TÝnh EF theo c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC.[r]
(1)UBND huyện vũ quang Phòng giáo dục
đề kiểm tra chọn nguồn HSG mụn toỏn lp 7
Năm học 2011 - 2012 (Thêi gian lµm bµi : 90 phót)
đề bài Câu 1 (4điểm)
a Thùc hiÖn phÐp tÝnh A =
9√6561+√ 144 324
b Có hay khơng tam giác với độ dài ba cạnh : √17 ; √5+1 ; 3√5 Câu 2 (4 điểm)
T×m x biÕt : |x −2|+|x −2|+⋯⋯+|x −2|+2005x=0 ; ( x<0 ) n = 2003
Câu 3 (3điểm)
T×m x, y, z biÕt : 3|x|+5
3 =
3|y|−1
5 =
3− z
7 |x|+7|y|+3z=−14 Câu 4 (2điểm) Cho a, b, c số đôi khác
Chøng minh r»ng
2[
b −c (a −b)(a − c)+
c −a (b −c) (b − a)+
a −b (c −a)(c −b)]=
1
a −b+
1
b −c+
1
c a
Câu 5 (7điểm)
Cho ABC có Â = 1V , hạ AH BC (H BC) , phân giác góc BAH góc HAC cắt BC lần lợt E F
a Chứng minh : ABF cân B
b Gọi độ dài ba cạnh BC , CA ; AB tam giác ABC lần lợt a ; b ; c Tính EF theo cạnh ABC
c Tìm điều kiện ABC để SΔAEF
SΔABC
có giá trị lớn
ỏp ỏn biểu điểm mơn tốn lớp 7 Câu 1 điểm) (
Thùc hiƯn phÐp tÝnh (2®iĨm) A =
9√81
2
+√(12
18)
2
(0,5 ®iĨm)
= 81+
12
18 (0,5 ®iĨm) = +
3 (0,5 ®iĨm) =
3 (0,5 điểm)
Đề số 20
(2)Có hay khơng tam giác với độ dài ba cạnh : √17 ; √5+1 ; 3√5 (2điểm)
Trong ba sè √17 ; 5+1 ; 35 35 số lớn
Vậy √17 + √5+1 > 3√5 tồn tam giác với độ dài ba cạnh √17 ; √5+1 ; 3√5 (1 điểm )
ThËt vËy : √17 > √16=4
√5+1 > √4+1=3 => √17 + √5+1 > = √49 > √45 =
35 (1 điểm )
Câu 2 ( điểm) T×m x biÕt : |x −2|+|x −2|+⋯⋯+|x −2|+2005x=0 ; (x < 0) n = 2003
V× tổng có 2006 hạng tử |x 2| nên ta cã 2006 |x −2|+2005x=0 (1) (2 ®iĨm)
Mµ x < => x-2 < = > |x −2|=− x+2 (1 ®iĨm)
Nªn tõ (1) ta cã 2006(-x+2) + 2005x = (0,5 ®iĨm) => -2006x + 4012 + 2005x =
=> x = 4012 (không thoả mÃn điều kiện x<0) Vậy giá trị x thoả mÃn toán (0,5 điểm)
Câu 3 (3điểm)
Tìm x, y, z biÕt : 3|x|+5
3 =
3|y|−1
5 =
3− z
7 (1) |x|+7|y|+3z=14 (2)
Đặt 3|x|+5
3 =
3|y|−1
5 =
3− z
7 =k
(0,5®iĨm)
=> |x|=3k −5
3 ; |y|= 5k+1
3 ; z = 3- 7k
(0,5điểm)
Thay vào (2) ta cã : 3k −5
3 +7 5k+1
3 +3(3−7k)=−14
(0,5®iĨm)
=> 6k - 10 + 35k +7 + 27 - 63k = - 42 => -22k = - 66 => k = (0,25®iĨm) => |x|=3 3−5
3 =
4
3 => x ±
3
(0,25®iĨm)
T¬ng tù ta thÊy : y = ±16
3 ; z = -18 (0,25điểm)
vậy có số x;y;z thoả mÃn toán là: x=
3; y= 16
3 ; z=−18 hc x= − 3; y=
16
3 ;z=−18
hc x=
3; y=− 16
3 ;z=−18 hc x= − 3; y=−
16
3 ; z=−18 (0,5
®iĨm)
(3)Chøng minh r»ng :
1 2[
b −c (a −b)(a − c)+
c −a (b −c) (b − a)+
a −b (c −a)(c −b)]=
1
a −b+
1
b −c+
1
c − a Ta cã : b −c
(a −b) (a − c) =
(a −c)−(a − b) (a −b)(a− c) =
1
(a −b) -
1
(a −c) =
1
a− b +
1
c − a (1)(0,5®iĨm)
c − a
(b− c) (b −a)=¿
(b− a)−(b− c) (b −c) (b −a) =
1
b− c−
1
b − a=
1
b −c+
1
a− b (2) (0,5®iĨm)
a− b (c − a) (c − b)=
(c − b)−(c −a) (c − a) (c −b) =
1
c −a−
1
c − b=
1
c − a+
1
b −c (3) (0,5®iĨm) Tõ (1) ; (2) ; (3) ta suy :
b −c
(a −b) (a − c) +
c − a (b− c) (b −a)+
a −b (c − a) (c − b)=
2
a −b+
2
b − c+
2
c − a (0,25®iĨm)
=> 12[ b −c (a −b)(a − c)+
c −a (b −c) (b − a)+
a −b (c −a)(c −b)]=
1
a −b+
1
b −c+
1
c a Điều phải CM(0,25điểm)
A
Câu 5 (7điểm) A
ABC ; ¢ = 1V ; AH BC = H (H BC) A GT ¢1 = ¢2 ; ¢3 = ¢4 (E , F BC)
BC = a ; CA = b ; AB = c
a ABF cân B B E H F C KL b TÝnh EF theo a ; b ; c
c Tìm điều kiện ABC để SΔAEF
SΔABC
đạt giá trị lớn
Vẽ hình, ghi GT + KL cho (0,5điểm)
a Chứng minh : Tam giác ABF cân B.(2điểm)
Vì Â = 1V => B^+ ^C=900
Tam giác vuông HAB có H^A B + B^ = 900 => gãc c b»ng góc HAB (1) (1 điểm )
Mà BF A^ =^C+ ^A
4 (góc tam giác AFC)
=> BF A^ =^C+ ^A
3 (vì Â3= Â4) (0,5điểm)
=> BF A^ =H^A B+ ^A
3 ( Theo 1)
=> BF A^ =B^A F => BAF cân B (0,5điểm b Tính EF theo cạnh tam giác ABC (2,0 điểm)
Chứng minh tơng tự ý a ta cã AEC c©n ë C => AC = CE = b (1 điểm) Nên ta có CE = b ; BF = c = AB
=> BF + CE = BF + EF + CF=EF+BC (0,5 ®iĨm) => b + c = a + EF => EF = b + c – a (0,5 ®iĨm)
4 b
1 c
(4)c Tìm điều kiện tam giác ABC để SΔAEF SΔABC
có giá trị lớn (2,5điểm)
Theo định lý PiTaGo ta có : a2 = b2 + c2 Mà (b-c)2 (Dấu xảy b = c) (0,5Điểm)
=> b2 + c2 - 2bc 0
=> b2 + c2 2bc
=> 2.( b2 + c2) 2bc + b2 + c2
=> 2.( b2 + c2) (b + c)2
=> 2.a2 (b + c)2 v× a2 = b2 + c2
=> √2.a¿2
¿ (b + c)
2
=> a 2 b+c (vì a;b;c>0) (0,5 điểm)
Mặt khác : SAEF
SABC
=EF AH BC AH=
EF
a (0,5
®iĨm)
Mµ theo CM ë ý b ta cã : EF = b + c - a => SΔAEF
SΔABC
=b+c −a
a ≤
a√2− a
a = √2−1 (0,5 ®iĨm)
=> SΔAEF
SΔABC
đạt giá trị lớn √2−1 dấu (2) xảy tức b=c hay: ABC vuông cân A (0,5 điểm)