de va dap an dai 9

[r]

1/Với a,b nguyên dương cho a+1 b+2007 chia hết cho CMR 4a+a+b

6 Giải

Ta có : 4a+a+b=4a+a+1+b+2007-2008=4a-4+a+1+b+2007-2004 =4(4a1

-1) +a+1+b+2007-2004 =4(4-1)Q+a+1+b+2007-2004

Ta thấy 4(4-1)Q6, a+1 b+2007 chia hết cho 6,20046 Vậy 4a+a+b6

2/ Giải hệ phương trình x y 4z 1(1) y z 4x 1(2) z x 4y 1(3)     



   



   

 Giải

Cách 1:

Dễ thấy vai trò x,y,z nên ta giả sử x y z Ta có y-x0 4x 1  4y 0  (*)

Ta trừ vế (2)(3) ta y-x = 4x 1  4y 1

mà theo (*) vế 0, vế 0 suy hai vế Nên x=y

Thay vào phương trình (1) ta 2x= 4x 1

2

4x 4x 1

x

   

 

Do x=y=z=

Vậy hệ có nghiệm x=y=z=

Cách2

ĐK x,y,z 

x+y= 4z 1 =1 4z 1

4z 1

2  

 

 

 =2z (1) Theo Côsi Tương tự

z+x= 4y 1 2y (3) (1)+(2)+(3)

2(x+y+z) 2(x+y+z) (4)

(4) phải xảy dấu  (1)(2)(3) xảy dấu bằng x+y=2z 4z 1 =2z

1 z

2  

Vậy hệ có nghiệm x=y=z=

3/ Chứng minh khơng có số ngun x,y,z thỏa phương trình

2

4x 4x 8y  2z 4 Giải

Cách 1:

2

2

4x 4x 8y 2z

2x 2x 4y z

   

    

Từ suy z 22 hay z=2k với k Z Phương trình viết lại

x(x+1)=2y3 2k21

Ta thấy x(x 1) 2  => 12 (vơ lý)

Vậy khơng có số ngun x,y,z thỏa phương trình 4x24x 8y 3 2z24

Cách 2:

2

2

2 2

4x 4x 8y 2z 4(x x) 4(2y 1) 2z 2z z z z

   

    

        Do z2 4z1Phương trình

2

1

1 4x 4x 8y 8z

4x(x 1) 8y 8z

   

    

Có 4x(x+1)8;8y 8;8z 8;3 1 4 không chia hết cho 8