lythuyetmatmachuong2pdf

Tuy nhiªn cÇn ph¶i hiÓu r»ng, quan ®iÓm nµy chØ cung cÊp mét chøng minh vÒ ®é an toµn cã liªn quan ®Õ mét bµi to¸n kh¸c chø kh«ng ph¶i lµ mét chøng minh hoµn chØnh vÒ ä an toµn... Bëi [r]

Ch

−

¬ng

Lý thuyÕt shannon

Năm 1949, Claude shannon công bố báo có nhan đề " Lý thuyết thơng tin hệ mật" tạp chí " The Bell System Technical Journal" Bài báo có ảnh h−ởng lớn đến việc nghiên cứu khoa học mật mã Trong ch−ơng ta thảo luận vài ý t−ởng lý thuyết Shannan

2.1

độ mật hoàn thiện

Có hai quan điểm độ an ton ca mt h mt

Độ an toàn tÝnh to¸n:

Đo độ liên quan đến nỗ lực tính tốn cần thiết để phá hệ mật Một hệ mật an toàn mặt tính tốn có thuật tốn tốt để phá cần N phép tốn, N số lớn Vấn đề chỗ, khơng có hệ mật thực tế biết đ−ợc chứng tỏ an tồn theo định nghĩa Trên thực tế, ng−ời ta gọi hệ mật "an tồn mặt tính tốn" có ph−ơng pháp tốt phá hệ nh−ng yêu cầu thời gian lớn đến mức không chấp nhận đ−ợc.(Điều tất nhiên khác với việc chứng minh độ an toàn)

Một quan điểm chứng minh độ an tồn tính tốn quy độ an tồn hệ mật tốn đ−ợc nghiên cứu kỹ toán đ−ợc coi khó Ví dụ, ta chứng minh khẳng định có dạng " Một hệ mật cho an tồn khơng thể phân tích thừa số số nguyên n cho tr−ớc" Các hệ mật loại đơi gọi " an tồn chứng minh đ−ợc" Tuy nhiên cần phải hiểu rằng, quan điểm cung cấp chứng minh độ an tồn có liên quan đế tốn khác khơng phải chứng minh hồn chỉnh ọ an tồn ( Tình hình t−ơng tự nh− việc chứng minh toán NP đầy đủ: Có thể chứng tỏ tốn cho chí khó nh− tốn NP đầy đủ khác , song khơng phải chứng minh hồn chỉnh độ khó tính tốn tốn)

§é an toàn không điều kiện

hiện Một hệ mật đợc gọi an toàn không điều kiện bị phá chí với khả tính toán không hạn chế

Khi thảo luận độ an toàn mật, ta phải kiểu công đ−ợc xem xét Trong ch−ơng cho thấy rằng, không hệ mật hệ mã dịch vòng, mã thay mã Vigenère đ−ợc coi an toàn mặt tính tốn với ph−ơng pháp cơng với mã ( Với khối l−ợng mã thích hợp)

Điều mà ta làm phần để phát triển lý thuyết hệ mật có độ an tồn khơng điều kiện với ph−ơng pháp công với mã Nhận thấy rằng, ba hệ mật nêu hệ mật an tồn vơ điều kiện pkần tử rõ đ−ợc mã hoá khoá cho tr−ớc!

Rõ ràng độ an tồn khơng điều kiện hệ mật đ−ợc nghiên cứu theo quan điểm độ phức tạp tính tốn thời gian tính tốn cho phép khơng hạn chế lý thuyết xác suất tảng thích hợp để nghiên cứu độ an tồn khơng điều kiện Tuy nhiên ta cần số kiến thức sơ đẳng xác suất; định nghĩa đ−ợc nờu di õy

Định nghĩa 2.1

Gi sử X Y biến ngẫu nhiên Kí hiệu xác suất để X nhận giá trị x p(x) để Y nhận giá trị y p(y) Xác suất đồng thời p(x,y) xác suất để X nhận giá trị x Y nhận giá trị y Xác suất có điều kiện p(x | y) xác suất để X nhận giá trị với điều kiện Y nhận giá trị y Các biến ngẫu nhiên X Y đ−ợc gọi độc lập p(x,y) = p(x) p(y) với giá trị x X y Y

Quan hệ xác suất đồng thời xác suất có điều kiện đ−ợc biểu thị theo cơng thc:

p(x,y) = p(x | y) p(y) Đổi chỗ x vµ y ta cã :

p(x,y) = p(y | x) p(x)

Từ hai biểu thức ta rút kết sau:(đ−ợc gọi định lý Bayes)

Định lý 2.1: (Định lý Bayes)

NÕu p(y) > th×:

p(x | y) =

HƯ qu¶ 2.2

X Y biến độc lập khi: p(x | y) = p(x) với x,y

Trong phần ta giả sử rằng, khoá cụ thể dùng cho mã Giả sử có phân bố xác suất khơng gian rõ P Kí hiệu xác suất tiên nghiệm để rõ xuất pP (x) Cũng giả sử rằng, khóa K đ−ợc chọn ( Alice Bob ) theo phân bố xác suất xác định ( Thơng th−ờng khố đ−ợc chọn ngẫu nhiên, tất khoá đồng khả năng, nhiên khơng phải điều bắt buộc) Kí hiệu xác suất để khóa K đ−ợc chọn pK(K) Cần nhớ khóa đ−ợc chọn tr−ớc Alice biết rõ Bởi giả định khố K rõ x kiện độclập

Hai phân bố xác suất P K tạo phân bố xác suất C Thật vậy, dễ dàng tính đ−ợc xác suất pP(y) với y mã đ−ợc gửi Với khoá K ∈ K, ta xác định:

C(K) = { eK (x) : x ∈P }

ở C(K) biểu thị tập mã K khóa Khi với y ∈ C, ta có :

pC (y) = ∑ pK(K) pP(dK (y)) {K:y∈C(K)}

Nhận thấy rằng, với y ∈ C x ∈ P, tính đ−ợc xác suất có điều kiện pC(y | x).(Tức xác suất để y mã với điều kiện rõ x):

pC (y | x ) = ∑ pK(K) {K:x= dK(y)}

Bây ta tính đ−ợc xác suất có điều kiện pP (x | y ) ( tức xác suất để x rõ với điều kiện y mã) cách dùng định lý Bayes Ta thu đ−ợc cơng thức sau:

Các phép tính thực đ−ợc biết đ−ợc phân bố xác suất Sau trình bày ví dụ đơn giản để minh hoạ việc tính tốn phân bố xác suất

pP(y | x ) =

pP (x) = ∑ pK(K) {K:x= dK(y)}

∑ pK(K) pP(dK (y))

VÝ dơ 2.1

Gi¶ sư P = {a,b} víi pP(a) = 1/4, pP(b) = 3/4 Cho K = { K1, K2, K3}

với pK(K1) = 1/2, pK(K2) = pK(K3) = 1/4 Giả sử C = {1,2,3,4} hàm mã đ−ợc xác định eK1(a) = 1, eK2(b) = 2, eK2(a) = 2, eK2(b) = 3, eK3(a) = 3, eK3(a) = Hệ mật đ−ợc biểu thị ma trận mã hoá sau:

a b K1 K2 K3 Tính phân bố xác suất pC ta cã:

pC (1) = 1/8

pC (2) = 3/8 + 1/16 = 7/16 pC (3) = 3/16 + 1/16 = 1/4 pC (4) = 3/16

Bây ta phân bố xác suất có điều kiện rõ với điều kiện biết mã Ta có :

pP(a | 1) = pP(b | 1) = pP(a | 2) = 1/7 pP(b | 2) = 6/7 pP(a | 3) = 1/4 pP(b | 3) = 3/4 pP(a | 4) = pP(b | 4) =

Bây ta có đủ điều kiện để xác định khái niệm độ mật hồn thiện Một cách khơng hình thức, độ mật hồn thiện có nghiã Oscar với mã tay khơng thể thu đ−ợc thơng tin rõ ý t−ởng đ−ợc làm xác cách phát biểu theo thuật ngữ phân bố xác suất định nghĩa nh sau:

Định nghĩa 2.2

Mt h mật có độ mật hồn thiện pP(x | y) = pP(x) với x ∈ P , y ∈ C Tức xác suất hậu nghệm để rõ x với điều kiện đả thu đ−ợc mã y đồng với xác suất tiên nghiệm để rõ x

Trong ví dụ 2.1 có mã thoả mãn tính chất độ mật hồn thiện, mã khác khơng có tính chất

sau cho khẳng định hình thức hố đ−ợc chứng minh theo cỏc phõn b xỏc sut

Định lý 2.3

Giả sử 26 khố MDV có xác suất nh− bằng1/26 MDV có độ mật hồn thiện với phân bố xác suất rõ

Chøng minh: Ta cã P = C = K = Z26 vµ víi K 25, quy tắc mà hoá eKlà

eK(x) =x +K mod 26 (x ∈ 26) Tr−ớc tiên tính phân bố PC Giả sử y ∈ Z26, đó:

pC (y) = ∑ pK(K) pP(dK (y)) K∈ Z26

= ∑ 1/26 pP(y -K) K∈ Z26

= 1/26 ∑ pP(y -K) K∈ Z26

Xét thấy với y cố định, giá trị y -K mod 26 tạo thành hoán vị Z26 và pP phân bố xác suất Bởi ta có:

∑ pP(y -K) = ∑ pP(y) K∈ Z26 y∈ Z26

= Do pC (y) = 1/26 với y ∈ Z26

TiÕp theo ta cã:

pC (y|x) = pK(y -x mod 26) = 1/26

Vơi x,y với cặp x,y, khóa K (khoá đảm bảo eK(x) = y ) khoá K = y-x mod 26 Bây sử dụng định lý Bayes, ta dễ dàng tính:

pP(x) pC (y|x) pC (y) pP(x) (1/26) (1/26)

= p (x) pP(x|y) =

Bởi vậy, MDV có độ mật hồn thiện

Nh− vậy, mã dịch vịng hệ mật không phá đ−ợc miễn dùng khoá ngẫu nhiên để mã hoá ký tự rõ

Sau ngiên cứu độ mật hoàn thiện tr−ờng hợp chung Tr−ớc tiên thấy rằng,(sử dụng định lý Bayes) điều kiện để pP (x | y) = pP (x) với x∈P , y∈P t−ơng đ−ơng với pC (y | x) = pC (y) với x∈P , y∈P

Giả sử pC (y) > với y∈C (pC (y) = mã khơng đ−ợc dùng loại khỏi C ) Cố định giá trị x∈P Với y∈C ta có pC (y | x) = pC (y) > Bởi vậy, với y∈C phải có khoá K cho eK(x) = y Điều dẫn đến |K | ≥ | C | Trong hệ mật ta phải có |C | ≥ | P | quy tắc mã hố đơn ánh Trong tr−ờng hợp giới hạn, |K | = | C | = | P |, ta cú nh lý sau (Theo Shannon)

Định lý 2.4

Giả sử (P,C, K, E, D) hệ mật , |K | = | C

| = |

P | Khi

đó, hệ mật có độ mật hồn thiện khoá K đ−ợc dùng với xác suất nh− 1/|K

| , x ∈

P,mỗi y ∈C có khố K sao cho eK(x) = y

Chøng minh

Giả sử hệ mật cho có độ mật hồn thiện Nh− thấy trên, với x ∈P y ∈C , phải có khố K cho eK(x) = y Bởi ta

có bất đẳng thức:

| C | = |{eK(x) :K ∈C }| | K | Tuy nhiên, ta giả sử | C | = |K | Bëi vËy ta ph¶i cã:

|{eK(x) :K ∈C }| = | K |

Ký hiệu n = | K | Giả sử P = { xi: ≤ i ≤ n } cố định giá trị y ∈C Ta ký hiệu khố K1,K2, .,Kn cho eKi (xi ) = yi, ≤ i ≤ n

Sử dụng định lý Bayes ta có:

Xét điều kiện độ mật hồn thiện pP(xi|y) = pP (xi) Điều kiện kéo theo pK(Ki) = pC (y) với ≤ i ≤ n Tức khoá đ−ợc dùng với xác suất nh− (chính pC(y)) Tuy nhiên số khố | K | nên ta có pK(K) =1/ |K | với K ∈K

Ng−ợc lại, giả sử hai điều giả định thảo mãn Khi dễ dàng thấy đ−ợc hệ mật có độ mật hồn thiện với phân bố xác suất rõ ( t−ơng tự nh− ch−ớng minh định lý 2.3) Các chi tiết dành cho bạn đọc xem xét

Mật mã khoá sử dụng lần Vernam (One-Time-Pad:OTP) ví dụ quen thuộc hệ mật có độ mật hồn thiện Gillbert Verman lần mô tả hệ mật vào năm 1917 Hệ OTP dùng để mã giải mã tự động tin điện báo Điều thú vị nhiều năm OTP đ−ợc coi hệ mật bị phá nh−ng ch−ớng minh Shannon xây dựng đ−ợc khái niệm độ mật hoàn thiện hn 30 nm sau ú

Mô tả hệ mật dùng lần nêu hình 2.1

S dụng định lý 2.4, dễ dàng thấy OTP có độ mật hoàn thiện Hệ thống hấp dẫn dễ thực mã giải mã

Vernam đăng ký phát minh với hy vọng có ứng dụng th−ơng mại rộng rãi Đáng tiếc có nh−ỡng nh−ợc điểm quan trọng hệ mật an tồn khơng điều kiện, chẳng hạn nh− OTP Điều kiện |K |≥ | P | có nghĩa l−ợng khóa (cần đ−ợc thơng báo cách bí mật) lớn nh− rõ Ví dụ , tr−ờng hợp hệ OTP, ta cần n bit khoá để mã hoá n bit rõ Vấn đề khơng quan trọng dùng khoá để mã hoá tin khác nhau; nhiên, độ an toàn hệ mật an tồn khơng điều kiện lại phụ thuộc vào thực tế

pC(y| xi) pP (xi) pC (y)

pK(K1) (pP (xi)) pC (y)

pP(xi|y) =

khố đ−ợc dùng cho lần mã Ví dụ OTP đứng vững tr−ớc công với rõ biết ta tính đ−ợc K băngf phép loại trừ xâu bít x eK(x) Bởi vậy, cần phải tạo khóa thơng báo kênh bảo mật tin tr−ớc gửi Điều nàytạo khó khăn cho vấn đề quản lý khố gây hạn chế cho việc sử dụng rộng rãi OTP Tuy nhiên OTP đ−ợc áp dụng lĩnh vực quân ngoại giao, lĩnh vực độ an tồn khơng điều kiện có tầm quan trọng lớn

H×nh 2.1 HƯ mËt sư dơng khoá lần (OTP)

Lch s phỏt trin mật mã học trình cố gắng tạo hệ mật dùng khố để tạo xâu mã t−ơng đối dài (tức dung khố để mã nhiều tin) nh−ng chí cịn đ−ợc độ an tồn tính tốn Chuẩn mã liệu (DES) hệ mật thuộc loại (ta nghiên cứu vấn đề ch−ơng 2)

2.2 ENTROPI

Trong phần tr−ớc ta thảo luận khái niệm độ mật hoàn thiện đặt mối quan tâm vào tr−ờng hợp đặc biệt, khoá đ−ợc dùng cho lần mã Bây ta xét điều xẩy có nhiều rõ đ−ợc mã khố cách mà thám mã thực có kết phép cơng chỉ với mã thời gian đủ lớn

Cơng cụ nghiên cứu tốn khái niệm entropi Đây khái niệm lý thuyết thông tin Shannon đ−u vào năm 1948 Có thể coi entropi đại l−ợng đo thơng tin hay cịn gọi độ bất định Nó đ−ợc tính nh− hàm phân bố xác suất

Gi¶ sư n số nguyên P = C = K = (Z2)

n Víi K (Z 2)

n , ta x¸c

định eK(x) tổng véc tơ theo modulo K x (hay t−ơng đ−ơng với phép loại trừ hai dãy bit t−ơng ứng) Nh− vậy, x = (x1, , xn ) K = (K1, , Kn ) thì:

eK(x) = (x1 + K1, , xn + Kn) mod

Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X nhận giá trị tập hữu hạn theo phân bố xác suất p(X) Thông tin thu nhận đ−ợc kiện xảy tuân theo phân bố p(X) gì? T−ơng tự, kiện cịn ch−a xảy độ bất định kết quả? Đại l−ợng đ−ợc gọi entropi X đ−ợc kí hiệu H(X)

Các ý t−ởng nh− trìu t−ợng, ta xét ví dụ cụ thể Giả sử biến ngẫu nhiên X biểu thị phép tung đồng xu Phân bố xác suất là: p(mặt xấp) = p(mặt ngữa) = 1/2 Có thể nói rằng, thơng tin (hay entropi) phép tung đồng xu bit ta mã hoá mặt xấp mặt ngữa T−ơng tự entropi n phép tung đồng tiền mã hố xâu bít có độ dài n

Xét ví dụ phức tạp chút Giả sử ta có biến ngẫu nhiên X có giá trị x1, x2, x3 với xác suất t−ơng ứng 1/2, 1/4, 1/4 Cách mã hiệu biến cố mã hoá x1 0, mã x2 10 mã x3 11 Khi số bít trung bình phép mã hố là:

1/2 × +1/4 × + 1/4 × = 3/2

Các ví dụ cho thấy rằng, biến cố xảy với xác suất 2-n mã hố đ−ợc xâu bít có độ dài n Tổng quát hơn, coi rằng, biến cố xảy với xác suất p mã hố xâu bít có độ dài xấp xỉ -log2 p Nếu cho tr−ớc phân bố xác suất tuỳ ý p1, p2, ., pn biến ngẫu nhiên X, độ đo thơng tin trọng số trung bình l−ợng -log2pi Điều dẫn ti nh ngha hỡnh thc hoỏ sau

Định nghĩa 2.3

Giả sử X biến ngẫu nhiên lấy giá trị tập hữu hạn theo phân bố xác suất p(X) Khi entropy phân bố xác suất đ−ợc định nghĩa l−ợng:

n

H(X) = - ∑ pi log2 pi

i=1

NÕu giá trị X xi ,1 ≤ i ≤ n th× ta cã:

n

H(X) = - ∑ p(X=xi )log2 p(X= xi)

i=1

Nhận thấy rằng, log2 pi không xác định pi =0 Bởi entropy đ−ợc định nghĩa tổng t−ơng ứng tất xác suất khác Vì limx→0xlog2x = nên thực tế khơng có trở ngại cho pi =

với giá trị i Tuy nhiên ta tuân theo giả định tính entropy phân bố xác suất pi , tổng đ−ợc lấy số i cho pi≠0 Ta thấy việc chọn số logarit tuỳ ý; số không thiết phải Một số khác làm thay đổi giá trị entropy số

Chú ý rằng, pi = 1/n với ≤ i ≤ n H(X) = log2n Cũng dễ dàng thấy H(X) ≥ H(X) = pi = với giá trị i pj = với j ≠ i

Xét entropy thành phần khác hệ mật Ta coi khoá biến ngẫu nhiên K nhận giá trị tuân theo phân bố xác suất pK tính đợc H(K) Tơng tự ta tính entropy H(P) H(C) theo phân bố xác suất tơng ứng mà rõ Ví dụ 2.1: (tiÕp)

Ta cã: H(P) = -1/4log21/4 - 3/4log23/4 = -1/4(-2) - 3/4(log23-2)

=2 - 3/4log23

0,81

bằng tính toán tơng tự, ta cã H(K) = 1,5 vµ H(C) ≈1,85

2.2.1. M∙ huffman vµ entropy

Trong phần ta thảo luận sơ qua quan hệ entropy mã Huffman Vì kết phần khơng liên quan đến ứng dụng mật mã entropy nên ta bỏ qua mà khơng làm tính liên tục Tuy nhiên hệ dùng để nghiên cứu sâu khái niệm entropy

ở đ−a entropy bối cảnh mã hoá biến cố ngẫu nhiên xảy theo phân bố xác suất định Tr−ớc tiên ta xác hố thêm ý t−ởng Cũng nh− trên, coi X biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập hữu hạn p(X) phân bố xác suất t−ơng ứng

trong {0,1}* kí hiệu tập tất xâu hữu hạn số Với

danh sách hữu hạn (hoặc xâu) biến cố x1, x2, , xn, ta mở rộng phép mã hố f nhờ sử dụng định nghĩa sau:

f(x1x2 xn ) = f(x1) ⎜⎢ ⎜⎢ f(xn) kí hiệu phép ghép Khi coi f ánh xạ:

f:X* →{0,1}*

Bây giả sử xâu x1 xn đ−ợc tạo từ nguồn không nhớ cho xi xảy tuân theo phân bố xác suất X Điều nghĩa xác suất xâu x1 xn đ−ợc tính p(x1) ì ì p(xn) (Để ý xâu không thiết phải gồm giá trị phân biệt nguồn khơng nhớ) Ta coi dãy n phép tung đồng xu ví dụ

Bây giả sử ta chuẩn bị dùng ánh xạ f để mã hoá xâu Điều quan trọng giải mã đ−ợc theo cách Bởi phép mã f thiết phải đơn ánh

VÝ dơ 2.2

Gi¶ sư X = {a,b,c,d} , xÐt phÐp m· ho¸ sau: f(a) = f(b) = 10 f(c) = 100 f(d) = 1000 g(a) = g(b) = 10 g(c) = 110 g(d) = 111 h(a) = h(b) = 01 h(c) = 10 h(d) = 11

Có thể thấy rằng, f g phép mã đơn ánh, h khơng phải đơn ánh Một phép mã hố dùng f đ−ợc giải mã cách bắt đầu điểm cuối giải mã ng−ợc trở lại: Mỗi lần gặp số ta biết vị trí kết thúc phần tử thời

Phép mã dùng g đ−ợc giải mã cách bắt đầu điểm đầu xử lý liên tiếp Tại thời điểm mà có dãy kí tự mã a ,b,c d giải mã cắt khỏi dãy Ví dụ, với xâu10101110, ta giải mã 10 b, 10 b, đến 111 d cuối a Bởi xâu giải mã bbda

Để thấy h đơn ánh, cần xét ví dụ sau: h(ac) = h(bc) = 010

tố độc lập không tồn phần tử x,y ∈ X xâu z ∈{0,1}* cho g(x) = g(y) ⎥⎢z)

Thảo luận không liên hệ đến entropy Tuy nhiên khơng có đáng ngạc nhiên entropy lại có liên quan đến tính hiệu phép mã Ta đo tính hiệu phép mã f nh− làm trên: độ dài trung bình trọng số ( đ−ợc kí hiệu l (f) ) phép mã phần tử X Bởi ta có định nghĩa sau:

Trong |y| kí hiệu độ dài xâu y

Bây nhiệm vụ chủ yếu ta phải tìm phép mã hố đơn ánh cho tối thiểu hoá đ−ợc l(f) Thuật toán Huffman thuật toán tiếng thực đ−ợc mục đích Hơn nữa, phép mã f tạo thuật tốn Huffman phép mã có tiền tố độc lập

H(X) ≤l(f)≤ H(X) +1

Nh− vậy, giá trị entropy cho ta đánh giá xác độ dài trung bình phép mã đơn ánh tối −u

Ta không chứng minh kết nêu mà đ−a mơ tả ngắn gọn hình thức hố thuật toán Huffman Thuật toán Huffman bắt đầu với phân bố xác suất tập X mã phần tử ban đầu trống Trong b−ớc lặp, phần tử có xác suất thấp đ−ợc kết hợp thành phần tử có xác suất tổng hai xác suất Trong phần tử, phần tử có xác suất nhỏ đ−ợc gán giá trị "0", phần tử có giá trị lớn đ−ợc gán giá trị "1" Khi lại phần tử mã x ∈ X đ−ợc cấu trúc dãy phần tử ng−ợc từ phần tử cuối tới phần tử ban đầu x

Ta minh hoạ thuật toán qua ví dơ sau VÝ dơ 2.3

Gi¶ sư X = {a,b,c,d,e} có phân bố xác suất: p(a) = 0,05; p(b) = 0,10; p(c) = 0,12; p(d) = 0,13 vµ p(e) = 0,60 Thuật toán Huffman đợc thực nh b¶ng sau:

∑

∈

=

X x

x f x p f

A b c d e 0,05 0,10 0,12 0,13 0,60

0 0,15 0,12 0,13 0,60

0,15 0,25 0.60

0,40 0,60

1,0 Điều dẫn đến phép mã hoá sau:

x f(x)

a 000 b 001 c 010 d 011

e Bởi độ dài trung bình phép mã hố là:

l(f) = 0,05 × + 0,10 × + 0,12 × + 0,13 × + 0,60 ì = 1,8 So sánh giá trị nµy víi entropy:

H(X) = 0,2161 + 0,3322 + 0,3671 + 0,3842 + 0,4422 = 1,7402

2.3.

C¸c tÝnh chÊt cđa entropi

một kết hữu ích Bất đẳng thức Jensen có liên quan đến hàm lồi có nh ngha nh sau

Định nghĩa 2.4

Một hàm có giá trị thực f lồi kho¶ng I nÕu:

víi mäi x,y ∈I f hàm lồi thực khoảng I nếu:

víi mäi x,y ∈ I,x ≠ y

Sau ta phát biểu mà không chứng minh bất đẳng thức Jensen

Định lý 2.5.(Bất đẳng thức Jensen)

Giả sử h hàm lồi thực liên tục khoảng l,

và ai >0,1 ≤ i ≤ n Khi đó:

trong xi

∈ I,1 ≤ i ≤ n Ngoài dấu "=" xảy

x1= = xn

Bây ta đ−a số kết entropi Trong định lý sau sử dụng khẳng định: hàm log2x hàm lồi thực khoảng (0, ∞) (Điều dễ dàng thấy đ−ợc từ tính tốn sơ cấp đạo hàm cấp hm logarith l õm trờn khong (0, ))

Định lý 2.6

Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất p1, p2, , pn, trong pi >0,1 ≤ i ≤ n Khi H(X) ≤ log2n Dờu "=" xảy và pi = 1/n, ≤ i ≤ n

Chøng minh:

áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có:

2 ) ( ) ( y f x f y x

f ⎟≥ +

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ) ( ) ( y f x f y x

f ⎟> +

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 =

∑

= n i i a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∑

∑

= = i n i i i n i

if x f ax

a

1

= log2n

Ngoµi ra, dấu "=" xảy pi = 1/n, i n

Định lý 2.7

H(X,Y) ≤ H(X) +H(Y)

Đẳng thức (dấu "=") xảy X Y biến cố độc lập

Chứng minh

Giả sử X nhận giá trị xi,1 i m;Y nhận giá trÞ yj,1≤ j ≤ n KÝ hiƯu: pi = p(X= xi), ≤ i ≤ m vµ qj = p(Y = yj ), 1≤ j ≤ n KÝ hiÖu ri j = p(X = xi ,Y = yj ), i m, j n (Đây phân bố xác suất hợp)

Nhận thấy

(1 ≤ i ≤ m) vµ

(1 ≤ j ≤ n) Ta cã

) / ( log log ) ( 2 i n i i i n i

i p p p

p X

H

∑

∑

= = = − =

∑

= × ≤ n i i i p p

2 ( 1/ )

log

∑

= = n j ij i r p

∑

= = m i ij j r q

∑

∑

= = + − = + m i n j j j i

i p q q

p Y H X H 1

2 log )

log ( ) ( ) (

∑∑

∑∑

= = = = + − = m i n j n j m i j ij i

ij p r q

r

1 1

2

2 log )

log (

∑∑

= = − = m i n j j i ij pq

r 1

2

Mặt khác

Kết hợp lại ta thu đợc kết sau:

( õy áp dụng bất đẳng thức Jensen biết rjj tạo nên phân bố xác suất )

Khi đẳng thức xảy ra, thấy phải có số c cho pjj / rjj = c với i,j Sử dụng đẳng thức sau:

Điều dẫn đến c=1 Bởi đâửng thức (dấu "=") xảy rjj = pjqj, nghĩa là:

p(X = xj, Y = yj ) = p(X = xj )p(Y = yj )

với ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n Điều có nghĩa X Y độc lập Tiếp theo ta đ−a khái nim entropi cú iu kin

Định nghĩa 2.5

Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên Khi với giá trị xác định bất kỳ y Y, ta có phân bố xác suất có điều kiện p(X|y) Rõ ràng là :

∑∑

= = − = m i n j ij ij r r Y X H 1 log ) , (

∑∑

∑∑

= = = = + = − − m i n j m i n j j i ij ij

ij r r pq

r Y H X H Y X H

1 1

2 2(1/ ) log

log ) ( ) ( ) , (

∑∑

= = = m i n j ij j i ij pq r

r 1

2( / )

log log log 1 = = =

∑∑

= = m i n j j iq p

∑∑

∑∑

= = = = = = n j m i n j m i j i ij pq

r

1 1

Ta định nghĩa entropi có điều kiện H(X|Y) trung bình trọng số (ứng với xác suất p(y) entropi H(X|y) giá trị y H(X|y) đ−ợc tính bằng:

Entropi có điều kiện đo lợng thông tin trung bình X Y mang lại

Sau hai kết trực tiếp ( Bạn đọc cú th t chng minh)

Định lý 2.8

H(X,Y) = H(Y) + H(X | Y)

HƯ qu¶ 2.9

H(X |Y) ≤ H(X)

Dấu xảy X Y độc lập

2.4.

C¸c kho¸ giả khoảng

Trong phn ny áp dụng kết entropi cho hệ mật Tr−ớc tiên quan hệ entropi thành phần hệ mật Entropi có điều kiện H(K|C) đ−ợc gọi độ bất định khố Nó cho ta biết l−ợng thơng tin khố thu c t bn mó

Định lý 2.10

Giả sử(P, C, K, E, D) hệ mật Khi đó: H(K|C) = H(K) + H(P) - H(C)

Chøng minh:

Tr−ớc tiên ta thấy H(K,P,C) = H(C | K,P) + H(K,P) Do y = eK(x) nên khoá rõ xác định mã Điều có nghĩa H(C|K,C) = Bởi H(K,P,C) = H(K,P) Nh−ng K P độc lập nên H(K,P) = H(K) + H(P) Vì thế:

H(K,P,C) + H(K,P) = H(K) + H(P)

T−ơng khố mã xác định rõ (tức x = dK(y)) nên ta có H(P | K,C) = H(K,P,C) = H(K,P) Bây ta tính nh− sau:

H(K | C) = H(K,C) - H(C) = H(K,P,C) - H(C)

∑

− =

x

y x p y

x p y

X

H( | ) ( | )log2 ( | )

∑

∑

− =

x y

y x p y

x p y p Y

X

= H(K) + H(P) - H(C) Đây nội dung định lý

Ta quay lại ví dụ 2.1 để minh hoạ kết Ví dụ 2.1 (tiếp)

Ta tính đ−ợc H(P) ≈ 0,81, H(K) = 1,5 H(C) ≈1,85 Theo định lý 2.10 ta có H(K | C) ≈ 1,5 + 0,85 - 1,85 ≈ 0,46 Có thể kiểm tra lại kết cách áp dụng định nghĩa entropi có điều kiện nh− sau Tr−ớc tiên cần phải tính xác suất xuất p(Kj | j), ≤ i ≤ 3, ≤ j ≤ Để thực điều áp dụng định lý Bayes nhận đ−ợc kết nh− sau:

P(K1 | 1) = p(K2 | 1) = p(K3 | 1) = ` P(K1 | 2) = 6/7 p(K2 | 2) = 1/7 p(K3 | 2) = P(K1 | 3) = p(K2 | 3) = 3/4 p(K3 | 3) = 1/4 P(K1 | 4) = p(K2 | 4) = p(K3 | 4) = B©y giê ta tÝnh:

H(K | C) = 1/8 ì +7/16 ì 0,59 + 1/4 ì 0,81 + 3/16 ì = 0,46 Giá trị giá trị đ−ợc tính theo định lý 2.10

Giả sử (P, C, K, E, D ) hệ mật đ−ợc sử dụng Một xâu rõ x1x2 xn đ−ợc mã hoá khoá để tạo mã y1y2 yn Nhớ lại rằng, mục đích thám mã phải xác định đ−ợc khoá Ta xem xét ph−ơng pháp công với mã coi Oscar có khả tính tốn vơ hạn Ta giả sử Oscar biết rõ văn theo ngôn ngữ tự nhiên (chẳng hạn văn tiếng Anh) Nói chung Oscar có khả rút số khố định ( khố hay khố chấp nhận đ−ợc) nh−ng có khố đúng, khố cịn lại (các khố khơng đúng) đ−ợc gọi khố giả

cái có entropi kÝ tù b»ng log2 26 ≈ 4,76) Ta cã thÓ lÊy H(P) lµ xÊp xØ bËc nhÊt cho HL Trong trờng hợp L Anh ngữ, sử dụng phân bố xác suất bảng 1.1, ta tính đợc H(P) 4,19

Dĩ nhiên kí tự liên tiếp ngôn ngữ không độc lập với t−ơng quan kí tự liên tiếp làm giảm entropi Ví dụ, Anh ngữ, chữ Q ln kéo theo sau chữ U Để làm xấp xỉ bậc hai, tính entropi phân bố xác suất tất đôi chia cho Một cách tông quát, ta định nghĩa Pn biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất tất n rõ Ta sử dụng tất c cỏc nh ngha sau:

Định nghĩa 2.6

Giả sử L ngôn ngữ tự nhiên Entropi L đ−ợc xác định l−ợng sau:

Độ d L là: RL =l - (HL / log2 | P | )

Nhận xét: HL đo entropi kí tự ngơn ngữ L Một ngơn ngữ ngẫu nhiên có entropi log2 |P | Bởi đại l−ợng RL đo phần "kí tự v−ợt trội" phần d−

Trong tr−ờng hợp Anh ngữ, dựa bảng chứa số lớn đôi tần số, ta tính đ−ợc H(P2) Ước l−ợng theo cách này, ta tính đ−ợc H(P2) ≈3,90 Cứ tiếp tục nh− cách lập bảng ba v.v ta thu đ−ợc −ớc l−ợng cho HL Trên thực tế, nhiều thực nghiệm khác nhau, ta tới kết sau 1,0 ≤ HL≤1,5 Tức l−ợng thơng tin trung bình tiếng Anh vào khoảng bít tới 1,5 bít kí tự!

Giả sử lấy 1,25 giá trị −ớc l−ợng giá trị HL Khi độ d−

vào khoảng 0,75 Tức tiếng Anh có độ d− vào khoảng 75%! (Điều khơng có nghĩa loại bỏ tuỳ ý kíb tự văn tiếng Anh mà có khả đọc đ−ợc Nó có nghĩa tìm đ−ợc phép mã Huffman cho n với n đủ lớn, phép mã nén văn tiếng Anh xuống 1/4 độ dài gốc)

Với phân bố xác suất cho K Pn Có thể xác định phân bố

xác suất Cn là tập n mã (Ta làm điều tr−ờng

n P H H

n

n L

) (

lim

∞ →

hợp n =1) Ta xác định Pn biến ngẫu nhiên biểu diễn n rõ

T−ơng tự Cn biến ngẫu nhiên biểu thị n mã Với y ∈ Cn, định nghĩa:

K(y) = { K ∈ K: ∃ x ∈ Pn, pPn(x) > 0, eK(x) =y}

nghĩa K(y) tập khoá K cho y mã xâu rõ độ dài n có nghĩa, tức tập khố "có thể" với y mã cho Nếu y dãy quan sát đ−ợc mã số khố giả | K(y) | -1 có khố khố số khố Số trung bình khố giả (trên tất xâu mã độ dài n) đ−ợc kí hiệu sn đ−ợc tính nh−

sau:

Từ định lý 2.10 ta có:

H(K| Cn) =H(K) + H(Pn) - H(Cn) Cã thÓ dïng −íc l−ỵng sau:

H(Pn) ≈ nHL =n(1 - RL)log2| P | với điều kiện n đủ lớn Hiển nhiên là:

H(Cn ) ≤ nlog 2| C |

Khi | P | = | C | thì:

H(K| Cn) ≥ H(K) - nR

Llog2 | P | (2.1)

TiÕp theo xÐt quan hệ lợng H(K | Cn) với số khoá giả sn Ta cã:

ở ta áp dụng bất đâửng thức Jensen (định lý 2.5) với f(x) = log2x Bởi ta có bất đẳng thức sau:

Kết hợp hai bất đẳng thức (2.1) (2.2), ta có :

∑

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ ∈ − = − = − = n n n n C y C

y y C

C y n y K y p y p y K y p y K y p s | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) | ) ( (| ) ( ) ( log | ) ( | ) ( log | ) ( | log ) ( ) | ( ) ( ) | ( 2 + = ≤ ≤ =

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ n C y C y C y n s y K y p y K y p y K H y p C K H n n n ) ( log ) |

(K Cn ≤ 2 sn +

H (2.2) | | log ) ( ) (

Trong tr−ờng hợp khố đ−ợc chọn đồng xác suất (Khi H(K) có giá trị lớn nhất) ta có kết sau

Định lý 2.11

Gi s (P, C, K, E, D ) hệ mật | C | = | P | khoá đ−ợc chọn đồng xác suất Giả sử RL độ d− ngơn ngữ gốc Khi với xâu mã độ dài n cho tr−ớc ( n số đủ lớn), số trung bình khố giả sn thoả mãn bất đẳng thức nh− sau:

Lợng |K| / |P|nRL-1 tiến tới theo hàm mũ n tăng Ước lợng không xác với giá trị n nhỏ Đó H(Pn)/ n ớc lợng tốt cho HL nÕu n nhá

Ta ®−a khái niệm

Định nghĩa 2.7

Khoảng hệ mật đ−ợc định nghĩa giá trị n mà ứng với giá trị này, số khố giả trung bình (kí hiệu giá trị n0) Điều có nghĩa n0 độ dài trung bình cần thiết mã để thám mã có thể tính tốn khố cách với thời gian đủ lớn

Nếu đặt sn =0 định lý 2.11 giải theo n ta nhận đ−ợc −ớc l−ợng cho khoảng nhất:

n0≈ log2|K| / RL log2 |P|

VÝ dơ víi MTT, ta cã |P| = 26 vµ |K| =26 ! NÕu lÊy RL =0,75 ta

nhận đợc ớc lợng cho khoảng nhÊt b»ng: n0≈ 88,4/ (0,75 ×4,7) ≈ 25

Điều có nghĩa thơng th−ờng mã thám có đ−ợc xâu mã với độ dài tối thiểu 25, nhận đ−ợc giải mã

2.5 C¸c hƯ mËt m

∙

tích

Một phát minh khác Shannon đa báo năm 1949 ý tởng kết hợp hệ mật cách tạo tích chúng ý tởng có tầm quan trọng to lín viƯc thiÕt kÕ c¸c hƯ mËt hiƯn ( chẳng hạn chuẩn mà liệu -DES )

1 )} | /(| |

{| −

≥ L

n K P nR

Để đơn giản, phần hạn chế xét hệ mật C=P: hệ mật loại đ−ợc gọi tự đồng cấu Giả sử S1= (P, P, K1, E1, D1) S2= (P, P, K2, E2, D2) hai hệ mật tự đồng cấu có khơng gian mã rõ Khi đó, tích S1 S2 (kí hiệu S1 ì S2) đ−ợc xác định hệ mật sau:

(P, P, K1× K2, E, D)

Khố hệ mật tích có dạng K = (K1,K2) K1 ∈ K1 K2 ∈ K2 Các

quy tắc mã giải mã hệ mật tích đ−ợc xác định nh− sau: Với K = (K1,K2), ta có quy tắc mã EK xác định theo công thức:

và quy tắc giải mÃ:

Nghĩa trớc tiên ta mà hoá x eK1 mà lại kết eK2 Quá trình giải mà tơng tự nhng thực theo thứ tự ngợc lại:

Ta biết rằng, hệ mật có phân bố xác suất ứng với khơng gian khố chúng Bởi vậy, cần phải xác định phân bố xác suất cho khơng gian khố K hệ mật tích Hiển nhiên ta viết:

pK(K1,K2)= pK1(K1) × pK2=(K2)

Nói cách khác, ta chọn K1 có phân bố pK1 chọn cách độc lập K2 có phân bố pK2(K2)

Sau ví dụ đơn giản để minh hoạ khái niệm hệ mật tích Giả sử định nghĩa hệ mật mã nhân nh− hỡnh 2.2 sau

Hình 2.2 M nhân

)) ( ( ) ( 2

1, )

( x e e x

eK K = K K

)) ( ( ) ( 2

1, )

( y d d y

d K K = K K

))) ( ( ))) ( ( ( ( ))) ( ( ( ) ( ( 1 2 1 2 2

1, ) ( , ) ( , )

( x x e d x e e d d x e e d x e d K K K K K K K K K K K K K K = = = =

Giö sö P = C = Z26 giả sử:

Cho M hệ mã nhân ( Với khoá đ−ợc chọn đồng xác suất) S MDV ( với khoá chọn đồng xác suất) Khi dễ dàng thấy MìS hệ mã Affine ( với khoá đ−ợc chọn đồng xác suất) Tuy nhiên việc ch−ớng tỏ S ìM hệ mã Affine khó chút ( với khóa đồng xác suất)

Ta chứng minh khẳng định Một khố dịch vịng phần tử K ∈Z26 quy tắc giải mã t−ơng ứng eK(x) = x + K mod 26 Còn khoá hệ mã nhân phần tử a ∈Z26 cho UCLN(a,26) = Quy tắc mã t−ơng ứng ea(x) = a mod 26 Bởi vậy, khoá mã tích M ì S có dạng (a,K),

e(a,K)(x) =a x + K mod 26

Đây định nghĩa khố hệ mã Affine Hơn nữa, xác suất khoá hệ mã Affine là:1/312 = 1/12 ì 1/26 Đó tích xác suất t−ơng ứng khoá a K Bởi M ìS hệ mã A ffine

Bây ta xét S ìM Một khố hệ mã có dạng (K ,a) đó:

e(K,a)(x) = a(x+K) = a x + aK mod 26

Nh− khố (K,a) mã tích SìM đồng với khố (a, aK) hệ mã Affine Vấn đề lại phải chứng tỏ khoá mã Affine xuất với xác suất 1/312 nh− mã tích SìM Nhận thấy rằng, aK = K1 K = a-1K

1, ( h·y nhí l¹i r»ng UCLN(a,26) =1, bëi vËy a cã

phần tử nghịch đảo) Nói cách khác, khoá (a, K1) hệ mã Affine t−ơng đ−ơng với khố (a-1K1,a) mã tích SìM Bởi vậy, ta có song ánh hai khơng gian khố Vì khố đồng xác suất nên thấy SìM thực mã Affine

Ta chứng minh M ìS = S ì M Bởi vậy, hai hệ mật giao hốn Tuy nhiên khơng phải cặp hệ mật giao hốn; tìm ta đ−ợc cặp phản ví dụ, Mặt khác ta thấy phép tích ln kết hợp:

(S1 × S2) × S3 = S1 × (S2 × S3)

Nếu lấy tích hệ mật tự đồng cấu với ta thu đ−ợc hệ mật SìS (kí hiệu S2) Nếu lấy tích n lần hệ mật kết Sn Ta gọi Sn hệ mật lặp

hệ mật S luỹ đẳng khơng nên sử dụng hệ mâth tích S2 u cầu

l−ợng khố cực lớn mà khơng có độ bảo mật cao

Nếu hệ mật luỹ đẳng có khả làm tăng độ mật cách lặp nhiều lần ý t−ởng đ−ợc dùng chuẩn mã liệu (DES) Trong DES dùng 16 phép lặp, tất nhiên hệ mật ban đầu phải hệ mật khơng luỹ đẳng Một ph−ơng pháp xây dựng hệ mật không luỹ đẳng đơn giản lấy tích hai hệ mật đơn giản khác

NhËn xÐt:

Có thể dễ dàng chứng tỏ rằng, hai hệ mật S1 S2 luỹ đẳng giao hốn S1 S2 luỹ đẳng Điều rút từ phép tốn đại số sau:

(S1 × S2) ×(S1 × S2) = S1 × (S2× S1) × S2 =S1 × (S1× S2) × S2 =(S1 × S1) × (S2 × S2) = S1 × S2

( Chó ý dùng tính chất kết hợp chứng minh trên)

Bởi vậy, S1 S2 luỹ đẳng ta muốn S1 ì S2 khơng luỹ đẳng điều kiện cần S1 S2 khơng giao hoán

Rất may mắn nhiều hệ mật đơn giản thoả mãn điều kiện Kỹ thuật th−ờng đ−ợc sử dụng thực tế lấy tích hệ mã kiểu thay hệ mã kiểu hoán vị Trong ch−ơng sau ta xét thể cụ thể kỹ thuật

2.5.

C¸c giải

Bài tập

2.1 Cho n số nguyên d−ơng Một hình vng Latin cấp n (L) bảng n ì n số nguyên 1, , n cho số n số nguyên xuất lần hàng cột L Ví dụ hình vng Latin cấp có dạng:

1 3 2

Với hình vng Latin L cấp n, ta xác định hệ mã t−ơng ứng Giả sử P = C = K = { 1, , n} Với ≤ i ≤ n, quy tắc mã hoá ei đ−ợc xác định ei(j) = L(i,j) Do hàng L cho quy tắc mã hoá)

Hãy chứng minh rằng, hệ mật hình vng Latin có độ mật hồn thiện

2.2 Hãy chứng tỏ mã Affine có độ mật hồn thiện

2.3 Giả sử hệ mật đạt đ−ợc độ mật hồn thiện với phân bố xác suất p0 rõ Hãy chứng tỏ độ mật hoàn thiện đ−ợc phân bố xác suất rõ

2.4 Hãy chứng tỏ hệ mật có độ mật hồn thiên |K| = |C| = |P| mã đồng xác suất

2.5 Giả sử X tập có lực l−ợng n, 2k ≤ n ≤ 2k+1 p(x) =1/n với x ∈X

a/ Hãy tìm phép mã hố có tiền tố độc lập X (kí hiệu f) cho l(f) = k+2 - 2k+1/n

Chỉ dẫn: Hãy mã hoá 2k+1-n phần tử X xâu có độ dài k mã hố phần tử cịn lại xâu có độ dài k+1

b/ H·y minh ho¹ cÊu tróc bạn n = Tính l(f) H(X) trờng hợp

2.6 Gi s X = {a,b,c,d,e} có phân bố xác suất nh− sau: p(a) = 0,32, p(b) = 0,23 p(c) = 0,20, p(d) = 0,15, p(e) = 0,10 Hãy dùng thuật tốn Huffman để tìm phép mã hố tối −u có tiền tố độc lập X So sánh độ dài phép mã với H(X)

2.7 Hãy chứng tỏ H(X,Y) = H(Y) +H(X|Y) Sau chứng minh bổ đề H(X|Y) ≤ H(X), đẳng thức xảy X Y độc lập

2.9 Chứng minh hệ mật H(K|C) ≥H(P C) ( mặt trực giác, kết nói với mã cho tr−ớc, độ bất định thám mã khố lớn độ bất định thám mã rõ)

2.10 Xét hệ mật trơng P = {a,b,c}, K = {K1,K2,K3} C = {1,2,3,4} Giả sử ma trận mã hoá nh− sau:

a B c K1 K2 K3

Giả sử khoá đ−ợc chọn đồng xác suất phần bố xác suất rõ pP(a) = 1/2, pP(b) = 1/3, pP(c) = 1/6 Hãy tính H(P), H(C), H(K), H(K|C) H(P|C)

2.11 H·y tÝnh H(K|C) vµ H(K|P,C) cđa hƯ m· Affine

2.12 Xét hệ mã Vigenère có độ dài từ khố m Hãy chứng tỏ khoảng 1/RL, RL độ d− ngơn ngữ xét (kết đ−ợc hiểu nh− sau: Nếu n0 số kí tự cần mã hố độ dài rõ n0/m phần tử rõ gồm m kí t− Bởi vậy, khoảng 1/RL ứng với rõ gồm m/RL kí tự)

2.13 Hãy rằng, khoảng hệ mã Hill ( với ma trận mã hoá mìm) nhỏ m/RL ( ý số kí tự mơt rõ có độ dài m2/R

L)

2.14 MTT không gian rõ ( có kích th−ớc n) có |K| = n! Công thức Stirling cho −ớc l−ợng sau n:

a/ Dùng công thức Stirling, đa khoảng ớc lợng cho khoảng MTT

b/ Cho m ≥1 số nguyên MTT m hệ mã thay khơng gian rõ ( mã) chứa tất 26m m Hãy đánh giá

khoảng MTT m RL = 0,75 2.15 Hãy chứng minh MDV luỹ đẳng

2.16 Giả sử S1 MDV ( với khoá đồng xác suất) S2 MDV khố đ−ợc chọn theo phân bố xác suất pK ( khơng đồng xác suất) Hãy chứng tỏ S1ìS2 = S1

2.17 Giả sử S1 S2 hệ mã Vigenère có độ dài từ khố t−ơng ứng m1 m2 m1 ≥ m2

a/ NÕu m1 | m2 th× chØ r»ng S1 × S2 = S1

n

b/ Ta thử tổng quát hoá kết giả định S2ìS1 = S3, S3 hệ mã Vigenère có độ dài từ khố BCNN(m1,m2) ( BCNN - bội chung nhỏ nhất) Hãy chứng tỏ giả định không