DS va GT CHUONG 1

Phương pháp:Dùng các phép biến đổi lượng giác đưa phương trình cần giải về một trong bốn dạng cơ bản sau:.. BÀI TẬP.[r]

CHUYÊN ĐỀ I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

VẤN ĐẾ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 Hàm số sin: - Tập xác định D = R - Tập giá trị:



1 ; 1



- Là hàm số lẻ

- Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2

- Đồng biến khoảng k2 ; k2

2

 

   

nghịch biến khoảng

3 k2 ; k2

2

 

    

 

 , k  Z

- Có đồ thị đ-ờng hình sin Haứm soỏ cơsin:

- Tập xác định D = R - Tập giá trị:



1 ; 1



- Là hàm số ch½n

- Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2

- Đồng biến khoảng

k2 ; k2

nghịch biến khoảng

k2 ; k2



,kZ

- Có đồ thị đ-ờng hình sin Haứm soỏ tang:

- Tập xác định \

 

    

 Z

D R  k k

- Tập giá trị R - Là hàm số lẻ

- Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

- Đồng biến khoảng k ; k

2

 

    

 

 , k  Z

- Có đồ thị nhận đ-ờng thẳng x = k

2

 

, k Z làm đ-ờng tiệm cận Haứm soỏ c«tang:

- Tập xác định DR\



k kZ



- Tập giá trị R - Là hàm số lẻ

- Hàm số tuần hồn với chu k

- Nghịch biến kho¶ng



k ;   k



, k  Z

II.CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

DẠNG 1:TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

Để tìm TXĐ hàm số lượng giác cần lưu ý đến điều kiện sau:

 Để tanu có nghĩa ,

u  k k ; Đề cotu có nghĩa uk,k

 sinu  0 u k,k sin ,

u   u  k  k

 sin ,

2

u     u  k  k sin ,

u    u  k k

 cos ,

2

u   u  k k cosu  1 u k2 , k

 cosu    1 u  k2 , k cosu   1 u k,k 1. Tìm tập xác định hàm số sau:

a ysin 5x e y sin

x 

 k tan

3

x y

b ycos 4x f cos

1

x y

x



 l y tan x



 

   

 

c ytan 3x g ysin x m cot

4

y  x 

 

d ycot 2x h ycos 1x n ytanxcotx 2. Tìm tập xác định hàm số sau:

a

sin

y

x

 d sin

1 sin

x y

x

 

 g

1 cos

6

y

x 



 

   

 

b cos

sin

x y

x



 e

sin cos sin

x y

x x

 h cot

cos

x y

x





c

sin

x y

x 

 

  

 

 

f

2 cos

y

x 



  

 

 

k

cos cos

y

x x





3 Tìm tập xác định hàm số sau:

a y sin 2 x d sin sin cos

x y

x

 



b sin

1 cos

x y

x

 

 e 2

3 sin cos

y

x x



DẠNG 2:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Để tìm GTLN GTNN hàm số sin cosin ta áp dụng tính chất: sin  u  1; cosu1

1. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a y3cosx1 d y 1 2cos 32 x f sin

y  x  

 

b y 2 5sinx e 3cos

y   x 

  g

3 sin

x

y 

2. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a y 3 sinx e 2

5 cos sin

y  x x

b y 3 4sin2x.cos2x f ysin 2xcos 2x c y2sin2xcos 2x g ysin 24 xcos 24 x

d ycos2xcos 2x h ysin6xcos6x DẠNG 3: XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

Phương pháp giải:

 Tìm TXĐ D hàm số kiểm tra tính đối xứng (nếu khơng thỏa hàm số khơng chẵn,lẻ)

  x D,nếu f

 

 x f x

 

f x

 

hàm số chẵn

  x D,nếu f

 

  x f x

 

f x

 

hàm số lẻ Xét tính chẵn lẻ hàm số sau:

a ysin 4x d y x sin 5x g cos

1 cos

x y

x

 



b yxcos 2x e cos

x y

x

 h.ysin cosx xtanx

c ytan 3x f y5sinx3sin 3x

2 Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a

3

sin cos

x x

y

x



 d ycosxsinx g tan

2

y x 

 

b y cos x e tan

y x

  h

3 cos sin

2

y  x    x

 

c ysinxcosx f cos cos

x y

x

 

 k

2

cos cot sin

x x

y

x

 

DẠNG 4:VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số đoạn



2 ; 2 



: a ysin 2x ,suy đồ thị hàm số: y sin ;x ysin x

b ycos 2x, suy đồ thị hàm số: y cos ;x ycos x

c cos

2

x

y , suy đồ thị hàm số: cos

x y

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Phương pháp:Dùng phép biến đổi lượng giác đưa phương trình cần giải bốn dạng sau:

BÀI TẬP

Giải phương trình sau: √ 4sinx 1

3 ( )

4 √ cos



2



5

x 

7 ( )



1 cos x





2sinx 2



0

9 √ ( ) 10 ( ) 11 ( ) 12 sin cotx x0

13



0

 

0



tan x30 cos x150 0

14



3 tanx 3





2sinx 1



15 cot cot

2

x x

    

  

  

16 17 18 ( ) 19 ( ) 20 ( )

21 sin3

cos

x

x 

22 sin 2x2cosx0

1 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑣 ⟺ 𝑢 𝑣 𝑘 𝜋

𝑢 𝜋 𝑣 𝑘 𝜋 𝑘 ∈ ℤ

2 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑣 ⟺ 𝑢 𝑣 𝑘 𝜋

𝑢 𝑣 𝑘 𝜋 𝑘 ∈ ℤ

3 𝑡𝑎𝑛𝑢 𝑡𝑎𝑛𝑣 ⟺ 𝑢 𝑣 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ

4 𝑐𝑜𝑡𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑣 ⟺ 𝑢 𝑣 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ

(𝜋 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝜋 𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝜋 𝑥) 𝑐𝑜𝑡𝑥 (𝜋 𝑥) 𝑡𝑎𝑛𝑥

𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝝅 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝝅 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝝅 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝝅 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙

1 Hai cung phụ nhau:

2 Hai cung bù nhau 𝝅

3 Hai cung 𝝅

4 Hai cung đối

𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥

23 2cos2xcos 2x2 24

25 2 2 2 2

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng Cách giải Điều kiện

2

sin sin

a u b u c  Đặt tsinu   1 t

2

cos cos

a u b u c  Đặt t cosu   1 t

2

tan tan

a u b u c  Đặt t tanu ,

2

u  k k

2

cot cot

a u b u c  Đặt tcotu uk,k

Giải phương trình sau:

1 (√ ) √ (√ ) √ 4sin2x4cosx 1

4 ( √ ) √ 2sin2x5cosx 1 10 tanx2cotx 1

III.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX DẠNG: Cách giải 1:

+ Kiểm tra điều kiện có nghiệm ph.trình: 2 2 2

+ Chia hai vế phương trình (1) cho a đặt Cách giải 2:

+ Kiểm tra điều kiện có nghiệm ph.trình: 2 2

+ Chia hai vế phương trình (1) cho √ 2 2 đặt {√

√

hoặc{√ √

+ Biến đổi phương trình dạng phương trình lượng giác bản:

√

√

Chú ý:

BÀI TẬP:

Giải phương trình sau:

1 √ √ √ √ √ √ √ √ 2sin2x sin 2x3

5 √ √ 10 sin 8xcos 6x 3( in 6s xcos8 )x 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 √ (𝑢 𝜋) √ 𝑢 𝜋

IV.PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d Cách giải:

- Thay d d(sin2xcos2x)

- Biến đổi phương trình dạng:



a d



sin2x b sin cosx x (c d) cos2 x0

- Chia hai vế pt cho cos2x biến đổi phương trình bậc hai theo tanx

Chú ý: Kiểm tra cosx0 có thỏa mãn phương trình khơng?

2

cos sin sin

2

x   x  k  x  x  Giải phương trình sau:

1 5 2

3sin x4sin cosx x5cos x2

2 4sin2x3 sin cosx x2cos2x4 5sin2x2 sin cosx x3cosx x2 2 sin2 sin 2 cos2

2

x x x 2

3sin x4sin 2x4cos x0

4 2

3sin 2xsin cos 2x x4cos 2x2 8.





2

3 sin x2 sin cosx x( 1) cos x0

V.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Cách giải:

- Nếu gặp dạng tổng biến đổi phương trình tích - Nếu gặp dạng tích biến đổi phương trình tổng - Nếu gặp dạng lũy thừa dùng cơng thức hạ bậc

1 sin2xs n 3i x

6 cos2xcos 22 xcos 32 x1

8 10 2sin cos x xsinx2cosx

11 sin4xcos4xsin cosx x0 12 sin6 cos6

4

x x

BÀI TẬP TỔNG HỢP – NÂNG CAO Giải phương trình lượng giác sau:

1



2cosx1 2sin



xcosx



sin 2xsinx 2 sin 2xcos 2x3sinxcosx 1

3 2 2

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x 4 6



8



sin xcos x2 sin xcos x

5 2sinx + cosx = sin2x + 6 sinxcosx 1 sin 2xcos 2x0 7 2sin 2xcos 2x7sinx2cosx4 8 sin 2xcos 2x3sinxcosx2 9 9sinx6cosx3sin 2xcos 2x8 10

2cos xcos 2xsinx0

1 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

2 𝑥

11 3

1 sin cos sin

x x x

   12

4cos xcos 2x4cosx 1

13

2 cos 3cos sin

4

x  x x

    

 

  14.

3 2

sin x cos xsin cosx x sin x.cosx 15



4



4 sin xcos x  sin 4x2 16 4

sin xcos xsin cosx x0

17 4

cos sin

4

x x 

  18 cos 2x 5 2 cos



 x



sinxcosx



19 2

4sin cos 2 cos

2

x

x x  

     

  20





2

sin cos 2x xcos x tan x 1 2sin x0

21 2sinx



1 cos 2 x



sin 2x 1 2cosx 22 1 4sin sin sin x x x                  

23 cos 7x sin 7x  2 24 sin 3x cos 3x2sin 2x

25 4

cos sin cos( ) sin(3 )

4

x x x x   26.

(sin cos ) cos

2

x x

x

  

27 2sin 22 xsin 7x 1 sinx 28. sin cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

29. cot tan 4sin 2

sin

x x x

x

   30.

5sinx 2 3(1 sin ) tan x x 31. cot sin (1 tan tan )

2

x

x x  x  32. tanxcotxsinxcosx

33.

cos 4x12sin x 1 34. cos 2x (1 2cos x)(sin x cos x)   0

35. (1 sin 2x) cosx (1 cos2x)sinx 1 sin 2x 36 sin sin

4

x  x 

     

   

   

37 sin2 tan2 cos2

2

x x

x



    

 

  38.

2

sin cos sin 4sin

4 2

x

x x x   

 

39 (2sin2x -1)tan22x + 3(2cos2x – ) = 40.sin tan cos





cos

x x x

x 

   

41 cos2 sin

2 cos sin

x x

x x





  42

2

cos

cot sin sin

1 tan

x

x x x

x

   

 43 sin cos tan cot

cos sin

x x

x x

x  x   44.









2

cos cos

2 sin sin cos x x x x x     45



1 sin cos



sin

1

cos

1 tan

x x x

x x           

 46.

1 sin cos

2.sin sin cot x x x x x     47. 6

2(cos sin ) sin cos 2sin

x x x x

x

  

 48.tan

4

x +

2

(2 sin ) sin cos

x x

x

 

49. sin 2x2 cosxsinx10

 50.

2

1 2sin sin sin

x x x

   