Cơ học lý thuyết (tóm tắt lý thuyết bài tập mẫu), Trịnh Anh Ngọc, 71 trang

CƠ HỌC LÝ THUYẾT (Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu) Trịnh Anh Ngọc 15/10/2009 i Lời khuyên We are what we repeatedly Excellence, then, is not an act, but a habit Aristotle Không hy vọng học bơi mà không bị ướt Cũng hy vọng học bơi mà nhờ đọc sách hay nhìn người khác bơi Bơi lội học mà thực hành Chỉ có cách học tự "ném" xuống nước tập luyện hàng tuần, chí hàng tháng, tập luyện trở thành phản xạ nhẹ nhàng Tương tự vậy, học học cách thụ động Không giải nhiều toán có tính thách thức, người sinh viên cách khác để kiểm tra lực hiểu biết môn học Đây nơi sinh viên gặt hái tự tin, cảm giác thỏa mãn lôi nảy sinh nhờ hiểu biết xác thực nguyên lý ẩn tàng Khả giải toán chứng minh tốt nắm vững môn học Như bơi lội, bạn giải nhiều toán, bạn sắc xảo, nắm bắt nhanh kỹ giải toán Để thu lợi đầy đủ từ thí dụ tập giải tài liệu (cũng sách tập mà bạn có), tránh tham khảo lời giải sớm Nếu bạn giải toán sau nổ lực ban đầu, thử cố gắng lần nữa! Nếu bạn tìm đọc lời giải sau nhiều lần nổ lực, giữ lại trí bạn thời gian dài Còn bạn tìm lời giải riêng cho toán, nên so sánh với lời giải sách Bạn tìm thấy lời giải gọn hơn, cách tiếp cận thông minh Tài liệu ôn tập thay cho sách lý thuyết sách tập học Nó có tác dụng giúp bạn ôn tập có chủ điểm số vấn đề quan trọng chương trình môn học lý thuyết Một điều quan trọng: sách tập nói chung thường chứa đựng nhiều, nhiều thí dụ tập, bạn tuyệt đối nên tránh cố gắng nhớ nhiều kỹ thuật lời giải nó; thay thế, bạn nên tập trung vào hiểu biết khái niệm tảng mà hàm chứa Hãy bắt đầu HỌC TẬP Chúc bạn thành công Mục lục ĐỘNG HỌC Phương pháp mô tả chuyển động 1.1 Hệ tọa độ 1.2 Luật chuyển động - Vận tốc - Gia 1.3 Vài chuyển động quan trọng Chuyển động cố thể 2.1 Trường vận tốc cố thể 2.2 Hợp chuyển động 1 5 ĐỘNG LỰC HỌC Các định luật Newton 1.1 Lực 1.2 Hai toán động lực học 1.3 Các định lý tổng quát động lực học 8 10 CƠ HỌC GIẢI TÍCH Các khái niệm baûn Phương trình Lagrange 2.1 Phương trình tổng quát động lực học 2.2 Phương trình Lagrange loaïi hai 2.3 Trường hợp hệ bảo toàn 2.4 Thủ tục thiết lập phương trình Lagrange 15 15 16 16 16 17 18 BÀI TẬP tốc loaïi hai 19 ii CHƯƠNG ĐỘNG HỌC gọi vận tốc, gia tốc tuyệt đối M • Hệ quy chiếu động (T1) = O1 x1y1z1 ((T1) chuyển động (T )), chuyển động M (T1) gọi chuyển động tương đối vr , wr - vận tốc, gia tốc M (T 1), gọi vận tốc, gia tốc tương đối M • Chuyển động (T1) (T ) gọi chuyển động theo Chuyển động điểm P , gắn với (T1) trùng với M thời điểm xét, (T ) gọi chuyển động theo M ve , we - vận tốc, gia tốc P (T ), gọi vận tốc, gia tốc theo M Công thức cộng vận tốc: va = vr + ve (1.21) wa = wr + we + wc , (1.22) wc = 2ω × vr (1.23) Công thức cộng gia tốc: gia tốc Coriolis sinh chuyển động quay (T1) (T ) ◦ Phân loại toán hợp chuyển động Bài toán thứ nhất: Bài toán tổng hợp chuyển động Bài toán thứ hai: Bài toán phân tích chuyển động Chuyển động song phẳng chuyển động cố thể có ba điểm không thẳng hàng thuộc cố thể luôn chuyển động mặt phẳng cố định Chuyển động song phẳng xét cách khảo sát chuyển động hình phẳng S thuộc cố thể nằm mặt phẳng cố định Giao điểm trục quay tức thời cố thể với mặt phẳng cố định gọi tâm quay hay tâm vận tốc tức thời ◦ Phân loại toán chuyển động song phẳng Tính vận tốc góc hình phẳng, tính vận tốc điểm hình phẳng Tính gia tốc góc hình phẳng, tính gia tốc điểm hình phẳng Thí dụ chuyển động song phẳng sinh viên đọc kỹ lời giải tập 3.2, 3.3, [1] CHƯƠNG ĐỘNG LỰC HỌC 11 dk khoảng cách từ chất điểm thứ k đến ∆ Tenxơ quán tính ma trận   Jx −Jxy −Jxz Jy −Jyz  , J =  −Jyx −Jzx −Jzy Jz (2.11) Jx , Jy , Jz mômen quán tính hệ truïc Ox, Oy, Oz; Jxy , Jxz , mômen quán tính ly tâm hệ Jxy = Jyx = mk xk yk , Jyz = Jzx = mk yk zk , Jzx = Jxz = mk zk xk (.2.12) Neáu n = [cos α, cos β, cos γ]T vectơ đơn vị trục ∆ J ∆ = nT Jn Định lý (Định lyù Huygens) J∆ = JC + Md2 , (2.13) d khoảng cách hai trục Công thức tính mômen quán tính cần nhớ Thanh mảnh đồng chất chiều dài l, khối lượng M trục qua khối tâm vuông góc với JC = Ml2 12 (2.14) Vòng đồng chất bán kính R, khối lượng M trục qua tâm vuông góc với mặt phẳng chứa vòng JC = MR2 (2.15) Đóa tròn đồng chất bán kính R, khối lượng M trục qua tâm vuông góc với đóa JC = MR2 (2.16) CHƯƠNG ĐỘNG HỌC + Hệ tọa độ Descartes: M(x, y, z) ⇔ r = xi + yj + zk ⇒ dr = (dx)i + (dy)j + (dz)k (1.1) (1.2) + Hệ tọa độ trụ: M(r, ϕ, z) ⇔ r = rer + zez ⇒ dr = (dr)er + (rdϕ)eϕ + (dz)ez (1.3) (1.4) er , eϕ , ez vectơ sở địa phương tọa độ trụ M + Hệ tọa độ caàu: M(r, ϕ, θ) ⇔ r = rer ⇒ dr = (dr)er + (rdϕ)eϕ + (rdθ)eθ (1.5) (1.6) er , eϕ , eθ vectơ sở địa phương tọa độ cầu M Hệ tọa độ Quan hệ với tọa độ Descartes Trụ x = r cos ϕ (r, ϕ, z) y = r sin ϕ z=z Caàu x = r sin θ cos ϕ (r, ϕ, θ) y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ Vectơ sở địa phương er = cos ϕi + sin ϕj eϕ = − sin ϕi + cos ϕj ez = k er = sin θ(cos ϕi + sin ϕj) + cos θk eϕ = sin θ(− sin ϕi + cos ϕj) eθ = cos θ(cos ϕi + sin ϕj) − sin θk Hình 2: Vectơ sở địa phương tọa độ tự nhiên Trên đường cong C, chọn điểm M0 chiều dương C Hoành độ cong điểm M C số đại số s có trị tuyệt đối chiều dài cung M0 M lấy dấu cộng chiều từ M0 đến M chiều dương, dấu trừ ngược lại CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Hình thể vectơ sở địa phương hệ tọa độ tự nhiên (hoành độ cong s) đường cong có phương trình tham số r = r(s) Vectơ tiếp tuyến đơn vị t: t= dr ds (1.7) Vectơ pháp tuyến đơn vị n xác định cho dt = kn = n, ds ρ (1.8) k = 1/ρ độ cong, ρ bán kính cong (của đường cong) M Chú ý, vectơ pháp tuyến đơn vị n hướng bề lõm đường cong C Vectơ lưỡng pháp tuyến đơn vị: b = t × n (1.9) M(s) ⇔ r = r(s) (1.10) + Tọa độ tự nhieân: ⇒ dr = (ds) 1.2 dr = (ds)t ds (1.11) Luật chuyển động - Vận tốc - Gia tốc Phương pháp Vectơ Descartes {i, j, k} Trụ {er , eϕ , k} Cực {er , eϕ} Tự nhiên {t, n, b} Luật chuyển động  r = f(t)  x = f(t) y = g(t)   z = h(t)  r = f(t) ϕ = g(t)  z = h(t) r = f(t) ϕ = g(t) s = f(t) Vaọn toỏc r Gia toỏc ăr (x, y, z) (ă x, yă, ză) (r, r, z) (ă r r , 2r + r, ă ză) (r, r) (ă r r , 2r + r) ă (v, 0), v = s˙ v, ˙ v2 ρ CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Tốc độ v = |v| Trong tọa độ tự nhiên, tốc độ v = s, ˙ gia tốc tiếp wt = v, ˙ gia tốc pháp wn = v /ρ Công thức tính bán kính cong (ký hiệu w = |w|): ρ= v2 w2 − wt2 (1.12) Tích vô hướng v · w vận tốc gia tốc thể nhanh chậm chuyển động   > nhanh dần v · w = v v˙ < chậm dần  = 1.3 (1.13) Vài chuyển động quan trọng Chuyển động tròn Điểm chuyển động tròn Oxy quanh O Ký hiệu: r - vectơ định vị điểm, ϕ - góc quay, ω = ϕ˙ - vận tốc góc, ω = ωk - vectơ vận tốc góc Vận tốc điểm v = ω × r (1.14) w = × r −ω r, (1.15) Gia tốc điểm wt wn = dω/dt ( = dω/dt) vectơ gia tốc góc Nếu chuyển động v = ωR (ω = const) gia tốc hướng tâm w = ω R (R - bán kính quỹ đạo) Chuyển động có gia tốc xuyên tâm gia tốc xuyên tâm ⇔ r × v = c (const)⇒ Quỹ đạo phẳng ⇔ vận tốc diện tích dσ = 12 r × v = 12 c (const) dt CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Công thức Binet: mc2 d2 r2 dϕ2 r + = −F r (1.16) ◦ Phaân loại toán động học điểm Bài toán thứ nhất: Tìm phương trình chuyển động (luật chuyển động), phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong quỹ đạo Bài toán thứ hai: Khảo sát chuyển động nhanh dần đều, chậm dần Chuyển động cố thể Cố thể hệ mà khoảng cách điểm không thay đổi trình chuyển động Vị trí cố thể xác định ba điểm không thẳng hàng 2.1 Trường vận tốc cố thể Định lý Trường vận tốc cố thể (S) trường đẳng chiếu ✲ ✲ v(M)· MN= v(N)· MN ∀M, N ∈ (S) (1.17) Chuyển động tịnh tiến Cố thể (S) chuyển động tịnh tiến vectơ nối hai điểm luôn phương với Trường vận tốc, gia tốc chuyển động tịnh tiến trường Chuyển động (S) dẫn chuyển động điểm thuộc (S) Chuyển động quay quanh trục cố định Cố thể (S) chuyển động quay quanh trục cố định có hai điểm cố định Trục quay đường thẳng qua hai điểm cố định Các điểm nằm trục quay chuyển động tròn với tâm nằm trục quay Gọi k vectơ đơn vị trục quay (Oz), ϕ góc quay CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Phương trình chuyển động: ϕ = ϕ(t) Trường vận tốc: v(M) = ω × r, (1.18) w(M) = × r + ω × (ω × r), (1.19) ω = ϕk ˙ vectơ vận tốc góc Trường gia tốc: = ϕk ¨ vectơ gia tốc góc Gia tốc tiếp w t = wn = ω × (ω × r) × r, gia tốc pháp Chuyển động tổng quát Chuyển dịch cố thể từ vị trí sang vị trí khác, khoảng thời gian vô béù (chuyển động tức thời), thực nhờ chuyển động tịnh tiến, tương ứng với chuyển dịch điểm, chuyển động quay quanh trục qua điểm Trường vận tốc cố thể chuyển động tổng quát (công thức Euler): ✲ v(M) = v(C) + ω(t)× CM (1.20) Chuyển động song phẳng Cố thể (S) chuyển động song phẳng có ba điểm không thẳng hàng luôn chuyển động mặt phẳng (π) cố định Khi khảo sát chuyển động song phẳng ta cần xét chuyển động tiết diện (phần giao cố thể với (π)) Chuyển động tức thời cố thể gồm: chuyển động chuyển động quay quanh trục vuông góc với (π), chuyển động tịnh tiến xác định chuyển động giao điểm trục quay tức thời với mặt phẳng (π) gọi tâm vận tốc tức thời ◦ Phân loại toán động học cố thể Bài toán thứ nhất: Khảo sát chuyển động quay cố thể quanh trục cố định Vấn đề: tìm ϕ, ω, cố thể; vận tốc, gia tốc điểm cố thể Bài toán thứ hai: Bài toán chuyền động Bài toán thứ ba: Kết hợp với chuyển động quay với chuyển động tịnh tiến 2.2 Hợp chuyển động • Hệ quy chiếu cố định (T ) = Oxyz, chuyển động M (T ) gọi chuyển động tuyệt đối va , wa - vận tốc, gia tốc M (T ), PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 53 Hình 2: Câu vuông góc với đóa Nếu không thêm khối lượng m trục phải dời song song đến điểm đóa để mômen quán tính trường hợp trước? Câu (2.5đ) Một đóa tròn khối lượng M bán kính a quay không ma Hình 3: Câu sát quanh trục nằm ngang qua tâm Một bọ khối lượng m chạy với vận tốc không đổi u quanh mép đóa Ban đầu đóa giữ trạng thái nghỉ thả bọ vị trí thấp Tính mômen động lượng hệ (gồm đóa bọ) trục quay Viết phương trình biến thiên động lượng hệ Chứng tỏ ϕ˙ = 4mg u2 (cos ϕ − 1) + a(M + 2m) a ϕ góc xác định vị trí bọ so với phương thẳng đứng hướng xuống Câu (2.5đ) Một ống trụ bán kính a, lượng P1 có xung quanh sợi dây Dây vắt qua ròng rọc cố định O nối với vật nặng A trọng lượng P2 Vật A trượt mặt phẳng ngang có hệ số ma sát f Bỏ qua ma sát ổ trục O Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ Tìm gia tốc A tâm C ống trụ Chú thích Đề thi gồm câu cấu trúc sau: Câu - Động học điểm; kiểm tra kiến thức kỹ tính toán PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 54 Hình 4: Câu khái niệm động học bản: phương trình (luật) chuyển động, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong Câu - Động lực học điểm; kiểm tra khả thiết lập phương trình vi phân chuyển động kỹ giải phương trình vi phân Câu - Kiểm tra kiến thức khối tâm, mômen quán tính Câu - Kiểm tra kỹ vận dụng ba định luật tổng quát (động lượng, mômen động lượng động năng) Câu - Cơ học giải tích; kiểm tra kỹ phân tích liên kết, thiết lập phương trình Lagrange loại hai Đáp án Câu Vận tốc ong thời điểm t: vr = 2b (τ − t), τ2 vϕ = bt (2τ − t) τ3 Tốc độ ong thời điểm t: v = v2 = b τ2 4(τ − t)2 + (2τ t − t2 )2, τ2 b2 f(t) τ4 Ở ta đặt f(t) = 4(τ − t) + τ12 (2τ t − t2)2 Để tìm tốc độ nhỏ PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 55 ong ta khảo sát haøm f(t) f (t) = −8(τ − t) + = − (2τ t − t2 )(2τ − 2t) τ2 (τ − t)(t2 − 2τ t + 2τ ) τ Xét dấu f (t) khoảng [0, 2τ ] thấy f(t) nhỏ (và vận tốc nhỏ nhất) t = τ Vận tốc nhỏ b/τ Gia tốc ong thời điểm t: wr = − bt 2b − (2τ − t), τ τ wϕ = 4b (τ − t) τ3 Luùc t = τ , wr = − 3b , τ2 wϕ = ⇒ w = 3b τ2 Câu Chọn hệ tọa độ hình vẽ Lực tác dụng: lực hấp dẫn có độ lớn F = GMm/x2 hướng O Phửụng trỡnh vi phaõn chuyeồn ủoọng mă x= GMm GM xă = x x Kyự hieọu v = x xă = v Nhân vào hai vế phương trình với vdt = dx, ta GMdx d(v ) = − x2 Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời điểm t: v(t)2 − v(0)2 = 2GM 1 − x(t) x(0) PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 56 Dùng điều kiện đầu, v(0)2 = 2MG/a, x(0) = a, ta suy v(t) = 2GM x(t) Nhân vào hai vế với dt, ta dx = √ 2GM dt ⇒ x1/2dx = 2GM dt x Tích phân hai vế, ta x(t)3/2 − x(0)3/2 = 3√ 2GM t ⇒ x(t) = a3/2 + 3√ 2GM t 2/3 Đây khoảng cách từ O đến P thời điểm t Cho t → ∞, x(t) → ∞, nghóa P chuyển động vô Câu Mômen quán tính hệ có tính chất cộng tính Gọi ∆ trục qua tâm (khối tâm đóa), ta có a J = Ma2 + m 2 = a2(2M + m) Gọi ∆ trục cần tìm d khoảng cách hai trục Theo định lý Huygens, J∆ = J∆ + Md2 = Ma2 + Md2 Để mômen quán tính trường hợp trước, ta phải có a2 (2M + m) a Ma2 + Md2 = ⇒d= m M PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 57 Vậy trục ∆ phải chọn qua điểm cách tâm đóa khoảng cách d xác định Câu Gọi θ góc quay đóa (chiều chọn hình vẽ) Đóa thực chuyển động quay nên mômen động lượng trục quay ˙ Lđ = J θ˙ = Ma2θ Chuyển động bọ gồm: chuyển động tương đối - chuyển động tròn với vận tốc dài không đổi u; chuyển động theo chuyển động quay quanh trục với đóa Vận tốc tuyệt đối bọ: ˙ −u + aθ (chú ý kỹ cách chọn chiều quay dương) Mômen động lượng bọ: ˙ Lb = −ma(u − aθ) Mômen động lượng hệ trục quay: ˙ L = Lñ + Lb = Ma2 θ˙ − ma(u − aθ) Lực tác dụng lên hệ: trọng lực đóa bọ Lực tác dụng lên đóa quy lực đặt điểm mà trục quay qua nên mômen lực không Mômen lực tác dụng lên hệ mômen lực tác dụng lên bọ: MO = mga sin ϕ (chú ý kỹ cách chọn chiều quay dương) Ở ϕ góc xác định vị trí bọ phương thẳng đứng hướng xuống Áp dụng định lý biến thiên mômen động lượng hệ, d ˙ Ma2 θ˙ − ma(u − aθ) dt = mga sin (M + 2m)a2ă = mga sin PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 58 Để ý góc chuyển động bọ thời điểm t so với vị trí ban đầu θ + ϕ Con bọ chuyển động nên a(θ + ϕ) = ut, suy θ˙ = (u/a) − ϕ, ˙ ¨ ϕ¨ = −θ Thay vào phương trình biến thiên mômen động lượng ta sau số biến đổi: ă = 2mg sin a(M + 2m) Nhaõn hai vế với ϕdt ˙ = dϕ, ta được: 2mg d(ϕ) ˙ 2=− sin ϕdϕ a(M + 2m) Tích phân hai vế từ thời điểm đầu đến thời ñieåm t: 2mg [ϕ(t) ˙ − ϕ(0) ˙ 2] = [cos(ϕ(t)) − cos(ϕ(0))] a(M + 2m) Duøng điều kiện đầu, ϕ(0) = 0, ϕ(0) ˙ = u/a, ta suy ra: ϕ˙ = 4mg u2 (cos ϕ − 1) + a(M + 2m) a Caâu Hệ: ống trụ tâm C vật A Vật A thực chuyển động tịnh tiến theo phương ngang Hình trụ thực chuyển động song phẳng, bao gồm: tịnh tiến theo phương thẳng đứng (cùng với A) quay (tức thời) quanh B Hệ có bậc tự Tọa độ suy rộng: x - vị trí A theo phương ngang, ϕ góc quay ống trụ Các lực chủ động: trọng lực P1 , lực ma sát F ms = fP2 , trọng lực P2 Động A: TA = P2 x˙ 2g Để tính động ống trụ, dùng công thức tính động theo khối tâm C, trước hết ta tính vận tốc C công thức Euler (điểm cực B - tâm PHỤ LỤC A ĐỀ THI MẪU 59 quay tức thời) vC = x˙ +aϕ˙ ⇒ wC = xă + a ă vB ẹoọng naờng oỏng truï (J = Ma2 ) TC = P1 P1 P1 (x˙ + aϕ) ˙ + J ϕ˙ = (x˙ + 2ax˙ ϕ˙ + a2 ϕ˙ 2) + a2 ϕ˙ 2g 2g 2g Động hệ: T = TA + TC = P1 + P2 P1 a P1 a2 x˙ + x˙ ϕ˙ + ϕ˙ 2g g g Công lực chủ động (giúp tìm lực suy rộng): −fP2 δx + P1 δx + P1 aδϕ ⇒ Qx = −fP2 + P1 , Qϕ = P1 a Tính đạo hàm thay vào phương trình Lagrange, ta được: P1 a P1 + P2 xă + ă = fP2 + P1 , g g P1 a 2P1 a2 xă + ă = P1 a g g Giaỷi ta ủửụùc xă = g(P1 2fP2 ) P1 + 2P2 ă = g(P1 + P2 ) gP2 (1 + 2f) ⇒ wC = a(P1 + 2P2 ) P1 + 2P2 (gia tốc A), (gia tốc C) Phụ lục B Đề thi môn Cơ học lý thuyết Thời gian: 120 phút Ngày thi: 4/6/2009 (Sinh viên phép tham khảo tài liệu định) Câu (2đ) Điểm chuyển động đường cycloid, x = a(θ − sin θ), y = a(1 − cos θ), theo luaät θ = bt/a, a b số dương Ở thời điểm bất kỳ, xác định vận tốc, gia tốc điểm bán cong quỹ đạo vị trí điểm Câu (2.5đ) Một vật khối lượng m trượt không ma sát mặt phẳng nghiêng góc α (0 < α < π/2) so với phương ngang Cho biết vật chịu sức cản không khí có độ lớn tỉ lệ với bình phương vận tốc, kv Ban đầu vật đỉnh dốc O buông không vận tốc đầu Viết phương trình vi phân chuyển động vật Chứng minh vận tốc vật biến thiên theo quy luật v= mg sin α (1 − e−2kx/m ), k x khoảng cách từ vật đến đỉnh dốc Tìm vận tốc giới hạn vật Câu (1đ) Một lắc đồng hồ gồm: đồng chất chiều dài 2a, khối lượng m đóa tròn đồng chất bán kính a/2, khối lượng M gắn với hình Tính mômen quán tính lắc trục qua O (điểm thanh), cho biết OC = 3a/4 60 PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 61 Hình 1: a) Câu 3; b) Câu Câu (2đ) Một vật khối lượng 4m trạng thái nghỉ (đứng yên) bị nổ tung thành ba mảnh có khối lượng 2m, m m Sau nổ tung, hai mảnh khối lượng m quan sát thấy chuyển động với tốc độ u theo hai hướng hợp với góc 120o Tìm vận tốc mảnh có khối lượng 2m Tính động toàn phần hệ (gồm ba mảnh) Vị trí ban đầu vật điểm hệ? Câu (2.5đ) Con lăn A lăn không trượt mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang, làm vật C trọng lượng P nâng lên nhờ sợi dây vắt qua ròng rọc B Con lăn A ròng rọc B hai đóa tròn đồng chất có trọng lượng Q bán kính R Bỏ qua ma sát lăn ma sát trục ròng rọc Viết phương trình Lagrange loại hai cho hệ Chứng minh gia tốc C baèng wC = (Q sin α − P )g 2Q + P Hãy điều kiện kiện đầu (không cho cách tường minh) Đáp án Câu Vận tốc: x˙ = b(1 − cos θ), y˙ = b sin θ ⇒ v = b 2(1 cos ) Gia toỏc: xă = b2 sin , a yă = b2 b2 cos θ ⇒ w = a a PHUÏ LUÏC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 62 Tính bán kính cong Gia tốc tiếp: wt = v˙ = b2 a sin θ 2(1 − cos θ) Gia toác phaùp: wn = w2 − wt2 = b2 a − cos θ Suy v2 ρ= = 2a wn 2(1 − cos θ) Câu Hình 1: Câu Hệ quy chiếu chọn hình vẽ, trục Ox hướng song song với mặt nghiêng Lực tác dụng lên vật: trọng lực P, phản lực N lực cản không khí Fc Chiếu phương trình vi phân chuyển động (định luật thứ hai Newton) lên truùc x, ta ủửụùc: mă x = mg sin − k x˙ Nhân vào hai vế với xdt ˙ = dx, ta được: m d(v 2) = (mg sin α − kv 2)dx, v = x ˙ Tách biến, md(v 2) = dx, 2(mg sin α − kv 2) PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 63 tích phân hai vế (chú ý, biến lấy tích phân bên vế trái v 2), ta được: m − ln |mg sin α − kv 2| 2k v2 v2 (0) = x − x(0) Dùng điều kiện đầu, v(0) = 0, x(0) = 0, mg sin α − kv mg sin α ln =− 2kx , m suy v= mg sin α (1 − e−2kx/m ) k Qua giới hạn, t → ∞, ta thu (do x → ∞): vgh = lim x→∞ mg sin α (1 − e−2kx/m ) = k mg sin α k Caâu Mômen quán tính trục qua O: 4ma2 Jt = m(2a)2 = 3 Mômen quán tính đóa trục qua O (dùng công thức Huygens): a Jđ = M 2 +M 3a = 11Ma2 16 Vậy, mômen quán tính lắc trục qua O: J = Jt + Jđ = 4m 11M + 16 a2 PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 64 Hình 2: Câu Câu Hệ gồm ba vật có khối lượng m, m, 2m (ban đầu chúng kết dính với nhau) Theo giả thiết ban đầu chúng đứng yên, điều có nghóa lực tác dụng lên chúng không! Ta áp dụng định lý bảo toàn động lượng Gọi v độ lớn vận tốc vật 2m Do động lượng ban đầu hệ không nên động lượng hệ lúc sau Do vận tốc vật 2m có phương chiều hình vẽ, độ lớn tính nhờ bảo toàn động lượng mu cos 60o + mu cos 60o − 2mv = ⇒ v = u Động hệ: T = mu2 mu2 2m u + + 2 2 = 5mu2 Vị trí ban đầu vật (O) khối tâm hệ Câu Cơ hệ gồm: lăn A, ròng rọc B, vật C Lực chủ động tác dụng lên hệ: trọng lực Q, phản lực NA , trọng lực Q, phản lực NB , trọng lực P (xem hình vẽ) Liên kết: Con lăn A chuyển động song phẳng Chuyển dịch tịnh tiến s quay quanh tâm góc ϕ Do lăn trượt nên δs = Rδϕ (s˙ = Rϕ) ˙ Ròng rọc B thực chuyển động quay góc ϕ (chọn gốc thích hợp) Vật C dịch chuyển tịnh tiến x Do dây không giãn δx = δs (x˙ = s) ˙ Như vậy, hệ có bậc tự do, chọn tọa độ suy rộng x (tọa độ vật C) PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT Hình 3: Câu Động lăn A: TA = Q QR2 3Q s˙ + ϕ˙ = x˙ 2g 4g 4g Động ròng rọc B: TB = QR2 Q ϕ˙ = x˙ 4g 4g Động vật C: TC = P x˙ 2g Động hệ: T = TA + TB + TC = P + 2Q x˙ 2g Công toàn phần lực chủ động tác dụng lên hệ: δW = Q sin αδs − P δx = (Q sin α − P )δx Do đó, lực suy rộng Qx = Q sin α − P 65 PHỤ LỤC B ĐỀ THI MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 66 Tính đạo hàm thay vào phương trình Lagrange, ta được: P + 2Q (Q sin P )g xă = Q sin P wC = xă = g P + 2Q Điều kiện: để vật C lên ta phải có điều kiện Q sin α ≥ P Lời bàn Câu Câu thường làm cho bạn lúng túng lực tác dụng lên hệ Tuy nhiên, để ý đến cụm từ "ở trạng thái nghỉ (đứng yên)" ta xem, theo định luật thứ Newton, hệ không chịu tác dụng lực cả, hay nói khác đi, lực tác dụng lên hệ cân Câu Một số bạn cho hệ có bậc tự do! Thật với điều kiện "lăn Hình 4: Tính động chuyển động song phẳng không trượt" lăn có bậc tự Một số bạn áp dụng máy móc cách tính động lăn giống cách tính động ống trụ (câu đề thi mẫu) Như hình 4a), ống trụ thực chuyển động song phẳng phân tích cách chọn B làm điểm cực, gồm: chuyển động tịnh tiến điểm B chuyển động quay quanh trục qua B ống trụ Còn này, hình 4b), chuyển động lăn gồm: chuyển động tịnh tiến điểm A chuyển động quay quanh A lăn Các bạn nên đọc lại lời giải hai trường hợp để so sánh Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Trịnh Anh Ngọc, Ngô Thành Phong, Nhập môn Cơ học, NXB Đại học Quốc gia TP HCM 2003 [2] Nguyễn Trọng Chuyền, Phan Văn Cúc, Bài tập học lý thuyết, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà nội, 1991 [3] R Douglas Gregory, Classical Mechanics - An Undergraduate Text, Cambridge University Press, 2006 [4] R Douglas Gregory, Classical Mechanics - Solution Manual, Cambridge University Press, 2006 [5] X.M Targ, Giáo trình giản yếu học lý thuyết, NXB Đại học & Trung học Chuyên nghiệp Hà nội, Mir Matxcơva 1979 67 ... minh Tài liệu ôn tập thay cho sách lý thuyết sách tập học Nó có tác dụng giúp bạn ôn tập có chủ điểm số vấn đề quan trọng chương trình môn học lý thuyết Một điều quan trọng: sách tập nói chung thường... hệ Bài toán thứ hai: Dùng định lý động lượng để xác định phản lực liên kết Bài toán thứ ba: Dùng định lý mômen động lượng định lý động để xác định đặc trưng động học chuyển động Lời giải số tập. .. với số cản chi thiết chuyển động người.] Bài tập 27 Hình 11: Bài tập 36 Hình 12: Bài tập 37 38 Một tròn đồng chất nặng Q bán kính r quay không ma sát quanh trục thẳng đứng Oz trực giao với mặt