Câu V) Cho x, y, z ba số dương thỏa xyz = Chứng minh
2 2 3
1 1
x y z
y z x
Giải:
2 2 2
2 2
2 2
3
1 1
: (1); (2); (3)
1 4 4 4
(1), (2) (3), :
1 1
1 4
3( ) 33 3
1 1 4 4
x y x y z y z x z
Ta coù x y z
y z x
Từ và ta có
x y y z z x x y z
y z x
x y z x y z xyz
y z x
Câu VIa
1) Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2, -1), đường cao đường phân giác qua hai đỉnh A C 3x – 4y + 27 = x + 2y – =
Giải
+ Gọi AH đường cao qua A CL phân giác góc C + Phương trình đường thẳng BC: 4x + 3y – =
+ Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình
4
( 1,3)
2
x y
C x y
+ Gọi B’ điểm đối xứng B qua CL B'(4,3) B'AC + phương trình AC: y =
+ A AH AC A( 5,3) Phương trình AB: 4x + 7y – = 2) Gọi I tâm mặt cầu Vì I( )d I t( , 1 t,3 ) t
+
8
( ,( )) 2
4
t t
IH d I P t
t
+ Với t=8 ta có tâm I1(-8, 7, 26); Với t = -4 ta có tâm I2(4, -5, -10)
+ Gọi r = bán kính đường trịn giao tuyến, R bán kính mặt cầu, ta có: R2 r2IH2 13 + Pt mặt cầu (x8)2(y 7)2(z 26)2 13 (v x 4)2(y5)2(z10)2 13
Câu VII a
Gọi số phức z=a+bi Theo ta có:
2 2
2 2 1 4
3
a b i a b
b a b a
2 2
1 2
a a
v
b b
(5)Câu VI b 1)
+ Đường trịn (C) có tâm I(-1, 2), bán kính R
+ Vì AMB600 AMI 300 Xét tam giác MAI có:
2
sin AI MI
AMI + Vì M thuộc (d) nên M(t, 1+t)
+ MI =
2
2
3 (3,4)
2 18
3 ( 3, 2)
t M
t
t M
2) Giả sử n( , , )a b c
véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b =
Đường thẳng qua điểm A(1, 3, 0) có véc tơ phương u(1,1,4)
Từ giả thiết ta có: 2
(1)
/ /( )
5
( ,( )) 4 (2)
n u a b c P
a b
d A P
a b c
Thế b = -a – 4c vào (2) ta có:
2 2 8 0
2
a c
a ac c
a c
Với a
c , chọn a = 4, c = 1 b8 Phương trình mp(P): 4x – 8y + z – 16 = 0
Với
a
c , chọn a = 2, c = -1 b2 Phương trình mp(P): 2x + 2y - z + = 0
(6)