Nếu tăng chiều dài lên 3 lần và giảm chiều rộng một nửa thì chu vi hình chữ nhật mới là 128m. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H... a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiế[r]
(1)ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn
(Thời gian làm 120 phút)
Bài 1 (2 điểm):
Cho biểu thức: M=(
a−√a+
1
√a −1):
√a+1
a −2√a+1
a) Tìm điều kiện a để M có nghĩa rút gọn M b) So sánh M với
Bài 2 (2 điểm):
Cho phương trình: x2 -3x + m = (x ẩn, m tham số) a) Giải phương trình với m = -10
b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn 23 11
3
1 x x x
x
Bài 3 (2 điểm):
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 66m Nếu tăng chiều dài lên lần giảm chiều rộng nửa chu vi hình chữ nhật 128m Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn ban đầu
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn tâm (O;R) có cạnh BC cố định cịn điểm A thay đổi đường tròn (O) Các đường cao BD, CE tam giác ABC cắt H
a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn
b) Kéo dài AO cắt đường tròn F Chứng minh BF//CE ∠ FAC = ∠ BCE c) Chứng minh A thay đổi đường trịn (O) độ dài đoạn AH khơng
đổi
Bài 5 (0,5 điểm):
Cho a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức A = ab (a2 + b2)
ĐÁP ÁN CHẤM THI VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
Mơn: Tốn lớp
Bài Nội dung Điểm
(2)H O
B C
A
D E
F I
Bài1
2 điểm
√a −1¿2 ¿ √a −1¿2
¿ ¿ ¿ M=(
√a(√a −1)+
1
√a−1):
√a+1 ¿
b) a a
a
M 11
Do a>0 với giá trị a>0 nên a
>0 ⇒ 1- a
<1
1đ 0,5 đ
Bài 2:
2 điểm
a)Với m=-10 ta có phương trình: x2-3x-10=0
Δ = (-3)2-4.1.(-10) = 49, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 5; x2= -
b)Ta có Δ = - 4m
Phương trình có hai nghiệm x1; x2 Δ 0⇔9−4m ≥0⇔m≤9
4
Khi theo hệ thức Viet ta có: x1+ x2 =
x1 x2 = m
Do 23 11
1 x x x
x ⇔ x1x2(x12 + x22) = -11 ⇔
x1+x2¿2−2x1x2 ¿=¿ x1x2¿
-11 ⇔ m (9 - 2m) = -11
⇔ 2m2 - 9m - 11=0 ⇔ m1= -1 ; m2 = 11
2
Ta thấy m= 112 khơng thỏa đk, cịn m=-1 thỏa mãn điều kiện Vậy với m=-1 phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn 23 11
3
1 x x x
x
1 đ
0,5đ
0,5đ
Bài 3
2 điểm
Gọi chiều dài mảnh vườn x(m), chiều rộng y (m) (đk x,y>0) Theo ta có phương trình 2(x + y) = 66 ⇔ x+ y = 33 (1) Tăng chiều dài gấp ta 3x ; giảm chiều rộng nửa ta 0,5y Ta có phương trình : 2(3x + 0,5y) = 128 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :
¿ x+y=33
6x+y=128 ¿{
¿
Giải ta x=19 ; y=14 (thỏa mãn đk toán)
Vậy mảnh vườn ban đầu có chiều dài 19m ; chiều rộng 14 m
1đ 1đ
(3)Bài 4:
3,5 điểm
a)Ta có CE AB (gt) ⇒ ∠ HAE = 900
BD AC(gt) ⇒ ∠ HDA=900
⇒ ∠ HAE+ ∠ HDA =1800 ⇒ Tứ giác AEHD có tổng số đo hai góc đối diện 1800 nên nội tiếp đường trịn. b)Ta có ∠ ABF = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ FB AB ⇒ BF//CE (cùng vng góc với AB)
Do BF//CE ⇒ ∠ FBC= ∠ BCE (so le trong)
Mặt khác ∠ FBC = ∠ FAC (hai góc nội tiếp chắn cung)
Từ suy ∠ FAC = ∠ BCE
d) Ta có tứ giác BHCF hình bình hành (có hai cặp cạnh đối song song)
Gọi I giao điểm BC HF I trung điểm BC HF Do I trung điểm BC nên OI BC (quan hệ vng góc đường kính dây) ⇒ OI khoảng cách từ tâm O đến dây BC cố định nên OI không đổi
Mặt khác OI đường trung bình tam giác FAH nên AH=2OI A thay đổi đường trịn độ dài AH khơng đổi
vẽ 0,5đ
1đ
0,5đ 0,5đ
1đ
Bài 5:
0,5đ
A=ab(a2+b2)= a+b¿ 2−2ab
¿
ab¿
=ab(4-2ab)
Đặt ab = t ta có A = t(4-2t) = -2t2 + 4t = - 2(t-1)2 2 Dấu « = » xẩy t -1=0 ⇔ t =1 ⇒ ab=1
¿
ab=1
a+b=2
⇔ ¿a=1
b=1 ¿{
¿