1 THE MATHEMATICAL MECHANIC: USING PHYSICAL REASONING TO SOLVE PROBLEMS Copyright © 2009 Princeton University Press All rights reserved Bản tiếng Việt © NXB Trẻ, 2011 No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the Publisher BIỂU GHI BIÊN MỤC TRƯỚC XUẤT BẢN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI THƯ VIỆN KHTH TP.HCM Levi, Mark Thợ khí tốn học – Giải tốn trực quan vật lý / Mark Levi ; Huy Nguyễn dịch - T.P Hồ Chí Minh : Trẻ, 2011 240 tr ; 20cm - (Cánh cửa mở rộng) Nguyên : The mathematical mechanic Vật lý toán học I Huy Nguyễn II Ts: The mathematical mechanic 510 dc 22 L664 Mục lục Giới thiệu ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS 17 Cực tiểu cực đại 39 Bất đẳng thức cho đoản mạch 99 5 Tâm khối: Luận cách giải 110 6 Hình học chuyển động 128 Sử dụng học để tính tích phân 141 Phương trình Euler-Lagrange thơng qua lị xo kéo căng 147 9 Thấu kính, kính viễn vọng, học Hamilton 154 10 Cái bánh xe đạp định lý Gauss-Bonnet 172 11 Biến phức thật đơn giản 191 208 PHỤ LỤC: KIẾN THỨC VẬT LÝ CẦN THIẾT TÀI LIỆU THAM KHẢO 236 Giới thiệu Thật tình cờ phát kiến tốn học vĩ đại thời đại lại dẫn dắt trực quan vật lý – George Polya, nói đến khám phá Archimedes phép tích phân 1.1 Toán học đối đầu Vật lý Trở lại thời Liên bang Xô-viết năm đầu thập kỷ 1970, lớp cử nhân – gồm khoảng 40 sinh viên năm hai ngành toán lý, huy động lao động mùa hè miền quê Công việc trộn bê-tông dựng xi-lô nông trang tập thể Bạn Anatole phân công xúc sỏi Công việc hồn thành chúng tơi cảm thấy thoải mái (như cảm thấy hồn cảnh đó) Anatole theo chun ngành vật lý cịn tơi chun tốn Như kẻ hâm mộ hai đội tuyển đối kháng, sức thuyết phục người cịn lại lĩnh vực ưu việt Anatole nói cách tốn học đầy tớ vật lý Tôi phản pháo tốn học tồn bất chấp vật lý cịn vật lý khơng Tơi nói thêm định lý vĩnh Các giả thuyết vật lý hết sai Dù tơi khơng cho Anatole biết trước lý chọn chuyên ngành tốn học để rèn luyện cơng cụ cốt yếu cho vật lý – lĩnh vực mà dự tính theo đuổi sau Thực ra, mùa hè trước vào đại học, tơi tình cờ gặp thầy vật lý Ơng hỏi dự tính tơi cho học kỳ mùa thu “Bắt đầu chun ngành tốn em”, tơi đáp “Gì cơ? Tốn? Anh khùng rồi!” ơng đáp lại Tơi coi lời khen (và có lẽ xác nhận quan điểm ơng) 1.2 Quyển sách nói điều Đây khơng phải “một bìa mềm,to, dày, đủ để giết thời gian qua hai mùa gió, mà ném thẳng tay khiến trâu nước khuỵu gối” (Nancy Banks-Smith, nhà phê bình truyền hình người Anh) Với kích thước nhỏ nó, sách khơng hạ gục ai, khơng thể hạ gục tác động vật lý Tuy nhiên, sách thực địn giáng trả – cú chích chống lại quan niệm cho toán học đầy tớ vật lý Trong sách này, vật lý bị đặt vào vị trí phục vụ toán học, tỏ đầy tớ có lực (xin lỗi nhà vật lý) Những ý tưởng vật lý ý tưởng khai mở thực thụ gợi lời giải giản đơn cho toán toán học Hai chủ thể gắn bó khăng khít hai chịu tổn thất bị tách rời Sự đổi vai hiệu quả, sách minh chứng Hồn tồn tranh cãi xem việc tách hai mơn có q nhân tạo hay khơng* Điểm qua lịch sử Cách giải toán trực quan vật lý có từ thời Archimedes (khoảng năm 287 tr CN – khoảng năm 212 tr CN) Ông chứng minh định lý tích phân tiếng thể tích hình trụ, hình cầu hình nón cách sử dụng cân thăng giả tưởng Bản tóm tắt định lý khắc lên bia mộ ơng Cách tiếp cận Archimedes tìm thấy [P] Đối với Newton, hai chủ đề vốn Các [U] [BB] trình bày lời giải vật lý đẹp cho toán toán học Rất nhiều phát kiến tốn học (như Hamilton, Riemann, Lagrange, Jacobi, Mưbius, Grassman, Poincaré) dẫn dắt từ suy xét vật lý Có hay khơng cơng thức phổ qt cho cách tiếp cận vật lý? Như với công cụ bất kỳ, vật chất hay tinh thần, cách tiếp cận có tốt có khơng Khó khăn “nhìn” chất vật lý toán** Một số toán phù hợp với cách giải này, số khác khơng (cố nhiên, sách bao gồm dạng thứ nhất) Tìm mơ * “Toán học nhánh vật lý lý thuyết nơi mà phần thực nghiệm rẻ tiền” (V Arnold [ARN]) Khơng thí nghiệm sách rẻ tiền – chí cịn miễn phí, mà thực chất thực nghiệm giả tưởng (bài toán 2.2; 3.3; 3.13, thực hầu hết toán sách này) ** Đây cách tiếp cận ngược trào lưu chung: thông thường người bắt đầu toán vật lý, triển khai thành tốn tốn học; làm ngược lại vật lý cho tốn cụ thể có dễ dàng, có khơng; người đọc có ý kiến riêng sau lướt qua trang sách Một học mà sinh viên rút từ việc đọc sách tìm kiếm ý nghĩa vật lý toán học có ích Sự chặt chẽ tốn học Lập luận vật lý khơng hồn tồn chặt chẽ Những lập luận phác thảo chứng minh chặt chẽ, diễn đạt ngơn ngữ vật lý Tơi có chuyển ngữ “chứng minh” vật lý thành chứng minh toán học cho vài tốn chọn lọc Làm việc cách có hệ thống biến sách thành sách“to, dày chán ngắt” Tôi hy vọng người đọc nhận hình mẫu để có hứng thú có khả tự xử lý trường hợp mà tơi bỏ qua.Với lời trần tình này, tơi cảm thấy bớt áy náy việc sử dụng từ “chứng minh” xuyên suốt sách mà bỏ qua dấu ngoặc kép Điểm chốt lập luận vật lý trở thành cơng cụ để khám phá để có trực quan sâu sắc – hai bước trước tính chặt chẽ tốn học Như Archimedes viết, “Đương nhiên việc thiết lập chứng minh dễ dàng nhiều trước có người nắm khái niệm sơ khởi toán” ([ARC], tr 8) Một cách tiếp cận rõ ràng Thay phiên dịch “chứng minh” vật lý thành chứng minh chặt chẽ, việc thiết lập có hệ thống “các tiên đề thực chất” có lẽ dự án thú vị Đây tập hợp tiên đề thực chất học, tương tự tiên đề hình học/số học Euclid – mà chứng minh cho sách trở nên chặt chẽ Ta thể tưởng tượng văn minh ngồi trái đất mà người ta phát triển học trước, môn chặt chẽ túy mang tính tiên đề Trong giới song hành này, người viết sách việc sử dụng hình học để chứng minh định lý học Có thể học người khơng nên hồn toàn tập trung vào cách tiếp cận hay cách tiếp cận kia, mà nên coi hai mặt đồng xu Cuốn sách phản ứng chống lại thờ phổ biến khía cạnh vật lý tốn học Sơ lược tâm lý học Những cách giải vật lý sách diễn dịch ngơn ngữ tốn học Tuy vậy, khơng thể tránh khỏi thiếu sót q trình diễn dịch Trực giác học thuộc tính trí tuệ người, khả tưởng tượng hình học, khơng sử dụng chúng lãng phí lực mạnh mẽ mà ta có Cơ học hình học với điểm nhấn vào chuyển động tiếp xúc Ở hai khía cạnh sau, học cho ta chiều kích cảm nhận bổ sung, cho phép ta quan sát tốn học từ góc độ khác, miêu tả sách Quy luật tiến hóa đáng buồn tồn Khả lập luận vật lý khởi nguồn cho phát kiến toán học tảng, từ Archimedes, đến Riemann, đến Poincaré, đến tận hôm Tuy vậy, chủ thể phát triển, khả lý giải tự nghiệm bị chìm vào quên lãng Kết A.14 Điện trở song song Giá trị điện trở R hai trở kháng R1 R2 mắc song song, cho thấy hình A.7 bao nhiêu? Câu trả lời đơn giản: 1 R1 R2 = + , hay R = R R1 R2 R1 + R2 Điều hoàn toàn hiển nhiên: thực vậy, mắc điện trở song song ta tăng cường khả dẫn điện cách tạo cho dòng nhiều đường để di chuyển Công thức phát biểu rằng, thật ra, độ điện dẫn – nghịch đảo giá trị điện trở – tăng Sau chứng minh Hình A.7 Với trường hợp mắc song song, cường độ dòng bị chia hai điện trở, điện áp Với trường hợp mắc nối tiếp, dòng chung, điện áp tổng cộng bị chia hai điện trở Điều nhận thấy cường độ dòng bị chia nhỏ, dẫn theo định luật Kirchhoff: I = I1 + I (A.7) 226 Cũng vậy, hiệu điện V hai đầu hai điện trở rõ ràng nhau, định luật Ohm cho ta: I = V / R, I1 = V / R1 , I = V / R2 Thế dịng sau vào (A.7) chứng minh cơng thức điện trở song song Giá trị điện trở n ≥ điện trở song song R1 , ., Rn cho theo quy tắc trên: = + + R R1 Rn A.15 Điện trở nối tiếp Khi hai điện trở kết nối thành hàng (hình A.7), giá trị điện trở chúng cộng thêm: R = R1 + R2 (A.8) Thực vậy, hiệu điện hai đầu mạch kết hợp tổng hiệu điện thiết bị điện trở: V = V1 + V2 (A.9) Bây dòng qua hai thiết bị điện trở theo định luật Kirchhoff Định luật Ohm cho: V = IR, V1 = IR1 , V2 = IR2 , thay vào (A.9), có kết (A.8) A.16 Cơng hao phí điện trở Cường độ dòng I chuyển qua điện trở gây thất thoát lượng điện trở, dạng nhiệt Cơng suất hao phí 227 điện trở, lượng nhiệt đơn vị thời gian, tính cơng thức: P = IV , V hiệu điện hai đầu điện trở Chứng minh kiện lặp lại định nghĩa V I Cụ thể sau Trước tiên xét electron di chuyển từ đầu sang đầu điện trở Như trái bóng bàn, electron “cuốn” theo lực hút điện trường, đâm vào ion cho chúng phần động nó, làm chúng dao động theo tạo nhiệt Nhìn chung, electron khỏi điện trở không nhanh chúng vào Trên trung bình, electron cho hết tất động lượng chúng có từ “lực hút” điện dạng nhiệt Theo định nghĩa điện áp, lượng (Δq)V , Δq điện tích electron chạy qua thiết bị điện trở Chia cho đơn vị thời gian, ta có: (Δq)V Δq = V = IV Δt Δt A.17 Tụ điện dung kháng Tụ điện thiết bị bao gồm hai bảng dẫn điện phân cách lớp màng cách điện mỏng Ta nối pin vào hai bảng tụ điện Pin “hút” số eletron khỏi bảng đẩy chúng phía cịn lại Điện tích tương đương q electron chuyển dịch tỉ lệ với điện áp V pin: 228 q = C = constant V (A.10) Hệ số C gọi điện dung Nó mường tượng lượng điện tích mà tụ điện hấp thu tăng điện áp lên 1; thuật ngữ “điện dung” giải nghĩa Lớp cách điện mỏng, điện dung cao Sau cách giải thích đơn giản Khi bảng có nhiều electron, chúng đẩy lẫn cố thoát khỏi bảng, qua dây dẫn, qua pin, chạy bảng bên kia, khí nén bình rỗng; cịn pin, bơm, giữ chúng lại bảng bên Tại khoảng cách hai bảng lại ảnh hưởng ước muốn đào tẩu electron? Tấm bảng lại thiếu hụt electron, tức tích điện dương Nó hút electron, mạnh hai bảng gần Nếu bảng gần nhau, cần điện áp nhỏ đủ để giữ electron khơng đào tẩu Lúc đó, tụ có điện dung lớn Tụ điện thiết bị tương tự lị xo học, (A.10) cơng thức tương tự định luật Hooke F = kx cho lò xo đàn hồi chặt Bộ hai định luật V = C −1q đến F = kx tương xứng với theo số hạng Cụ thể, C−1 “độ cứng” tụ điện, tương xứng với số Hooke k , đại lượng thể độ cứng lò xo Bởi hợp lý coi dung kháng lò xo k 229 A.18 Tính tự cảm: tính trơ dịng điện “Tính tự cảm” dịng nước Xem nước chảy ống dẫn thẳng.Ta khảo sát điều kiện lý tưởng: không nhớt không chuyển động hỗn loạn Gọi p chênh lệch áp lực hai tiết diện ngang A B ống, gọi f thơng lượng, là, lưu lượng lưu chất đơn vị thời gian truyền vng góc qua tiết diện ngang ống.* Định luật thứ hai Newton ( F = ma ) áp dụng cho khối lưu chất nằm A B thời điểm cho: p=µ d f , dt (A.11) μ đặc trưng tính trơ phản ứng với chênh lệch áp lực Phương trình sau suy từ định luật Newton sau Lực tác dụng lên khối lưu chất hình trụ tiết diện A B cho F = pS , S diện tích mặt-cắt-ngang ống dẫn Định luật thứ hai Newton áp dụng cho khối lưu chất hình trụ cho: pSh υ , pS = F m υ vận tốc lưu chất B Nhưng Sυ = f (A.12) a h khoảng cách A thông lượng (thể tích giây), d (A.12) trở thành pS = ρh f Chia cho S ta thu (A.11) dt với µ = ρh / S Điện cảm Dịng điện có tính trơ Quán tính học điện tích chuyển động đóng vai trị, dĩ nhiên, khơng * Tiết diện khơng phải toán – f cho tất chúng nước không nén 230 đáng kể; hiệu ứng điện từ, giải thích lý thuyết tương đối giới hạn Ta đưa phát biểu tốn học mà khơng miêu tả tượng vật lý xảy cường độ dòng thay đổi Bất kỳ thay đổi dòng qua cuộn dây đòi hỏi chênh lệch điện áp hai đầu cuộn; biểu tính tự cảm Mối quan hệ điện áp vận tốc thay đổi dòng tuyến tính V = LI Hệ số cảm (A.13) L gọi độ tự cảm Theo công thức này, độ tự L điện áp cần có để tăng dịng lên ampe giây Hình A.8 Khi cơng tắt mở, dòng phải tiếp tục truyền “quán tính” theo dẫn sang thể Ví dụ điện giật Tính tự cảm sử dụng để tạo cú điện giật đau đớn từ pin nhỏ cỡ 1,5V loại AA Xem xét mạch điện hình A.8 Khi cơng tắc đóng, hầu hết cường độ dịng qua cơng tắc, phần nhỏ khơng đáng kể rị rỉ qua tơi Bây điều xảy cơng tắc hở? Dịng có qn tính khơng thích bị dừng cách đột ngột; tiếp tục truyền theo “quán tính” thời 231 gian qua lối tơi.* Nhìn theo cách khác, việc mở công tắc sinh cường độ I lớn, mà thông qua (A.13), sinh điện áp V lớn đau đớn Như hầu hết tượng điện, tượng có mơ dạng cơ, đớn đau không – chặn búa nhằm vào đinh móng tay Một giảm tốc lớn υ = a tạo lực tác dụng lớn F = mυ , điều làm đau Một vài thiết bị phát điện dùng chuông reo để bật tắc Khi búa dao động va vào chuông, cơng tắc liên tục hết mở lại đóng người sử dụng biết cú điện giật liên hồi Đây kết thúc học đau đớn độ trơ A.19 Bộ mô điện-bơm Tất khái niệm kể – V, I, q, R,C L – có mơ đơn giản hệ thống ống nước (như hệ thống ống nước nhà chẳng hạn!) Hình A.9 tóm lược tương đồng * Thật thú vị nhận công tắc chấm dứt tiếp xúc, dịng tiếp tục truyền qua khơng khí tia lửa điện Một hiệu ứng có liên quan gọi búa nước quen thuộc với gia chủ nghe tiếng ống nước va vào máy giặt tắt: dòng nước bị chặn van sập xuống nhanh, gây tăng vọt áp lực nước, muốn tiếp tục chảy 232 ĐIỆN MÔ PHỎNG HỆ THỐNG ỐNG NƯỚC Màng đàn hồi Độ sụt điện áp V = V2 – V1 Điện tích q Dung kháng C = q/V Độ sụt áp lực p = p2 – p1 Thể tích chiếm chỗ W Độ lỏng màng C = W/p Vật liệu xốp Cường độ dòng điện Thông lượng Điện trở Độ tự cảm Độ trơ Hình A.9 Tương đồng điện-bơm 233 A.20 Bài tập Xem xét điện tích điểm q đặt gốc tọa độ Sử dụng định nghĩa điện áp mục A.11, tìm điện áp điểm khơng gian Ba tập khơng địi hỏi kiến thức vượt hiểu biết định nghĩa điện áp Sử dụng định nghĩa điện áp mục A.11, tìm vận tốc electron va vào hình TV, biết điện áp chênh lệch V cathode (nơi mà từ electron bắn vào phần chân khơng bên ống) hình, khối lượng m , điện tích q electron Gợi ý: Thế electron lúc bắt đầu phóng chuyển hóa thành động kết thúc V chênh lệch cho điện tích đơn vị Một tụ điện có dung kháng C tích điện đến điện áp V Tìm tụ Lời giải Bài tốn giải tích phân, cách để tránh chúng Hình dung ta tích điện cho tụ từ điện áp không đến V cách nối với dịng khơng đổi Điện áp trung bình suốt trình V (bởi điện tích, điện áp, tăng tuyến tính theo thời gian) Ta theo xem ta mang điện tích từng-cái-một từ nơi sang nơi khác, điện áp vậy: V / Theo cơng tổng cộng để tích điện cho tụ W = q V / = CV V / = CV / Phát biểu sau lấy từ giáo trình trực tuyến: “Từ định nghĩa điện áp lượng điện tích đơn vị, kỳ vọng lượng trữ tụ điện lý tưởng qV Đó là, tất cơng tiêu 234 tốn cho điện tích để di chuyển từ bảng đến lại thể lượng trữ Nhưng thực tế, công thức (qV / 2) cho thấy nửa công diện lượng trữ tụ điện Với giá trị điện trở hữu hạn, phân nửa lượng cung cấp từ pin để tích điện cho tụ bị hao phí dạng nhiệt thiết bị điện trở, kích cỡ thiết bị điện trở.” Bạn chứng minh hay bác bỏ phát biểu không? Tìm cơng suất cần có để phát sáng bóng đèn trịn có điện áp V giá trị điện trở R Lời giải Chênh lệch điện áp hai đầu dây tóc bóng đèn V Theo định nghĩa điện áp, điều có nghĩa điện tích q electron tiêu tốn lượng qV chuyển động qua dây tóc.* Cơng suất tiêu thụ lượng đơn vị thời gian: P = qV / t = IV , I = q / t cường độ dòng (theo định nghĩa dòng) Theo định luật Ohm I = V / R , P = IV = V2 R Công thức giải thích có tiếng nổ nối tắt ngoài: giá trị R nhỏ tạo giá trị P lớn * Các electron “rơi” xuống tĩnh điện trải dài theo dây tóc Năng lượng chúng va chạm với ion trộn lẫn hồn tồn với ion dây tóc, trở thành nhiệt ánh sáng 235 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ARC] Archimedes, Geometrical Solutions Derived from Mechanics, J L Heiberg dịch, Chicago: Nhà Xuất Open Court, 1909 Tập tin PDF có địa http://books.google.com/books?id=suYGAAAAYAAJ [ARC1] Bản thảo Archimedes, http://www.archimedes palimpsest.org/ [ARN] V I Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, K Vogtmann A Weinstein dịch, New York: Springer-Verlag, 1978 [BB] M B Balk V G Boltyanskii, Geometriya mass (Tiếng Nga) [Hình học chất điểm], Bibliotechka Kvant [Thư viện Kvant], 61, Moscow: Nauka, 1987 [CG] H.S.G Coxeter S L Greitzer, Geometry Revisited, Washington, DC: Hiệp hội Toán học Mỹ, 1967 [CH] R Courant D Hilbert, Methods of Mathematical Phycics, t 2, Partial Differential Equations, In lại gốc 1962, Tủ sách Tinh hoa Wiley, New York: Wiley-Interscience, 1989 [CL] E Coddington N Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill, 1955 [D] M M Day, Polygons circumscribed about closed convex curves Trans Am Math Soc 62 (1947), tr 315-319 [DO] M DoCarmo, Differential Geometrical of Curves and Surfaces, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1976 236 [DS] P G Doyle J L Snell, Random Walks and Electric Networks, Washington, DC: Hiệp hội Toán học Mỹ [Fe] R P Feynman, QED , Princeton, NJ: Princeton University Press, 1985 [Fo] R L Foote, Geometry of the Prytz planimeter, Rep Math Phys 42(1-2), tr 249-271 [GF] I M Gelfand S V Fomin, Calculus of Variations, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1963 [HZ] H Hofer E Zehnder, Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics, Birkäuser Advanced Texts/ Basler Lehrbucher, Basel: Birkäuser Verlag, 1994 [K] B Yu Kogan, The Applications ò Mechanics to Geometry, Chicago: University of Chicago Press, 1974 [L1] , Minimal perimeter triangles, Am Math Monthly 109 (2002), tr 890-899 [L2] M Levi, A “bicycle wheel” proof of the GaussBonnet theorem, dual cones and some mechanical manifestiation of the Berry phase, Expo Math 12 (1994), tr 145-164 [LS] Yu I Luybich L A Shor, The Kinemtic Method in Geometrical Problems, V Shokurov dịch, Moscow: Nhà Xuất Mir, 1980 [LW] M Levi W Weckesser, Non-holonomic effects in averaging, Erg Th & Dynam Sys 22 (2002), tr 14971506 237 [M] J Milnor, Morse Theory , Annals of Mathematics Studies, Số 51, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1963 [NP] R Nevanlinna V Paatero Introduction to Complex Analysis Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, 2007 [P] G Polya Mathematics and Plausible Reasoning, t 1, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990 [Sp] M R Spiegel, Complex Variables, Schaum’s Outline Series, New York: McGraw-Hill, 1968 [St] J Stewart, Calculus: Concepts and Contexts, Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2001 [Ta] A E Taylor, A geometric theorem and its applications to biorthogonal systems, Bull Am Math Soc 53 (1974), tr 614-616 [TO] T F Tokieda, Mechanical ideas in geometry, Am Math Monthly 105 (8) (1998), tr 697-703 [To] L F Toth, Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und im Raum, Berlin: Springer-Verlag, 1953 [U] V A Uspenski, Some Applications of Mechanics to Mathematics, New York: Pergamon Press, 1961 238 thợ khí toán học mark levi Huy Nguyễn dịch Chịu trách nhiệm xuất bản: Nguyễn Minh Nhựt Chịu trách nhiệm nội dung: Nguyễn truật Biên tập: hải vân Bìa: bùi nam Minh họa bìa: lê tùng quan Sửa in: việt Kỹ thuật vi tính: Mai Khanh NHÀ XUẤT BẢN TRẺ 161B Lý Chính Thắng - Quận - Thành phố Hồ Chí Minh ĐT: 39316289 - 39316211 - 38465595 - 38465596 - 39350973 Fax: 84.8.38437450 - E-mail: nxbtre@ hcm.vnn.vn Website: http://www.nxbtre.com.vn Chi nhánh nhà xuất trẻ Hà Nội Số 21, dãy A11, khu Đầm Trấu, Phường Bạch Đằng Quận Hai Bà Trưng, Hà Nội Điện thoại: 04.3773.4544 - Fax: 04.3512.3395 E-mail: chinhanh@nxbtre.com.vn Website: http://www.nxbtre.com.vn 239 Tủ sách hợp tác nhà tốn học Ngơ Bảo Châu, nhà văn Phan Việt với Nhà xuất Trẻ Tủ sách CÁNH CỬA MỞ RỘNG thực nhằm mục đích giới thiệu đầu sách có giá trị giới nước đến bạn đọc Việt Nam, đặc biệt bạn đọc trẻ, góp phần thúc đẩy việc đọc sách, tinh thần hiếu học, coi trọng tri thức giá trị sống Các tựa sách tủ nhà tốn học Ngơ Bảo Châu nhà văn Phan Việt tuyển chọn giới thiệu Tủ sách phân thành ba mảng: văn học, khoa học xã hội - kinh tế, khoa học tự nhiên; trước mắt cấu tạo tủ sách gồm 80% sách có khả tiếp cận đông đảo bạn đọc 20% cho sách chuyên ngành Mục tiêu tủ sách hai năm đầu phát hành 10 đầu sách, sau năm năm có từ 30 đến 50 đầu sách Xin mời bạn đón đọc đồng hành tủ sách CÁNH CỬA MỞ RỘNG! Mọi chi tiết xin liên hệ địa mail: tre.canhcuamorong@gmail.com 240 ... THỰC HIỆN BỞI THƯ VIỆN KHTH TP.HCM Levi, Mark Thợ khí tốn học – Giải tốn trực quan vật lý / Mark Levi ; Huy Nguyễn dịch - T.P Hồ Chí Minh : Trẻ, 2011 240 tr ; 20cm - (Cánh cửa mở rộng) Nguyên : The... form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the Publisher BIỂU GHI BIÊN... lại thời Liên bang Xô-viết năm đầu thập kỷ 1970, lớp cử nhân – gồm khoảng 40 sinh viên năm hai ngành toán lý, huy động lao động mùa hè miền quê Công việc trộn bê-tông dựng xi-lô nông trang tập