Trong định nghĩa chỉnh hợp nêu ở mục 3 nếu ta cho phép mỗi phần tử có thể có mặt trên một lần thì ta có định nghĩa của chỉnh hợp lặp chập k.. Số lượng chỉnh hợp lặp chập k có thể tạo t[r]
(1)Cơng Thức Tốn Học Sơ Cấp
Handbook of Primary Mathematics
Tóm tắt định lý, tính chất cơng thức tốn nhất, dễ hiểu
2008
(2)ii
Mục lục
I SỐ HỌC
1 Các dấu hiệu chia hết
2 Các giá trị trung bình
II GIẢI TÍCH KẾT HỢP
A CÁC LOẠI KẾT HỢP
1 Hoán vị (khơng lặp)
2 Hốn vị lặp
3 Chỉnh hợp (không lặp) 10
4 Chỉnh hợp lặp 10
5 Tổ hợp (không lặp) 11
6 Tổ hợp lặp 11
B NHỊ THỨC NEWTON 12
III ĐẠI SỐ 14
1 Các phép toán biểu thức đại số 14
2 Tỷ lệ thức 17
3 Số phức 18
4 Phương trình 19
5 Bất đẳng thức bất phương trình 24
6 Cấp số; số tổng hữu hạn 29
7 Logarith 30
IV HÌNH HỌC 31
(3)iii
1 Tam giác 31
2 Đa giác 35
3 Hình trịn 37
4 Phương tích 39
B THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH 41
1 Hình lăng trụ 41
2 Hình chóp 41
3 Hình chóp cụt 41
4 Hình trụ 42
5 Hình nón 42
6 Hình nón cụt 42
7 Hình cầu 43
V LƯỢNG GIÁC 44
1 Hàm số lượng giác dấu 44
2 Hàm số lượng giác số góc đặc biệt 45
3 Một số cơng thức đổi góc 46
4 Các công thức 46
5 Hàm số lượng giác góc bội 47
6 Công thức hạ bậc 48
7 Hàm số lượng giác tổng hiệu góc 48
8 Biến đổi tổng hiệu hai hàm số lượng giác 49
9 Biến đổi tích hai hàm số lượng giác 50
(4)iv
11 Một số công thức góc tam giác
( góc tam giác) 52
12 Một số công thức khác 52
13 Công thức liên hệ hàm số lượng giác 55
VI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG 56
1 Điểm 56
2 Phép đổi trục tọa độ (Hình 20) 56
3 Tọa độ cực (Hình 21) 57
4 Phép quay trục tọa độ 57
5 Phương trình đường thẳng 58
6 Hai đường thẳng 58
7 Đường thẳng điểm 59
8 Diện tích tam giác 60
9 Phương trình đường trịn 61
10 Ellipse (Hình 23) 61
11 Hyperbola (Hình 24) 63
12 Parabola(Hình 25) 65
VII ĐẠI SỐ VECTOR 67
1 Các phép tốn tuyến tính vector 67
2 Phép chiếu vector lên trục vector () 68
3 Các thành phần tọa độ vector (Hình 34) 69
4 Các phép tốn tuyến tính vector cho nhờ tọa độ 69
(5)v
6 Tích vector hai vector 71
7 Tích hỗn hợp ba vector 72
VIII ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 73
1 Giới hạn 73
2 Đạo hàm vi phân 74
3 Ứng dụng hình học đạo hàm 77
4 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 77
IX PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 84
A TÍCH PHÂN KHƠNG XÁC ĐỊNH 84
1 Định nghĩa 84
2 Các tính chất đơn giản 84
3 Tích phân hàm hữu tỷ 85
4 Tích phân hàm vơ tỷ 87
5 Tích phân hàm lượng giác 90
B TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 92
1 Định nghĩa 92
2 Ý nghĩa hình học tích phân xác định 92
(6)6
MỘT SỐ KÝ HIỆU TOÁN HỌC
= Bằng a=b
Đồng ab
Không (khác) ab
Xấp xỉ bẳng ab
< Nhỏ a<b
> Lớn a>b
Nhỏ ab
Lớn hoăc ab
Tương đương Mệnh đề A
mệnh đề B |…| Giá trị tuyệt đối số |a|
+ Cộng a+b
- Trừ a-b
(hoặc) Nhân a.b ab
: (hoặc ) Chia
a:b a b m
a a lũy thừa m 22 4
Căn bậc hai 42
n Căn bậc n
32 2
i Đơn vị ảo
1
i logab Logarith số a b log 93 2
lga Logarith thập phân a log10=1
lna Logarith tự nhiên (cơ số e) a
n! n giai thừa 4!=1.2.3.4=24
Tam giác ABC
Góc phẳng ABC
Cung AB
,
AB AB Đoạn thẳng AB AB
Vector AB
Vng góc
(7)7
# Song song
Đồng dạng
Song song chiều ABDC
Song song ngược chiều ABCD
độ
phút góc phẳng cung giây
13 10'35'' '
(8)8
I. SỐ HỌC
1.Các dấu hiệu chia hết
Cho 2: Số (và số đó) có chữ số tận chẵn không
Cho 4: Số (và số đó) có hai chữ số tận không làm thành số chia hết cho (quy ước 4=04; 8=08)
Cho 8: Số (và số đó) có ba chữ số tận không làm thành số chia hết cho (quy ước 8=008; 16=016) Cho 3: Số (và số đó) có tổng chữ số chia hết cho Cho 9: Số (và số đó) có tổng chữ số chia hết cho Cho 6: Số (và số đó) đồng thời chia hết cho Cho 5: Số (và số đó) có chữ số tận Cho 25: Số (và số đó) có hai chữ số tận làm thành số chia hết cho 25
Cho 11: Số (và số đó) có tổng chữ số vị trí chẵn tổng chữ số vị trí lẻ hiệu chúng số chia hết cho 11
2.Các giá trị trung bình Trung bình cộng:
1
1
n
n
i i
a a a
M a
n n
Trung bình nhân: 0 n 1 .2 n
(9)9 Trung bình điều hịa: 1
1
1 1
n n M
a a a
Trung bình bình phương:
2 2
1
2
n
a a a
M
n
II.GIẢI TÍCH KẾT HỢP
A.CÁC LOẠI KẾT HỢP
1.Hốn vị (khơng lặp)
Một hốn vị n phần tử dãy có thứ tự n phần tử đó, phần tử có mặt dãy lần
Số hốn vị khác tạo thành n phần tử ký hiệu Pn Số tích tất số nguyên liên tiếp từ n, nghĩa n!
Pn=1.2.3…n=n! (n giai thừa) Quy ước 1!=1 0!=1
2.Hoán vị lặp
Cho n phần tử, có n1 phần tử giống thuộc loại 1, n2 phần tử giống thuộc loại 2,… nk phần tử giống thuộc loại k, (n1+n2+…+nk=n)
(10)10
Số lượng P n nn 1, 2, ,nk hoán vị lặp bằng:
1
1
1
, , ,
! ! !
,
n k
k k
n
P n n n
n n n
n n n n
k số loại 3.Chỉnh hợp (khơng lặp) Cho n phần tử khác nhau, kn
Ta gọi chỉnh hợp chập k n phần tử dãy có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử cho, phần tử có mặt dãy không lần
Số chỉnh hợp chập k tạo thành từ n phần tử bằng:
1
1
k n
A n n n n k
n n n n k
Hay
! ! k
n
n A
n k
Đặc biệt k=n, ta có Ank n! Pn 4.Chỉnh hợp lặp
Cho n phần tử khác nhau, có k số tự nhiên (kn) Trong định nghĩa chỉnh hợp nêu mục ta cho phép phần tử có mặt lần ta có định nghĩa chỉnh hợp lặp chập k
(11)11
k k
n A n
5.Tổ hợp (không lặp)
Từ n phần tử khác ta tạo nên nhóm gồm k phần tử khác không để ý đến thứ tự phần tử nhóm tạo thành Mỗi nhóm thu theo cách gọi tổ hợp chập k n phần tử cho (kn)
Số lượng tổ hợp chập k thành lập từ n phần tử bằng: 1
! !
k
k n
n
n n n k
A C
k k
Hay:
!
! !
k n
n C
k n k
(quy ước
0 n C ) Các tính chất Cnk:
; k n k
n n
C C (0.1)
1
1 ;
k k k
n n n
C C C (0.2)
;
k
n n
C P k n k
6.Tổ hợp lặp
Nếu định nghĩa tổ hợp mục ta cho phép phần tử có mặt nhiều lần nhóm thu gọi tổ hợp lặp chập k n phần tử cho
(12)12
1 !
! !
k k
n n k
n k C C
k n
Hay:
1 ;
k n n k
C P k n
B.NHỊ THỨC NEWTON
Nhị thức Newton1 công thức biểu diễn biểu thức (a+b)n, với n nguyên dương, dạng đa thức theo ẩn số a b:
1 2
2!
1
!
n n n n
n k k n
n n
a b a na b a b
n n n k
a b b
k
Hay là:
1 2
0
n
n n n n k n k k n k n k k
n n n n
k
a b a C a b C a b C a b b C a b
Các hệ số:
1 1
1, , , , ,
2! !
n n n n n k
n k n
k
Gọi hệ số nhị thức
1
(13)13 Tính chất hệ số:
Các hệ số số hạng cách hai mút nhau;
Biết hệ số Cnk1 Cnk khai triển abn ta tìm hệ số Cnk1 khai triển a b n1 theo công thức (1.2) mục
Dựa vào tính chất này,người ta lập tam giác số cho hệ số khai triển, gọi tam giác Pascal:
1
1
1
1 3
1
1 10 10
1 15 20 15
Dòng thứ n(n=0,1,2,…) bảng liệt kê hệ số khai triển (a+b)n
Cơng thức nhị thức Newton tổng qt cho trường hợp lũy thừa bậc n nguyên dương tổng k số hạng:
1 2
1 !
! ! !
k
n n n n
k k
k n
a a a a a a
n n n
2
(14)14
Trong lấy tổng () lấy theo số hạng có dạng:
1
1 2
!
! ! !
k
n n n
k k
n
a a a n n n
Với 0 ni n n1 n2 nk n
III. ĐẠI SỐ
1.Các phép toán biểu thức đại số Giá trị tuyệt đối số
|a|=a a0, |a|=-a a<0 Quy tắc dấu nhân chia:
Các phép toán đa thức
;
; a b c x ax bx cx
a b c m n a m n b m n c m n
am an bm bn cm cn
a b c a b c
x x x x
(15)15 ;
;
:
a c ad cd b d bd a c ac b d bd a c ad b d bc
Một số đồng thức:
2 2 2
3 3 2 2 3
2
3 2
3 2
1 2
2
4 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 ;
3 ;
; ; ;
;
2
2 ;
2 2 ;
m m m m m m
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a b a b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
a b a b a a b ab b
a b a b a b
a ab b a ab b
a b c a b c ab ac bc
a b c a b
2 2 2 2
3 3
2 2 2
2 2 2 2
1 2
1
2 2 ;
2 2 ;
6
3 ;
;
n n n n
m m m m m m
c ab ac bc
a b c a b c ab ac bc
a b c a b c abc
a b ab b c bc c a ca
a a a a a a a a a a a a
a b a b a a b a b b
(16)16 (nếu m số tự nhiên lẻ)
Các phép toán với lũy thừa
0
;
;
;
; ;
1, ;
1
, ;
m
m n n
m n m n
m m m
n
m m n
m m
m
m m m
n m n
a a a
a a a a b a b
a a
a a
b
b b
a a
a a
a
a a
Các phép tốn với số (nếu có nghĩa)
m
a a a a
(17)17
1 ;
;
, ;
; ;
;
, ;
,
n p
n m m p
n n n
n n
n m
n m n
m n m n m
n m n
n n n
a a
a b a b a a
b b b a a
a a
a a
x x a a a a
x a b x
a b a b
a b
2.Tỷ lệ thức Định nghĩa: a c
b d Tính chất bản: ad=bc
Tìm số hạng tỷ lệ thức: a bc;b ad
d c
(18)18
; ; ; ;
; ;
;
a b d c d b a b c d c d b a c a b d a b c d a b c d a b c d a c
a c b d
a b c d a b c d
3.Số phức
Các phép toán số phức
2 4
4 4
2
2 2
1, , 1, , 1,
, 1, ;
' ' ' ' ;
' ' ' ' ' ' ;
;
' ' ' '
' ' ' ' ' '
n
n n n
i i i i i i i i i i i
i i i i i
a bi a b i a a b b i a bi a b i aa bb ab ba i a bi a bi a b
a bi aa bb ba ab a b i a b a b
Biểu diễn hình học số phức
Hình
(19)19
Điểm M(a,b) biểu diễn số phức a+bi (Hình 1)
2
rOM a bi a b module số phức
xOM
argument số phức,
2 2
tan b; cos a ;sin b
a a b a b
Dạng lượng giác số phức:
cos sin
a bi r i
Công thức Moivre3:
cos sin n ncos sin
r i r ni n
4.Phương trình
a) Phương trình tương đương
Nếu biểu thức C(x) có nghĩa miền xác định phương trình A(x)=B(x), thì:
A x B x A x C x B x C x
3
Abraham de Moivre (1667-1754) was a French mathematician famous for de Moivre's formula, which links complex numbers and trigonometry, and for his work on the normal distribution and probability theory He was elected a Fellow of the Royal Society in 1697, and was a friend of Isaac Newton, Edmund Halley, and James Stirling Among his fellow Huguenot exiles in England, he was a colleague of the editor and translator Pierre des Maizeaux
(20)20
Nếu biểu thức C(x) có nghĩa khác khơng miền xác định phương trình A(x)=B(x), thì:
A x B x A x C x B x C x
Nếu n số tự nhiên (n=1,2,3,…) thì:
2n 2n A x B x A x B x
b)Một số phương trình đại số
Phương trình bậc ax+b=0, a0; nghiệm x b
a
Hệ hai phương trình bậc hai ẩn
1 1
2 2
a x b y c a x b y c
Nếu 1
2
a b
a b hệ có nghiệm nhất:
1
2 2
1 1 2
2
1
2 2
1 1 2
2
c b
c b c b c b
x
a b a b a b
a b
a c
a c a c a c
y
a b a b a b
a b
(21)21
Nếu 1
2 2
a b c
a b c hệ vơ định:
1 1
1
1
0
0 x
c b x
y b
b y
c b y
x a
a
tùy ý
tùy ý
Nếu 1
2 2
a b c
a b c hệ vơ nghiệm
Phương trình bậc hai
2
0,
ax bx c a
Nghiệm
2
b b ac
x
a
Nếu b2-4ac>0: Hai nghiệm thực khác nhau;
Nếu b2-4ac=0: Hai nghiệm thực (nghiệm kép); Nếu b2-4ac<0: Hai nghiệm cặp số phức liên hợp
Tính chất nghiệm (cơng thức viết)
1
1
;
b x x
a c x x
a
(22)22
Phương trình bậc ba
Dạng tổng quát: ax3bx2 cx d 0,a0
Dạng tắc với
3
b x y
a
3
0 y py q Trong
2
2
2
;
3 27
b c b bc d
p q
a a a a a
Công thức Cardano4
2 3
3
2 27 27
q q p q q p
y
Tính chất nghiệm
1
1 2 3
1
; ;
b x x x
a c x x x x x x
a d x x x
a
4
Gerolamo Cardano or Girolamo Cardano (French Jerome Cardan, Latin Hieronymus Cardanus; September 24, 1501 — September 21, 1576) was an Italian Renaissance mathematician, physician, astrologer and gambler
(23)23
c) Phương trình mũ phương trình logarith
Phương trình mũ
,
x
a c a
Với c>0, a1 có nghiệm xlogac; c=1, a=1 vô số nghiệm;
c1, a=1 vơ nghiệm; c0 vơ nghiệm
Phương trình logarith
loga xc a, 0,a1
Với c phương trình có nghiệm x=ac d)Phương trình lượng giác cosxm
1
m có vơ số nghiệm x 2k , arccos ,0m ;
|m|>1 vô nghiệm
sinxm
1
(24)24
1
2
2 arcsin ,
2
x k
x k
m
|m|>1 vô nghiệm
tanxm
Với m thực có vơ số nghiệm:
arctan ,
2
x k
m
cot tanxm
Với m thực có vơ số nghiệm
cot tan ,
x k
arc m
5.Bất đẳng thức bất phương trình a) Bất đẳng thức
Định nghĩa: ab a b a b 0 0
Các tính chất bản:
Nếu a>b b<a; ngược lại a<b b>a
(25)25 Nếu a>b a+c>b+c
Nếu a>b bà c>d a+c>b+d Nếu a>b bà c<d a-c>b-d
Nếu a>b m>0 am bm.a b
m m
Nếu a>b m<0 am<bm Nếu a>b>0 c>d>0 ac>bd
b)Bất phương trình
Bất phương trình tương đương A B B A
A B C A B C (với C có nghĩa miền xác định bất phương trình AB)
Nếu C có nghĩa >0 miền xác định bất phương trình A>B, thì:
A B ACB C
Nếu C có nghĩa <0 miền xác định bất phương trình A>B, thì:
A B ACB C
Nếu B0trong miền xác định thì:
0
A
(26)26
Bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối Giả sử 0, đó:
;
0
0
0
0
F F
F F
F
B x A x B x A x B x
B x
B x
A x B x A x B x
B x
A x B x B x
A x B x A x B x
Bất phương trình bậc ẩn
,
axb a
Nếu a>0 x b;
a
a<0 x b a
(27)27
Bất phương trình bậc hai ẩn
2
2
1
2
2
1
0
4
0,
2
4
4
0,
4
ax bx c
b ac x
b
a b ac x
a x x
b ac
x x
b ac
a
b ac x x x
nghiệm với ; nghiệm với nghiệm với vo ânghiệm
nghiệm với ;
Ở x1, x2 hai nghiệm thực tam thức bậc hai
ax bx c
Bất phương trình mũ logarith
Bất phương trình mũ aA x aB x với a>1 tương đương với bất phương trình A(x)>B(x); với 0<a<1 tương đương với bất phương trình A(x)<B(x)
Bất phương trình logarith
loga A x loga B x
Với a>1 tương đương với hệ:
B x
A x B x
(28)28
A x
A x B x
Bất phương trình lượng giác cos
1 ;
1
1 2 ,
arccos ,
x m
m x
m
m k x k
m
Với nghiệm với Với vo ânghiệm;
Với nghiệm với đo ù
sin
1 ;
1
1 2 ,
arcsin ,
2
x m
m x
m
m k x k
m
Với nghiệm với Với vo ânghiệm;
Với nghiệm với đo ù
tan
2 ,
arctan ,
2
x m
k x k
m
với m nghiệm với đo ù
cot tan
, arc cottan ,
x m
k x k
m
(29)29
6.Cấp số; số tổng hữu hạn
Cấp số cộng
1
2 1
, , , , ,
, , ,
n n
n
a a a a
a a d a a d a a n d
Trong an số hạng thứ n cấp số cộng, d công sai 1
2
n n
a n d n
a a n
S
Trong Sn tổng n số hạng cấp số (tổng riêng thứ n)
Cấp số nhân
1
2
2 1
, , , , , ,
, , ,
n n
n n
a a a a a
a a q a a q a a q
Trong an số hạng thứ n cấp số nhân, q công bội Tổng riêng thứ n:
1
1
,
1 n
n n
q
S a a a a q
q
1, n
S na q
(30)30 1 a S q
Một số tổng hữu hạn
2
2 2
2
3
3 3
2
2
2 2
3
3 3
1
1
2
1
1
2
1
2 2
1
1
6
1
4
1
4
1
n n
n n
q p q p
p p q q
n n n
n n n n
n n n
n n n n n n n n n n n
3 2
2
4 4
1
1 3
1
30
n n n
n n n n n
n n
7.Logarith
Định nghĩa: Cho N>0, 0<b, b1 logb N x bx N
(31)31
1 2
1
1 2
2
log log log , ;
log log log , ;
log log , ;
1
log log , ;
log log log , 0, 1, ;
1
log , 0,
log
b b b
b b b
b b
b b
b b a
b
a
N N N N N N
N
N N N N
N
N N N
N N N
N a N a a N
a a a
b
Logarith thập phân:
lgN x 10x N cô soá b10
Logarith tự nhiên
ln
1
lim 2, 718281828
x
n n
N x e N b e
n
trong đo ù
IV. HÌNH HỌC
A.CÁC HÌNH PHẲNG
1.Tam giác a) Tam giác
(32)32
2
2
3 1, 566 ;
3
0,866 ;
3
0, 433 ;
3
0, 578
a h h
h a a
a
S a
h
S h
b)Tam giác vng
Hình
(33)33
2 2
2 2
2 2
90 ; ;
sin cos cot tan tan ;
1 ;
' '; ' ; ' ';
1 1
a b c
b a a c c
S bc
c c a
b b a
h c b
h b c
c) Tam giác thường
a, b, c cạnh; góc đối tương ứng với cạnh; r, R bán kính vịng trịn nội tiếp, ngoại tiếp; p nửa chu vi; S diện tích
(34)34
2 2
2 2
2 2
2 ;
sin sin sin
2 cos ;
2 cos ;
2 cos ;
tan cot tan
2 2 ;
tan tan
2
cos
2 ;
sin sin
2 ;
cos
4
1 1
sin sin sin ;
2 2
a b c
R a b c bc b a c ac c a b ab a b
a b
a b c
a b c
abc S p p a p b p c pr
R
ab ac bc
r p
tan tan tan ;
2 2
a p b p c Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A:
2 2
1
2 ;
2
a
m b c a
(35)35
2
;
a
p p a p b p c h
a
Độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A:
2
;
a
g bcp p a
b c
Tính chất đưởng phân giác (AI phân giác góc A):
;
BI IC AB AC
Trong tam giác, giao điểm ba đường phân giác tâm vòng tròn nội tiếp, giao điểm ba đường trung trực tâm vòng tròn ngoại tiếp
2.Đa giác a) Hình vng
a cạnh; d đường chéo; S diện tích
2
2
0, 707 ;
2 1, 414 ;
a d d
d a a
S d a
a
(36)36 c) Hình thoi
a cạnh đáy; d đường chéo lớn; d’ đường chéo nhỏ; S diện tích:
1 ';
S dd
Nếu góc nhọn hình thoi 60 a=d’ và:
2
1
3 0,866 ;
2
S a a d)Hình thang
a b cạnh đáy; b đường cao; S diện tích
1
S a b h
e) Tứ giác lồi
d1, d2 độ dài hai đường chéo; góc chúng; S diện tích
1
sin
S d d
f) Đa giác n cạnh
(37)37
Hình
2
1 180
cot tan ;
4
180
cot tan ;
2
180
cos sec ;
180
2 sin
2 tan sin ;
2
2 180 ; 360
S na arn
n a
r
n a R
n n
a r R
n n n
3.Hình trịn a) Hình tròn
(38)38
2
2 6, 283 ;
2 3, 545 ;
3,142 ;
2
C r r
C S S
S r r
Cr S
b)Hình quạt trịn
r bán kính vịng trịn; l độ dài cung; n số đo góc tâm; S diện tích
Hình
2
2
0,1745 ; 360
0, 00872 360
rn
l rn
r n
S r n
c) Hình viên phân
(39)39
Hình
2
2 sin ;
1 cos tan ;
2
0, 01795 ; 180
sin
2 180 n
a r
n a n
h r n
l r rn
r n
S n
4.Phương tích a) Phương tích
Phương tích điểm I vòng tròn tâm O, bán kính r đại lượng 2
(40)40
Hình
Ký hiệu giá trị tuyệt đối phương tích p2,
2 2
2
;
p d r
p IA IB IT
b)Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương
Trục đẳng phương hai vịng trịn O1 O2 (O1O2) quỹ tích điểm M có phương tích hai vịng trịn cho
Trục đẳng phương vng góc với đường nối hai tâm điểm N, mà:
2
1
1
2
r r
d O N
d
Hoặc
2
2
2
2
r r
d NO
d
(41)41
Đặc biệt hai vòng trịn cắt hai điểm trục đẳng phương qua hai điểm ấy; hai vòng tròn tiếp xúc trục đẳng phương tiếp tuyến chung tiếp điểm
Tâm đẳng phương ba vòng tròn giao điểm ba trục đẳng phương cặp vịng trịn
B.THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH
Ký hiệu chung: h đường cao; p chu vi đáy; S diện tích đáy; Sxq diện tích xung quanh; V thể tích
1.Hình lăng trụ ;
xq V Sh
S ph
2.Hình chóp
(Nhớ chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy, đáy đa giác đều)
a trung đoạn hình chóp đều:
1 ;
1
xq V Sh
S pa
3.Hình chóp cụt
a trung đoạn hình chóp cụt đều; S1 S2 diện tích đáy; p1 p2 chu vi đáy
Hình 8: Hình lăng trụ
(42)42
1 2
1
1
;
1
xq
V h S S S S
S p p a
4.Hình trụ
r bán kính vịng tròn đáy
;
2
xq
V Sh r h
S rh
5.Hình nón
r bán kính vịng trịn đáy; l đường sinh
2
1
;
3
xq
V Sh r h
S rl
6.Hình nón cụt
R r bán kính vòng tròn đáy đáy trên; h đường cao nón cụt; H đường cao hình nón; l đường sinh nón cụt
2
1
;
; xp
V h R r Rr
S R r l
hr
H h
R r
Hình 10: Hình chóp cụt đều
Hình 11: Hình trụ
Hình 12: Hình nón
(43)43 7.Hình cầu
a) Hình cầu
R bán kính; V thể tích; S diện tích mặt cầu
3
;
4
V R
S R
b)Hình chỏm cầu
R bán kính cầu; r bán kính vịng tròn đáy chỏm cầu; h đường cao chỏm cầu; V thể tích; S diện tích mặt chỏm cầu
2 2
2
1
3 ;
3
2
V h R h h h r
S Rh r h
c) Hình đới cầu
R bán kính hình cầu; r1 r2 bán kính vịng trịn đáy đới cầu; h đường cao đới cầu; V thể tích; S diện tích xung quanh đới cầu
3 2
1
1
;
6
2
V h r r h
S Rh
d)Hình quạt cầu
Hình 14: Hình cầu
Hình 15: Chỏm cầu
(44)44
R bán kính cầu; r bán kính vịng trịn đáy chỏm cầu; h đường cao chỏm cầu; V thể tích; S diện tích mặt quạt cầu
2
;
2
V R h
S R r h
V. LƯỢNG GIÁC
1.Hàm số lượng giác dấu a) Hàm số lượng giác góc nhọn
sin ;
tan ;
sec ;
c a c b a b
Hình 18
cos ;
cot tan ;
cos sec
b a
b c a c
Hình 19
b)Dấu hàm số lượng giác góc Góc phần
tư sin cos tan cottan sec cossec
I
(45)45
II
III
IV
2.Hàm số lượng giác số góc đặc biệt
0 30 45 60 90 120 180 270 360
sin
2
2
3
2
3
2 -1
cos
2
1
2
1
-1
tan
3
cottan 1
3
1
0
sec
3 2 -2 -1
cossec 2
3
2
(46)46 3.Một số công thức đổi góc
sin sin cos cos tan tan
cot tan cot tan
sin 180 sin
cos 180 cos
tan 180 tan
cot tan 180 cot tan
sin 360 sin
cos 360 cos
tan 360 tan
cot tan 360 cot tan
sin 90 cos
cos 90 sin
tan 90 cot tan
cot tan 90 tan
sin 270 cos
cos 270 sin
tan 270 cot tan
cot tan 270 tan
4.Các công thức
2
2
2
2
2
sin cos 1;
tan cot tan 1;
sin
tan ;
cos cot tan
cos
cot tan ;
sin tan
1
1 tan sec ;
cos
1 cot tan cos sec
(47)47
5.Hàm số lượng giác góc bội
2 2
2
3
3
3 sin 2 sin cos ;
cos 2 cos 1 sin cos sin ;
2 tan
tan ;
1 tan
cot tan cot tan tan
cot tan ;
2 cot tan
sin 3sin sin ;
cos cos 3cos ;
3 tan tan
tan ;
1 tan
cot tan 3cot t cot tan
2 an
;
3cot tan
sin sin cos sin ;
cos cos cos cos
n n n
na n n
(48)48 6.Công thức hạ bậc
2 3 4 5
sin cos ;
2
cos cos ;
2
sin 3sin sin ;
4
cos 3cos cos ;
4
1
sin cos 4 cos ;
8
1
cos cos 4 cos ;
8
1
sin sin 5sin 10 sin ;
16
cos cos 5 cos 10 cos
16
7.Hàm số lượng giác tổng hiệu góc
sin sin cos cos sin ;
cos cos cos sin sin ;
tan tan
tan ;
1 tan tan
cot tan cot tan
cot tan
cot tan cot tan
(49)49
8.Biến đổi tổng hiệu hai hàm số lượng giác
sin sin sin cos ;
2
sin sin cos sin ;
2
cos cos cos cos ;
2
cos cos sin sin ;
2
sin cos sin cos ;
4
sin cos sin cos ;
4
sin
tan tan
; cos cos sin
tan tan ;
cos cos sin
cot tan cot tan ;
sin sin sin
cot tan cot tan ;
sin sin tan cot tan cos sec ; tan cot tan cot tan
(50)50
9.Biến đổi tích hai hàm số lượng giác
1
sin sin cos cos ;
2
cos cos cos cos ;
2
sin cos sin sin ;
2
tan tan tan tan
tan tan ;
cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot t cot tan cot tan
tan tan
an ;
tan tan
cot tan tan cot tan tan
cot tan tan
tan cot tan tan cot tan
(51)51 10.Công thức góc chia đơi
2
2
2
2 cos
sin ;
2
1 cos
cos ;
2
sin cos cos
tan ;
2 cos sin cos
sin cos cos
cot tan ;
2 cos sin cos
2 tan
sin ;
1 tan tan
2
cos ;
1 tan 2 tan
2
tan ;
1 tan
cot tan
2 cos
2 cot t
;
an
cos sin sin
(52)52
11.Một số công thức góc tam giác ( góc tam giác)
2 2
2 2
sin sin sin cos cos cos ;
2 2
cos cos cos sin sin sin 1;
2 2
sin sin sin sin sin cos ;
2 2
cos cos cos cos cos sin 1;
2 2
sin sin sin cos cos cos 2;
sin sin sin sin sin cos ;
si
n sin sin sin sin sin ; sin sin sin cos cos sin ;
tan tan tan tan tan tan ;
cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan ;
2 2 2
cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot tan
(53)53 2 2 2
1 cos cos ;
2
1 cos sin ;
2
1 sin sin cos cos ;
2
1 sin sin cos sin ;
2
sin sin
4
1 tan ;
cos cos cos
4 sin
4
1 cot tan ;
sin sin s
2 2
2
cos cos
2
in sin sin ;
2 sin
2
sin sin
2
cos cos cos cos ;
2 sin
sin cos sin cos
n n
n n
a x b x a b x a b x
(54)54
2
2
2
2
cos ,
sin ;
sin ,
cos
a a b
b a b
a a b
b a b
(55)55 13.Công thức liên hệ hàm số lượng giác
Hàm sin cos tan cottan sec cossec
sin 1 cos2
tan tan 1 cot tan
sec sec
cos sec
cos 1 sin2
1 tan
cot tan cot tan
sec1
2 cos sec
cos sec
tan
sin sin cos cos
cot tan
2
sec
1 cos sec
cottan= sin sin cos cos
tan1
1 sec
2
cossec
sec
1 sin
cos1 1 tan2
2 cot tan
cot tan cos sec
cos sec
cossec
sin
1 cos
tan tan
1 cot tan
(56)56
VI. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG
1.Điểm
Khoảng cách hai điểm (x1, y1) (x2, y2): 2 2
2
d x x y y
Khoảng cách từ điểm (x, y) đến gốc tọa độ:
2
d x y
Dạng tổng quát khoảng cách hai điểm (x1, y1) (x2, y2) hệ tọa độ xiên góc
2 2
2 2 2 cos
d x x y y x x y y
Tọa độ điểm chia đoạn thẳng theo tỷ lệ m/n
1
1
;
nx mx x
m n ny my y
m n
2.Phép đổi trục tọa độ (Hình 20)
1
1
x a x x x a
y b y y y b
(57)57
Hình 20
3.Tọa độ cực (Hình 21) Ox: Trục cực;
O: Cực;
r: Bán kính vector;
: Góc cực
2
cos ; sin ;
x r y r r x y
4.Phép quay trục tọa độ x,y: Tọa độ cũ điểm M;
x1, y1: Tọa độ điểm M
: Góc quay
1
1
cos sin ;
sin cos
x x y
y x y
Hình 21
y
x
M
(58)58 5.Phương trình đường thẳng Phương trình tổng qt Ax+By+C=0 Phương trình tắc y=kx+b
Phương trình theo đoạn chắn trục tọa độ
x y
a b
Phương trình pháp dạng xcosysin p
Hệ số pháp dạng
2
1
M
A B
(dấu chọn cho
ngược dấu với dầu C) 6.Hai đường thẳng Các phương trình dạng tổng quát
1 1
2 2
A x B y C C A x B y C
Góc hai đường thẳng cho (với hệ số góc k1, k2)
2 1 2
1 2
tan
k k A B A B k k A A B B
Điều kiện để hai đường thẳng song song
1
k k 1
2
A B A B
(59)59
1
k k A A1 2B B1 2 0
Tọa độ giao điểm hai đường thẳng 2
1 2 1 2 C B C B x
B A B A C B C A y
B A B A
Đường thẳng thứ ba A x3 B y C3 30 qua giao điểm hai đường thẳng nếu:
1 1
2 2
3 3
0
A B C
A B C
A B C
7.Đường thẳng điểm
Phương trình đường thẳng qua điểm cho trước M x y 0, 0 theo hướng cho:
0
yy k xx tan
k ( góc lập đường thẳng với chiều dương trục hoành)
Khoảng cách từ điểm x y1, 1 tới đường thẳng 1cos 1sin
d x y p (a góc lập đường thẳng với chiều dương trục hoành) 1
2
Ax By C d
A B
(dấu
(60)60
Phương trình đường thẳng qua hai điểm cho 0, 0 , 2, 2
A x y B x y :
1
2
y y x x y y x x
Phương trình đường thẳng qua điểm M0x y0, 0 song song với đường thẳng y=ax+b
0
yy a xx
Phương trình đường thẳng qua điểm M x y 1, 1 vng góc với đường thẳng y=ax+b
1
1
y y x x
a
8.Diện tích tam giác Tam giác có đỉnh gốc tọa độ
1
1 2
2
1
2
x y
S x y y x
x y
(61)61
2
3
2 3
1 3
1 2
x x y y S
x x y y
x x y y x x y y x y y x y y x y y
9.Phương trình đường trịn
Đường trịn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính r
2 2
x y r
Đường trịn với tâm có tọa độ (a,b) bán kính r 2 2 2
x a y b r
Phương trình tham số đường tròn
cos
0
sin
x r t t
y r t
10.Ellipse (Hình 23) O: Tâm;
AA1=2a: Trục lớn; BB1=2b: Trục nhỏ; F, F1: Các tiêu điểm;
(62)62 BF=BF1=AO=a;
FM+F1M=AA1=2a; a2-c2=b2
Phương trình tắc Ellipse:
2
2
x y
a b
Tâm sai Ellipse:
2
1
c a b
a a
Bán kính vector điểm M(x, y) Ellipse r a x
Diện tích Ellipse S=ab
Phương trình tiếp tuyến với Ellipse điểm M x y1 1, 1
1
2
x x y y a b
Phương trình pháp tuyến với Ellipse điểm M0x y0, 0
2
0
0 a y
y y x x
b x
y
x
M B
A1
A F F1
B1 2a
c c
y r r1
(63)63 Tham số tiêu Ellipse
2 b p
a
Phương trình đường chuẩn Ellipse
a x
c
x a
Phương trình đường kính Ellipse
2 b
y x
a k
Trong k hệ số góc đường kính liên hợp Phương trình tham số Ellipse:
cos sin
x a t
y b t
11.Hyperbola (Hình 24) O: Tâm;
F, F1: Các tiêu điểm;
FM, F1M: Các bán kính vector; FM-F1M=AA1-2a;
y
x
2c 2a
F F1
A A1
M
r1 r
(64)64 FF1=2c;
c2-a2=b2
Phương trình tắc Hyperbola
2
2
x y
a b
Tâm sai Hyperbola
2
1
c a b
a a
Bán kính vector điểm thuộc Hyperbola
1 c
r x a x a a
c
r x a x a a
Phương trình đường tiệm cận Hyperbola b
y x
a
Phương trình tiếp tuyến điểm M x y1 1, 1
1
2
x x y y a b
(65)65
2
0
0 a y
y y x x
b x
Hoặc
2
2
0
a x b y c x y
Tham số tiêu Hyperbola b p
a
Phương trình đường kính Hyperbola
2 b
y x
a k
Trong k hệ số góc đường kính liên hợp Phương trình Hyperbola cân
2 a
xy y k x
12.Parabola(Hình 25)
AN: Đường chuẩn O: Đỉnh
F: Tiêu điểm
AF=p: Tham số Parabola
y
x
A F F1
M
N K
p c
l
r
(66)66 S: Diện tích
Phương trình tắc parabola y2=2px
Diện tích parabola
3 S lc
Tâm sai parabola FM MK
Bán kính vector parabola
2 p r x
Phương trình đường chuẩn parabola
2 p x
Phương trình tiếp tuyến parabola
1
yy p xx Hoặc
1
0 y
y y x x
y
(67)67
1
1
y
y y x x
p
Hoặc
1 1
y x x p yy
VII. ĐẠI SỐ VECTOR
1.Các phép tốn tuyến tính vector
Vector A đoạn thẳng có độ dài xác định hướng xác định
A A
độ dài module vector A Các vector (Hình 26)
A B A B
A B
Cộng vector (các hình 27, 28, 29) ;
A B C
A B C D E
Hình 27 Hình 28 Hình 29
Vector đối (Hình 30) A
C B
A C
B
A
B C
D E
A B
(68)68
1
1 A A
A A
A A
Trừ vector (Hình 32, 31)
A B A B C
Hình 31
Trong B1 B Nhân vector với số
k A B
Vector B thỏa mãn điều kiện:
, ,
B k A B A B A
neáu k > neáu k <
Nếu k=0 A0, B0
2.Phép chiếu vector lên trục vector (Hình 33)
cos cos ,
x B
hc Ahc A MN A A A B
A
C
B B1
Hình 32
A
B
C
Hình 30
A
(69)69
Hình 33
3.Các thành phần tọa độ vector (Hình 34)
1
AOM OM OM
Hoặc A X i Y j Z k
Trong OM X i OM Y j OM Z k
thành phần vector;
cos , cos , cos
X A YA Z A tọa độ vector (chiếu vector lên trục tọa độ)
4.Các phép tốn tuyến tính vector cho nhờ tọa độ
Nếu AA1A2 X X1X Y2, Y1 Y Z2, Z1Z2
Nếu A2 A1 X2 X Y1, 2 Y Z1, 2 Z1
5.Tích vơ hướng hai vector Định nghĩa
A
B
M1 N1
M N
O x
O M
M
M2
1
3
i k
j
x
z
y
A
(70)70
A B, ABABcos A B, Ach BABhc AB Các tính chất tích vơ hướng
AB B A m A B m AB A B C AC BC
(tính giao hốn)
(tính phân phối)
Tích vơ hướng vector dạng tọa độ 2
AB X X YY Z Z
Bình phương vơ hướng vector
2 2
cos A AAAA A
Bình phương module vector
2 2
A A X Y Z Module (độ dài) vector
2 2
A A X Y Z
Điều kiện để hai vector trực giao AB
1 2
AB X X YY Z Z
(71)71
1 2
2 2 2
1 1 2
cos AB X X Y Y Z Z
A B X Y Z X Y Z
Các cosin phương vector A X Y Z , ,
2 2
2 2
2 2
cos
cos
cos
X X Y Z
Y X Y Z
Z X Y Z
6.Tích vector hai vector Định nghĩa
Tích vector hai vector A B, (ký hiệu A B A B, ) vector C thỏa mãn điều kiện sau:
sin , , ,
C AB A B C A CB
Và vector , , A B C lập thành ba vector thuận (nghịch) hệ tọa độ thuận (nghịch)
(72)72
A B B A m A B m A B A nB n A B A B C A C B C C A B C A C B
Tích vector dạng tọa độ
1 1
2 2
1 2 1 2 1 2
i j k A B X Y Z X Y Z
Y Z Y Z i Z X Z X j X Y X Y k
Góc vector
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 1 2
sin A B, A B A B
Y Z Y Z Z X Z X X Y X Y
X Y Z X Y Z
7.Tích hỗn hợp ba vector Định nghĩa
ABCA B C
(73)73
ABC BC A C AB B AC AC B C B A
A B C D AC D BC D m A BC m ABC
Ý nghĩa hình học tích hỗn hợp ABC
thể tích hình hộp có ba cạnh ba vector Điều kiện đồng phẳng ba vector ABC0
Tích hỗn hợp dạng tọa độ
1 1
2 2
3 3
1 3 3 2 3
X Y Z ABC X Y Z X Y Z
X Y Z Z Y Y Z X Z X Z X Y X Y
VIII. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1.Giới hạn
lim(x+y-z)=limx+limy-limz (nếu giới hạn vế phải tồn tại) lim(xyz)=limx limy limz (nếu giới hạn vế phải tồn tại)
lim
lim lim lim
lim
x x
x y
y y
(74)74
1
0
0
0 sin
lim 1;
lim , 2.718281828 ;
lim 0;
! tan
lim 1;
lim ;
lim 1;
!
lim
a
x
a n a
x
x n
x x
n n n
x x
a e e a
n x x
x n e n a
n
n e n
(75)75
'
2 '
1 ,
2
' ';
' ' ' ';
' ' ' ' ;
' '
;
' ' ;
' 0; ' 1;
' ;
1
;
' ;
2
n n
Cu Cu
u v w u v w uvw u vw v uw w uv
u u v v u
v v
f u x f u u x C
x
x nx
x x
x
x
(76)76 2 2 2 1
ln ' ;
1
lg ' lg ;
' ;
' ln ;
sin ' cos ;
cos ' sin ;
1
tan ' ;
cos
cot tan ' ;
sin
arcsin ' ;
1
arccos ' ;
1
arctan ' ;
1
1
arc cottan ' ;
1
' ' ln '
x x
x x
v v v
x x
x e
x e e
a a a
x x x x x x x x x x x x x x x x u vu u u u v
(77)77
;
;
;
d Cu Cdu
d u v w du dv dw
d uvw vw du uw dv uv dw u vdu udv
d
v v
3.Ứng dụng hình học đạo hàm
Phương trình tiếp tuyến với đường cong y=y(x) điểm (x0, y0)
0 ' 0
yy y x xx
Phương trình tiếp tuyến với đường cong qua điểm cho trước M1x y1, 1
1 '
y y y x xx
Trong x0 nghiệm kép phương trình
0
0 '
y y x x
y x
4.Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số y=f(x) gọi chẵn f(x)=f(-x)
(78)78 Hàm số tuần hoàn
Hàm số y=f(x) gọi tuần hồn có số dương l cho
f x f x l f x l f x kl
Số dương p nhỏ có tính chất gọi chu kỳ hàm số
Hàm số đơn điệu
Hàm số y=f(x) gọi đơn điệu tăng thật (đồng biến) từ x1<x2 suy f(x1)<f(x2);
Hàm số y=f(x) gọi đơn điệu giảm thật (nghịch biến) từ x<x2 suy f(x1)>f(x2);
Nếu tất dấu < (>) thay dấu hàm gọi đơn điệu tăng (giảm) theo nghĩa rộng;
Điều kiện để hàm số y=f(x) đơn điệu tăng (giảm) khoảng xác định f ' x 0f ' x 0 khoảng xác định Hàm liên tục
Hàm số y=f(x) gọi liên tục x=a lim xa f x f a Cực đại, cực tiểu hàm số
Hàm số y=f(x) có cực đại (cực tiểu) điểm x0 có số a dương cho f x f x 0 f x f x 0 với
0
(79)79 Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình:
0
'
''
f x f x
Thì x0 hồnh độ điểm cực đại; Nếu x0 thỏa mãn hệ phương trình:
0
'
''
f x f x
Thì x0 hoành độ điểm cực tiểu; Hàm lồi
Hàm số y=f(x) gọi lồi với ,0
1 2 1 2 ; f ax x af x f x
Hàm số y=f(x) lồi đạo hàm f’(x) tăng theo nghĩa rộng (hoặc tương đương đạo hàm bậc hai
f’’(x)0) Điểm uốn
Điểm x0 điểm uốn đồ thị hàm số y=f(x) f’’(x0)=0 f’’(x) đổi dấu qua x0
(80)80
Tiệm cận ngang (Hình 35): Đường cong y=f(x) có tiệm cận ngang y=b lim
x f x b
Tiệm cận xiên (Hình 36): Đường cong y=f(x) có tiệm cận xiên y=ax+b
lim
xf x ax b
Cách tìm tiện cận xiên y=ax+b:
Tiệm cận đứng (Hình 37): Đường cong y=f(x) có tiệm cận đứng x=x0
0
lim
xx f x
Trục tâm đối xứng: Đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng x= làm trục đối xứng f 2x f x Đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I , làm tâm đối xứng
2 f x f x
Khảo sát hàm số yax3bx2 cx d a 0
' ;
''
y ax bx c y ax b
lim ;
lim x x
f x a
x
b f x ax
Hình 36: Tiệm cận xiên
(81)81 Nếu 2
3
a
b ac
hàm số ln đồng biến;
Nếu 2
3
a
b ac
hàm số nghịch biến
2
3 0, '
b ac y có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hàm số có cực đại cực tiểu
Các giao điểm với trục hoành: Phương trình
3
yax bx cx d ln có nghiệm thực Nếu
3
b ac
3
0 cd ct
b ac
y y
phương trình có
có nghiệm đồ thị cắt trục hoành điểm Nếu
2
3
0 cd ct
b ac
y y
phương trình có nghiệm đơn
nghiệm kép; đồ thị cắt tiếp xúc với trục hoành hai điểm Nếu
2
3
0 cd ct
b ac
y y
phương trình có ba nghiệm phân biệt; đồ
thị cắt trục hoành ba điểm khác
Điểm uốn ,
3
b b
y
a a
tâm đối xứng đồ thị
(82)82
2
' ;
'' 12
y ax bx
y ax b
Trong trường hợp ab0 hàm số có điểm cực trị (0,c) (cực đại b<0, cực tiểu b>0)
Trường hợp ab<0:
Nếu b<0, hàm số có cực đại (0,c) hai điểm cực tiểu
,
2
b b c a a
;
Nếu b>0 hàm số có cực tiểu (0,c) hai điểm cực đại
,
2
b b c a a
Trong trường hợp điểm ,
6
b b
y
a a
điểm uốn
Hàm số , ', '
' '
ax b
y a b
a x b
Hàm số xác định với '; ' b x
a
2 ' '
' ,
' '
ab a b y
a x b
(83)83 ab’-a’b=0, hàm số không đổi ;
' a y
a
ab’-a’b>0 hàm số đồng biến; ab’-a’b<0 hàm số nghịch biến; Tiệm cận ngang: ;
' a y
a
Tiệm cận đứng: '; ' b x
a
Tâm đối xứng giao điểm ', ' '
b a A
a a
hai đường tiệm
cận Hàm số
2
' '
ax bx c y
a x b
Tiệm cận xiên: ' ';
' '
a a b ab
y x
a a
Tiệm cận đứng '
' b x
a
(84)84
IX. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
A.TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH
1.Định nghĩa f x dxF x C
Trong F’(x)=f(x), C số tùy ý 2.Các tính chất đơn giản
;
,
' ' ;
dx x C
kf x dx k f x dx
u v w dx udx vdx wdx uv dx uv vu dx
udv uv vdu
(85)85 3.Tích phân hàm hữu tỷ
1 2
, ;
1
ln ;
, ;
1 ln ; ln ; ln , ln ;
ln ln , ;
m m
n n
x
x dx C m
m dx
x C x
ax b
ax b dx C n
a n dx
ax b C ax b a
ax b a bc ad
dx x cx d C
cx d c c
dx x b
C a b x a x b a b x a
dx x d
C x a a x a
xdx
a x a b x b C a b x a x b a b
xdx 2 2 2 2 2 ln ; arctan ; ln ;
x a C x a
dx x
C
x a a a
xdx
(86)86
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
1 arctan ; 2 1 ;
ln arctan ;
1
arctan ln ;
1
ln
4
dx x x
C
a x a a a
x a xdx C x a x a x b
dx b x
C
a b a a
x a x b x a
x b
xdx x
b C
a b a
x a x b x a
dx ax b b ac
ax bx c b ac ax b b ac
2 2 2
2
2
;
1
arctan , ;
4
1
ln
2
C
dx ax b
C b ac ax bx c ac b ac b
xdx b dx
ax bx c
ax bx c a a ax bx c
(87)87 4.Tích phân hàm vô tỷ
2 2 ; ; 2 ;
2
; 15
1
ln , ;
1
arctan , ;
dx
ax b C a
ax b
ax bdx ax b C a
ax b xdx
ax b C a
ax b
ax b
x ax bdx ax b C
a
dx ax b b ac
C b ac x c ax b b ac ax b b ac
dx ax b
b ac ac b
x c ax b ac b
ln , ;
ax b
dx ax b cx d cx d c
ad bc
a ax b a ax b C ac c ac
arctan , 0; ;
ax b
dx ax b cx d cx d c
a cx d ad bc
C c a c ax b
(88)88 3 2
2 2
2
3
2
2
; 15
2 12 15
; 105
2
;
2
; 15
1
ln , ;
2
arctan , ;
a bx a bx
x a bxdx C
b
a abx b a bx
x a bxdx C
b a bx
xdx
a bx C b
a bx
a abx b x x dx
a bx C b
a bx
dx a bx a
C a x a bx a a bx a
dx a bx
C a a
x a bx a dx
x a bx
; 2 ;
a bx b dx ax a x a bx
a bxdx dx
a bx a
x x a bx
(89)89
3
1 2
2
1
2
3 2
2
1
2
2 2 1
2 ;
1
2
2
;
2
2
2
;
2 3
2
m
m m
m m m
m m m
x ax x m a
x ax x dx x ax x dx
m m
m a
x dx x ax x x dx
m m
ax x ax x
ax x
ax x m ax x
dx dx
x m ax m a x
dx ax x
C ax
x ax x
(90)90
5.Tích phân hàm lượng giác
2
2
3
3
1
1
sin cos ;
cos sin ;
1
sin sin ;
2
1
cos sin ;
2
1
sin cos cos ;
2
1
cos sin sin ;
3
1
sin sin cos sin ;
1
cos cos sin cos ;
n n n
n n n
xdx x C xdx x C
x
xdx x C
x
xdx x C
xdx x x C
xdx x x C
n
xdx x x xdx
n n
n
xdx x x xdx
n n
cos sec ln tan ;
sin
sec ln tan ;
cos
dx x
xdx C
x
dx x
xdx C
x
(91)91 2 3 2
cot tan ;
sin
tan ;
cos
1
sin cos cos ;
4
sin cos sin ;
3
sin cos cos ;
3
1
sin cos sin ;
8 32 dx x C x dx x C x
x xdx x C
x xdx x C
x xdx x C
x xdx x x C
2 2 2 2 2 sin sin
sin sin , ;
2
cos cos
sin cos , ;
2
sin sin
cos cos , ;
2
1 sin
arcsin , ;
sin sin
m n x m n x
mx nxdx C m n
m n m n
m n x m n x
mx nxdx C m n
m n m n
m n x m n x
mx nxdx C m n
m n m n
dx a x b
C a b
a b x a b a b x
2 2 2
1 sin cos
ln , ;
sin sin
dx b a x b a x
C b a
a b x b a a b x
2 2 2 cos
arcsin , 0, ;
cos cos
1 cos sin
ln , ;
cos cos
dx a x b
C a b
a b b a a b x
dx b a x b a x
C a b
a b b a a b x
(92)92
2
2
1 sin cos
ln
sin cos sin cos
dx b x a x a b
C
a x b x a b a x b x
B.TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1.Định nghĩa
b
a
b
f x dx F x F b F a a
Trong F’(x)=f(x)
2.Ý nghĩa hình học tích phân xác định (Hình 38)
b
aABb a
g x dxS
3.Một số ứng dụng tích phân xác định a) Tính diện tích hình phẳng
Diện tích hình giới hạn đường cong y=f(x) đường y=0, x=a, x=b, y có dấu với giá trị x khoảng (a, b) là:
b a
S f x dx(xem Hình 38) b)Tính độ dài cung
Độ dài (s) cung đường cong phẳng f(x,y)=0 từ điểm (a,c) đến điểm (b,d) là:
y
x
a b
O A
B
y=f(x)
(93)93 2
1
b d
a c
dy dx
s dx dy
dx dy
Nếu phương trình đường cong x=f(t), y=g(t) độ dài cung từ t=a đến t=b là:
2
b a
dx dy
s dt
dt dt
c) Tính thể tích khối trịn xoay
Thể tích khối trịn xoay sinh phần đường cong y=f(x) khoảng x=a x=b chuyển động quay xung quanh
o Trục x
b a V y dx
o Trục y
d c V x dy
Trong c d giá trị y tương ứng với giá trị a b x
d)Thể tích tạo tiết diện song song Nếu mặt phẳng vng góc với trục x điểm (x,0,0) cắt vật thể theo tiết diện có diện tích S(x) thể tích phần vật thể khoảng x=a x=b là:
y=f(x)
y
x x
A B
a b
(94)94
b a
V S x dx
e) Diện tích mặt khối trịn xoay
Diện tích mặt vật thể sinh phần đường cong y=f(x) khoảng x=a x=b chuyển động quay
o Đối với trục x
2
2 ;
b a
dy
S y dx
dx
o Đối với trục y
2
2
d c
dx
S x dy
dy
(95)95 CHỈ MỤC
C
Cấp số
Cấp số cộng · 29 Cấp số nhân · 29
Cấp số nhân lùi vô hạn · 30 Công bội · 29
Công sai · 29 Tổng hữu hạn · 30
D
Đại số Căn số · 16 Đa thức · 13
Đẳng thức (đồng thức) · 14 Lũy thừa · 15
Phân thức · 13 Số e · 74
G
Giải tích kết hợp Giai thừa · Nhị thức Newton · 11 Tam giác Pascal · 12
H
Hàm số Cực đại · 79 Cực tiểu · 79
Điểm uốn · 79 Đồng biến · 78 Hàm liện tục · 78 Hàm lồi · 79 Hàm số chẵn · 77 Hàm số lẻ · 77 Hàm tuần hoàn · 78 Nghịch biến · 78 Tâm đối xứng · 80 Tiệm cận đứng · 80 Tiệm cận ngang · 79 Tiệm cận xiên · 80 Trục đối xứng · 80 Hình học phẳng
Phương tích · 39 Quạt trịn · 38 Tâm đẳng phương · 40 Trục đẳng phương · 40 Viên phân · 38
L
Lượng giác Góc bội · 47
Góc tam giác · 52
S
Số phức
(96)96
V
Vector
Chiếu vector · 68 Góc hai vector · 71
More… More More… More…